2025年新高考数学一轮复习：幂、指数、对数函数（七大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳）解析版

塞、指数、对数函数

(七大题型+模拟精练+核心素养分析+方法归纳)

01题型归纳

目录：

♦题型01幕函数的相关概念及图像

♦题型02幕函数的性质及应用

♦题型03指数、对数式的运算

♦题型04指数、对数函数的图像对比分析

♦题型05比较函数值或参数值的大小

♦题型06指数、对数(函数)的实际应用

♦题型07指数、对数函数的图像与性质综合及应用

♦题型01幕函数的相关概念及图像

1.(2024高三•全国•专题练习)若哥函数了=/(力的图象经过点倒,后)，则〃16)=()

A.6B.2C.4D.y

【答案】C

【分析】利用已知条件求得哥函数解析式，然后代入求解即可.

【解析】设累函数y=/(x)=x",因为/(x)的图象经过点(2,夜)，所以2。=也，解得

]_

所以/(x)=/'所以/(16)=16万=4・

故选：C

2.（2024高三•全国•专题练习）结合图中的五个函数图象回答问题:

（1）哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？

（2）写出每个函数的定义域、值域；

⑶写出每个函数的单调区间；

⑷从图中你发现了什么？

【答案】（1）答案见解析；

（2）答案见解析；

⑶答案见解析；

⑷答案见解析.

【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.

【解析】（1）数形结合可知，了=，的图象关于了轴对称，故其为偶函数;

21

>=X/==—的图象关于原点对称，故都为奇函数.

（2）数形结合可知：了=石的定义域是［0,+8）,值域为［0,+8）；

>=%卜=*3的定义域都是火，值域也是尺；

V=」的定义域为（-*0）口（。,+8），值域也为（-*0）口（0,+8）;

y=x2的定义域为R,值域为［0,+8）.

（3）数形结合可知：y=4的单调增区间是：［0,+8）,无单调减区间；

>=x/=x3的单调增区间是：R,无单调减区间；

了=」的单调减区间是：（-8,0）和（0,+8）,无单调增区间；

X

y=x2的单调减区间是（-8,0）,单调增区间是（0,+8）.

（4）数形结合可知：

事函数均恒过（1,1）点；幕函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.

对哥函数了=/，当a>0,其一定在（0,+8）是单调增函数；当a<0,在（0,+⑹是单调减函数.

3.（2022高一上,全国•专题练习）如图所示是函数v一尤：（加、〃eN*且互质）的图象，贝I（）

y—

C.机是偶数，〃是奇数，且丝>1D.m,〃是偶数，且竺>1

nn

【答案】B

【分析】

根据图象得到函数的奇偶性及（0,+e）上单调递增，结合加、〃eN*且互质，从而得到答案.

【解析】由图象可看出y=为偶函数，且在（°，+00）上单调递增，

故生e（0,1）且加为偶数，又加、“eN*且互质，故〃是奇数.

n

故选：B

♦题型02幕函数的性质及应用

4.（2023高三上•江苏徐州•学业考试）已知幕函数/（》）=（加②+2加-2）/在（0,+8）上单调递减，则实数加

的值为（）

A.-3B.-1C.3D.1

【答案】A

【分析】根据暴函数的定义，求得机=-3或加=1,结合幕函数的单调性，即可求解.

【解析】由函数/（x）=（加2+2加-2卜加为幕函数，可得小+2加一2=1,

即加之+2冽一3=0,解得m=一3或机=1,

当他=-3时，函数/（力=尸在（0,+s）上单调递减，符合题意；

当〃?=1时，函数/卜）=》在（0,+8）上单调递增，不符合题意.

故选：A.

5.（23-24高三上•安徽•阶段练习）已知幕函数/（x）=（疗-5加+5卜修是R上的偶函数，且函数

g（x）=〃x）-（2a-6）x在区间[1,3]上单调递增，则实数。的取值范围是（）

A.（一叫4）B.（一双4]

C.[6,+oo）D.（-00,4]U[6,+oo）

【答案】B

【分析】根据幕函数的定义与奇偶性求出加的值，可得出函数/（x）的解析式，再利用二次函数的单调性可

得出关于实数”的不等式，即可解得实数〃的取值范围.

