2025年新高考数学重难点专项复习：指对运算九大题型（解析版）

重难点14指对运算九大题型汇总

题型解读

1!^满分技巧

技巧一.对数的运算法则：

l.log^N=log^+log^；

M

2.log^=log^-log^,

n

3.Zog%=n/og%.(其中a>0,aHl,M>0,N>OZnFR)

技巧二.换底公式：

loga=>0,且。。7；c>0,且cW/；b>勿.

利用不同的对数值求新的对数值，此类题特征：

1.多底数，多真数，都给它降幕为基数，

2.条件与结论，特别是条件，有没有底数真数共同数

3.如果没有共同数，则结合求的对数真数，寻找共同底数，实在不好找，全部转化为10为底，或者e为

底(尽量找共同数)

4.结论对数的底数，真数，转化为条件的底数真数积与商,

换底推广：

①log/="—;

log/,a

@logaZ?-logz,c-logf.t7=l;

③log.,,。"=log*；

©logb'"=—]ogb；

na

⑤logIb=-yogab.

技巧三.对数的性质：

①小gaN=N；

②log=N(a>0且awl).

技巧四.求最值

多用一元二次函数或者均值不等式

1.基本不等式成立的条件：a>0,b>0;

2.等号成立的条件：当且仅当a=b.

3.基本不等式的变形：

①a+b>24ab,常用于求和的最小值；

②a64(F)2，常用于求积的最大值；

技巧五.指数对数函数方程：

1.可以借助指数运算进行换元

2.要注意对数取值范围

3.根据常用指数式、对数式及其性质化简,

1b

如"ogab=友屋=1,a=ajogal=0Jogaa=l,logaa=4即可求得结果.

府y题型提分练

题型1指对化简运算

【例题1]（2023上•江西宜春•高一江西省宜春中学校考期末）计算：

（1）（3廿+（给3+淤-陶8；

log3

⑵1。§3a7-log32-log23-66-lgV2-lgV5.

【答案】⑴1

⑵-3

【分析】（1）根据指数幕运算以及对数的定义运算求解；

（2）根据对数的定义和运算求解.

11

【详解】（1）原式=（9，（|）『+1-3="1-3=J

（2）原式=log332一氏x署一3-IgVlO=|一1一3-（=一3.

【变式1-1]1.（2022上•云南红河•高一校考期末）求值：

（1）6）31X（―c9+87x冠_"一丁2；

⑵1g竿一1g丽+lg7遮

【答案】⑴2

（2）1

【分析】（1）利用分数指数幕运算和根式运算法则计算出答案；

（2）利用指数和对数运算法则计算.

【详解】(1)原式=(|尸X1+2JX2^-(|)'=2滑=2

⑶原式"T

=ig(字)=igVio=igi02=i

【变式1-1]2.（2023上•四川成都•高一校联考期末）化简求值（需要写出计算过程）.

(陪尸+闺+6-3)。；

1+log2

(2)33+Ig5+log32xlog23xIg2.

【答案】⑴2

(2)7

【分析】（1）根据指数、根式运算的性质计算可得答案；

（2）根据指数、对数运算的性质计算可得答案

【详解】（1）图尸+闺+（1）。=（舒+间+1

1

=2；

1+log2

(2)33+Ig5+log32xlog23xIg2

=31.3log32+|g5+Ig2

=3x2+lg(2x5)

=6+1=7.

【变式1-1]3.（2022上•新疆哈密•高一校考期末）计算:

(I)21g2+lg25

2

ln2

(2)log327-e+

1_?

（3）（2犷一（一2）。一管尸+0

(4)已知：£+a3=3,求要萼

az+a”-2

【答案】⑴2

(2)5

(4)1

【分析】(1)(2)(3)根据指数、对数的运算性质直接计算得到答案；

(4)直接平方得到a+a-1=7,再次平方得到a?+L=47,代入计算得到答案.

