2025版高考数学大二轮复习专题四概率与统计第一讲排列组合与二项式定理限时规范训练理

PAGE1-第一讲排列、组合与二项式定理1．(2024·云南一模)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))10的二项绽开式中，x6的系数等于()A．－180 B．－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3) D．180解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))10的二项绽开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(－2)r·x10－2r，令10－2r＝6，求得r＝2，可得x6的系数为Ceq\o\al(2,10)·(－2)2＝180，故选D.答案：D2．(2024·揭阳一模)某班星期一上午支配5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程支配种数为()A．6 B．12C．24 D．30解析：依据题意，分2步进行分析：①将两节数学捆在一起与语文先进行排列有Aeq\o\al(2,2)种排法，②将物理、化学在第一步排列后的3个空隙中选两个插进去有Aeq\o\al(2,3)种方法，依据乘法原理得不同课程支配种数为Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12.故选B.答案：B3．(2024·和平区校级期末)(x＋1)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a11x11，则a1＋a2＋…＋a11＝()A．－64 B．－65C．64 D．65解析：∵(x＋1)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a11x11，令x＝0，可得a0＝1，再令x＝1,1＋a1＋a2＋…＋a11＝－64，∴a1＋a2＋…＋a11＝－65，故选B.答案：B4．(2024·西安模拟)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(2x＋1)3绽开式中的常数项为()A．1 B．2C．3 D．7解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(2x＋1)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(8x3＋12x2＋6x＋1)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(2x＋1)3绽开式中的常数项为1＋6＝7.故选D.答案：D5．(2024·江西赣州联考)将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有()A．12种 B．16种C．18种 D．36种解析：先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种状况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),2！)·Aeq\o\al(2,2)＝6(种)状况，所以不同的方法共有3×6＝18(种)．答案：C6．(2024·福建宁德联考)某次运动会中，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员安排到两个不同的地点参加接待工作．若要求A，B必需在同一组，且每组至少2人，则不同的安排方法有()A．15种 B．18种C．20种 D．22种解析：先从两个不同的地点选出一地点安排A，B两人，有Ceq\o\al(1,2)＝2(种)状况，再将剩余4人分入两地有3种状况，4人都去A，B外的另一地点，有1种状况；有3人去A，B外的另一地点，有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)状况；有2人去A，B外的另一地点，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)状况．综上，共有2×(1＋4＋6)＝22(种)，故选D.答案：D7．(2024·泰安模拟)若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝()A．－70 B．28C．－26 D．－28解析：令t＝x－3，则(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，可化为(t＋1)5－3(t＋3)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝Ceq\o\al(3,5)－3·Ceq\o\al(3,4)·3＝10－36＝－26.故选C.答案：C8．(2024·广东江门测试)从4台甲型和5台乙型电脑中随意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电脑各一台，则不同的取法有()A．140种 B．84种C．70种 D．35种解析：当选取1台甲型电脑，2台乙型电脑时，方法数有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＝40(种)；当选取2台甲型电脑，1台乙型电脑时，方法数有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＝30(种)，故不同的取法共有70种．答案：C9．(2024·福建三明一模)某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1,2,3,4中的随意一个．现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最平安的是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：甲所设密码共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝48(种)不同设法，乙所设密码共有eq\f(C\o\al(2,4)A\o\al(2,4),2！)＝36(种)不同设法，丙所设密码共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝144(种)不同设法，丁所设密码共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)不同设法，所以丙最平安，故选C.答案：C10．(2024·合肥二模)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必需排在前三项执行，且执行任务A之后需马上执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有()A．36种 B．44种C．48种 D．54种解析：依据题意，任务A必需排在前三项执行，分3种状况探讨：①若任务A排在第一位，则E排在其次位，将剩下的2项任务全排列，排好后有3个空位，将B、C支配在3个空位中，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12种不同的执行方案；②若任务A排在其次位，则E排在第三位，BC的支配方法有4×Aeq\o\al(2,2)＝8种，将剩下的2项任务全排列支配在剩下位置，在Aeq\o\al(2,2)＝2种支配方法，则有8×2＝16种支配方法；③若任务A排在第三位，则E排在第四位，B、C的支配方法有4×Aeq\o\al(2,2)＝8种，将剩下的2项任务全排列支配在剩下位置，有Aeq\o\al(2,2)＝2种支配方法，则有8×2＝16种支配方法，则不同的执行方案共有12＋16＋16＝44种．故选B.答案：B11．(2024·博望区校级月考)某地兴办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额安排给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的安排方法共有()A．222种 B．253种C．276种 D．268种解析：依据题意，将24个志愿者名额看成24个小球，原问题可以转化为将24个小球分成3组，每组数目各不相同的问题，将24个小球排成一排，有23个空位，在其中任选2个，支配2个挡板，有Ceq\o\al(2,23)＝253种分组方法，又由在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的安排方法有(1,1,22)，(2,2,20)，(3,3,18)，(4,4,16)，(5,5,14)，(6,6,12)，(7,7,10)，(8,8,8)，(9,9,6)，(10,10,4)，(11,11,2)；共有10Ceq\o\al(1,3)＋1＝31种；则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的安排方法共有253－31＝222种．答案：A12．(2024·福州四校联考)在(1－x3)(2＋x)6的绽开式中，x5的系数是________(用数字作答)．解析：二项绽开式中，含x5的项是Ceq\o\al(5,6)2x5－x3Ceq\o\al(2,6)24x2＝－228x5，所以x5的系数是－228.答案：－22813．(2024·郑州一模)由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．解析：依据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满意题意的四位偶数的个数为Aeq\o\al(3,3)＝6；其次类，个位是2时，满意题意的四位偶数的个数为Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4.由分类加法计数原理得，满意题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.答案：1014．(2024·山东济南模拟)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的绽开式中各项系数的和为2，则该绽开式中含x4项的系数为________．解析：令x＝1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的绽开式中各项系数的和为1－a＝2，得a＝－1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5绽开式中x4项的系数即是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5绽开式中的x3项与x5项系数的和．又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－1)r·25－r·x5－2r，令5－2r＝3，得r＝1，令5－2r＝5，得r＝0，将r＝1与r＝0分别代入通项，可得x3项与x5项的系数分别为－80与32，故原绽开式中x4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－4815．(2024·洛阳模拟)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,4)＝12种