【解析】因为暴函数/'（月=（/-5俏+5卜”一2是R上的偶函数，

则次2-5加+5=1,解得加=1或根=4,

当洸=1时，f（x）=xl,该函数是定义域为｛x|x*0｝的奇函数，不合乎题意；

当机=4时，f（x）=x2,该函数是定义域为R的偶函数，合乎题意.

所以，f（x）=x2,贝！|g（x）=x2-（24-6）x,其对称轴方程为x=a-3,

因为g（x）在区间[1,3]上单调递增，贝ija-341,解得aW4.

故选：B.

6.（23-24高三上•上海静安•阶段练习）已知”1-1,2,；,3，1，若/（力=x"为奇函数，且在（0,+“）上单调

递增，则实数a的取值个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】a=-l时，不满足单调性，“=2或时，不满足奇偶性，当。=3或时，满足要求，得到

答案.

【解析】当。=-1时，〃x)=xT在9+8)上单调递减，不合要求，

当a=2时,/(-x)=(-x)2=x2=/(x),故/(x)=/为偶函数,不合要求，

当a=5时，=的定义域为(。，+8),不是奇函数，不合要求，

当a=3时，f{~x)=(-x)3=-x3=~f{x),/(力=X3为奇函数，

且/(x)=d在(0,+功上单调递增，满足要求，

1111

当•=§时，f(-x)=(-^)3==-f(x)1故〃%)=无3为奇函数，

且y(x)=x3在(0，+8)上单调递增,满足要求.

故选：B

7.(22-23高三下•上海•阶段练习)已知函数/⑺=，，则关于/的表达式/(〃-2/)+/(2/2_1)<0的解集

为.

【答案】卜)]

【分析】利用嘉函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.

【解析】由题意可知，/(x)的定义域为(-应+8),

11

所以/(-%)=(-工尸=—x^=—f(X)?

所以函数/(X)是奇函数，

由嘉函数的性质知，函数/(工人声在函数一叫+切上单调递增，

由f(t2-2/)+/(2Z2-1)<0,得_2/)<Qd-1),即f(t2-2t)<f(l-2t2),

所以/-2f<l-2/，即3产-2f-l<0,解得

所以关于/的表达式-2/)+/(2/-1)<0的解集为);,11

故答案为：

8.(23-24高三上•河北邢台,期中)已知函数"》)=(病一加一1)，+,3是幕函数，且在(0,+“)上单调递减,

若a,6eR,^a<0<b,\a\<\b\,则〃”）+/优）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

【答案】B

【分析】由幕函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.

【解析】由"尸-"7-1=1得加=2或加=-1,

机=2时，/(x)=x3在R上是增函数，不合题意，

加=-1时，f(x)=x-3,在(0,+8)上是减函数，满足题意，

所以/(x)=尸>

。<0<6,同<同,则f(-a)>f(b),/(x)=-/是奇函数，因此/(-a)=-/(♦),

所以一/(。)>/3)，即/⑷+/(6)<0,

故选：B.

9.(2023,江苏南京•二模)幕函数〃x)=x"(aeR)满足：任意xeR有/(-x)=/(x),且4-1)<"2)<2,

请写出符合上述条件的一个函数〃x)=.

2

【答案】尤3(答案不唯一)

【分析】

2

取/(%)=/，再验证奇偶性和函数值即可.

222

【解析】取/(X)=户,则定乂域为R,且/(—X)=(―%)3==/(%),

2

〃T)=1，〃2)=23=班，满足/(-1)<〃2)<2.