【详解】(1)21g2+lg25=lg4+lg25=IglOO=2；

_2

ln2

(2)log327-e+Q)3=3-2+肃=3-2+4=5；

112?

(3)(2/一(一2)。一管尸+(|)-=G7-(-2)0一(裁+(1)2=>1V+H；

1_1/1_1\2

(4)成+a~2=3,故"5+a~2j=a+a-1+2=9,即a+a-1=7,

-122

(a+a)=小+Q-2+2=49z即小+a~=47,

_LZ_a+a1+27+21

-----=——.

a2+a-2-247-2------5

【变式1-114.(2022上•辽宁阜新•高一校考期末)计算下列各式的值

⑵3i°g35+k)g四+式3+2a)

2

(3)44-(n+1)°+(裁

(4)21og32-log3日+log38-251皈3

12

⑸(丁-咐。-缸+(丁?

【答案】Q)TT-2

(2)7

(4)-7

⑸？1

【分析】(1)指数幕的化简；

(2)利用对数恒等式和对数式的运算化简；

(3)利用指数幕的运算规则化简求值；

(4)利用对数恒等式和对数式的运算化简；

(5)利用指数幕的运算规则化简求值.

【详解】(1)必可=|2-—2.

(2)3^35+log五+式3+2V2)=5+log调+式&+1)=5+2=7.

(3)4-5-(n+1)°+(裁=(22)3-1+

lo3221031032

(4)210g32-log3Y+log38-25^=log32-log31+log38-5^=log3等-5^=2-9=

㈠6。-管尸+(|/

题型2对数换底之用字母表示对数

【例题2](2022上•黑龙江牡丹江•高一校考期末)已知1。§218=a,试用a表示log23=

【答案】等

【分析】利用对数运算性质化简求出即可.

【详解】因为=log2(2x9)=log22+log29

=1+2log23=a,

所以log23=^

故答案为：?

【变式2-1]1.（2023下•上海黄浦•高一统考期末）已知3a=2,36=5,若用匹匕表示logfS,则

1吗5

【答案】金/看

【分析】将指数式化为对数式，在利用换底公式及对数的运算法则计算可得.

【详解】因为3a=2,3、=5,所以a=log32,b=log35,

所以1吗5=寝=/==匕

故答案为：士

【变式2-1]2.（2023上•上海徐汇•高一统考期末）已知6,=2'=a（a为常数，且a>0,aK1），则

H=•（用a表示）

【答案】loga3

【分析】先利用指数式和对数式互化得到所以汽=loga,y=loga,再利用换底公式得到工=log6^=

62xay

loga2,然后利用对数运算求解.

【详解】因为6,=2〃=a,

所以x=log6a,y=log2a,

则§=loga6,；=loga2,

所以：；=loga6-loga2=loga1=loga3,

故答案为：loga3

【变式2-1J3.（2022上•陕西西安•高一校考期末）已知lg2=a,10》=3,用a、b表示1（^75=

［凭空］2-2a+b

【分析】根据对数式指数式互化公式，结合对数换底公式、对数的运算性质进行求解即可.

【详解】由10"=3,可得lg3=b,又lg2=a,

r-r-pn7r_lg75_lg(3x52)_Ig3+21g5_Ig3+2(l-lg2)_1+2(1—a)_2-2a+匕

所以Og4-*-21g2-21g2-21i2--2^-一-2^^,

故答案为：上普.

2a

【变式2-1]4.(2022上•上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考期末)已知log73=a,7b=2,用a及

b表示log772=.

【答案】2a+3b

【分析】先把7b=2转化为6=log72,再利用对数的运算性质即可求解.

23

【详解】因为7b=2,所以6=log72,所以log772=log7(3X2)=21og73+3Iog72=2a+3b.

故答案为：2a+3b.

