2025年新高考数学一轮复习：空间向量与立体几何（八大题型+方法归纳+模拟精练）（解析版）

空间向量与立体几何

（八大题型+方法归纳+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01空间向量的线性运算

♦题型02空间向量的数量积

♦题型03空间向量的基本定理

♦题型04空间向量的坐标表示

♦题型05利用空间向量判断位置关系

♦题型06利用空间向量求角度

♦题型07利用空间向量求距离

♦题型08空间向量与立体几何解答题

♦题型01空间向量的线性运算

1.（2024高三・全国•专题练习）如图，在空间四边形/8CD中，E,尸分别是3C,8的中点，则

-BC+-BD+FA=（）

22

A.BAB.看C.ABD.EF

【答案】A

【分析】借助向量线性运算法则计算即可得.

【解析】-BC+-BI5+FA=BE+EF+FA=BA.

22

故选：A.

2.（23-24高二下•江苏常州•期中）如图，在正三棱柱为G中,48=44=1,2为8G的中点,则

AC»BP=()

531

A.—B.1C.-D.—

422

【答案】A

【分析】以就，加，布为基底表示布，而后可求相•丽的值.

【解析】由正三棱柱ABC-48G可得AA,1AB,AAX1AC,NB4c=60。,

^AC=AC+AA,BP=BR+RP^BB.+-BC^AA+-AC--AB,

222

故莺.而=（就+2^）［麴+；%_3万）

1---»21----►——►----»2115

=-AC——ACAB+AA=------+1=-.

22।244

故选：A.

3.（23-24高二下•江苏宿迁•期中）下列命题正确的是（）

A.若4瓦C,。是空间任意四点，则有在+而+反?+方2

B.若表示向量扇B的有向线段所在的直线为异面直线，则向量扇B一定不共面

c.若7,B共线，则表示向量方与5的有向线段所在直线平行

D.对空间任意一点。与不共线的三点A、B、C,若厉=xE+y砺+z反（其中X、八zeR）,

则P、A、B、C四点共面

【答案】A

【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得

到结果.

【解析】由空间向量的加法运算可知善+函+就+方=6,故A正确；

空间中任意两个向量都共面，故B错误；

若扇B共线，则表示向量3与B的有向线段所在直线平行或重合，故C错误；

^OP=xOA+ydB+zOC,且x+y+z=l,则尸、A、B、C四点共面，故D错误；

故选:A

4.（23-24高一下•安徽合肥•期末）如图，三棱柱/8C-44。中，£尸分别为中点，过4瓦尸作三

棱柱的截面交用£于且耐=几两，则4的值为（）

4、,51-/7|IG

【答案】B

【分析】延长"Rcq交于点尸，连接尸E交耳G于/,连接PM,取eq的中点。，连接E。，得到四边

形AEMF所求裁面，再利用平行的相似比得到M为2cl上靠近4的三等分点即可.

【解析】

VB

如图，延长4F，CG交于点尸，连接移交与G于河，

连接月W,则四边形/瓦5所求截面.

取cq的中点。，连接E0.

•••Fq=^AC,FCAIIAC,

一G是A4PC的中位线，

・•.G为PC的中点.

又0，E分别为CG，54的中点，

.■.MCJ/EQ,则爵啕总即MG=|E0=，C，

为名G上靠近用的三等分点，故x=g.

故选：B.

♦题型02空间向量的数量积

5.（23-24高二下•湖北•期末）空间向量Z=（l,0,1）在5=（0,1,1）上的投影向量为（）

八（In1）n血[「陞11]nCV2

（2'52jI22J（212；122）

【答案】C

【分析】根据投影向量公式计算即可.

【解析】a-b=l,片=1+1=2,

由投影向量的定义和公式可知己在B的投影向量为粤5=1（o,i,i）=（o,1,J],

故选：c.

6.（23-24高二下•福建龙岩•期中）如图，在斜三棱柱A8C-4与G中，AC=BC=CCl=4,

ZBCQ=ZACQ=j,NACB=；,则直.（而+叫=（）

A.48B.32C.32+8&D.32-872

【答案】C

【分析】把函■变成％+而，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可.

