2025年中考数学二轮复习讲义：几何背景下的线段最值问题（3题型+解题模板+技巧讲义）（原卷版）

压轴题解题模板03

几何背景下的线段最值问题

目录

・题型剖析•精准提分

题型一垂线段最短问题

题型二将军饮马问题

题型三旋转最值问题

好题必刷•强化落实

题型剖析•精准提分

几何背景下的线段最值问题

题型三旋转最值问题题型一垂线段最短问题

题型二将军饮马问题

下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的

题型解读：

考查热度.

线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的

考试热度

形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查

垂线段最短、"将军饮马”及旋转最值问题，一般要用到

特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二

次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与

化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题:①线段和

差最值问题;②尺规作图问题;③旋转“费马点”问题;

④点到直线的距离最值问题等.

题型一垂线段最短问题

解题模板:

根据条件判断该题为垂线段最短模型

利用模型技巧构造垂线段，确定动点位置

丁垂线f

根据已知条件或勾股定理列式计算

技巧精讲：垂线段最短模型

模型问题情境图示技巧

已知直线1外一定点A和直线1上A

人过点4作48Jj于点B,AB即为所求距离

垂线段最短一动点3,求4,8之间距离的最小

的最小值

值BfBB”

A

已知4408的内部有一定点P,在作点P关于直线0B的对称点P',过点P'

作对称+垂线段最短0A上找一点M,在0B上找一点N,作P'M±0A于点M,与0B相交于点N,

使得的值最小07v\BP'M即为所求的最小值

PN+MNP'

【例1】如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°且AB=3,AC=4,点。是斜边BC上的一个动点，过点。

分别作于点M,OVJ_AC于点N,连接MN,则线段的最小值为（）

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【变式1T】如图，在Rt^ABC中，NC=90°,AO是NBAC的平分线，点E是A8上任意一点.若C。

=5,则。E的最小值等于（）

A.2.5B.4C.5D.10

【变式1-2］如图,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点,连接PD,

以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是（）

A-TB.1C.V2D.|

题型二将军饮马问题

解题模板:

根据条件判断该题为“将军饮马"模型

利用模型技巧作对称点并连线，确定动点位置

根据已知条件或勾股定理列式计算

技巧精讲:

1、〃将军饮马〃模型

模型问题情境图示技巧

已知直线1异侧的两定点4潭,在直A

线1上找一点P,使得PA+PB的值连接AB与直线l交于点P^AB即为所求的最小值

最小B

“两定一动”

已知直线/同侧的两定点4,B,在直A

\//作点B关于直线1的对称点力，连接4*与直线1

线1上找一点P,使得PA+PB的值

1交于点尸,4*即为所求的最小值

最小B,

AP：

已知440B内部有一定点P,在分别作点P关于直线OA,OB的对称点尸'，严，连接

“一定两动”上找一点M,在0B上找一点N,使P'P",交OA,OB于点即为△PMN周长

得的周长最小cr的最小值

p，

模型问题情境技巧

已知zUOB内部有两个定点P,Q,分别作p,Q关于直线。力，08的对称点p‘，Q',连

“两定两动”在。4上找一点M,在0B上找一点接PQ',分别交。4,。3于点M,N,PQ+PQ的值

M使得四边形PQNM的周长最小即为四边形PQNM周长的最小值

A

已知之间的距离为将点4向下平移d个单位长度到点4',连接4'B交

在4,4上分别找M,N两点，使得心＞、1_;直线4于点M过点N作NMJ.4于点M,4B+

2

MNAISAMMNNB的值最小N、MN即为所求的最小值

.,,.++B

“架桥”问题已知直线1同侧的两定点4潭,在直将点4向右平移d个单位长度到点〃，作点1关

AM~

线/上找M,/V两点（M在N左侧），于直线1的对称点火,连接46交直线/于点N,将

使得MN=d,且AM+MN+NB的值M弱,点N向左平移d个单位长度到点M,A"B+MN即

最小A"为所求的最小值

2、线段差最大值问题模型：

模型问题情境图示技巧

已知直线1同侧的两定点儿凡在直A

连接48并延长，与直线，交于点尸,45即为所求的

同侧线1上找一点P,使得1"-依1的

最大值

值最大

已知直线1异侧的两定点在直A

作点B关于直线1的对称点丁，连接4方并延长与

异侧线1上找一点P,使得1如-PB1的F1

直线1交于点P,47即为所求的最大值

值最大Br

【例2】（德州中考）如图，正方形A8C。的边长为6,点E在BC上，CE=2.点M是对角线8。上的一

C.2V13D.4V13

【变式2-1］（菊泽中考）如图，在菱形ABC。中，A8=2,ZABC=60°,M是对角线BO上的一个动点,

CF=BF,则K4+MF的最小值为（）

C.V3D.2

【变式2-2］如图，等腰三角形ABC的底边8C长为6,腰AC的垂直平分线分别交边AC,A3于点E,

F,。为BC边的中点，M为线段E尸上一动点，若△COM的周长的最小值为13,则等腰三角形ABC的面积

为（）

【变式2-3】已知点尸在NMQV内.

