2025年中考数学二轮复习讲义：全等三角形与相似三角形（原卷版）

重难点突破04全等三角形与相似三角形

目录

・题型特训•精准提分

题型01旋转中的全等模型

类型一对角互补模型

类型二对角互补且有一组邻边相等的半角模型

类型三手拉手旋转模型

类型四中点旋转模型

类型五通过旋转构造三角形全等

题型02构造相似三角形解题

类型一做平行线构造“A”型相似

类型二做平行线构造“X”型相似

类型三作垂线构造直角三角形相似

类型四作垂线构造“三垂直”型相似

题型03与相似三角形有关的压轴题

类型一运用相似三角形的性质与判定求点的坐标

类型二运用相似三角形的性质与判定求线段的最值

类型三利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏圆）

类型四相似中的“一线三等角”模型

类型五相似三角形与多边形综合

题型特训-精准提分

题型01旋转中的全等模型

类型一对角互补模型

1.（20-21八年级上.江苏南京•阶段练习）如图，等腰直角三角形ABC中，NA4c=90。，AB=AC,点、M,N

在边8C上，且/M4N=45。.若BM=1,CN=3,求MN的长.

2.（2021•黑龙江齐齐哈尔.中考真题）综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓

展思推空间，丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.

折一折：将正方形纸片ABC。折叠，使边AB、AO都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF,连接ER

如图1.

(1)AEAF=°,写出图中两个等腰三角形:（不需要添加字母）;

转一转：将图1中的NE4F绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q,连接尸。，如图2.

（2）线段BP、PQ、。。之间的数量关系为；

（3）连接正方形对角线BD,若图2中的NP4Q的边4尸、A。分别交对角线8。于点M、点N.如图3,则

CQ_

~BM-------------------；

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线8。剪开，如图4.

11

（4）求证：BM2+DN2=MN2.

3.（2020•湖南湘西・中考真题）问题背景：如图1,在四边形4BCD中，/BAD=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

4ABC=120°,Z.MBN=60°,ZMBN绕B点旋转，它的两边分另Ij交AD、DC于E、F.探究图中线段4E,CF,

EF之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=4E,连接BG,先证明ABCG三

hBAE,再证明ABFC三ABFE,可得出结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2,在四边形ABCD中，^BAD=90°,4BCD=90°,BA=BC,^ABC=2乙MBN,ZJWBN绕

B点旋转，它的两边分别交2D、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”

或者“不成立”），不要说明理由.

探究延伸2：如图3,在四边形ZBCD中，BA=BC,^BAD+/.BCD=180°,乙ABC=2乙MBN,4MBN绕B

点旋转，它的两边分别交2D、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30。的A处舰艇乙在指挥中心南

偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的

速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、

乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.

类型二对角互补且有一组邻边相等的半角模型

4.(2022・辽宁朝阳•中考真题)【思维探究】如图1,在四边形ABCZ)中，ZBAD^6Q°,ZBCZ)=120°,AB

=A。，连接AC.求证：BC+CD^AC.

图1图2

(1)小明的思路是：延长CD到点E,使。E=BC,连接AE.根据/BAZ)+N8CO=180。，推得/B+/AOC

=180。，从而得到/2=乙4£比，然后证明"DE会AABC,从而可证BC+C£)=AC,请你帮助小明写出完整

的证明过程.

(2)【思维延伸】如图2,四边形A2C£>中，NBAD=/BCD=90°,AB^AD,连接AC,猜想BC,CD,AC

之间的数量关系，并说明理由.

(3)【思维拓展】在四边形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD=*>,AC与8〃相交于点。若四边

形A8CD中有一个内角是75。，请直接写出线段。。的长.

5.(20-21九年级上•湖北武汉•阶段练习)(1)问题背景.

如图1,在四边形2BCD中，AB=AD,NB+ND=180。，E、F分别是线段BC、线段C。上的点.若NB4D=

2^EAF,试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系.

童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接力G,先证明△ABE三△4DG.再证明△

AEF^^AGF,可得出结论，他的结论应是

(2)猜想论证.

如图2,在四边形力BCD中，AB=AD,ZB+^ADC=180°,E在线段BC上、尸在线段CD延长线上.若乙BAD=

2AEAF,上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明.

(3)拓展应用.

如图3,在四边形A8DC中，4BDC=45°,连接BC、AD,AB-.AC-.BC=3:4:5,AD=4,S.^ABD+ZCBD=

180°.则△4CD的面积为.

图3

6.(2020•河南南阳•模拟预测)6知四边形4BCD中,AB1AD,BC1CD,AB=BC,^ABC=120°,上MBN=

60°,将NMBN绕点B旋转，它的两边分别交边a。、DC(或它们的延长线)于点E、F.