2

故答案为：

10.(2022高三•全国•专题练习)已知函数/0%)=/,g(x)U-m

⑴当xe[-1,3]时，求/(x)的值域；

(2)若对Vxe[0,2],g(x)》l成立，求实数机的取值范围；

(3)若对％e[0,2],3X26[-1,3],使得g&K/g)成立，求实数折的取值范围.

3

【答案】(1)[0,9]；(2)(3)用》-8.

【分析】(1)由二次函数的性质得出值域;

(2)将问题转化为求g(无)在［0,2］的最小值大于或等于1,再根据指数函数的单调性得出实数机的取值范围;

(3)将问题转化为g(x)在［0,2］的最大值小于或等于/(幻在［-1,3］上的最大值9,从而得出实数加的取值范

围.

【解析】(1)当xe［-l,3］时，函数/(劝=*%［0,9］

/(x)的值域［0,9］

(2)对Vx«0,2］,g(x)》l成立，等价于g(x)在［0,2］的最小值大于或等于1.

而g(x)在［0,2］上单调递减，所以即叭

(3)对％40,2],3X2G[-1,3],使得g(VW(%2)成立,

等价于g(')在［0,2］的最大值小于或等于/(x)在［-1,3］上的最大值9

由1一加＜9,/.加》-8

♦题型03指数、对数式的运算

&4岫寸

11.(23-24高三上•山东泰安,阶段练习)(1)计算的值；.

(0.1尸.("43?

22

(2)(log37+log73)-^^-(log73).

(3)log。9+|lg25+lg2-log49xlog38+2脸3T+拾点

Q

【答案】(1)j;(2)2；(3)4

【分析】根据指数幕运算公式和对数运算公式计算即可.

33

【解析】(1)原式=%.丝上8a射8

1-15

10•〃歹

222

⑵原式=(log37+log73)-(log73)-log327xlog37

=log37x(log37+2log73)-log37xlog37

=log37x21og73

=2；

2_

223log23-15

(3)原式=log,3+1g5+1g2-log,23xlog32+2x2+Ine

32一

=4+1-3+-+-

22

=4.

12.（23-24高一上•湖北恩施•期末）（1）计算：Ig:-lg3+lgl2.5-log89」og278.

2o

/r、—rA-1-t1_1a+Q+2X./士

（2）已知Q2+Q2=3，求+Q-2_2的值，

【答案】（1）I；（2）|

【分析】（1）根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；

（2）根据实数指数塞的运算性质，准确运算，即可求解.

21

【解析】（1）由对数的运算公式，可得原式=-lg2-（lg5-31g2）+31g5-l-§log；xlog：=§.

（2）因为54-5_3，所以4+。一1+2=9,可得〃+〃T=7,所以〃之+尸+2=49,

CtI14--J

a+ai+27+2_1

可得/47,所以

a+a—247-2-5

♦题型04指数、对数函数的图像对比分析

13.（2024・四川•模拟预测）已知函数y=x",y=bx,y=log^x在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则

logi。<b"<sinbBlogc<sinb<ba

A.x

22

sinb<ba<logcDsin/?<logc<ba

C.11

22

【答案】B

【分析】根据幕函数，指数与对数函数的性质可得。，上。的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判

断即可.

【解析】因为>=/图象过（1,1）,故由图象可得a<0,

又y=图象过（0/），故由图象可得0<b<l,

又y=log,”图象过(1,0),故由图象可得c>l.

故10gle<峭1=°,0<sini<l,b«>b0=l,故bg“<sinb<"

222

故选：B

14.(2024高三•全国•专题练习)在同一平面直角坐标系中，函数>==，y=loga(x+；)(a>0,且"1)

【解析】略

15.(2024・陕西•模拟预测)已知函数/'(x)的部分图象如图所示，则/(x)的解析式可能为()

x

A.f(x)^e-Q-B.〃x)=l-C./(x)=x桐D.〃x)=inH+2)

【答案】D

【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入x=2判断C错误，则可得到D正确.

【解析】根据函数/(x)的图象，知/'(1h1,而对A选项〃l)=e-e->2排除A；

2?

