2025年苏科版九年级数学寒假专练：等可能条件下的概率（解析版）

专题06等可能条件下的概率

嫌内容早知道

G第一层巩固提升练（6大题型）

目录

题型一等可能性事件............................................................................1

题型二根据概率公式计算概率...................................................................3

题型三几何概率................................................................................4

题型四列举法求概率............................................................................6

题型五列表法或树状图法求概率.................................................................8

题型六概率的应用.............................................................................10

3第二层能力提升练

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题型一等可能性事件

☆技巧积累与运用

一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有〃个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个

结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这〃个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结

果具有等可能性.

例题：（2024九年级•全国•竞赛）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9

个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个.现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但

不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（）

A.19种B.18种C.17种D.16种

【答案】D

【分析】本题考查列举法（树状图法）.利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后

确定对应的白球的个数即可.

【详解】解：画树状图如图所示：

红球的个数

黑球的个数

白球的个数87657654

则取法的种数是16.

故选：D.

巩固训练

1.（22-23九年级下•河北衡水•期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张

不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝

下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机

地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依

次是：甲：7；乙：12；丙：17；T：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（）

A.戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7

B.丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8

C.乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8

D.甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5

【答案】B

【分析】正确的推理判断即可求解.

【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3,所以丁拿的卡片只能是1和2,则甲同学手

里拿的就只能是3和4.

如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7,

则乙同学拿的就是6和6,因为不能重复，所以“是错误的；

如果丙同学拿的是9和8,则乙同学拿的是5和7,戊同学拿的就是10和6,符合数学的演绎推理，是正确

的.

根据数学选择题的四选一原则，就选艮

故选：B.

【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键，

2.（2021•辽宁沈阳•中考真题）下列说法正确的是（）

4.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数

氏"从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王"是必然事件

C.了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式

D.若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2=0.3,s/=0.02,则甲组数据更稳定

【答案】C

【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论.

【详解】解：A.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；

C.了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；

D.若平均数相同的甲、乙两组数据，s看=0.3,s2=0.02,则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个

量.方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越

小，稳定性越好.

犀型二根据概率公式计算概率

☆技巧积累与运用

一般地，如果一个试验有〃个等可能的结果，当其中的加个结果之一出现时，事件N发生，那么事件

/发生的概率PC4）=—（其中机是指事件/发生可能出现的结果数，〃是指所有等可能出现的结果

n

数）.

丽九年级上•山西临汾•阶段练习）在寒假到来之际，王强计划从平遥古城、皇城相府、壶口瀑

布、雁门关四个旅游景点中任意选择一个去游玩.如图，他将这四个旅游景点的图片制作成四张卡片（除

内容外，其余完全相同）.并将这四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取一张，恰好抽到平遥古城的概率为

()

平遥古城皇城相府壶口瀑布雁门关

【答案】C

【分析】本题考查了简单的概率计算.熟练掌握简单的概率计算是解题的关键.

根据简单的概率计算公式求解作答即可.

【详解】解：由题意知，恰好抽到平遥古城的概率为;,

故选：C.

巩固训练

1.（24-25九年级上•福建三明•期中）不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他

差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）

11「23

A.—B.-C.—D.一

3234

【答案】D

【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率尸（4）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现

的结果数的商是解答此题的关键.

根据概率计算公式进行求解即可.

【详解】解：••・不透明的袋子里装有1个红球，3个黄球，

，从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为三3=［3；

故选：D.

2.（24-25九年级上•山东济南•期中）为发展学生的数学素养，某校开设了《写给孩子的数学之美》、《给

孩子的数学思维课》和《数学家的眼光》3个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这三个

阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是—.

【答案】|

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的

关键.列表可得出所有等可能的结果数以及他们恰好抽到同一个阅读项目的结果数，再利用概率公式可得

出答案.

【详解】解：将这三个阅读项目分别记为A,B,C,

列表如下：

ABc

A(44)(40(A,C)

B(8,/)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(GC)

共有9种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个阅读项目的结果有3种,

31

他们恰好抽到同一个阅读项目的概率为.

故答案为：

题型三几何概率

☆技巧积累与运用

利用阴影部分的面积比上总面积，计算概率

例题：（2024九年级上•全国•专题练习）一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是

【答案】B

【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.结合图形可得一共有15块方砖,

阴影方砖有5块，利用概率的计算公式即可解答.

【详解】解：由图可得，一共有3x5=15块方砖，阴影方砖有5块，

•••停在阴影方砖上的概率P=A=；.

故选：B.

巩固训练

1.（2024九年级上•全国・专题练习）如图是一个飞镖游戏板，大圆的直径把一组同心圆分成四等份，假设

飞镖击中圆面上每一个点都是等可能的，则飞镖落在黑色区域的概率是（）

【答案】A

【分析】本题考查了几何概率.两个同心圆被均分成四等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，且黑

色区域的面积等于白色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可.

【详解】解：因为两个同心圆等分成四等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积

与白色区域的面积相等，

所以P（飞镖落在黑色区域）=；.

故选：A.

2.（24-25九年级上•全国・期末）如图，在口4BCD中，AC.BD交于点、O,直线E尸过。点，交CD、AB

于点£、F.若向口48CD内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是

【答案】-/0.25

4

【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率问题，用到的知识点为：概

率=相应的面积与总面积之比.根据平行四边形的性质得△。成＞四△OFB,则阴影部分面积等于△048的面

积，即为平行四边形面积的;，然后根据几何概率的意义求解.

【详解】解：•・•平行四边形/BCD中，对角线4C、相交于点O,

：.OD=OB,ZEDO=ZFBO,

•・.ZEOD=ZFOB,

小OEDaOFB（ASA）,

S&ODE=SQBF，

・•・阴影部分面积等于△0/8的面积，即为平行四边形面积的;,

•••小石子落在阴影部分的概率是:.