【解析】C4-(CS+S)=(CC;+C3).(CB+C2)=CG-C3+CG-C3+C2-CB+C32

=4x4xcos—+4x4xcos—+4x4xcos—+42=8+8+8在+16=32+8^2.

334

故选：C

7.(23-24高二下•福建漳州•期末)正方体48CD-4，CQ|的棱长为1,是正方体外接球的直径，P为

正方体表面上的动点，则由.丽的取值范围是()

A.-?0B._°4_C.D.M]

【答案】A

【分析】利用向量数量积的运算律可知，PM-PN=PO~,进一步只需求出而,即可得解.

【解析】由题意等于正方体的体对角线长，设点。为的中点，

所以(W=ON=-MN=-Vl2+l2+l2=—，

222

贝|J西.丽=(而+而).(而+研

=P02+PO-(OM+ON^+OM-ON=P02+0-\?

当点P与某个侧面的中心重合时，丽,最小，且回］=@=；，

当点尸与正方体的顶点重合时，所2最大，且(而］=|1|+

\/max'Z)

,13

由于点尸是在正方体表面连续运动，所以丽之的取值范围是

两■•丽的取值范围是-g,0.

故选：A.

-------23

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心。，将用乙两转化为尸。一然后分析点P位置即可.

4

8.（2024•河南新乡•二模）已知圆锥的底面半径为百，高为1,其中O为底面圆心，48是底面圆的一

条直径，若点P在圆锥的侧面上运动，则万.丽的最小值为（）

.93

A.B.C.-2D.—1

42

【答案】A

【分析】由方.丽=@-西•（而-9）=丽2-（石）2,|由最小时，刀.而有最小值，求同的最小值

即可.

【解析】圆锥的底面半径为6，高为L其中。为底面圆心，48是底面圆的一条直径，

点尸在圆锥的侧面上运动，

贝!）尸”.尸3=（。/一0尸卜（06-0尸）=0TT03—（ft4+O3）-OP+OP=OA-（V3），

|西最小时，刀.丽有最小值，图的最小值为。点到圆锥母线的距离，

RtZkMO/中，0/=6，OM=\,则/M=2,。点到M4的距离空处£=@,

AM2

则|西的最小值为等,PA-PB的最小值为

故选：A

♦题型03空间向量的基本定理

9.（24-25高二上•上海•课后作业）如图，在四面体O4BC中，BM=-BC,MN=-NO,AP=^-AN,若

224

OQ=MB,且「。||平面/5C,则实数几=（

o

【答案】D

【分析】由条件可知，延长O尸与交于。，连接AD,则由题意可得PQIIAD,令历=〃而，

AD=mAM,则利用不同的方法将通用丽砺表示，可求出九〃，然后利用三角形相似可求得结果.

【解析】由条件可知，延长。尸与交于D,连接AD,

因为尸。11平面23C,

P0u平面05D,平面08。c平面48c=80,

所以P。WBD,

0

B

令历=〃而，AD=mAM,

则有AD=OD-OA^juOP-OA=\—〃一l\0A+—〃0B+—〃OC,

(4J44

AD=mAM=；加(/5+/0)=m(0B-0A+OC-OAj=-mOA+—

mOB+—mOC

2

根据向量基底表示法的唯一性，

U=1A-1L=2

得i:4解得；3

〔24产13

PQIIBD,

OBOD4

4

故选：D.

10.（22-23高二上,江西南昌,期末）已知点。在。3C确定的平面内，O是平面N8C外任意一点，实数xj

满足丽=xE+2y砺一3瓦，则£+/的最小值为（）

42-75

A.-B.—C.1D.2

55

【答案】A

【分析】借助空间向量的线性运算与基本定理可得x+2y=2,结合消元法与二次函数的性质计算即可得.

【角军析】^DO=xdA+2ydB-3OC,

^\^OD=-xOA-2yOB+3OC,又点。在“8C确定的平面内，O是平面48c外任意一点，

所以-x-2y+3=l,,gpx=2-2y,

贝If+y2=（2-2好+y2=5y2-8j+4=

故选：A.

