2025年上海高考数学复习热点题型专练：大题模拟卷1（题型必刷ABC三组）（解析版）

；题型必刷•大题仿真卷

J___________________________________________

大题仿真卷01(A组+B组+C组)

(模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟)

♦>-------A组.巩固提升----------O

一、解答题

1.在直四棱柱-44G，中，底面/BCD是菱形，且4B=BD=AA>

⑴求证：直线22L/C；

⑵求二面角2-九-。的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2)arccos^y^-

【分析】(1)根据底面/8C。是菱形可得出对角线垂直，结合直四棱柱的特点可得到。C,由线面垂

直的判定定理以及性质定理可证明结果；

(2)建立空间直角坐标系，由空间向量法计算可求出结果.

【解析】(1)解：；底面/BCD是菱形，；./C_L8_D,

又因为四棱柱/BCD-48c2为直四棱柱，所以。2_L底面/BCD,

NCu底面A8CZ),DDX1AC,DDtr\BD=D,平面。。避

,所以NC,平面。"8,u平面。"8,.〔BAL/C.得证.

(2)取BC中点E,AB=BD,且底面488是菱形，则。EL8C,

以。为原点，为x轴，为了轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图:

则不妨设力(1,0,0),叫¥，。］，cW，o],D,(0,0,1)

k22)

1x/31

^3=(1,0,-1),AB=-

50，设平面ZB，的法向量访=则

7

x-z=0

<173,令V=l，得应=(百,L0)，

~2X+~y~

平面/8C的法向量为k=(0,0,1),

所以二面角D.-AB-C的平面角的余弦值为：cos6=/&=叵,

V3+3+17

所以二面角2--C的大小为arccos叵.

7

x

⑴证明函数V=/(x)在(-叫0)上严格增；

(2)若函数夕=/(%)在定义域上为奇函数，求不等式“X)>0的解集.

【答案】(1)证明见解析

(2)(—2,0)U(2,+8)

【分析】(1)利用函数的单调性定义证明即得；

(2)根据函数的奇偶性求出。值，再求出方程〃x)=0的解，分别利用函数在(-*0)和(。,+到上的单调性

即可求得不等式的解集.

4

【解析】(1)因/(x)=x-—+。，任取国,工2e(-oo,0),且无a%,

X

44

x_x=x

由/(i)/(2)i---+a-(x2----+。)

演x2

/、4(x-x)/、/14

=(西一12)+-------2-=(西一、2)(1+----),

x｛x2XxX2

4

因演</<0,则巧―/<0，1+7^>0,故/(芯)一/(%2)<0，

即/(^)</(%2).

故函数歹=/(X)在(-8,0)上严格增；

(2)因为函数〃x)在定义域｛X|XH0｝上为奇函数，则=

44

=

\以一XH--------\~Cl-XH---------U.

XX

所以2Q=0,即Q=0,

4

所以/(x)=x——，

X

由y(x)>0得：x-->0,即(“-2乂X+2)>0,

XX

Jx>0fx<0

所以[(X-2)0+2)>0或j(X-2)(x+2)<0'

解得x>2或-2<x<0,

所以不等式〃无)>0的解集为(-2,0)U(2,+8).

3.潜伏期是指已经感染了某毒株，但未出现临床症状和体征的一段时期，某毒株潜伏期做核酸检测可能为

阴性，建议可以多做几次核酸检测，有助于明确诊断，某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计,

得到如下表:

潜伏期（天）[0,2](2,4](4,6]（6用(8,10](10,12](12,14]

人数80210310250130155

⑴求这1000名患者的潜伏期的样本平均值元；（精确到0.01天）

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准

进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判

断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.

潜伏期W6天潜伏期＞6天总计

50岁以上（含50）150

50岁以下85

总计300

2

2n(ad-be)

附••力=(0+b)(c+d)(“+c)(6+")'其中"i+6+c+d7

尸（力2次）0.150.100.050.0250.0100.005

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.879

【答案】⑴5.41天

（2）列联表见详解，没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关

【分析】(1)根据题意结合平均数的计算公式运算求解；

(2)根据题意结合分层抽样求各层人数，进而补全列联表，计算并与临界值对比分析.