对B选项〃x)=l-y因为d+贝1]/工产(0,2),

则〃x)=l-匹但图象中函数值可以大于1,排除B;

根据C选项的解析式，/⑵=2亚=2.8,而根据函数/⑶的图象，知排除C.

故选：D.

16.（23-24高三上,山东潍坊•期中）已知指数函数了=1,对数函数>=log/的图象如图所示，则下列关系

成立的是（）

A.0<a<b<\B.0<。<1<6

C.0<b<l<aD.a<0<\<b

【答案】B

【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到。力的范围，从而得到结果.

【解析】由图象可得，指数函数歹=0'为减函数，

对数函数V=log；,x为增函数，

所以

即0<。<1<6.

故选：B

17.（23-24高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）函数〃x）=——的图象大致为（）

2X-2~x

【答案】A

【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.

【解析】因为2，一2-、*0,所以xN0,定义域为（-咫0”（0,+8）；

22

因为=所以〃-x)=:J,故〃x)=-〃r),所以〃x)为奇函数,排除B,

当X趋向于正无穷大时，/、2,-2T均趋向于正无穷大，但随X变大，2工-2T的增速比V快,

所以/(x)趋向于0,排除D,

由〃i)=g，/出=乎，则排除C.

故选：A.

♦题型05比较函数值或参数值的大小

18.(2024•全国•模拟预测)已知"仕J=log/,德=logy,则实数6,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a,6,ce(O,l),得到log/<1=log.a,求出

…，根据单调性得到c=[j从而得到答案•

【解析】令〃x)=G[-x,其在R上单调递减，

又〃0)=1>0,〃1)=；-1=一；<0,

由零点存在性定理得aC(0,1),

则歹=1吗X在(0,+s)上单调递减,

可以得到6e（0,1）,

又必=优在R上单调递减，画出％=优与%T°g1x的函数图象，

2

可以看出ce(O,l),

因为[I]<[3]=1'故log/<l=bg0a,故

因为a,ce(O,l),故">01="，

由"=l°gy得，c]_

22

综上，c<a<b.

故选：D.

【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系；

（2）由函数单调性，可选取适当的"媒介"（通常以"0"或"1"为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间

接地得出要比较的数的大小关系；

（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，

从而确定所比两值的大小关系.

19.（2023•江西赣州・二模）log3x=log4j^=log5z<-1,则（）

A.3x<4v<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x

【答案】D

【分析】设log3X=log4y=10g5Z=7〃<-l,得到x=3m,y=¥,z=5一画出图象，数形结合得到答案.

xloloz

【解析】4"l°g3=§4y=§5=rn<-\,则x=3"',y=4'",z=5"',

3x=3m+1,4j=4m+1,5z=5m+1,其中机+l<0,

在同一坐标系内回出y=3",y=4x,y=5',

故选：D

20.(2024高三下•全国•专题练习)已知函数〃切=/，g(x)=lnx,正实数a,b,c满足〃a)=g'(a),

/(b)g(6)=g⑷，g(e)+/(g(ac))=0,则()

A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】由/(a)=g'(a)可得。<”1,结合〃6)g(b)=g(a)可判断b的范围，再由g(c)+/(g(/))=0可

得lnc+6f=0,结合e"=L可判断a,c大小关系，进而可得答案.

a

【解析】由题得，g'(x)=:，

由/(a)=g'(a),得e“=L,即L>1,所以0<a<l.

aa

由/伍)g(b)=g(〃)，得/ln)=lna,

因为InacO,e"〉0,所以InbcO,

又e">l,所以lnq=e'lnb<lnb,所以0<a<b<l.

由g(c)+/(g(a'))=O，得Inc+e"=0，即lnc+/=O.

易知能>0,所以lnc<0,所以0<c<l,故。<优.

又e"=L所以〃=-Ina,所以-lnc=q，>Q=-lnQ,

a

所以Incvlna,所以所以c〈q<6.