题型3对数换底之求参

【例题3](2023上•云南保山•高一腾冲市第一中学校联考阶段练习)若2a=5〃=10,则：+台()

A.-1B.Ig7C.2D.log710

【答案】C

【分析】由已知表示出a,6,再由换底公式化简可求.

a6

【详解】,'12=5=10,.1.a=log210,b-log510,

+々=2己+工1=2(^―+

ab\ab)\log210log5107

=2(lg2+lg5)=21gl0=2.

故选：C.

【变式3-l]l.(2023上•云南昆明•高一云南师大附中校考阶段练习)已知2M=9"=36，则=()

-1

A.log618B.-C.1D.log65

【答案】B

【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可.

771n

【详解】由2=9=36,可得zn=log236,n=log936,

所以1=--------1：------=10g3g2H-10g36^

m2nlog23621og9362

1

=log362+log363=log366=-

故选：B.

【变式3-1]2.（2022上•新疆乌鲁木齐•高一新疆农业大学附属中学校考期末）若\=log25，则25m+5-m

的值为（）

A.-B.-C.-D.-

3255

【答案】B

【分析】先由换底公式将小表示为10g52,再将M代入256+5-m计算即可.

【详解】由题知工=log5,■-m-=log52,

25m+5-m=52m+9=51唯4+募=4+1=1，

故选:B.

11

【变式3-1]3.（2023上•广西•高一校联考期中）已知x>0,y>0,lg2^+lg8?=lg2,则x+3y的最小

值是（）

A.4B.10C.12D.16

【答案】D

【分析】利用对数运算化简已知得;+：=1,然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解最小值即可.

【详解】由Ig2工+lg8亍=lg2,可得:+^=1.

x+3y=（无+3y）（1+：）=1+9+干+羊，又x>0,y>0,

所以x+3y=l+9+^+->10+21^--=16,

XyqXy

当且仅当"=2，即x=y=4时，等号成立.

xy

故选：D

【变式3-1]4.（2023上福建泉州•高二统考阶段练习）已知2,=3,log3；y，则打y=.

【答案】2

【分析】先根据题意求出x=log23,再代入原式，再根据对数的运算性质，对数的换底公式即可求解.

【详解】由2工=3,则x=log23,

则！+尸高+唠3]

1

=4+（陶9一陶2）

1

=2+i—0一i°g2

3

log23

二211地22

log23log23

=2.

故答案为：2.

题型4对数换底之恒等式

【例题4]（2023・上海•高一专题练习）若正实数a、b、c均不为1,满足〃=»=c%,且：+（+：=0,

则彷。的值为

【答案】1

【分析】设产=>=cz=k,进而利用对数性质和换底公式求解即可.

【详解】由题意,正实数a、b、c均不为1,

设a，=by=cz=k,

则x=logafc,y=logbfc,z=Iogcfc,

即（=log/,（=log/,|=10gfcC,

由1+2+1=。，彳导log/ca+logW+logfcC=0,

BPlogfc（ahc）=0,即abc=1.

故答案为：1.

【变式4-1]1.（2023上•江苏南通•高一统考阶段练习）若3,=4〉=6z=k,且|+；[=]则实数k的

值为

【答案】36

【分析】利用指数式与对数式转化表示出乂，y,z的值，然后利用对数运算求出k值.

【详解】3*=4,=6z=k,

・•・X=log3k,y=log4k，z=log6k,

贝[]—F------=--------F----------—二210g攵3+log/^4-log/^6

八&化&化

Xyzlog3/clog4klog6/c

=Iogfc9+logfe4-logk6=logk（r）=logk6=1,

.**fc2=6z即/c=36.

故答案为：36

【变式4-1]2.（2023•全国•高一随堂练习）已知万=3>=12Z力1,求证：々+工=L

xyz

【答案】证明见详解

【分析】根据对数的定义和运算性质分析证明.