【解析】(1)由题意可得：

潜伏期(天)[0,2](2，可(4，句(6用(8,10](10,12](12,14]

人数80210310250130155

频率0.080.210.310.250.130.0150.005

所以样本平均值了=1x0.08+3x0.21+5x0.31+7x0.25+9x0.13+11x0.015+13x0.005=5.41(天),

(2)由(1)可知：潜伏期46天与潜伏期>6天的比例为600:400=3:2,

32

则抽取的潜伏期W6天的人数为］x300=180,潜伏期>6天的人数为yx300=120,

所以列联表为

潜伏期46天潜伏期>6天总计

50岁以上(含50)9555150

50岁以下8565150

总计180120300

E汨2300(95x65-55x85)25

可得之2=——\-------------------Z_=_B1.389<3.841，

150x150x180x12018

所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.

22

4.双曲线「:「-斗=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为片(-C,。)、巴(c,0)(c>0),过点片的直线/与「

ab

右支在X轴上方交于点A.

(1)若4=6，点A的坐标为(3,4),求c的值；

(2)若/月，月且。,6,c是等比数列，求证：直线/的斜率为定值；

(3)设直线/与「左支的交点为B,c=3,当且仅当。满足什么条件时，存在直线/,使得工I成立.

【答案】(1)5

(2)证明见解析

⑶ae(l,芈)

【分析】(1)将。值和点坐标代入双曲线方程求出6值，即可求得。值；

(2)设直线/：y=©x+c),与双曲线方程联立消元V,得关于x的方程，依题方程有解为c,代入整理方程

后，借助于可推得左即得证;

(3)利用双曲线定义化简|/刃=|/与|得至！］［5月|=2°"即"=4。，设48片g=6,利用余弦定理求出cos8

的值，结合图形和题意，确定其范围，即得关于。的不等式，解之即得.

22

【解析】(I)依题意，将0=店，X=3,y=4代入r：=一［=1中，

ab

解得〃=20,贝!Jc=>Ja2+b2=5；

依题意知，可设直线/：y"(x+c),代入「：巴一《=1中，

ab

整理得：3sxidk+dc1甘-02b2=Q(*),

如图，因/月上片入，故点A的横坐标为c恰是方程(*)的解，

则(b2-a2k2)c2-2a2c2k2-a2c2k2-a2b2=0,

整理得：b2c2-4a2c2k2-a2b2=0,即442c?左2=",

因。也c是等比数列，则/=的,代入此式，可得4/02左2=。2,2,即得左2=；,

因过点片的直线/与「右支在x轴上方交于点A,故得彳=；,即直线/的斜率为定值;

如图,因点A在双曲线右支上，则|/耳|一|/8|=2。,gpIAF2|=|AFX\-2a,

故由|/切=|4玛1可得期|=2a,

又因点B直线/与r左支的交点，故I瓦管-18与1=2a,则IBF2|=4a,

在454匕中，谡NBFE=0,由余弦定理，cos6=4I+4〃T6/=20八36=2」,

2x2cx2a2ac2a2

E、r八b<八aa3aa

因为tan6<一,l〉cos6>一=一,所以1>----->—,

ac32a23

所以l<a〈述，

5

故当且仅当。满足ae(l,半)时，存在直线/,使得|/切=|/鸟|成立.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题.

解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握，在处理相关的焦半径问题时，要有转化思想，结合

图形和定义，将其化简为常量或最值问题，即可解决.

5.设函数y=〃x)的定义域为开区间/,若存在％",使得>=/(x)在x=x。处的切线/与y=〃x)的图像

只有唯一的公共点，则称V=/(x)为“上函数”，切线/为一条“Z切线”.

⑴判断y=x-l是否是函数p=欣的一条建切线”，并说明理由；

⑵设g(x)=eJ6x,求证:y=g(x)存在无穷多条“切线”；

⑶设/(可=/+4+1(0<*<3,求证：对任意实数。和正数c,y=/(x)都是函数”

【答案】(1)是，理由见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)记/(X)=向，设切点为(国,In匹)，利用导数的几何意义求出多，再证明直线y=X_1与=hu

的图象只有唯一的公共点，将y=x-l与函数>=向联立，得hu-x+l=O,记〃(x)=lnx-x+l,利用导数

说明函数的单调性，即可得到方程的解.