故选：B.

【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：

(1)同构函数，利用单调性比较；

(2)取中间值进行比较；

(3)利用基本不等式比较大小;

(4)利用作差法比较大小.

21.(2023•浙江绍兴•二模)已知/(x)是定义域为R的偶函数，且在(-%0)上单调递减，«=/(ln2.04),

004

Z)=/(-1.04),C=/(e),贝U()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】令g(x)=e-x-1,利用导数求得g(x)在(0,1)单调递增，得至Ug(x)>g⑼=0,得到e°3>i.04,

再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e°g,再由函数/卜)的单调性与奇偶性

/(ln2.O4)</(l.O4)</(e004),即可求解.

【解析】令g(x)=e，-x-l,xe(0,l),可得g,x)=e，-l>0,所以g(x)在(0,1)单调递增，

又由g(0)=0,所以g(x)>g(O)=O,即g(0.04)>0,可得e。04>0.04+1=1.04,

又由In2.04w(0,1),所以In2.04<1.04<e004,

因为/(x)是定义域为R的偶函数，且在(-*。)上单调递减，

则〃x)在(0,+8)上单调递增，且b=/(-1.04)=/(1.04),

所以〃ln2.04)</(1.04)</(e°a),即/(ln2.04)</(-1.04)</(e004),

所以Q<b<C.

故选：A.

♦题型06指数、对数(函数)的实际应用

22.(2024・安徽合肥•二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做

半衰期，记为T(单位：天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T，4.开始记录时,

这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的%则叱满足的关系式为()

C512512.512512

、一2HB2+——=——

■刀L

C.-2+.拳=噫拳C,512,512

D.2+log2—=log2—

【答案】B

【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为L可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可

得答案.

【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1,

512512

则512天后，甲的质量为：g）不，乙的质量为：（》不，

1空11生12+^-

由题意可得（;产=;.（y=§尸,

〜C512512

所以2+有1=吃”.

故选：B.

23.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关

规定：100mL血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设

某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒

精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据:

lg3®0.48,lg7®0.85）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6x100x（1-30%）,<20,再根据指数函数的性质及对数的运算计算

可得.

【解析】设经过x个小时才能驾驶，贝10.6x100x（1-30%）“<20即0.7”<；.

U1

由于y=07'在定义域上单调递减，x>11=lg>lg3-048048二？.

So-731g0.7lg7-l0.85-10.15,

他至少经过4小时才能驾驶.

故选：D.

♦题型07指数、对数函数的图像与性质综合及应用

24.（2024・山东聊城二模）已知函数为R上的偶函数，且当x>。时，/（x）=log4x-l,则/

()

【答案】A

【分析】根据偶函数的定义可得了（一2；）=/（2,），结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.

【解析】因为“*）为偶函数,所以/（-x）=/（x）,

22221）

贝U/（-23）=/（23）=log42^-1=10g2,2^-1=log22^-1=--1=--.

故选：A

25.（2023•江西南昌•三模）设函数/3=优（0<。<1）,g（x）=log〃x（6>l）,若存在实数加满足：①

/（m）+g（m）=0；@/（«）-g（n）=0,③|机-九区1,则（加一〃的取值范围是（）

9

【答案】D

【分析】由①/（心）+8（"）=。，②/■（〃）-8（〃）=。解出0<根<1,〃>1,解出;"?-”<-；；结合③转化

为线性规划问题解出z>-三立.

4

【解析】函数/（》）=优（。<。<1）,g（x）=logjX（Z>>l）,

若存在实数加满足：①/（加）+g（M=0;@/（H）-g（M）=0,

即Q"=-logb冽，且。”=log/,〃，贝！）a"-a"=10gz，加〃v0,

贝|0<加〃<1,且0<加<1,n>l,所以;加一〃<一；，

又因为③阿-〃区1,

不防设x=m,y=n,则转化为线性规划问题,

在A点处Z取最小值.