【详解】设2工=3,=12z=a,可知a>0且aH1,

则％=log2a,y=\og3a,z=log12a,

可得工==log2-==log3-==log12,

a/a;oua

Xlog2aylog3azlog12a

212

所以=+5=°ga+l°ga3=loga4+loga3=loga12,

BP-+-=-.

xyz

【变式4-1]3.（2020•高一课时练习）已知a,b,c均为正数，且3。=4b=6。，求证：：+―|;

【答案】证明见解析

【分析】设3。=4b=6。=k,贝收>1,结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得

证.

【详解】设3。=4"=6。=k,贝味＞1.

:.a=log3k/b=log*,c=log6k,

2121

=2bgzc3+logk4=logfc9+logk4=logfc36=2logk6,

而"高=2log",

+得证.

【变式4-1]4.（2023上•江苏南通・高一海安高级中学校考期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上

依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号.对数运算与

指数幕运算是两类重要的运算.

⑴试利用对数运算性质计算;g喘+黑）的值；

（2）已知x,v,z为正数,若3,=犷=6Z,求的值.

【答案】⑴弓

⑵！

【分析】（1）根据对数运算法则得到答案；

（2）令3*=4y=6Z=a>0,得到x=log3a,y=log4a,z=log6a,利用换底公式和对数运算法则得到

答案.

【详解】（1）原式=黑（翳+翳）=翳、翳隹；

21g2\21g331g3/21g261g312

（2）由题意知，令笠=4〃=6z=a,则a>0,

所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,

r-r-piyy_log4alog4a_Inaln6Inaln3_ln6ln3_ln2_1.

zxlog6alog3aln4Inaln4Inaln4ln421n22'

【变式4-1】5.（2023・上海•高一专题练习）已知x,y,2均为正数，且*=3y=6Z.

（1）若5x=my,求实数m的值;

⑵求证：」—L

xzy

【答案】（l）5log23

（2）证明见解析

【分析】（1）设度=3y=6Z=fc,求出x,y,z,代入5x=my,结合换底公式可得解；

（2）根据求出的％,y,z值，再利用对数的运算性质进行运算即可得证.

【详解】（1）设2工=3>=62=卜，

因为久,y,2均为正数，所以k>1,

则X=log2k,y=log3k,Z=log6k,

由5x=my,得510g2k=mlog3k=m',

；log2k0,m=51og23.

（2）证明：由（1）久=log2k,y=log3k,z=log6k,

1111

=1----T-\---r=log6-log3

zy--log6klog3kkfc

=log-=log2=-1=-.

3Kfc36KklogjkX

11_1

,,——.

zyx

题型5对数换底之求最值

【例题5]（2022上•上海金山•高一统考期末）若logQa+b）=log3V^,贝必+8b的最小值为

【答案】25

【分析】利用对数的运算可得出5+£=1，分析出。>0,b>0,将代数式a+86与3+飘乘，展开后利用

基本不等式可求得a+8b的最小值.

【详解】因为log9（2a+b）=log3Vab=log9ab,所以,2ab=ab>0,贝！Ja>0,b>0,

tf-i\Ib+2a12q

所以，才.+『1

因为a+8b=(a+助尼+§=17+?+(?*+2J答与=25,

当且仅当a=2b时，等号成立，故a4-8b的最小值为25.

故答案为：25.

【变式5-1J1.(2021上•江西景德镇•高一景德镇一中校考期末)已知实数久、y，正数a、6满足谟=»=2,

屋+工=—3,则1a的最小值为

xyb

【答案】.

【解析】利用指数与对数的互化，换底公式以及对数的运算得出：=8a2,可得出a=8a2-a,利用二

次函数的基本性质可求得3-a的最小值.

y

【详解】已知实数无、y,正数a、b满足a*=b=2,则x=loga2,y=logb2,

由换底公式可得2+-=210g2a+log2b=log(a2d)=-3,可得a2b=|,则]=8a2,

xy2ou

2

因为a>0,贝哈一a=8a2-a=8(a-2)-^>,

当且仅当a=2时，等号成立，因此，:-a的最小值为-义.