(2)将点(%这(％))处的切线/的方程与V=g(x)联立得g(x)-g(X2)=g'(X2)(x-X2)，记

,

/z(x)=g(x)-g(x2)-g(x2)(x-x2),利用导数说明函数九(x)存在唯一零点芍，即可得证；

(3)类似第(2)问的思路得到(苫-%)2(工+2/+°)=0在(O,c)上有且仅有一解%,则％=-2%-。€(0,0)

或1e(O,c)再分。20、”0两种情况说明即可.

【解析】⑴记，(x)=lnx,则/(%)=：,设切点为(X1,lnxj,

由切线方程为P=xT知/(占)=1,则工=1,解得玉=1.

X1

所以切点为(1,0),下面证明直线尸％-1与/(力=底的图象只有唯一的公共点,

将歹二%一1与函数y=lnx联立，得lnx—x+l=0.

t己"(x)=lnx-x+l,贝!]，(x)=1一l,

当xe(0,1)时，(x)>0,当xw(l,+oo)时"(x)<0,

故〃(x)在(0,1)上单调递增,在(1，+8)上单调递减,“⑺1Mx=41)=0,

故函数"(x)=lnx-尤+1只有一个零点X=1,故y=xT是一条“工切线”；

(2)因为g(x)=e2*-6x,所以g<x)=2e"-6,

则点(无2，g(Z))处的切线/方程为了-8(X2)=8'卜)(才-工2)，

,

将点七,g(%))处的切线/的方程与>=g⑺联立得g(x)-g(x2)=g(x2)(x-x2),

记〃(x)=g(x)-g(尤zAg'H乂Xf),

则直线/为“切线函数“X)有且仅有一个零点马(此时，一个无2对应一条“切线”)，显然尤2是“X)的

零点，

故只要“X)没其它零点，此时〃3=8'3-8心2)=262=262*,

当刀<毛时，*⑺<0,当x>超时，/z,(x)>0,

则〃(X)在(-8,X?)上单调递减，在(%+8)上单调递增，

故此时尤2为〃(X)唯一的极小值点(也是最小值点)，而〃(%)=0,

故“X)无其他零点，故直线/为“Z切线”，因为无2的任意性，

故函数y=g(x)存在无穷多条“Z切线”，

(3)因为〃x)=d+—+l(xe(O,c)),则/''(x)=3x?+2ax,

设点0(%,%)在函数y=/(x)的图象上，

则点。的切线为/：y-/(%)=/'(x°)(x—x。)，与y=〃x)联立得：

f(x)-f(x0)=f(x0)(x-x0)

2

o+ax-x；-axl)=(3x；+2%)(x-x0)

2

<=>(x-x0)^x+xox++ax+ax0)=(3x：+2ar0)(x-x0)

o(x-x°乂无2+xox-2xg+ax-axg^=0(x-x0)~(x+2x0+a)=0(*),

由题意得直线/为“切线”，故方程(*)在(0©上有且仅有一解飞,

,\IXG(0,C)

贝I]%=-2%-°€(0,°)或｛n

I_2XQ—a电(0,c)

若a20,则/e(O,c)是方程(*)的唯一解(此时有无数条“工切线”，切点横坐标为(0,。)上的任意值).

若。<0,贝”3（此时只有一条切线”，切点的横坐标为-：）

a3

0<c<-—,、

或3（此时有无数条“Z切线”，切点横坐标为（O,c）上的任意值），

xo6（0,C）

综上，aeR,即证.

【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题.

O---------------B组•能力强化----------O

一、解答题

1.如图，已知平面NCA,ABIIDE,A/CD为等边三角形，AD=DE=2AB,点尸为CL1的中点.

BE

CFD

⑴求证：4?//平面2虚；

（2）求直线BF和平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵手

4

―.]—.——►

【分析】（1）设4。=OE=2AB=2a,建立空间直角坐标系/-斗，利用向量的坐标运算得出/尸=彳（BE+BC）,

结合线面平行判定定理即可得结论；

（2）确定平面NBC的一个法向量行，利用而和力的夹角求解即可.

【解析】（1）因为48,平面/C。，AB//DE,A/CD为等边三角形，

设AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的空间直角坐标系4-xyz,

8,——士

D

则A(0,0,0),C(2a,0,0),5(0,0,a),D(a.0),E(a,43a,2a)，

・"为CD的中点，，尸(|见暂°,0),

:.AF=(^a,-a,0)BE=(Q,y/3a,Q),BC=(2。，0,-tz)，

:.^F=^(BE+BC),4F,平面BCE,

/尸//平面BCE.