-1+6

1

二—-2~

由rV无解得<

y/5+l

y=x+l

y=-^—

代入解得z>-三立.

4

故选：D.

26.(2022高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=k»ga(ax+9-3a)(a>0且awl).

⑴若“X)在［1,3］上单调递增，求实数4的取值范围；

(2)若/(3)>0且存在x°e(3,+a)),使得/(x°)>21og«x。成立，求a的最小整数值.

【答案】3

(2)7

【分析】⑴设g(x)=ax+9-3a,得到g(x)在［1,3］上是增函数，且g(l)>0,即可求解;

(2)由/(3)>0,的得到。>1,把不等式/(x°)>21og/o,转化为a>%+3,结合题意，即可求解.

【解析】⑴解:由函数/(x)=log“(ax+9-3a),设g(x)=ax+9-3a,

由a>0且aHl,可得函数g(x)在［L3］上是增函数，所以a>l,

又由函数定义域可得g⑴=9-2a>0,解得

所以实数0的取值范围是

(2)解：由〃3)=log.9>0,可得a>l,

又由/(%)>210gliX。,可得loga(ax0+9-3a)>log/；,

所以Q/+9—3a>x：,即a>/+3,

因为存在为e(3,+co),使得/(Xo)>21og”o成立，可得a>6,

所以实数。的最小整数值是7.

x2+x.-2cWxK一1

4

27.(23-24高二下•湖南,阶段练习)已知函数/(x)=<,若/(x)的值域是是2,2］,则C的值

।1

log^,—<x<c

为()

A.2B.2V2C.4D.8

【答案】C

【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算

可得正确结果.

【解析】当时，==+-1,2,

因为/(x)的值域是[-2,2],又〃x)=bg「在&，c上单调递减，

所以logy=-2,;.c=4.

2

故选：C.

28.(22-23高一上•辽宁本溪•期末)若不等式(x-<log/(a>Q,且。片1)在xe(l,2]内恒成立，则实

数。的取值范围为()

A.[1,2)B.(1,2)

C.(1,V2]D.(2,V2)

【答案】B

【分析】分析出。时，不成立，当。>1时，画出〃x)=log.X,g(x)=(x-l『的图象，数形结合得到

实数。的取值范围.

2

【解析】若0<。<1,此时xe(l,2],10glix<0,n'n(x-l)>0,故(x-lp<log.x无解；

若a>l,此时xe(l,2],logax>0,而(x—lfzO,

令/(x)=log"X,g(x)=(x-l)2,

画出两函数图象，如下:

故要想(x-1)2<logax在X€(1,2]内恒成立，

则要1吗2>1,解得：ae(l,2).

故选：B.

29.(2022高二下•浙江,学业考试)已知函数/(力=32+2,对于任意的％e[05，都存在再使得

/(国)+2〃％+相)="成立，则实数机的取值范围为.

【答案】log21,log21

【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解

【解析】•・•〃西闫5,8]$4,

X2+mM1+ra

/(x2+zn)=3-2+2G[3-2+2,3-2+2],

-z-

52",>-

3.2m+2>-611

由题意得彳2^log2-<m<log2-

3-2m+1+2<42m+1<-63

〔13

故答案为：log,I，log,1

63

30.(21-22高三上•湖北•阶段练习)已知函数MX)=7〃I+1(7〃>0且加41)经过定点A,函数

/(x)=logaM。>。且的图象经过点A.

⑴求函数y=/(2a-2J)的定义域与值域；

⑵若函数g(x)="2/)•/(/)-4在2,4]上有两个零点，求2的取值范围.

【答案】⑴定义域为(一%2),值域为(-8,2)；

(2)[1,+8)

【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点4(4,2),代入函数/(xhlog'X,求得。=2,进而求得

y=/(2a-2')=log2(4-2，，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；

(2)由(1)知，化简得至I］函数g(x)=2〃log2X)2+21og2X-4,设々log?》，贝lpe［-2,2］,转化为

〃(x)=2»2+2/-4在［-2,2］上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.