图1图2

(1)当乙MBN绕点B旋转到4E=CF时(如图1),

①求证：AABE=ACBF；

②求证：AE+CF=EF-,

(2)当乙MBN绕点8旋转到如图2所示的位置时，AECF,此时，(1)中的两个结论是否还成立？请直

接回答.

类型三手拉手旋转模型

7.(2022.山东济南.中考真题)如图1,△ABC是等边三角形，点。在△ABC的内部，连接4。，将线段

绕点A按逆时针方向旋转60。，得到线段AE,连接3。，DE,CE.

BC5(F)CBFC

图1图2图3

(1)判断线段8。与CE的数量关系并给出证明；

⑵延长ED交直线BC于点F.

①如图2,当点尸与点8重合时，直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为；

②如图3,当点P为线段BC中点，且EZ)=EC时，猜想NBA。的度数，并说明理由.

8.(2020•辽宁丹东•中考真题)已知：菱形4BCD和菱形AB'C'D',4BAD=^B'A'D',起始位置点4在边

上，点B在49所在直线上，点B在点2的右侧，点夕在点4的右侧，连接力C和ACI将菱形4BCD以4为旋

转中心逆时针旋转a角(0。＜戊＜180。).

(1)如图1,若点4与4重合，且NB4D==90。，求证：BB'=DD'；

D'C

(2)若点4与4不重合，M是4L上一点，当=时，连接BM和4C,BM和4c所在直线相交于点P；

①如图2,当NB力D=NB7D=90。时，请猜想线段BM和线段&C的数量关系及NBPC的度数；

D'

②如图3,当ABAD=乙n4。=60。时，请求出线段BM和线段4c的数量关系及N8PC的度数;

③在②的条件下，若点4与4B'的中点重合，A'B'=4,AB=2,在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，

请直接写出线段的长.

9.(2022.河南驻马店.三模)如图1,△ABC是边长为6cm的等边三角形，边AB在射线上,且。4=9cm.点

。从。点出发，沿OM方向运动.当点D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60。得到CE.连

(1)如图1,当点。在线段。4上运动时，线段8。、BE、8C之间的数量关系是,直线和直线BE

所夹锐角的度数是;

(2)如图2,当点。运动到线段(不与A点重合)上时，(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理

由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由；

(3)如图3,将ANBC改为等腰直角三角形，其中斜边4B=6,其它条件不变，以为斜边在其右侧作等腰

直角三角形CZJE,连接8E,请问8E是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由.

类型四中点旋转模型

10.(2023•河北唐山・二模)已知：在正方形4BCD中，E为对角线8。上一点，过点E作EF1B。，交BC于点

F,连接DF,G为。尸的中点，连接EG,CG.

F

图1

【猜想论证】

(1)猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明.

【拓展探究】

(2)将图1中ABEF绕B点逆时针旋转45。得到图2,取DF中点G,连接EG,CG.你在(1)中得到的结论还成立吗?

写出你的猜想并加以证明.

11.(2023•山东淄博•中考真题)在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.

(1)操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片4BCD和CEFG拼成Z”形图案，如图①.

试判断：AaCF的形状为________.

图①

(2)深入探究

小红在保持矩形4BCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若4B=2,AD=4.

探究一：当点尸恰好落在4D的延长线上时，设CG与。尸相交于点M,如图②.求ACMF的面积.

探究二：连接力E,取4E的中点连接D”，如图③.

求线段。口长度的最大值和最小值.

GG

图②图③

12.(2021.江苏宿迁・中考真题)已知正方形A8C。与正方形AEPG,正方形AEFG绕点A旋转一周.

(1)如图①，连接BG、CF,求号的值；

BG

(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE,分别取CF、8E的中点M、N,连接MN、试探究:

MN与BE的关系，并说明理由；

(3)连接BE、BF,分别取BE、8尸的中点N、Q,连接。MAE=6,请直接写出线段QN扫过的面积.

类型五通过旋转构造三角形全等

13.(2022•内蒙古呼和浩特•二模)如图,点P是正方形ABC。内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为

2V3,VL4,则正方形A3C。的面积为)

A.28+8V3B.14+4V3C.12D.24

14.(2023・湖北随州•中考真题)1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直

线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里

拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当小4BC的三个内角均小于120。时，

如图1,将AZPC绕，点C顺时针旋转60。得到AAP，C,连接PP，，

由PC=P(,/.PCP'=60°,可知APCP'为①三角形,故PP，=PC,又P4=P4故P2+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2,最小值为力'B,此时的

尸点为该三角形的“费马点”，且有乙4PC=/.BPC=乙4PB=③；

已知当AABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,^/.BAC>120°,

则该三角形的“费马点，为④点.