(2)又3=(0,1,0)是了轴上的单位向量，则其是平面/8C的一个法向量,

因为2斤=g°,1视a,-a),设5F和平面2CE1所成的角为。，

则sm*U二生型,

\BF\-\n2axi4

•••直线BF和平面ABC所成角的正弦值为也.

4

2.已知函数/(x)=sin(0x+0)(<y>0,0<夕<乃)的周期为万，图象的一个对称中心为pOl,将函数

7T

/(%)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后

得到函数g(x)的图象.

(1)求函数/(x)与g(x)的解析式;

(2)求证：存在毛€仁，£|，使得〃/),g(x0),/(xjg(x0)能按照某种顺序成等差数列.

【答案】(1)/(x)=cos2x；g(x)=sinx；(2)证明见解析

【分析】(1)由周期公式可得。，。>0,再由对称中心可得。值，可得/(x)解析式，由函数图象变换和诱

导公式化简可得；

(2)当生，三|时sinx>cos2x>sinx-cos2x，问题转化为方程2cos2尤=sinx+sinx-cos2x

[64)164j

是否有解，由函数零点的存在性定理可得.

【解析】解:(1),函数〃x)=sin(0x+9)的周期为万，。>0,

2乃

a>=——=2,

T

又曲线》=/("的一个对称中心为:0),夕€(0,"),

sin12x?+0J=0,可得"=］,.•./(%)=cos2x,

将函数〃x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得V=cosx的图象,

再将昨COSX的图象向右平移,个单位长度后得到函数g(x)=cos［xC图象，

由诱导公式化简可得g(X)=SinX；

(2)当时，—<sinx<,0<cos2x<—,

164j222

sinx>cos2x>sinx•cos2x,

问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx•cos2x在内是否有解.

设G(x)=sinx+sinx•cos2x-2cos2x,

=G［()=¥>0,且函数G(x)的图象连续不断,

•••函数G(x)在信内存在零点%,

即存在无。弋，3,使得/(*,g(x°),能按照某种顺序成等差数列.

【点睛】本题考查三角函数图象变换,第二个问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx-cos2x在内是否

有解是解决问题的关键，属中档题.

3.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行

检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：

频率

频率

乙型芯片

假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表)；

(2)已知甲型芯片指标在［80,100)为航天级芯片，乙型芯片指标在［60,70)为航天为航天级芯片.现分别采用

分层抽样的方式，从甲型芯片指标在［70,90)内取2件，乙型芯片指标在［50,70)内取4件，再从这6件中任

取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率.

【答案】（l）x=0.020,x=47.

（2）尸（E）=±

【分析】（1）由频率和为1求出x得值，根据平均数公式求出平均值.

（2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解.

【解析】（1）由题意得10x（0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+x）=l,解得x=0.020.

由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：

元=（25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010）x10=47.

（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在［70,80）和［80,90）的各1件，分别记为A和B,

来自甲型芯片指标在［50,60）和［60,70）分别为3件和1件，分别记为G，G，G和。，

从中任取2件，样本空间可记为八=｛（40，（4CJ,（4。2），（4G），（4。），（B，G），

（8。2），（8，G），（8,0,C，G）,（GC），（C”0,（G，G）,G，。），（。3，。）｝共15个，

记事件E：至少有一件为航天级芯片，则E=｛（48）,（4。），（及G）,（B,C2）,（B，G），

（5,D）,（C1；D）,（C2,Z>）,©,0｝共9个，

Q3

所以尸口）=石=不

4.如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线.若双曲线G与椭

圆是“共轴”曲线，且椭圆g：:+5=1（0<6<3）,强=竽（e］、e2分别为曲线G、Q的离心率）.己

知点”（1,0）,点尸为双曲线G上任意一点.

⑴求双曲线G的方程；

（2）延长线段尸河到点。，且=若点0在椭圆G上，试求点尸的坐标；

⑶若点P在双曲线Ci的右支上，点/、3分别为双曲线C］的左、右顶点，直线尸M交双曲线的左支于点R,

直线4P、族的斜率分别为七八kBR.是否存在实数X,使得的若存在，求出2的值；若不存在,

请说明理由.