【解析】(1)解：令>4=0,解得x=4,所以M4)=〃/+l=2,所以函数〃(x)过点44,2),

将点A的坐标代入函数/(x)=log0x,可得log”4=2,解得。=2,

又由函数V=/(2。-2，)=10&(4一2工)，

由4-2*>0,解得x<2,所以函数y=/(2a-2')的定义域为(fo,2),

又由0<4-2*<4,所以函数y=/(2a-2*)的值域为(一>»,2).

22A2

(2)解：由(1)知，g|Sg(^)=/(2x)•/(x)-4=log2(2X)-log2x-4

2

=22(log2x)+2log2x-4在。,4］上有两个零点，

设t=log2X,则fe［-2,2］,

因为f为关于x的单调递增函数，所以g(x)在耳,4］有两个零点，

等价于函数h(x)=2AZ2+2/4在［-2,2］上有两个零点，

①当4=0时，由〃(》)=2/4=0,可得f=2,函数〃(x)只有一个零点，所以2=0不合题意;

△=4+322>0

-2c<----1--<2c

②当彳>0时，由，22，解得221；

"-2)=84-820

42)=8/120

A=4+32%>0

C1C

-2<------<2

③当2<0时，由，2A,此时不等式组的解集为空集,

//(-2)=82-8<0

/t(2)=8/l<0

综上可得，实数几的取值范围是［1,+8).

02模拟精练

一、单选题

1.(2024•黑龙江•二模)己知函数y=+6的图象经过原点，且无限接近直线>=2,但又不与该直线相

交,则()

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【分析】由题意可得。+b=0且b=2,求出°,即可求解.

【解析】因为函数y=/(x)=。甘+6图象过原点，所以心°+6=0,

得a+Z)=0,又该函数图象无限接近直线>=2,且不与该直线相交，

所以b=2,贝!Ja=—2,

所以ab=-4.

故选：C

2.(2024•上海闵行•二模)已知y=/(x),xeR为奇函数，当x>0时，/(x)=log2x-1,则集合

｛x|/(-x)-/(x)<0｝可表示为()

A.(2,+oo)B.(-<»,-2)

C.(-8,-2)U(2,+S)D.(-2,0)U(2,+S)

【答案】D

【分析】利用函数奇偶性可得不等式/(-工)-/(幻<0等价于〃刈>0,再求出函数解析式，利用对数函数单

调性解不等式可得结果.

【解析】因为y=/(x)为奇函数，所以/(-X)-/(%)<0等价于-2/(x)<0,gp/(x)>0；

当x>0时，/(x)=log2x-l,gp/(x)=log2x-l>0,解得x>2；

-

当x<0时，-x>0,n]f(-x)=-f(x)=log2(-x)-1,所以/'(x)=l-log2(-x),

解不等式f(x)=l-log2(-x)>0,可得-2<x<0,

综上可得集合｛XIf(-x)-f(x)<0｝可表示为(-2,0)U(2,+8).

故选：D

3.(2024•北京通州•二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S(单位：平方米)与时间/(单位:

月)的关系式为S=a血(«>0,且awl),图象如图所示.则下列结论正确的个数为()

①浮萍每个月增长的面积都相等;

②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；

③浮萍面积每个月的增长率均为50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是％,%，%贝篙+，2=1

【答案】B

【分析】由已知可得出S=2,M,计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判

断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断

③的正误；利用指数运算可判断④的正误.

【解析】由已知可得"=2,则S=2㈤.

对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4（平方米），

浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-2,=8（平方米），①错；

对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为2,=32（平方米），②对；

r\n+2

对于③，浮萍蔓延第〃至〃+1个月的增长率为2二;=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是

100%,③错；

对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是6,G，t.,

则2'出=3,2'加=4,2,3+1=12=3x4=2，1+1-2,2+1=2，1+（2+2,所以6+L+1，④错.

故选：B.