(2)如图4,在△ABC中，三个内角均小于120。，且力C=3,BC=4,乙4cB=30。，已知点尸为AABC的“费

马点”，求P4+PB+PC的值；

图4

(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,^ACB=60°.现欲

建一中转站尸沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为。

元/km,。元/km,元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元.(结果用

含a的式子表示)

15.(23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习)【问题背景工如图1,点D是等边△力BC内一点，连接

将ATIBD绕点4逆时针旋转60°得至必2%,连接DE,观察发现：BD与CE的数量关系为,直线8。

与CE所夹的锐角为度；

BC

图1

【尝试应用工如图2,在等腰直角△ABC中，4B=aC,AB2C=90。，点。是等腰直角△ABC内一点，连接

AD,BD,CD,若4。=2/,BD=5,CD=3,求△BCD面积；

A

【拓展创新］如图3,在等腰△28C中,28=AC,ABAC=120。,点。为平面内一点,且N&DB=60°,最=3,

BD

直接写意的值为.

题型02构造相似三角形解题

类型一做平行线构造“A”型相似

16.（2023•内蒙古・中考真题）如图，4B是。。的直径，E为。。上的一点，点C是AE的中点，连接BC,过点

C的直线垂直于BE的延长线于点。，交84的延长线于点P.

PA

（1）求证：PC为。。的切线；

（2）若PC=2&B。，PB=10,求BE的长.

17.（2018・湖北黄石・中考真题）在AABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）.

（1）如图1,若EF〃BC,求证：如空=些段

S&ABCABAC

（2）如图2,若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由;

（3）如图3,若EF上一点G恰为AABC的重心，笠=）,求受空的值.

4S&ABC

类型二做平行线构造“X”型相似

18.（2023九年级•全国・专题练习）在△力BC中，已知。是BC边的中点,G是△ABC的重心，过G点的直线

分别交A3、AC于点E、F.

图1图2

（1）如图1,当EFIIBC时，求证：—+—=1；

AEAF

（2）如图2,当EF和BC不平行，且点E、P分别在线段4B、4c上时,（1）中的结论是否成立？如果成立，请

给出证明；如果不成立，请说明理由.

（3）如图3,当点E在4B的延长线上或点尸在4C的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出

证明；如果不成立，请说明理由.

19.（2023・湖北孝感•三模）【问题情境】

小睿遇到这样一个问题:如图1,在△力BC中，点。在线段BC上,NB4D=75°,ACAD=30°,AD=4,BD=2DC,

求AC的长.

AAA

D

BDCBD\

E

图1图2图3

【问题探究】

小睿发现，过点C作CEII力B,交4D的延长线于点E,经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2.

(1)①乙4CE的度数为.②求4C的长;

【问题拓展】

(2)如图3,在四边形48CD中，NB4C=90°,Z.CAD=30°,Z.ADC=75。,4c与BD交于点=2m,BE=2ED,

求BC的长.

20.(2023•广东深圳•中考真题)(1)如图，在矩形力BCD中，E为2D边上一点，连接BE,

①若BE=BC,过C作CF1BE交BE于点、F,求证：△ABE=△FCB-,

②若S矩形4BCD=20时，贝------

(2)如图，在菱形4BCD中，cos4=过C作CE1AB交AB的延长线于点E,过E作EF14D交2D于点F,

若S菱形4BCD=24时，求EF•8c的值.

(3)如图，在平行四边形ABC。中，乙4=60。，AB=6,4。=5,点E在CD上，且CE=2,点F为8c上一

点，连接EF,过E作EG1EF交平行四边形ABCD的边于点G,若=时，请直接写出4G的长.

备用图

类型三作垂线构造直角三角形相似

21.(2022•山西・中考真题)综合与实践

问题情境：在心△ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板即尸中/瓦甲=90。，将三角板的直角

顶点。放在斜边8C的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边。E,。尸分别与边A8,

AC交于点M,N,猜想证明:

(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边A3的中点时，试判断四边形AMDV的形状，并说明理由;

问题解决：

(2)如图②，在三角板旋转过程中，当=时，求线段CN的长；

(3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段AN的长.

22.(2020•江苏南通・中考真题)【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

【理解运用】

(1)如图①，对余四边形ABC。中，AB=5,BC=6,CD=4,连接AC.若AC=AB,求sin/CA。的值;

(2)如图②，凸四边形ABCD中，AD=BD,ADLBD,当2。2+匿2=。42时，判断四边形48C。是否为

对余四边形.证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点A（-1,0）,B（3,0）,C（1,2）,四边形是对余四边形，点E在

对余线上，且位于△ABC内部，ZAEC=90°+ZABC.设黄=小点。的纵坐标为3请直接写出M关于

f的函数解析式.

