2025年中考数学二轮复习：第3章 正方形压轴题之弦图的构造 （含解析）

第2节弦图的构造

前言：在证明勾股定理的时候，我们认识了“外弦图"以此为起点，可作进••步的探究.

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弦图的构造

如图，有4AED^ABFA^ACGB^DHC.

稍作变形，若DE_LAF,贝！］可得：ADAE丝Z:\ABF.

一般地，在正方形ABCD中若MNLPQ,则必有MN=PQ.

思路1：分别将PQ、MN平移至AF、DE位置（作平行线）证明AF=DE即可.

思路2:过点P作PEXBC,过点N作NF_LAB交AB于点F,可证△PEQ0Z\NFM.

反之,若已知PQ=MN,但不一定存在PQXMN.

如下：EF=PQ=MN,但EF不与MN垂直.

由位置关系可推数量关系，

但由数量关系未必可推位置关系.

引例1：如图，已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC±.AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点

H为BF的中点，连接GH,则GH的长为.

解析：：AE=DF,/.ABAE^AADF,ZABE=ZDAF,

ZDAF+ZBAG=90°,Z.ZABE+ZBAG=90°,

/.ZAGB=90°.VDF=2,.\CF=3,

•••BF=y/CF2+BC2=后，

模型变式

(1)弦图与对称：对称点连线被对称轴垂直且平分.

沿MN折叠，则AA'=MN且AA'XMN.

(2)弦图与辅助圆：垂足H轨迹是个圆弧(定边对直角)

以AD中点M为圆心，MA为半径的圆弧，点A、O为圆弧两端点.

(3)弦图与四点共圆：C、D、H、F四点共圆.

连接DF,取DF中点N,以点N为圆心，DN为半径作圆，C、D、H、F四点共圆.

特别地，若E、F分别是AB、BC中点，连接CH则CH=CD.

证明：•.•/CHD=NCFD=NAED=/CDE,/.CH=CD.

⑷矩形中的弦图构造：

在矩形ABCD在E、F分别是AB、BC上的点,且AFLDE,则会=黑.

证明：由题意得：△ABF^ADAE,•••黄=笫

引例2:如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,若点E是边CD的中点，连接AE,过点B作BFLAE交AE于点

F,贝UBF的长为()

A3V10D3V10710N3A/5

A.---D.---C.u.

2555

解析：VAD=3,DE=1,/.AE=V10

可得：AADES^BFA,.•.也=空

BFBA

代入解得：手=。，

ZDr

解得：BF=^°,

.•.选B.

引例3:在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE.

【感知】如图L过点A作AFLBE交BC于点F.易证△ABF0Z\BCE.（不需要证明）

【探究】如图2,取BE的中点M,过点M作FG_LBE交BC于点F,交AD于点G

(1)求证：BE=FG.

⑵连结CM,若CM=1,则FG的长为.

【应用】如图3,取BE的中点M,连结CM.过点C作CGJ_BE交AD于点G,连结EG、MG.若CM=3,则

四边形GMCE的面积为.

解析:⑴过点A作AP〃GF厕四边形APFG是平行四边形，，AP=FG,又：GFJ_BE,；.AP，BE,由题意得△A

BP^ABCE,.\AP=BE,；.BE=FG.

(2)如图，若CM=1,贝!]BE=2CM=2,；.FG=BE=2.

(3)若CM=3,BE=6,：CG，BE,；.CG=6,考虑四边形GMCE对角线互相垂直，

11

.•・Sme=-ME-CG=-x3x6=9.

四边碗MCE22

故四边形GMCE是面积为9.

真题演练

1.如图，正方形纸片ABCD边长为12,E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，

并使折痕经过点B，得到折痕BF,点F在AD上，若DE=5,则GE的长为.

2.如图,E是矩形ABCD的边CB上的一点AFJ_DE于点F,AB=3,AD=2,CE=1,求DF的长度.

3.如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE,过B点作BHXAE,垂足为点H,延长BH交CD于点

F,连接AF.

(1)求证：AE=BF.

(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.

4.如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE12G于E,DF12G于F,连接DE.

(1)求证：△ABE=ADAF;

⑵若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长.

5.已知：如图,正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE1AP,DF14P,垂足分别是点E、F.

⑴求证：EF=AE-BE;

(2)连接BF,如果芸=整.求证：EF=EP.

6.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点G在边BC上，连接AG作DE14G于点E,BF_LAG于点F,连接BE、

DF,设乙EDF=a/EBF=0,联=k.

(1)求证：AE=BF;

(2)求证：tana=k-tang;

(3)若点G从点B沿BC边运动至点C停止,求点E、F所经过的路径与边AB围成的图形的面积.

7.如图1,在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点(点E与点A、B不重合),连接CE,过点B作BF

_LCE于点G,交AD于点F.

(1)求证：AABF^ABCE;

(2)如图2,当点E运动到AB中点时，连接DG,求证：DC=DG;

(3)如图3,在⑵的条件下，过点C作CMLDG于点H,分别交AD、BF于点M、N,求黑的值.

图3

8.如图.在正方形ABCD中，点G在边BC上(不与点B、C重合)，连结AG,作DELAG于点E,BF_LAG于点F,

、八BG,

设——=k.

BC

(1)求证：AE=BF.

(2)连结BE,DF,设NEDF=a,ZEBF-p.

求证：tana=k-tanp.

⑶设线段AG与对角线BD交于点H,AAHD和四边形CDHG的面积分别为Sx和S2,求苦勺最大值.