11.（23-24高二下•江苏淮安•阶段练习）以等腰直角三角形斜边3c上高/。为折痕，把和ANCZ）折

成120。的二面角.若/5=2,DP=xDA+yDB+（\-x-y）DC,则|丽|最小值为（）

△^2RV6门底

A.D.L.-----------U.

2356

【答案】C

【分析】根据二面角的平面角的定义得NADC是44切和A/CD折成120。的二面角的平面角，解三角形求

得4B=AC=2,AD=BD=CD=e,BC=R,由已知得点尸在平面4BC内，则毋|的最小值为点。到

平面N5C的距离，设点。到平面N8C的距离为/?,运用等体积法可求得答案.

【解析】由已知得3。,/。LCD,

所以ZBDC是△48。和“CD折成120°的二面角的平面角，所以ZBDC=120°,

又4B=2,所以4B=AC=2,AD=BD=CD=y/i,

BC2=AD2+CD2-2.-AD-CDcosl2Q0=3,所以BC=«,

因为D尸=xEM+yD5+(l—x—y)Z>C,其中£R,

所以点P在平面ABC内，则\D?\的最小值为点D到平面ABC的距离,

设点D到平面ABC的距离为h,

因为/。_18。,/。_18,BDcCD=D,3D,CDu平面BCD,

所以4D_L平面BCD,所以4。是点A到平面8OC的距离,

所以^A-BDC=LADxSABDC==xCx—xV2xV2xsinNBDC=—,

3A326

又“BC中，AB=AC=2,BC=2退,所以cos/&4c=/台-3c=)

2-AB-AC4

而NA4C为三角形内角，所以sin/"C=姮，

4

贝！ISAB-AC-sinZBAC^-x2x2x—=—,

we2242

所以%TBC=；乂屐5皿=gxk又考~=，,解得〃=

33265

所以同的最小值为粤，

故选：c.

【点睛】关键点点睛：空间向量中的线段长度的最值问题，可根据向量代数式的几何意义转化为点面距的

问题来处理.

♦题型04空间向量的坐标表示

12.(2023•河南•模拟预测)已知空间向量£=(1,2,0)1=(0,-1,1)1=(2,3,加)，若共面，则实数加=

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据空间向量共面定理可知存在一对有序实数(x，y),使"=6+远，然后列方程组可求得答案.

【解析】因为Z=(l,2,o),j=(o,-l,l)不共线,共面，

所以存在一对有序实数(x,y),使Z=Q+

所以(2,3,m)=x(l,2,0)+j?(0,-l,l)=(x,2x-y,y),

x=2x=2

所以＜2x-y=3,解得4y=1

y=mm=1

故选：A

13.（23-24高二下•福建莆田•期末）在三棱锥尸-42。中，PA,PB,尸。两两垂直，且P4=PB=PC=2.

若M为该三棱锥外接球上的一点，则标.砒的最大值为（）

A.2B.4C.2+2百D.4+26

【答案】C

【分析】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入

坐标运算，即可求解.

【解析】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的

尸(0,0,0),4(2,0,0),5(0,2,0),C(0,0,2),0(1,1,1),

设三棱锥外接球的半径为&,27?=V22+22+22=2-73-则尺=百，

MB-MC={MO+OBy{MO+OcY

=MO2+[OB+OCyMO+OB-OC,

流2=炉=3,03=(-1,1-1),OC=H-1,1),

OS+OC=(-2,0,0),OSOC=1-1-1=-1,

+(^y^=^OB+OC^Md\cosOB+OC,MO=243cosOB+OC,MO,

所以赤•标=3+2月cos砺+元;荻一1=2+2#cos砺+诙,荻，

当cos砺+云,汨=1时，话.标取得最大值2+2月.

故选:c

【点睛】关键点点睛：本题的关键是三棱锥与外接球组合体的几何关系，以正方体为桥梁，建立空间直角

坐标系，转化为数量积问题.

