2025年新高考数学重难点专练：空间角度与距离十一大题型（原卷版）

重难点02空间角度与距离十一大题型汇总

题型解读

4!^满分技巧/

技巧一.计算两点间的距离的两种方法

(1)利用同2=a-a,通过向量运算求同，如求Z,8两点间的距离，一般用|扇=\/|丽2=

弋油购解.

(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时

技巧二.用向量法求点线距的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)求直线的方向向量；

(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长；

(4)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化

技巧三.用向量法求点面距的步骤

(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系；

(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标；

(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP,a内两个不共线向量，平面a的法向量n);

(4)求距离d=^

技巧四.求直线与平面间的距离，

往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的

题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面

的距离进行过渡.

技巧五.求线面角的两种思路

(1)线面角转化为线线角.根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此

时要注意两直线夹角的取值范围.

(2)向量法.

方法一：设直线PA的方向向量为a,平面a的法向量为n,直线PA与平面a所成的角为0(0G[O,|]),

a与n的夹角为团,则sin0=lcos回=黑

I叫I团I

方法二：设直线PA的方向向量为a,直线PA在平面a内的投影的方向向量为b,

则直线PA与平面a所成的角0满足cose=|cos<a,b>|

技巧六.求面面角的步骤

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；

第二步然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量；

第三步由向量的数量积计算公式即可得出结论.

用要题型提分练

题型1两点距

【例题11（2023春福建泉州•高二校联考期末）空间直角坐标系。—孙z中，4（1,3,0）,B（0,3,1）,C（1,0,3）,

点P在平面4BC内，且OP1平面力BC,则|4P|=（）

A.遥B,V7C.等D.詈

【变式1-1]1.（2022秋•山西运城•高二山西省运城中学校校联考期中）如图，在三棱柱ABC-中,

底面△ABC是边长为2次的正三角形，=夕，顶点①在底面的射影为底面正三角形的中心，P,Q分别

是异面直线上的动点，则P,Q两点间距离的最小值是（）

【变式1-1]2.（2022秋•浙江宁波•高二校联考期末）如图，正四棱锥P-4BCD的棱长均为2,点E为侧

棱PD的中点.若点M,N分别为直线AB,CE上的动点，则MN的最小值为

【变式1-1】3.（2023秋•内蒙古包头•高二统考期末）如图，已知四棱锥P-4BCD中，4BCD是正方形,PD1

平面力BCD,PD=CD,点M、N分别是棱P4、对角线BD上的动点（不是端点），满足PM=DN.

p

/二.................c

Q)证明:“加1平面「。。;

(2)求M、N距离的最小值，并求此时二面角M-NA-。的正弦值.

【变式1-1J4.(2023春•高二校考期末)如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直,AB“CD,

ABIBC,ADAB=60a,AB=AD4,AE1DE,AEDE,平面4BE与平面CDE交于5T.

(1)求证：CD//EF；

(2)若EF=CD,求二面角4-BC-F的余弦值；

(3)在线段BC上是否存在点M使得AM1EM?若存在，求的长；若不存在，说明理由.

【变式1-1]5.(2023春•云南楚雄•高二校考期末)如图，已知S4垂直于梯形4BCD所在的平面，矩形S4DE

的对角线交于点F,G为SB的中点/ABC=ABAD=,SA=AB=BC=^AD=1.

(1)求证：BD〃平面AEG.

(2)求平面SCD与平面ESD所成锐二面角的余弦值；

(3)在线段EG上是否存在一点H，使得与平面SCD所成角的大小为三?若存在，求出GH的长：若不存在,

O

说明理由.

题型2点线距

【例题2]（2023秋•吉林长春・高二长春外国语学校校考阶段练习）如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正

方体,若P在正方体内部且满足杼=荏+巳前+1版，贝UP到直线4B的距离为（）

B.iC.|D.|

【变式2-1]1.（2023春•江苏南京•高二统考期末）如图，在三棱柱ABC-&B1G中，CC11平面48C,

BC1AC,BC=4C==3,点M为4C中点.

（1）求证：AB1〃平面BMQ；

（2）求点8到直线GM的距离.