⑴如图①，点尸关于射线QW、ON的对称点分别是G、H,连接OG、OH、OP、CH.

①若/MON=30。，则OG/1是什么特殊三角形？为什么？

②若NMON=90。,试判断G//与OP的数量关系，并说明理由；

⑵如图②，若/MON=30。，A、2分别是射线。M、ON上的点，AB_LON于点3,点P、Q分别为04AB

上的两个定点，且Q8=1.5,。尸=AQ=2,在。3上有一动点E,试求尸E+QE的最小值.

【变式2-4］（2023•山东日照•统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P在对角线血）上,

过点P作交边3c于点M,N,过点M作MELAD交8。于点E,连接硒，BM,DN.下

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列结论：①EM=EN；②四边形岫液的面积不变；③当™=1:2时，S△…发©BM+MN+ND

的最小值是20.其中所有正确结论的序号是.

题型三旋转最值问题

解题模板:

根据*＜号喻题为旋»«值模型

利用已知条11^»共端点的相等皖

根巧进行旋转作图

借助几何关系或勾股定理列式计算

技巧精讲：旋转求最值模型

类别问题情境图示技巧•

A

已知△?!灰：内部有一点P,连接修将绕点C顺时针旋转60°,得至IJ△EOC,连接

“费马点”问题求P4+PB+PC的PD,BE,当B,P,D,E四点共线时,。4+P8+尸。取

最小值得最小值，最小值为BE

BC

已知在四边形ABPC中，P8=将△4BP绕点P顺时针旋转a得到△4'CP,连接

三角形三边

PC,AB=a,AC=6,乙BPC=a,A4，，当4,C,M三点共线时,AT的值最大，此时4P

关系问题

求40的最大值的值最大

p

【例3】（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E为高80上的动点.连

接CE,将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.连接AF,EF,DF,则CDB周长的最小值是

A

BC

【变式3-1】如图，在ABC中，/C钻=90。，AB=AC=1,P是jWC内一点，求BA+PB+PC的最小值

【变式3-2］如图，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,点/为矩形内一点，点E为8c边上任意一点，则

MA+MD+ME的最小值为.

【变式3-3］如图，正方形A3CD的边长为4,点P是正方形内部一点，求PA+2PB+若PC的最小值.

好题必刷•强化落实

一、单选题

1.如图，YABCD的面积为12,AC=BD=6,AC与80交于点0.分别过点C,。作8。，AC的平行线

相交于点月点G是8的中点，点尸是四边形OCED边上的动点，则PG的最小值是（）

A.1B.乎C.(

D.3

2.已知在及ACB中，NC=90°,/ABC=75°,AB=5.点E为边AC上的动点，点尸为边AB上的动点,

则线段FE+EB的最小值是（）

B

A.乎-|C.石6

二、填空题

3.如图，尸是菱形ABCD对角线8。上一点，PELAB于点E,PE=4cm,

则点P到BC的距离是cm.

4.如图，在ABC中，NCMgOtACuBCnG.P为边AB上一动点，作PDL3C于点。，PELAC于点E,

则DE的最小值为.

5.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90。，ZABC=30°,AC=4,按下列步骤作图：①在AC和AB上分别

截取AD、AE,^AD=AE.②分别以点。和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在NBAC

内交于点③作射线A"交BC于点E若点P是线段题上的一个动点，连接CP,则CP+g”的最小

值是.

6.菱形ABCD的边长为2,—ABC=45。，点P、。分别是BC、8。上的动点，CQ+PQ的最小值为

7.如图，在RtAABC中，ZACB=90,AC=BC,点C在直线MV上，NBCN=6Q,点、P为MN上一动

点，连接AP,BP.

(I)使AP+BP取最小值的动点尸的位置在点C的侧.(填“左”或“右”).

(II)当AP+B尸的值最小时，请直接写出NCBP的度数..

三、解答题

8.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1,点A的坐标为(-2,3).点B的坐标为(-3,1),

点C的坐标为(1,-2).

⑴作出.ASC关于y轴对称的AB'