丫2

【答案】⑴/-/=1

⑵（6,一⑹或（6,司或（3,0）

（3）当P、8重合时，AeR；当P、8不重合时，存在实数2=g，使得储.=；的R,理由见解析

【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案;

（2）设“西,%）,。（乙，%），由|PM=2|M0|,可得%=-3乂，代入C?方程与G方程联立，即

可求得点P的坐标；

（3）讨论当尸、3重合时，AeR；尸、8不重合时，设出直线P&的方程为x=）+1,与双曲线方程联立，

消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值.

22

【解析】（1）根据题意双曲线G：，｝=l（O<6<3）,

因为的2=尬至x包—=逑，解得6=1,

339

双曲线。的方程为572=1；

设尸（外筋），。（X2，%），

己知M（1,0）,又1PM=2Mo|,

所以X2=\^，%=一；乂，

丫2

又点尸为双曲线G上任意一点，则/弁=1,

X]=6fx,——3

联立，解得或।,

bi=±V3E=o

所以点P的坐标为（6,-码或（6,百）或（3,0）；

（3）当尸、2重合时，AeR；当尸、8不重合时，存在实数2=；,使得七,=；原欠，理由如下,

当P、5重合时，由题意左欧=0,则如=0,则4wR,

当尸、2不重合时，kBR^0,设直线户尺的方程为尤=7+1,尸（士,必）,尺（9,八）,

x=ty+l

由-2，得(d-9)/+20-8=0,

-----y=1

l9

因为双曲线的渐近线方程为y=±?

又直线尸时交双曲线的左支于点尺右支于点尸，所以左(-3,3),

由韦达定理得，%+%=74，%%=>之，

t—yt—y

所以3P3+39+4%,少3-2例为一2M

kBR%%%+4%Wi%+4%

/―3ty2—2

一2必一8一2必92-9)1

—8/.1「-16”4弘(“-9)1~2

--+4

r-91U2-9乙

所以存在实数2=g,使得3P=g凝Q

【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方

程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定

值.

5.函数y=〃x)的定义域为。，在。上仅有一个极值点天,方程〃司=0在。上仅有两解，分别为x「

%,且再</<%.若土产>%,则称函数y=/(x)在。上的极值点左偏移；若乜了</，则称函数

y=/(x)在。上的极值点右偏移.

⑴设/(同=--1,D=R,判断函数>=/(X)在。上的极值点是否左偏移或右偏移？

⑵设机>0且"ZW1,/(x)=x3-mx2-x+m,Z)=(0,+oo),求证：函数>=/(x)在。上的极值点右偏移；

(3)设aeR,/(x)=lnx-ax,。=(0,+(»),求证：当0<℃一1时，函数V=/(》)在。上的极值点左偏移.

【答案】(1)函数N=/(x)在。上的极值点不偏移

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)先求/(司=0的根及/(x)=x2_l的极值点，再根据题设定义，即可求解；

(2)先求〃x)=0的根，对〃x)求导，得到/'(x)=3/-2叮-1,通过计算得到五产］<0,再利用

二次函数的性质，即可求解；

(3)设〃司=0的两个零点为匹,尤2,根据条件得到0<%<6<%=!<工2,再构造函数

7???

g(x)=/(x)-/(—x)=lnx-ax-ln(—x)+«(—X),利用函数的单调性，得到了(一一再)>/(羽)，即可求

aaaa

解.

【解析】(1)由〃X)=Y-1=0,得到/=1,所以再=-1/2=1,

又/''(x)=2x,由/'(x)=2x=0,得至！］无=0,又当x<0时，/'(x)=2x<0,当x>0时，/'(x)=2x>0,

所以/(x)=x2-1只有一个极值点，且极值点为％=0,此时不=受产，

所以函数>=/(x)在。上的极值点不偏移.

(2)H^//(x)=x3-mx2-x+m=x2(x-m)-(x-m)=(x-m)(x-l)(x+1),加>0且加wl,D=(0,+oo),

由/(x)=。，得到玉=I,%=冽或石=加，x2=1，贝！J再+々=机+1>0,

又/'(%)=3%2-2加x—1,A=4加2+12>0,贝lJ/'(x)=3%2—2加工一1二0有两根，

_2m1

不妨设为％，%2，且%1<%2,又。+/2>。,。才2=—］<0，所以％

又xc(0/2)时，r(x)<0,xe&,+s)时，/'(x)>0,所以函数歹=/(x)在。上只有一个极值点x。，且

%0二,2，

又詈一24*一」一"刎一1)2<0，

所以故函数P=/(X)在。上的极值点右偏移.