【变式2-1】2.（多选）（2023春福建莆田高二统考期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬

奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）才巴三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组

合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则

G

A.QC=AD+2AB+2初

B.若M为线段CQ上的一个动点，则前•丽的最大值为2

C.点P到直线CQ的距离是年

D.异面直线CQ与4劣所成角的正切值为VT7

【变式2-1]3.（多选）（2023秋・重庆长寿•高二重庆市长寿中学校校考期末）（多选）《九章算术》是

我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P-

48CD中，PA1平面ABCD,底面力BCD是正方形，且PA=AB=2,E,F分别为PD,PB的中点，则（）

人---

A.EF，平面PACB.4B〃平面EFC

C.点F到直线CD的距离为逐D.点A到平面EFC的距离为誓

【变式2-1]4.（2023秋•新疆乌鲁木齐・高二乌鲁木齐101中学校考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，

AD//BC,^ADC=/.PAB=90。，BC=CD=14。，E为棱AD的中点，异面直线P4与CD所成的角为90°.

（1）在平面P4B内是否存在一点M，使得直线CM〃平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，

请说明理由；

（2）若二面角P-CD-4的大小为45。，求P到直线CE的距离.

【变式2-1】5（多选I2023秋•湖南湘西•高二校联考阶段练习如图在棱长为1的正方体力BCD-4/&历

中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（）

A.存在点Q，使得QQ〃&C

B.存在点Q，使得GQ1A.C

C.对于任意点Q,Q至风C的距离的取值范围为惇,9]

D.对于任意点Q,AAiCQ都是钝角三角形

题型3点面距

【例题3]（2023春•江苏徐州•高二校考期末）如图，在正三棱柱ABC-中，各棱长均为4,N是CC1

的中点.则点G到平面ABN的距离为

【变式3-1]1.(2023秋河南驻马店•高二统考期末)如图，在几何体中，底面4BCD为正方形，EFWDC,

1

ADLFC,EF=ED=FC^-DC=2.

Q)求点。到平面4BF的距离；

(2)求平面4DE与平面BCF的夹角的余弦值.

【变式3-1]2,(2023春•江西新余•高二统考期末)如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为正方形，PA1

底面力BCD,P2=DC=1,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点.

(1)证明：AE1平面PBC；

⑵若直线必与平面P4B所成角的正弦值为?,求点P到平面力屐的距离.

【变式3-1J3.(2023春•天津•高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末如图正三棱柱ABC-

中，力B=2,=3,E,F分另1J是棱上的点，ArE=BF=

⑴证明：平面CEF，平面4CC1&；

(2)求B]到平面ECF距离；

(3)求直线4cl与平面CFG夹角余弦值.

【变式3-1]4.(2023春・江苏淮安•高二统考期末)如图，正方体48CD-4/16%的棱长为1，点P是对

角线BA上异于8,A的点，记黑=A.

(1)当乙4PC为锐角时，求实数4的取值范围；

(2)当二面角P-AC-B的大小为患寸，求点名到平面PAC的距离.

【变式3-1]5.(2023春•甘肃酒泉・高二统考期末)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF，平

面4BCD,EF||4B,4D=2,4B=AF=2EF=1,点P为棱DF上一点(不含端点).

Q)当FP为何值时，力P1PC；

⑵求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；

⑶若P为DF中点，求点E到平面APC的距离.

题型4异面直线的距离

【例题4】（2023秋•河北邯郸・高二校考期末）异面直线"上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值

称为直线匕与直线％之间的距离.如图，已知三棱锥P-ABC中，PA1平面PBC,PB1PC,点D为线段AC

中点,AP=BP=CP=1.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.

（1）设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d,证明:\DM\>d.

（2）若喋=夕=k（k〉1）,用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.

AEFC

【变式4-1】1.（2022•全国•高二期中）如下图，在四棱锥P—4BCD中，已知PA1平面ABCD，且四边形4BCD

为直角梯形，/-ABC-/-BAD=PA=AD——2,AB=BC—1.

（1）求平面P4B与平面PCD所成夹角的余弦值；

（2）求异面直线与CD之间的距离.