14.(23-24高二下•福建•期中)在棱长为2的正方体NBC。-/4G。中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满

足方•西=-1的点尸的个数为()

A.8B.12C.18D.24

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，则点4(2,0,0),Q(0,2,2),考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为

(x,y,2),则由题意可得0W尤W2,0<y<2,if=%2-2x+/-2y=(x-1)2+(y-l)2-2=-1,即

可得出结论.

【解析】如图所示：以点。为原点，以。N所在的直线为x轴，以。C所在的直线为y轴，

以。A所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.

则点/(2,0,0),G(0,2,2),考虑尸在上底面的棱上，设点尸的坐标为(X/,2),

贝U由题意可得0WxW2,0<y<2,

所以方=(2-x,-y,-2),西=(一阳20),

=x2-2x+y2-2y=(x-l)2+(j-l)2-2=-l,§P(x-1)2+(y-l)2=1,

因为点P是棱上一点(含顶点)，所以(x-lf+Cy-以=1与正方形48。四切于4个点,

即上底面每条棱的中点即为所求点P;

同理尸在右侧面的棱上，也有4个点，设点尸(x,2,y),

2

PA-PCX=(2—x,—2,—x,0,2—y)=x~-2x+y—2y=-1,

即(》-1)2+(了-1)2=1与正方形83。。切于4个点，

即右侧面每条棱的中点即为所求点p;

同理可得：正方体每条棱的中点都满足题意，故点尸的个数有12个.

故选：C

♦题型05利用空间向量判断位置关系

15.(23-24高二下・甘肃・期中)已知平面a外的直线/的方向向量为S=(1,0,2),平面a的一个法向量为

3=(6,1,-3),则()

A./与a斜交B./laC.IllaD.vIIn

【答案】C

【分析】根据题意，求得U=0,得到即可得到答案.

【解析】由平面1外的直线/的方向向量为S=(l,0,2),平面a的一个法向量为工=(6,1,-3),

可得浦=(1,0,2>(6,l,-3)=l>6+0xl+2x(-3)=0,所以51K则〃/a.

故选：C.

16.(23-24高三下糊南衡阳•阶段练习)空间四边形/BCD中耳厂,G,〃分别为“民4。,。,酸的点(不含

端点).四边形EFG”为平面四边形且其法向量为二下列论述错误项为()

A.而.力=0，则AD〃平面EFG

B.EF=HG，则4C//平面E尸G

C.EFHG=Q,EF//1JG，则四边形E/G77为矩形.

D.BDAC=Q,EF=HG,则四边形E尸GH为矩形.

【答案】C

【分析】根据法向量的定义即可求解A,根据向量相等可得平行四边形，进而可得线线平行，进而根据线线

平行得线面平行，即可由线面平行的性质求解BCD.

【解析】由于〃是平面的法向量，J!LBD-H=0，8。不在平面EFG内，则8。〃平面ENG,A正确,

对于B,由于而=诟，则四边形EFG”为平行四边形，故E〃〃尸G,FGu平面平面/C。，

所以硒//平面/CD,£77u平面4CB,且平面/CD。平面/C3=/C,故E77///C,

则可r<=平面①平面E尸G,则NC〃平面斯G,故B正确，

对于C,由于方=百4,则四边形跖GH为平行四边形，丽.宙=OnEF_L//G,显然矛盾，故C错误,

对于D,由于丽=比，由选项B可得EH//NC,由于四边形EFGW为平行四边形，

故EF//77G,E尸u平面4a0,G〃cz平面4口，

所以GH//平面双D,G"u平面BCD,且平面曲)。平面BCD=8Z),故G////BD,由于

JD-AC=O=>BDYAC,

因此EH，HG,故四边形EFGH为矩形,

故选：C

17.(23-24高二下,江苏扬州•阶段练习)正方体/BCD-44GA的棱长为1，动点M在线段CG上，动点尸

在平面481G2上，且/尸1平面八四2,线段8尸长度的取值范围是()

A.[1,^]B.惨6C.丰，亚D.[1,司

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，设点尸，可的坐标，由线面垂直转化成向量垂直，列方程组，表示出

BP=(t,-t,l),利用模长公式计算即可.