故答案为：一2

【点睛】关键点点睛：本题考查代数式最值的求解，解题的关键就是利用指数与对数的互化、换底公式以

及对数的运算得出a、b所满足的关系式，再结合函数的基本性质来求解.

【变式5-1]2.(2023上•山东青岛•高一统考期中)若。>0,I>0,Iga+Igb=lg(a+b),则2a式勺最小

值为

【答案】8

【分析】由对数运算法则变形，然后利用基本不等式得最小值.

【详解】由已知lg(ab)=lg(a+b),:.ab-a+b,

ab=a+b>2y/ab,当且仅当a=b=2时取等号，

所以ab>4,从而2ab>8,即2a6的最小值是8.

故答案为：8.

【变式5-1]3.(2024上•黑龙江哈尔滨•高一哈九中校考开学考试)已知a>0,6>0,c>0,hlog42+

4dog16V2=彳,则管+券最小值为.

【答案】10

【分析】根据给定的等式求出b,c的关系式，再求出手的最小值，然后利用均值不等式求解作答.

【详解】依题意,blog222+4clog2422=苧，即+9=彳，则b+c=粕，又6>0,c>0,

因此包型=，+(而)2=4c2+庐+2云22V^^+2bc=2,当且仅当b=2c=2时取等号，又a>0,

bebe3bc3bc3

22

ii-x=ac^2a.18c+2.18.Q.18.18QQ丁TTZ18Q

从而^^+Q=Wa+F22a+Q=2(a+l)+Z7I-222j2(a+l>z；T-2=l°，

当且仅当2(a+1)=券，即a=2时取等号，

所以当a=2,b=衅,c=乎时，竺产+三取得最小值10.

33bea+1

故答案为：10

2

【变式5-1J4.(2023上•陕西•高一校联考阶段练习)已知a>1,b>1，当b变化时,logab+log6(a+12)

最小值为4，贝！]a=.

【答案】2

2

【分析】利用换底公式结合基本不等式确定log。》+log6(a+12)的最小值表达式，结合题意可得方程，即

可求得答案.

【详解】由题意得a>1,b>l,

12)

l°ga%+l°g*a+=log*+logafa-2内.一痴厂

2

=2jloga(a2+12),当且仅当logg=智密也即(logab)2=loga(a+12)时取等号，

2422

.".2y/loga(a4-12)=4,a-a-12=0,:.a=4,a=2,此时b=4,适合题意，

故答案为：2

题型6指数方程

【例题6]（2022上•上海宝山・高一上海交大附中校考阶段练习）方程9,+|1-3，|=5的实数解

为

【答案】x=log32

【分析】分工W0、%>0两种情况化简方程—+|1-3^|=5,求出析的值,解之即可.

【详解】当》<0时，贝呼W1,由尹+|1-39=5可得（3守—3乂—4=0,可得3工=手（舍）；

X

当%>0时，贝[|3*>1,由/+|1-3|=5可得（3支产+3,-6=0,可得3工=2,解得x=log32.

故答案为：x=log32.

【变式6-1]1.（2022上•上海杨浦•高一复旦附中校考期末）方程32,-3，+】+2=0的解为.

【答案】x=0或嗨2

【分析】利用换元法，令/=t,即可进一步求解.

【详解】令3工=t,

则方程化为t2-3t+2=0,

解得t=1或t=2,

即3,=1或3丫=2,

故答案为：x=。或log32.

【变式6-1]2.（2021•上海•高一专题练习）方程8x2,=3--9的解为

【答案】x=-3或久=log32+3

【分析】将原方程化为2>3=3（*3）（X-3）,可得％+3=o或3>3=2,即可得出原方程的解.

【详解】因为8x2才=3/-9,即>+3=3（X+3）（X-3）,

所以，x+3=0或=2,即x+3=。或x-3=Iog32,解得x=-3或x=3+log32.