4.（2024・天津红桥二模）若.=（1）3,6=logi|,,=3?则°，儿c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用基函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.

［解析］^=logi|>log||=l,0=（$3=［（|）4］石=（：户>（捺产=（；户=°,而q=（g><l,

所以Q,b,。的大小关系为>C.

故选：c

5.(2024•全国.模拟预测)已知函数/(x)=10gl,(/一"+x-2水0>0且"1)在区间(1,+8)上单调递减,

则。的取值范围是()

A.^0,—B.—,1^C.(1,2]D.[2,+oo)

【答案】A

【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<。<1和。>1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域,

即真数为正；复合函数单调性满足"同增异减"，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(L+◎上单调递减"

得到真数部分函数的单调性，从而求得。的取值范围.

【解析】设函数g(x)=--ax?+x-2a,则g'(x)=3x?-2办+1.

①若0<a<l,贝l]y=log/在定义域上单调递减.

又/(尤)=log.(丁-a/+x-2a)在区间(1,+动上单调递减，所以g(尤)在区间(1,+8)上单调递增，故g，(x)20

对任意的xe(1,+oo)恒成立.

Xg，(l)=4-2fl>0,所以对任意的xe(l,+8),g，(x)Z0显然成立.

又因为g(x)>0对任意xe(l,+co)恒成立，所以g(l)=2-3a»0,故0<a4§.

②若。>1,则y=log,x在定义域上单调递增.

又/(x)=log/--泼+x_2a)在区间+8)上单调递减，所以g(x)在区间(1,+8)上单调递减，故g'(x)W0

对任意的xe(l,+oo)恒成立.

因为抛物线》=3x2-2办+1的开口向上，所以g，(x)40不可能对任意的xe(1,+⑹恒成立.

所以“的取值范围为(0。,

故选：A.

6.(2024•宁夏固原•一模)已知函数“X)的部分图像如图所示，则/(%)的解析式可能为()

—X―一X—X-x

A."x)=3B.〃X)=K

【答案】A

【分析】利用/(x)在。,+s)上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用/'(x)在(1,+8)上的单调性排除D,

从而得解.

【解析】对于B,当x>l时，f(x}=-———,易知行一片,>0,3-4x<0,

I/3-4x

则/(x)<0,不满足图象，故B错误；

对于C,"x)=律T定义域为)叫-小1辅唱+8),

-X-1,—e—Xe-X*4.-e-X

又/(一x)=4l_=则〃x)的图象关于了轴对称，故c错误；

।X]3LX—J

xxI

对于D，当x>l时，〃x)=pp=13rl+口，

由反比例函数的性质可知，/(X)在(1,+8)上单调递减，故D错误；

cX-x

检验选项A,f(x)=11a满足图中性质,故A正确.

堀71-3

故选：A.

1

尹,x<0

7.(2024・陕西西安•模拟预测)已知函数/(》)=<,则不等式/(/T)>"3)的解集为()

1

,x>0

、x+2

A.(-2,2)B.(0,+8)

c.(-<»,o)D.(-00,-2)u(2,+oo)

【答案】A

【分析】判断函数/(x)的单调性，再利用单调性解不等式即可.

【解析】〃x)=，易知了=尹在(-应0)单调递减，

---,x>02

[x+2

尸一二在(o,+8)单调递减，且“X)在X=O处连续，故〃X)在R上单调递减,

x+2

由/(/一1)>/(3),贝02_I<3,解得一2<a<2,

故不等式/(力-1)>/(3)的解集为(-2,2).

故选：A

8.(2024•甘肃兰州•一模)已知了=/(力是定义在R上的奇函数，且对于任意x均有/(x+l)+/(x-l)=0,

当0<xWl时，/(%)=2¥-1,若加n(ea)]>/(lna)(e是自然对数的底)，则实数”的取值范围是()

A.B.e*<a<e”/eZ)

31

「q—1+4%/八/Q1+4人(K-卜4k—2+4k

C.e<a<e(KGZ)