【解析】结合题意：以。分别为X//建立空间直角坐标系，如图所示：

由正方体43。-44G2的棱长为1,可得4(1,0,0),8(1,1,0),9(0,0,1).

设尸(0也1),凶(0,1,。,(04/41),

则后=(“-1,6,1),西=(-1,-1,1),砌=(0,-1,1一/),

因为AP工平面所以

AP'BD[=\-a-b+\=0\a=t+l

即______L,解得人,,

AP-MDi=-b+l-t=Q[6=17

所以万=(//_/,1),所以丽=加+方=(O,_l,O)+a，l_/,l)=U，T,l),

所以网=^2+(-z)2+l=也以+1,

因为0W区1,结合复合函数单调性可得|丽卜3产+1在/e[0,1]单调递增.

故网=也》+141,6]

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用力尸上平面〃》已，找至IJ万=（/4-/,1）,从而得到所.

18.（2024•宁夏吴忠・模拟预测）在正方体44GA中，点尸为线段台"上的动点，直线加为平面4。尸

与平面gC尸的交线，现有如下说法

①不存在点尸，使得台耳//平面&DP

②存在点P,使得可尸，平面4。尸

③当点P不是BD、的中点时，都有加//平面A}B}CD

④当点?不是的中点时，都有7"，平面/助】

其中正确的说法有（）

C.②③D.①④

【答案】B

【分析】

对于①，由当点P与点。重合时，结合线面平行的判定定理即可判断；对于②，若男尸，平面则

B'PLBC,建系利用向量运算率•尽WO即可判断；对于③④，由线面平行，线面垂直的相关知识判断

即可.

【解析】对于①，由当点尸与点。重合时，由

而。Au平面46，331cz平面/QP,得34//平面尸，故①错误;

对于②，若存在点P，使得司尸，平面4。尸，则

又4。//与C,可得男尸，AC,

以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1,即=2瓯，OWXW1,

则5(1,1,0),c(o,i,o),q(1,1,1),A(0,0,1),

则布=(0,0,-1),西=(一1,一1,1),

:.即=印+丽=耶+4班麻=(-

所以4P3C=/Ul-X=lwO,这与用尸，8c矛盾，故②错误;

对于③，当尸不是82的中点时，

由且B[Cu面片CP,4。（2面3]CP,可知4。//面3c尸，

又直线加为面4Po与面印7的交线，贝U4。//"?,

又/Qu面481cD,mu面4及。1）,从而可得加//面4耳。，故③正确;

对于④，由③可知4。//机，又481平面40。4，40u平面40。14，

所以AB14。，又AB^ADt=A,u平面A8Z）|,

所以4。，平面所以机，平面/8功，故④正确.

综上，③④正确.

故选：B.

♦题型06利用空间向量求角度

TT

19.（23-24IWJ二下,福建厦门•期末）在四面体45cZ）中，BC1.BD,Z.ABC-Z.ABD——,BA=BD=2,

3

BC=3,则4Q与8C所成角的余弦值为（）

ALD^3rV3口小

r\.D.L.U•

2323

【答案】A

【分析】利用向量的夹角公式和数量积的运算律，即可求解异面直线夹角.

【解析】由题知，DA=^-BD，令6为正与南所成夹角，

53.gc^BA-BD\BC

则cos<9=

同.陶-|丽一叫.明

BABC-BDBC

网网cos；

阿明cos-\BD\.\BC\

2网同cosg

B

故选：A

20.（2024•陕西•模拟预测）在平行六面体N5CD-44GA中，已知=441=1,

ZA^AB=ZAtAD=ABAD=60°,则下列选项中错误的一项是（）

A.直线4c与2。所成的角为90。

B.线段4c的长度为亚

C.直线4c与3月所成的角为90。

D.直线4c与平面N8CD所成角的正弦值为"

3

【答案】D

【分析】在平行六面体Z5C。-4qG2中，^AB=ajD=bJAx=c,利用空间向量的线性运算及数量积

运算，逐一分析选项，即可得出答案.