【变式4-1】2.（2023•江苏•高二专题练习）如图，已知以。为圆心，2为半径的圆在平面a上，若P。1a,

且P。=4,。4、。8为圆。的半径，且乙4。8=90°,M为线段48的中点.求：

p

(1)异面直线。8,PM所成角的大小；

(2)点。到平面P4B的距离；

(3)异面直线。8,PM的距离.

【变式4-1】3.(2021金国•高二专题练习)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,AA1=2,

(1)求异面直线BD1与CC1的距离；

(2)求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值；

(3)求点F到平面BDE的距离.

【变式4-1]4.(多选)(2022秋•辽宁•高二校联考期末)如图，在正方体4BCD-4/道也中，点。在

线段AC上移动，点M为棱8%的中点，则下列结论中正确的有()

B.N/OM的大小可以为90°

C.异面直线/。与&G的距离为定值?

D.存在实数4G[0,1],使得|瓦祈-鸣万-(1-A)^C|=苧国成立

题型5线面距

【例题5]（2023秋•天津津南•高二校考期末）如图AEA^ABCD,CF//AE,AD//BC,AD1AB,AB=4。=

(1)求证：BF〃平面力DE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(3)求平面BDE与平面BD尸夹角的余弦值.

【变式5-1]1.(2023春•福建•高二校联考期末)如图，在正三棱柱4BC-4/©中，点。在棱上,且

CD1DB「

(1)求证：2G〃平面CD/；

(2)若正三棱柱48C-4/iG的底面边长为2,二面角D-BiC-B的大小为与,求直线4cl到平面CD4的距

离.

【变式5-1]2.(2023春•江苏•高二统考期末)如图，在多面体EF-4BCD中，底面ABCD是菱形，且CE1

底面ABCD,AF//CE,AC=CD=CE=2F=1,点M在线段EF上.

(1)若M为EF的中点，求直线AM和平面BDE的距离；

(2)试确定M点位置，使二面角。-AM-B的余弦值为-ff.

【变式5-1]3.(2023春・甘肃张掖・高二高台县第一中学校考期中)如图，正方体48CD-4/iGDi的棱

长为2,点E为BBi的中点.

(1)求点。到平面AQE的距离为d；

⑵求BCi到平面ADiE的距离.

【变式5-1]4.（多选）（2023•全国•高二专题练习）在棱长为1的正方体2BCD-中，下歹[]结

论正确的是（）

A.异面直线AC与BG所成的角为g

B.西是平面ABCiDi的一个法向量

C.直线&&到平面ABC/i的距离为日

D.平面与平面&GA间的距离为日

题型6面面距

【例题6]（2023春•江西吉安•高二井冈山大学附属中学校联考期末）如图，在三棱柱4BC-2/心中，

底面48c为正三角形，且侧棱44i1底面48c，底面边长与侧棱长都等于2,。，01分别为4C，&G的中点，

则平面ABiOi与平面BCi。之间的距离为

【变式6-1]1.（2023•全国•高二专题练习）直四棱柱XBC。-&B1GA中，底面4BCD为正方形，边长为

2，侧棱=3,M、N分别为4/1、的中点，E、F分别是前5,B©的中点.

（1）求证：平面2MN〃平面EFB。；

⑵求平面4MN与平面EFBD的距离.

【变式6-1]2（2023•全国•高二专题练习却图在几何体ABC-AZG中，四边形4遇。当是矩形,△4CBV△

且平面平面贝（]下歹结论正确的是（

4/iG,4C8//A/iQ,AA.LAB,AB=BC^AA±=^AC=1,U）

A.AC1//BB1

B.异面直线BBi、CiC所成的角为三

C.几何体ABC-4/1Q的体积为:

D.平面AB以与平面4cle间的距离为今

【变式6-1]3.（2023秋•高二课时练习）已知正方体ABCD-①当的5的棱长为1,点E、O分别是占a、

4G的中点，P在正方体内部且满足而=|XB+|X5+|京,则下列说法错误的是（）

A.点A到直线BE的距离是乎B.点O到平面ABC/1的距离为亨

C.平面4BD与平面/CD]间的距离为4D.点P到直线AB的距离为患

【变式6-1]4.（多选）（2021秋•黑龙江•高二期中）已知正方体4BCD-的棱长为，点E,。分

别是A/,21cl的中点，P在正方体内部且满足而=|XB+|XD+|标,则下列说法正确的是（）

A.BE与平面ABC/i所成角的正弦值是卑B.点。到平面43必的距离是日

C.平面&BD与平面/皿间的距离为第D.点P到直线力。的距离为:

6o

题型7异面直线的夹角

【例题7】（2023秋•新疆•高二校联考期末）如图，在直三棱柱力BC—ABC中,AA'=2,AB=BC=V5,

"=2,取AC的中点。,建立如图所示的空间直角坐标系，则异面直线力L与AB所成角的余弦值为（）

【变式7-1]1.(2023秋•新疆•高二校联考期末)如图，点石在4ABC内，DE是三棱锥。-4BC的高，△ABC

是边长为6的正三角形，DB=DC=5,4。=V7.

⑴求DE的长度；

(2)若正=|XC,求直线EG与平面BCD所成角的正弦值.

【变式7-1】2.(2023春•山东东营•高二统考期末)如图，已知六面体ABCDPE的面2BCD为梯形,AB//CD,

AB1AD,AB=2,CD=AD=4,棱P41平面4BCD,PA//BE,PA=4,BE=2,F为PD的中点.

(1)求证：4F〃平面PBC；

（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小.

【变式7-1]3.（多选）（2023秋广西河池•高二统考期末）如图，在四棱柱XBCD-4/停也中，AB=

2,AD=l,BOi=VT1,AArAD=N24B=60°,AB1AD,贝［|下歹ll说法正确的是()

A.BD=BC+BrArB.|画=2

C.|^q|=2V6D.直线力Ci与BiC所成角的余弦值为唔i

【变式7-1]4.（多选）（2023秋•河北唐山•高二校考期末）已知在棱长为1的正方体力BCD-中，

点分别是AB,DD1,BCi的中点，下列结论中正确的是（）

A.。心〃平面。旧。B.XQ1平面BD4

三棱锥。-的体积为加.直线与所成的角为

C.BAGOEFEG30°

题型8线面角

【例题8]（2023秋•河南驻马店•高二统考期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，

其在卷第五《商功》中描述的几何体"阳马"实为"底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥".如图，

在“阳马"P-4BCD中,PA1平面4BCD,\AD\=2MBi=|P4|,则直线PC与面PBD所成角的正弦值为（）

A-TB-VC-TD-T

【变式8-1J1.（2023秋・山东枣庄•高二枣庄市第三中学校考期末）阅读材料：空间直角坐标系。-xyz中,

过点P(%0,7o(Zo)且一个法向量为元=(a,b,c)的平面a的方程为aO-比)+%(y-y0)+c(z-z0)=0,阅读

上面材料，解决下面问题：已知平面a的方程为3%-5y+z-7=0,直线/是两平面x-3y+7=。与4y+

2z+1=0的交线，则直线(与平面a所成角的正弦值为()

A包B.亘Q*D.且

3551555

【变式8-1]2.(2022秋•全国•高二期末)如图，已知PA_L平面力BCD为矩开乡,PA=AD=AB=2,

M,N分别为AB,PC的中点,

(1)求证：MNII平面PAD;

(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.

【变式8-1]3.(2023春・广西南宁•高二宾阳中学校联考期末)图1是由矩形ADEB、Rt△4BC和菱形BFGC

组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,/.FBC=60。.将其沿力B,折起使得BE与BF重合,连

接DG,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC1平面BCGE；

(2)求图2中8G与平面4CGD所成角的正弦值.

【变式8-1]4.(2023春・浙江舟山•高二统考期末)如图，在三棱柱ABC-4/iG中，底面是边长为2的

正三角形，N44B=N44C=45°,平行于441和BC]的平面分别与4B,AC,交于D,E,F,G四点.

⑴试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；

(2)若44]=3,。是4B的中点，求直线DF与平面4BC所成角的正弦值.