类型四作垂线构造“三垂直”型相似

23.（23-24九年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，在四边形力BCD中，N4BC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,

DA=5V5,贝UBD的长为

24.（2022上・江苏扬州•九年级统考期中）将一张以4B为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形,

在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的

四边形纸片ABC。，其中NA=90。，AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则该矩形与ZB相邻的另一条边

长是—.

25.（2023九年级•全国•专题练习）如图，在△ABC中，LBAC=60°,/.ABC=90°,直线匕||12||13,卜与G之

间距离是1,%与G之间距离是2，且匕，l2>G分别经过点A，B,C,则边力C的长为（）

A

C3V21

C.----D-

4

题型03与相似三角形有关的压轴题

类型一运用相似三角形的性质与判定求点的坐标

26.（2023•湖北鄂州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，。4=OB=3愿，点C为平面内一

动点，BC=g连接AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM:M4=1:2.当线段OM取最大值时，点M的

坐标是（）

A-（1-1）B.（|强网C.（突）D,（|V5,fV5）

27.（2021・湖南娄底•中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿无轴移动，当。4与直

线=Q只有一个公共点时，点A的坐标为（）

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

28.（2023•江苏镇江•中考真题）如图，正比例函数y=-3久与反比例函数y=三也手0）的图象交于A,B（l,m）

两点，点C在x轴负半轴上，^ACO=45°.

⑵点尸在无轴上，若以8,O,尸为顶点的三角形与AaOC相似，求点P的坐标.

类型二运用相似三角形的性质与判定求线段的最值

29.（2021•四川绵阳•中考真题）如图，在△4CD中,4。=6,BC=5,AC2=ABQ4B+BC）,且△DAB-ADCA,

若AD=34P,点Q是线段4B上的动点，贝|PQ的最小值是（）

30.（2022•贵州铜仁•中考真题）如图，在边长为2的正方形A8C。中，点E为的中点，将沿CE

翻折得ACME,点M落在四边形ABCE内.点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交于点P,则

MN+NP的最小值为

31.（2023仞川泸州•中考真题）如图，E,F是正方形48CD的边4B的三等分点，P是对角线4C上的动点,

当PE+PF取得最小值时，黑的值是

32.（2022・湖南郴州•中考真题）如图1,在矩形ABC。中，AB=4,BC=6.点E是线段上的动点（点

（1）求证：4AEFFDCE；

（2）如图2,连接CK过点B作8Gle尸，垂足为G,连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM.

①求4G+GM的最小值；

②当月G+GM取最小值时，求线段DE的长.

类型三利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏

圆）

33.（2020・广西・中考真题）如图，在R348C中，AB=AC=4,点E,尸分别是AB,AC的中点，点尸是扇

形AEF的座上任意一点，连接8尸，CP,贝班P+CP的最小值是.

34.(2023・山东烟台・中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与％轴交于4B两点，与y轴交于点C,4B=4.抛

物线的对称轴久=3与经过点2的直线y=kx—1交于点D,与x轴交于点E.

(1)求直线4D及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点M,使得△力DM是以4。为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若

不存在，请说明理由；

(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为OB上一个动点，请求出PC+^PA的最小值.

35.(2021.四川达州.中考真题)如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+bx+c交x轴于点力和C(l,0),

交y轴于点8(0,3),抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将线段OE绕着点0沿顺时针方向旋转得到线段。炉，旋转角为a(0。<a<90°),连接4E',BE',求BE'+

的最小值.

(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以4,B,M,N为顶点的四边形为矩

形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；

类型四相似中的“一线三等角”模型

36.（23-24九年级上.陕西西安.阶段练习）（1）如图1,乙48c=90。，分别过A,C两点作经过点8的直线

的垂线，垂足分别为E、F,AE=4,BE=2,BF=3,求CF的长度为一.

图1

（2）如图2,在矩形ABCD中，4B=4,BC=10,点石、/、知分别在43、BC、4。上，4EMF=90。，AM=2,

当BE+BF=9时，求四边形MEBF的面积.

(3)如图3,在△ABC中，AACB=90°,AC=15,BC=20,点,E、下分别在边AB、BC上，NCEF=。且

tana.,若BF=8,求BE的长度•

图3

37.（23-24九年级上.黑龙江哈尔滨.开学考试）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开

展数学活动.有一张矩形纸片4BCD,点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为OE,点A的对应点记为点

F,

(1)操作发现：如图1，若点/恰好落在矩形4BCD的边BC上，直接写出一个与ABEF相似的三角形；

⑵深入探究:如图2,若点尸落在矩形48CD的边8c的下方时,EF、DF分别交BC于点M、N,过点P作FG1BC,

FH1DC,垂足分别为点G、H,当点G是BC的中点时，试判断△DEF