【解析】在平行六面体Z5C。-中，令六=],AD=b,AA1=c,

由4B=4D=/4=1,AAXAB=ZA,AD=ABAD=60°,

得|叫=历|二|3|=1,a-b=b-c=a-c=-^,

对于A,显然4。=5+石-^,^D=-a+b，

贝ij汞•丽=（3+3—己＞（-2+3）=-必+庐+小？-几日=0,即"，丽，

因此直线4c与5。所成的角为90。，A正确；

对于B,\A^C^=（a+b-c）2=a2+b2+c2-2b-c=2,即|而|=0,B正确；

2

对于C,AlC-BBl=（a+b-c）-c=a-c+b-c-c=0,即就_L函，

因此直线4c与32所成的角为90。，C正确；

对于D,在平行六面体/BCD-/4G。中，四边形45CD是菱形，即/C/5D,

又4c18。，A{CnAC=C,4C/Cu平面4。，于是AD2平面4。，

又8Du平面48CD,则平面4c平面48CD,

连接/C交AD于点。，在平面4。内过点4作4EL/C于点E,如图,

由平面4c4rl平面4BCD=/C,因此/1E_L平面48c。，即直线4c与平面N3CZ）所成角为Z4c4,

AC=a+b，贝"％『=B+B|2=12+庐+21^=3,即|/C|=K,

由441//B4及选项C知,ZAA1C=90°,则sin/4c4=-j=D错误.

3

故选：D

21.（23-24高二下•江苏徐州•期中）如图，四边形ABCD,AB=BD=DA=4,BC=CD=2梃,现将沿

7T7F

AD折起，当二面角4-5O-C的大小在匕,；］时，直线4B和8所成角为a，贝Ucosa的最大值为（）

63

A

A2V2-V6DV2r2V2+V6

168168

【答案】B

【分析】取8。中点。，连结/。，CO,以。为原点，OC为x轴，为〉轴，过点O作平面BCD的垂

线为二轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线N3与CD所成角的余弦值的最大值.

【解析】取ao中点。，连接NO,CO,AB=BD=DA=4,BC=CD=26,

则CO_LBr>,/O_LB。，且CO=2,26，于是//OC是二面角工一AD-C的平面角，

显然2。1平面NOC,在平面/OC内过点。作OzLOC,则ADLOz,

直线OC,aD,Oz两两垂直，以。为原点，直线。COROz分别为无,y,z轴建立空间直角坐标系，

2(0,-2,0)<(2,0,0),。(0,2,0),设二面角/一2。一C的大小为巴丘邑勺，

o3

因此4(2行cos40,2VJsin。)，BA=(273cos0.2,273sin6>),CD=(-2,2,0),

\BA-C5||4-4V3cos4|1-V3cos0\

于是cosa=卜0$.84。。♦卜

画面4x2722y/2

显然COS。G,贝U当C0s8=X^时，(cosa)max=-^-，

2228

【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点A的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键.

♦题型07利用空间向量求距离

22.（23-24高一下•黑龙江齐齐哈尔•期末）平行六面体-44GA中，

44=4D=4B=1,"AD=ZA.AB=/BAD=60°,点M为的中点，则点。到直线MC的距离为

【分析】选取赤，焉，麴作为空间一组基底，用基底表示两，两，求出模，运用公式可以求解.

【解析】如图所示，根据题意，选取而，您作为空间一组基底.

—*—”—*—*1--------*—►I———•

COS

则AD.ZB=|AD|.|/B|Z8/D=5，同理=AAl-AD=~.

^=DDl+I^i=AAl+^DB=AAl+^(AB-AD)=^AB+AAl-^AD,

CM=CD+75Di+D[M=-AB+AAl+^AB-^AD=--AB+AA}-^AD,

DM-CM；万+可一;Zoj-I-|ZB+14-|AD

一:方+京2+：方-可•茄=—+i+：T=1；

-----I1---•----►1------)11--->2---->21---»2---•----1-------,----,--------►

AD=AB+AA]+ADABAA

\CM\^M--AB+AAX~~)\'l~^~-\+-AB-AD-AA.AD

_/I1+1111_V3.