故答案为：

题型四列举法求概率

☆技巧积累与运用

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，

通常采用列举法.

例题：（2024•浙江•模拟预测）编号为1,2,3,4的四位同学随机地坐到编号为1,2,3,4的四个位置上,

其中没有一对编号相同的概率为（）

113

A.—B.—C.~D.—

12848

【答案】D

【分析】本题考查的是用列举法求概率.找出总情况数及所有所求情况数即可求解.理解并掌握概率=所求

情况数与总情况数之比是解决问题的关键.

【详解】以（。,仇c,d）表示编号为0,b,c,d的同学依次坐在第1,2,3,4这四个位置上.共有以下24

种坐法.

(1,2,3,4)(1,2,4,3)(1,3,2,4)(1,3,4,2)(1,4,2,3)(1,4,3,2)

(2,1,3,4)(2,1,4,3)(2,3,1,4)(2,3,4,1)(2,4,1,3)(2,4,3,1)

(3,1,2,4)(3,1,4,2)(3,2,1,4)(3,2,4,1)(3,4,1,2)(3,4,2,1)

(4,1,2,3)(4,1,3,2)(4,2,1,3)(4,2,34)(4,3,1,2)(4,3,2,1)

没有一对编号相同的情况有9种：(2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(3,4,1,2),(3,4,2,1),

(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1).所以所求概率为三9二3，

248

故选：D.

巩固训练

1.(2024•河南新乡•模拟预测)2024年“甲骨文杯"安阳马拉松赛于4月21日开赛，共设全程马拉松、半程

马拉松和欢乐跑项目.现从这三个项目中随机选择两项进行推广，则选到欢乐跑项目的概率是()

A.—B.—C.JD.—

6323

【答案】B

【分析】本题主要考查了用列举法求概率，通过列举找出共有的选择数量，然后再选出选到欢乐跑项目的

数量，然后根据概率公式计算即可.

【详解】解：从这三个项目中随机选择两项进行推广，则有①全程马拉松、半程马拉松；②全程马拉松，

欢乐跑项目；③半程马拉松，欢乐跑项目一共3种选择，

其中选到欢乐跑项目有2种选项，

2

故选到欢乐跑项目的概率是：-

故选：B.

2.(24-25九年级上•河南焦作•期中)小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致,

完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为—.

【答案】|

【分析】本题考查了用列举法求概率.列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配

的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键.

【详解】解：由题意可得，共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄

红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；

其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，

21

・•.每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是二=二，

故答案为：—

题型五列表法或树状图法求概率

☆技巧积累与运用

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和

方式，并求出概率的方法.

树状图

当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称

树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次

数和方式，并求出概率的方法.

例题：（24-25九年级上•山西运城・期中）经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐.假设这三种

可能性相同，现有两辆车经过该路口，求至少有一辆车直行的概率为（）

1353

A.-B.—C.-D.—

35910

【答案】c

【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出至少有一

辆车直行的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】解：画树状图为：

有9种等可能的结果数，其中两辆车均直行的结果有1种，只有一辆车直行的结果有4种,

可知至少有一辆车直行的结果有5种，概率为g,

故选C.

巩固训练

1.（24-25九年级上,广东深圳•阶段练习）通常情况下酚酬遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红

色.一次化学课上，学生用酚酸溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性.已知四瓶溶液分

别是/：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D-.氢氧化钾溶液

（呈碱性）.小周将任选的两瓶溶液滴入酚酥溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率是.

【答案】|

6

【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表可得共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的

结果有：（C,D）,（D,C）,共2种，进而根据概率公式计算即可求解.

【详解】解：列表如下：

ABcD

A(4切(A,C)（4。）

B(民/)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)（C。）

D(。⑷(D,B)(AC)

共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：共2种，

21

二两瓶溶液恰好都变红色的概率为G.

1276

故答案为：—.

6

2.（2025•甘肃•模拟预测）甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医

药学的发祥地之一，被誉为"河岳根源、羲轩桑梓”.李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄

河文化""边塞文化""根祖文化”"红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全

相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容.

黄河文化边塞文化根祖文化红色文化

⑴求小甘从中随机抽取到的卡片上印有"根祖文化”的概率;

⑵若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机

抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中"黄河文化”的概率.

【答案】⑴:

【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况

数与总情况数之比.

（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.

【详解】（1）小甘从中随机抽取到的卡片上印有"根祖文化"的概率为:;

（2）将印有"黄河文化""边塞文化""根祖文化〃"红色文化"的卡片分别记作4B,C,D,列表如下:

小肃小甘ABcD

A[A,A)(A,B)(A,C)(4D)

B(B,A)(B,B)(B,C)仍，D）

C(C,A)(C,B)(C,C)(C，D)

D(D,A){D,B](D,C)①,D)

由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中"黄河文化”的情况有7种,

7

二小廿、小肃两人至少有一人抽中"黄河文化”的概率为二.

题型六概率的应用

☆技巧积累与运用

游戏的公平性转盘抽奖中计算概率是否相等来判定

例题：（2024,湖南长沙•模拟预测）"交通文明，让长沙与我一起白头偕老自长沙开展"文明城市创建"以

来，我市学生更加自觉遵守交通规则.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、

黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为:，遇到黄灯的概率为那么他遇到红灯的概率为

210

（）

A.yB.-C.-D.-

2355

【答案】C

【分析】本题主要考查了概率的应用.掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键.

根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可.

【详解】解：•••他在路口遇到绿灯的概率为:，遇到黄灯的概率为1,

210

112

.•他遇到绿灯的概率是：1