9.(1)证明推断：如图1,在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQLAE于点0,点G、F分别

在边CD、AB上，GF_LAE.

①求证：DQ=AE;

②推断：喘的值为________；

AE

⑵类比探究：如图⑵在矩形ABCD中，篇=楸为常数）.将矩形ABCD沿GF折叠.使点A落在BC边上的

点E处得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点0.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明

理由；

⑶拓展应用：在⑵的条件下，连接CP,当k=|时，若tanzCGP=\,GF=2所,求CP的长.

10.如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK,过点A,C作BK的垂线，垂足分别为M,N,

点O是正方形ABCD的中心，连接OM,ON.

(1)求证：AM=BN.

（2）请判定△OMN的形状，并说明理由.

（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=X,AOMN的面积为y,求y关于x的函数关系式（写出x

的范围）；若点K在射线AD上运动，目4OMN的面积为专,请直接写出AK长.

展

解析：易证△ADEgABAF,；.AF=DE=5,BF=13,

记AE与BF交点为H,SABF=^AB-XF=|x12X5=30,又SABF=|•BF-XH=|X13-=30,AH=

60.—120ztyc12049_i_£_14A[./、]49

—AG=一,・•.GE=13------=—.故GE的1长为一..

1313'131313

2.解析：ZCDE+ZADF=90°,ZDAF+ZADF=90°,.\ZCDE=ZDAF.XZC=ZAFD=90°,AAAFD^ADCE,

ZDCE=ZDDE,VDC=3,CE=1,/.DE=Vl2+32=VIU代入得：竽=岛,二。昨半.

3.解析：(1)易证：AABE^ABCF,.\AE=BF.

(2)CF=BE=2,DF=3,/.AF=V52+33=V34

4.解析:(1)证明略；

(2)设AE=x,则DF=x,

^ABED=^ABE+^ADE=21X21%7=

解得:%1=3,X2=一4(舍)，

；.AE=3,又AF=1,；.EF=2.

5.解析：(1)易证△DFAgZkAEB,，AF=BE,

,--EF=AE-AF,.,.EF=AE-BE.

(2)VADFA^AAEB,.*.AF=BE,BF=AFF=DFAD,

.♦.△BEFs^DFA,易证△BEPszXDFA,；.ZkBEFs/\BEP,又BE是公共边..♦.△BEFdBEP,；.EF=EP.

6解析：(1)易证△DEA04AFB,，AE=BF.

⑵啜=*警=小呼点

BFEFEF

•••k•tan£=—•—=—=tana,即tana=k-tanp.

(3)由题意可得E点轨迹是以AD中点为圆心、AD为直径的圆弧，F点轨迹是以AB中点为圆心、AB为直

径的圆弧，如图所示，与AB边围成的图形面积等于4AOB的面积(点O为对角线交点),--AB=4,SA0B=|x4

X2=4,即点E、F所经过的路径与边AB围成的图形的面积为4.

7解析：(1)VZABF+ZCBG=90°,NBCE+NCBG=90。,；.NABF=NBCE,

在小ABF和4BCE中,

ZABF=ZBCE

■AB=BC，

ZBAF=ZCBE

：.AABF^ABCE(ASA).

(2)•••/CDF=NCGF=90。，故C、D、F、G四点共圆，连接CF,取中点O,点O即为圆半径.

/DGF=/DCF,：点F是AD边中点,，ZFCD=ZFBA=ZBCE,ZDGF=ZBCE,

ZDGC=ZDCG,.\DG=DC.

(3)tanZDGC=tanZDCG=2,/.tanZGCN=［不妨设BC=小口,贝!］.BG=a,CG=2a,；.NG=a,CN=V5a,XCH=

4>/5nrTTVs曰X-I-,ncn.3CRa5"\/5n〃“rV5MH5

—u,NH=—a.勿证tanZ.DCM=CM=—CL,MN=—CL.—=—.

55444NH4

8解析：(1)易证AAED0ZkBFA,/.AE=BF.

FF(l-fc)ayinEF(1—Zc)a1—k.i

AE=BF=a-tanZBAG=ak,EF=a-ak=(1-k)a.tancr=—=1—k,tan/?=—=-------=——,..tana=kta

a尸BFakk

np.

(3)设正方形边长为单彳立1,贝！］BG=k,CG=l-k,易证△BHGs/XDHA,；.MH=BGAD=k,

连接DG,则=k又SAGD=力=?即S/HO=T~T'~=77?,£=2左+2,又^DGC=3,

->DHANH73形ABC,DZ1+KZZK+ZI+KZZK+ZZ

(1-k)•1=—,

ck,1-k一次2+/+1

•'•Do=------------1----------=

z2k+222k+2'

会=+k+1,当k=5时，取到最大值3

2>1z4

.♦.当k=9时，的最大值为;

Zo14

9.(1)①易证△DAQ^AABE,;.DQ=AE.

②易证四边形DGFQ是平行四边形，

.\FG=DQ,；.FG=AE,/.GFEE=1.

(2)如图，过点F作FM,CD交CD边于M点

I~।x—1-厂n,—aclFGFMBC,

勿证FMG=ABE,—=—=—=k.

AEABAB

⑶•••GF=2VT0,^|=l，-.AE=3V10.

^.^PG〃EF,CG〃BF,易证/CFP=/BFE,.^.tan/BFE=-

4

；.BF=4,AF=EF=5,BE=3过点P作PQ±BC交BC延长线于点Q,易证△FBEs^EQP,

噎噂