V442422

----I1--------->-----1---，,।1---k2----*21----*1---»----1-------•---•----,---►

\DM\=M-AB+AA,-^AD)=^AB+AA'+4AD+AB'AA\~^_AB-AD-AA\'AD

J+1+—殳

442422

1

则、中J，

2

点D到直线MC的距离d=7|0A7|2-I

故答案为：个

23.（23-24高二下•安徽，期末）在棱长为2的正方体-44GA中，E,尸分别为正方形/3C。和正方

形CDAG的中心，则点A到平面&环的距离为.

【答案】①/三用

1111

【分析】建系，写出相关点的坐标，分别求出石与平面4M的法向量］的坐标，代入点到平面距离的向

量计算公式计算即得.

【解析】

如图，以点。为坐标原点，分别以所在直线为x/，z轴建立空间直角坐标系.

则/（2,0,0）,4（2,0,2）,矶1,1,0）*（0,1,1）,

于是，刀;=（o,o,2）,4E=（TL-2）"=（-2，LT）

n•AXE=-x+y-2z=0

设平面AXEF的法向量为〃=（xj,z）

n•AXF=-2x+y-z=0

_\n-AA,o'JT

故可取n=（1,3,1）,则点A到平面AXEF的距离为"=L_J===业.

\n\VTT11

故答案为：巫.

11

24.（23-24高二下•江苏淮安•阶段练习）将边长为2的正方形45CZ）沿对角线4C折叠使得A4C。垂直于底

面N3C,则异面直线/。与3C的距离为.

【答案】巫/沁

33

【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离.

【解析】取/C的中点。，连结。瓦。。，ODLAC,OBVAC

由条件可知，平面/CZ)_L平面48C,且平面4C£>n平面N3C=/C,ODu平面4CZ),

如图，以点。为原点，砺，反，而为X/，二轴的正方向，建立空间直角坐标系,

/（0,-后,0）,5（V2,0,0）,C（0,V2,0）,D（0,0,V2）,

AD=（0,V2,V2）,SC=（-V2,V2,0）,BD=（-42,0,^,

设与瓦，能垂直的向量为为=(x,%z),则

AD-n=Cy+V2z=0

令x=l,则》=l,z=-1,所以为=（1,1,-1）,

BC-n=-y[lx+y[2y=0

则异面直线AD与BC的距离为空"-V2-V2I276

3

故答案为：巫

3

25.(24-25高二上•上海•单元测试)如图，在直三棱柱48C-/4C］中，ZABC=90°,BC=2,CC1=4,

点。为CG的中点，则片。与平面4BD的位置是.

【答案】垂直

【分析】建立空间直角坐标系，证明及0,82耳。，R4,即可得与。与平面48。的位置关系.

【解析】如图所示，分别以348C,34所在直线为X,乃Z轴建立如图空间直角坐标系,

且8C=2,CG=4.

^AB=a,则耳（0,0,4）,3（0,0,0）,”（a,0,0）,D（0,2,2）,

所以丽=（0,2,-2）,丽=（0,2,2）,诙=（a,0,0）,

因为B^DBD=Q^DBA=0,

所以可万_L而，百万_L茄，

因为2。门氏4=尻2。＜=平面46。，历lu平面480,

所以稣0_1_平面480.

故答案为：垂直.

26.（19-20高二•全国•课后作业）正方体ABCD-4B[GQ的棱长为4,M,N,E,F分别为4Q,AMC。,

&G的中点，则平面4MN与平面EFB。的距离为.

【答案】g

【分析】建立空间直角坐标系，计算平面A/WN的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点面

距，最后计算即可.

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz,

0,0),8(4,4,0),E(0,2,4),

F(2,4,4),N(4,2,4).

-'-EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),~BF=(-2,0,4),

■■■EF=MN,BF=AM，

.­.EF\\MN,BF\\AM,EFcBF=F,MNcAM=M.