题型9平面与平面所成角

【例题9](2022秋•黑龙江齐齐哈尔•高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末)如图所示四棱锥P-ABCD中，

平面PAD1平面4BCD,PA=PD=2,四边形4BCD为等腰梯形,BC//AD,BC=CD=^AD=1,E为PA的

中占

I八、、

⑴求证：EB〃平面PCD

(2)求平面2BC。与平面PCD所成的锐二面角。的余弦值

【变式9-1]1.(2023秋・江西宜春•高二江西省宜春市第一中学校考期末)如图，在四棱锥P-4BCD中，

PA_L平面ABCD,AB〃CD旦CD2,AB=1,BC=2&,PA1,AB1BC,N为PD的中点.

B

DC

(1)求证：4N〃平面PBC；

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

【变式9-1】2.(2023春•河南南阳•高二统考期末)三棱柱ABC-&B1C1中，平面力CQ41平面ABCAABC

是等边三角形，N&4C=45°,A4i=2正，AC=2.

⑴证明：平面4/C1平面4BC；

(2)求二面角4-BC]-%的平面角的余弦值.

【变式9-1]3.(2023春•湖南湘潭•高二湘潭县一中校联考期末)如图，将三棱锥力-BCD的侧棱4B放至[)

平面a内,ACLCB,ABLBD,ACCB,AB=BD,平面ABC，平面A8D

(1)证明：平面2CD_L平面BCD；

(2)若48=2,平面48。与平面a夹角的正切值为J求平面4CD与平面a夹角的余弦值.

【变式9-1]4.(2023春・安徽阜阳•高二统考期末)如图,在四棱锥P--BCD中,BD1PC/ABC=60。，

四边形2BCD是菱形,PA=AB=\,PB=&，E,尸是棱P。上的两点,且而=|PD.

p

⑴证明：平面PAD1平面ABCD；

(2)若再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求平面E4C与平面ACD所成二面角的大小.

①BF〃平面力CE；

②三棱锥C-ABE的体积，=噂.

36

【变式9-1]5.(2023春•甘肃临夏•高二统考期末)如图，四棱锥P-力BCD中，底面4BCD为正方形，PA1

底面力BCD,点E为PD的中点.

(1)证明：PB〃平面4EC；

(2)若24=2,三棱锥E-2CD的体积为|,求二面角力-CE-B的余弦值.

题型10探索性问题

【例题10](2023春福建龙岩•高二统考期末)如图，在直三棱柱48c-481G中，A41=4B=2,E为

的中点，平面4BC1平面4BB1&.

⑴求证：AEIBC；

（2）若4&BC的面积为2鱼,试判断在线段&C上是否存在点D,使得二面角A-BD-C的大小为景.若存

在，求出笨的值；若不存在，说明理由.

【变式（2022秋・湖北•高二校联考期末周①是直角梯形ABC。,AB//CD/D=90。，四边形力BCE

是边长为2的菱形，并且NBCE=60。，以BE为折痕将4BCE折起，使点C到达C1的位置，且g=V6.

Q）求证：平面BC1E1平面4BED；

（2）在棱DC】上是否存在点P,使得点P到平面ABC1的距离为白？若存在，求出直线EP与平面4BQ所成角的

正弦值；若不存在，请说明理由.

【变式10-1】2.（2023春・江苏宿迁•高二统考期末）如图（1）所示，在△ABC中，28=4b，BC=28，

NB=60。，DE垂直平分4B.现将△ADE沿DE折起，使得二面角力-DE-B大小为60。，得到如图（2）所示

的空间几何体（折叠后点2记作点P）

图⑵

（1）求点。到面PEC的距离；

（2）求四棱锥P-BCED外接球的体积；

⑶点Q为一动点，满足所=APE（0<A<1）,当直线BQ与平面PEC所成角最大时，试确定点Q的位置.

【变式10-1]3.（多选）（2023春•辽宁朝阳•高二统考期末）如图，在三棱锥P-4BC中，△PAB^4BC均

为边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（）

A.PCLAB

B.当三棱锥P-48c的体积最大时，三棱锥P-48C的外接球的体积为第11

C.当二面角P-AB-C的余弦值为争寸,PB1AC

D.若二面角P-AB-C的大小为9,且9e尊争时，直线PB与AC所成角的余弦值最大为焉

【变式10；】4.（2021秋•陕西延