(3)由题知，/'(%)=—a，令/(%)=--。=0,得到％=—,

xxa

当时，/,(x)>0,当xj±+co］时，/'(x)<0,所以■是〃x)=lnx-ax的极值点，

Va)\aJa

且/«在区间(o,J上单调递增，在区间■，+3上单调递减，

X/(^o)=/(—)=ln--l>0,X.0时，f(x)-00,x->+8时，f(x)-00,/(e)=Ine-tze=l-tze>0,

aa

则/(x)=0有两个零点，不妨设为再户2，且王<工2，所以0<芭<e<Xo=1<%2，/(演)=/。2)，

a

2222

令g(x)=/(x)-/(x)=\nx-ax-ln(x)+Q(x)(0<x<—),

aaaa

112a［x--］(2、

贝Ug'(x)=――4+^----a=———^>0在］£0,—恒成立，

x2(21Va)

——XX——X

aVJ

所以g(x)=/(x)--X)在区间(0,2］上单调递增，

a<a)

所以g（：）>g（xj，即0>/（再）一/。一网）=〃％）-/。一再），

2211

X

故/（--玉）>/（%2），又---1>X=-X>XQ=­F

aaQa92a

故2-再<%，得到工〈三三，即迎〈三逗，

aa22

所以当0<a<e一时，函数>=/（x）在。上的极值点左偏移.

【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有:

1.构造对称函数；

2.比值换元；

3.对数平均不等式.

0----------------C组•高分突破-----------*>

一、解答题

1.如图，在圆柱中，底面直径等于母线/。，点E在底面的圆周上，且尸是垂足.

（1）求证：AF1DB；

（2）若圆柱与三棱锥D-ABE的体积的比等于3万，求直线DE与平面ABD所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）arctan

【分析】（1）根据题意，证得E8_L平面得到尸，结合AF1DE,证得/P_L平面OE3,进而

证得/尸_LDB；

（2）过点E作证得昉■，平面4BD,得到/矶）H是与平面48。所成的角，设圆柱的底面

半径为A,求得M：%TBE=3兀，进而求得乙EOH的值.

【解析】（1）证明：根据圆柱性质，D4_L平面/8E,

因为E2u平面4BE,所以ZU_L班，

又因为是圆柱底面的直径，点E在圆周上，所以

因为N£cD4=/且AE,DAu平面DAE,所以£81平面DAE,

又因为4Fu平面所以尸，

因为加工座，S.EBHDE=E,且E8,DEu平面OE3,所以N尸，平面OE3,

又因为平面。EB,所以/F_LDB.

(2)解：过点£作£〃_1/5,b是垂足，连接ZW,

根据圆柱性质，平面48。_L平面ABE,且平面48Oc平面4BE=4B,

且£〃u平面4BE,所以E〃_L平面

因为。〃u平面N8。，所以。〃是瓦9在平面上的射影，

从而NEDH是DE与平面ABD所成的角，

设圆柱的底面半径为R，贝!|D4=/B=2R,

1DE>2

所以圆柱的体积为厂=成且

23,VD_ABE=-AD-SAABE=--EH,

由修：%>-ABE=3无，可得EH=R,可知H是圆柱底面的圆心，且AH=R,

S.DH=y/DA2+AH2=45R，

在直角△£/田中，可得tanNEDH=需=鼻,所以/瓦汨=arctang.

2.已知函数>=/(x),其中/(x)=sinx.

⑴求在xe[O,可上的解；

⑵己知8(》)=6/8/卜+鼻-〃耳〃》+兀)，若关于工的方程83-加=；在》€时有解，求实数加

的取值范围.

【答案】(1)，■或岩

~1/

(2)--4

【分析】(1)根据题意得方程，然后通过x的范围解方程即可；

(2)代入/(x),然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质

求值域即可.

【解析】(1)由已知了

又xe[O,兀],所以

所以x一；=|•或丫一:=等，

所以x=^•或x=岩，

即=g在xe[O,可上的解为行或等；

yT-JNIN

⑵由已知g"氐mxsm"斗sinxsm(…)3smxm+sm2x

A/3._l-cos2x.J兀11

——sin2xH-------------=sin2xH—,

22I6j2

[71ITT\T7T1

则g(x)-w=5在xe0,-时有解，即sin[2尤-=m在无e0,-时有解,

2

,_..„7LLLtI兀兀5兀

因为X£0,—,所以--,~―

_2J666

所以sin(2xqje--1

_2」

所以加e.