平面A/WNII平面EFBD.

设？j=（x，%z）是平面A/WN的一个法向量,

方竺=2x+2尸。，解得x=2z,

则

nAM=-2x+4z=0,y=-2z.

取z=l,则x=2,y=-2,得］=(2,-2,1).

平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.

•••A8=（0,4,0）,平面AMN与平面EFBD间的距离引=-.

I«l3

O

故答案为：—

【点睛】本题考查面面距，使用数形结合，形象直观，并采用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算,

属基础题.

♦题型08空间向量与立体几何解答题

27.（24-25高三上•湖南•开学考试）如图，在直三棱柱NBC-48cl中，。是侧棱CQ的中点，

/ACB=120。,AA[=百AC=生。.

⑴证明：平面/片G，平面4如；

⑵求锐二面角B-AXD-B、的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵交.

4

【分析】（1）利用三棱柱性质以及边长关系可得“344为正方形，所以/片，48；再利用勾股定理以及面

面垂直的判定定理即可证明出结论；

（2）以C为原点建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量为方=卜3,-石,2）,易知平面43。的

一个法向量为函=（道,-3,2V3）,可得锐二面角B-A.D-4的余弦值.

【解析】（1）设/与c48=M,因为N/C3=120°,44=6/。=石3。，

由余弦定理可得4炉=4。2+2。2-2/。3（入05120°=3/。2,即4g=#/c；

可得四边形为正方形，所以/片，&B,

且又。是侧棱CG的中点，连接。

因为qD=J^C；+,AD=JAC?+CD?,又AC=CB=C[B[,CD=C[D,则/。=片。,

因为M为4B1的中点，所以

由DW，43u平面49，且。A/n43=M,可得/4，平面4台。，

又因为481u平面,

可得平面/片平面450.

（2）由直棱柱的性质与己知，得CG，G4,CCJCB,

以c为原点，以垂直于平面/cq的直线，C4CG所在直线分别为x/，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设NC=3C=2,可得/4=2石，且。是CG中点,

则/(O,2,O),D(O,O,道),4(0,2,2退),用(退,-1,26).

可得福=（括，-3,26）,西=（0,2,若），函=（括，-1,6）,

n-DA=2y+布z=0,

设平面44。的法向量为为=（x,%z）,}

n-DBl=C尤-y+y/3z=0,

令了=一百，贝!Jx=—3,z=2,可得万=卜3,一6,2卜

由⑴可知平面4瓦＞的一个法向量为加=丽=（△，-3,26卜

71rli3__m-n-3x73+(-^)x(-3)+2x2730

口」付cosm,n=....=----------------------7=-----------------=——，

应司4x2764

所以锐二面角B-AXD-Bx的余弦值为也.

4

28.(23-24高二下•上海•期末)如图，在四棱锥尸-48。中，底面48co为正方形，尸口，底面48CD,M

为线段尸C的中点，PD=AD=\,N为线段8c上的动点.

(1)证明：MD1PN；

(2)当N为线段2C的中点时，求点A到面的距离.

【答案】⑴证明见解析

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证出8C1平面尸。。和平面尸BC,进而可得尸N；

(2)以。为原点，D4DGOP分别为x/，z轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利

用空间向量法求出点到平面的距离.

【解析】(1);FD_L平面48cD,BCu平面48CD,

BC±PD,

又BC^LDC,PDcDC=D,PD,DCu平面PDC,

:.BCL^^PDC,又A®u平面PDC,

MDLBC,

RMPDC中，尸。_1"7,尸。=。。,〃为尸。的中点，MDYPC,

PCcBC=C,PC,BCu平面尸2c,A/D_L平面PBC,

•••PNu平面尸BC,:.MDLPN.

(2)以。为原点，D4,OC,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-孙z,

则D(O,0,0),/(i,o,o),小；£|,

所以方=(1,0,0),=P2V=Q,l,ol

设方=(x,y,z)为平面MND的法向量,

zt

D：4

n-DM=—y+—z