3.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份,

记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

赔偿次数01234

单数800100603010

假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司

赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

(i)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E[X]；

(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利

润的数学期望估计值与(i)中E[X]估计值的大小.

【答案】(£

(2)⑴0.122；(ii)答案见解析

【分析】(1)根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；

(2)(i)设？为赔付金额，则，可取0,0.8,162.4,3,用频率估计概率后可求，的分布列及数学期望，从而

可求题X]；

<ii)先算出下一期保费的变化情况，结合(1)的结果可求Ep],从而即可比较大小得解.

【解析】(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得：

zX_60+30+10_J_

('~800+100+60+30+10-10'

(2)(i)设，为赔付金额，则可取0,0.8,1.624,3,由题设中的统计数据可得：尸(？=0)=黑=,

60_3

尸（？=1.6）=

1000-50

尸(7=24)=盖1

高，尸=蒜

2W0

41331

故E（G=0X”.8x——+1.6x——+2.4x——+3x~=0.278

1050100100

故/X]=0.4-0.278=0.122（万元）.

（ii）由题设保费的变化为E[y]=0.4xgx0.96+0.4xgxl.2=0.4032,故E[X]<E[y].

2

=4（机eR）.

⑴若曲线C为双曲线，且渐近线方程为y=±1x,求曲线。的离心率;

(2)若曲线C为椭圆，且尸1,彳在曲线C上.过原点且斜率存在的直线4和直线4U与4不重合)与椭圆C

分别交于G,H两点和。，E两点，且点P满足到直线4和4的距离都等于2区，求直线4和4的斜率之积;

5一

(3)若机=-1,过点4(0,—1)的直线与直线>=-2交于点与椭圆交于8,点8关于原点的对称点为C,

直线NC交直线了=-2交于点N,求|九火|的最小值.

【答案】⑴述或2

3

⑵I

（3）4

【分析】（1）分焦点在x轴、歹轴两种情况讨论，分别求出离心率；

（4

（2）将点尸1，+代入方程，求出加的值，即可求出曲线方程，设直线4的方程为V=直线人的方程

为y=k?x（k产为不失一般性设P（%,%）,利用点到直线的距离公式得到*仅是一元二次方程

2

（5考-4）k-lOxoyok+5"-4=0的两实数根，利用韦达定理计算可得；

（3）首先得到椭圆方程，设出直线的方程，联立方程，求得点B,M的坐标，根据对称性得到点C的

坐标，从而得到直线NC的方程，令了=-2,求出点N的坐标，得到|"N|的表达式，再根据均值不等式进

行求解即可.

【解析】（1）因为曲线C：（3-2小卜2-4叼2=4（%eR）为双曲线，

若焦点在x轴，则「T-1,又渐近线方程为了=±也X,

—3

37-2mm

]_

则—年—=7>§P6m2+4m-9=0,解得加=2+或加=二~立乎（舍去），

4366

3-2m2

此时曲线C的离心率0=JZ半=半；

22

-尤TH

若焦点在了轴，则FL,又渐近线方程为了=±9尤，

m3-2机23

_J___

贝!]---弓—=—,6m2+4m-9=0,解得m='+（舍去）JlKm=——,

4366

3-2/

此时曲线C的离心率e='+（百）=2,

综上可得曲线C的离心率为毡或2.

3

/、（cY1

（2）依题意（3-2加2）xF一4机x=4,解得加=一1或冽=

丫2

当加=-1时曲线C：—+/=1,符合题意;

4

1_2--i

当加=—时曲线。：8+2一，符合题意；

2-

5

设直线4的方程为^=幻，直线，2的方程为歹=后2、（左。左2），为不失一般性设尸（%，%），

、.Ik.x-y\2V5

则根据点到直线的距离公式可得a。n

化简得（5%；-4）左;-10%丫0卜1+—4=0,

同理可得（5%o-4）%-10x0y0k2+5歹；—4=0,

所以左1，左2是一元二次方程（5*-左+5需-4=0的两实数根，A>0,

不妨设直线43的方程为了=辰-1化WO）,

y=kx-l

联立32，消去了并整理得(1+4-)%2一8履=0,

14,

8k8k214左2_i

=kx1