故原方程的解为久=-3或x=log32+3.

故答案为：X=-3或x=log32+3.

【变式6-1］3.（2023・高一课时练习）求方程#-3，+i-4=0的实数解.

【答案】x=log34.

【分析】利用换元法，令t=3,>0,则原方程可化为产-3t-4=0,解一元二次方程组即可.

【详解】令t=3工>0,则原方程可化为严-3t-4=0,

解得t=4或t=-1（舍去）,即3*=4,所以比=log34.

【变式6-1】4.（2020下•高一课时练习）解关于x的方程：“7+4包-2（57—4二1=1.

【答案】X-log7+4^g4

【分析】设1=V7+4V3,再根据（7+4仔）X（7-4次）=1代入求解关于卢的二次方程即可.

【详解】设1=77+4V3,则（，7+4旧尸一2“7-4圾工=1即/-2Q"=1,即产久一2=产，所以

（户-2）（户+1）=0,因为户>0,故/=2,即％=logt2,即久=logr—?=2=log12=log7+4^34.

7-3（7+4V3）2

故解得％=10g7+4b4

【点睛】本题主要考查了对数与指数函数的方程求解，需要根据题意观察数据之间的关系，再换元结合对

数的运算求解.属于中档题.

题型7对数方程

【例题7】（2019・高一课时练习）已知函数f⑴=log3x，则方程［/（切2=2—log9（3x）的解集是.

【答案】｛3,手｝

【分析】由/（久）=log3x，代入得（log3X）2=2-log9（3x）；

再由对数的运算性质整理得（10g3X）2+夕嗝久-|=0,令1=10g3X,解关于t一元二次方程即可求解.

【详解】由已知得Qog3%）2=2-log9（3x）,

2

（10g3x）=2-|log3（3x）=2-|（log33+log3x）,

即（log3X）2+jlog3X一|=o,令［=log3X,

则方程可化为户+|t-|=0,解得t=1或t=-|,

•••x=3或x=--,

访程[/⑺猿=2-10g9(3x)的解集是｛3,畀.

故答案为｛3,同

【点睛】本题主要考查关于对数方程的求解，可采用换元法解方程，属于基础题.

【变式7-1]1.(2022下•云南红河•高一统考期末)方程ln(log2%)=0的解是.

【答案】2

【分析】根据对数的运算法则和运算性质，即可求解.

【详解】由对数的运算性质,可得ln(log2%)=0,可得log2K=1,解得X=2.

故答案为：2.

【变式7-1]2.(2022上•江苏连云港•高一统考期末)方程1嗝(3久+1)=1嗝(--9)的解为

【答案】％=5.

【分析】根据对数的运算及性质可得3x+1=%2-9,且3久+1>0,x2-9>0,即可求解.

222

【详解】解：由log5(3x+1)=log5(x-9)得3x+1=%-9,且3x+l>0,x-9>0,

由3久+1=x2-9,即(x—5)(x+2)=0,解得：x=5或x=-2,又3久+1>0,%2-9>0,

2

所以方程log5(3x+1)=log5(x-9)的解为：％=5

故答案为：久=5.

【变式7-1]3.(2020・高一课时练习)解下列对数方程.

(1)Iog2x-1(5久2+3%-17)=2；

(2)log久4+log2x=3.

【答案】(1)2；(2)2或4.

【解析】(1)根据对数的性质及指对互化原则，列出方程组，即可解得答案；

(2)原式可化为2logx2+log2x-3=0,令Iog2x=t,可得关于t的一元二次方程，即可求得答案.

2%—1>0

5%24%3%-1?>0，

(5/+3x—17=(2x—l)2

(2x-1>0

即2%—lHl，解得：x=2或x=-9(舍)；

(5x2+3%-17=4x2—4x+1

(2)由logx4+log2x=3,得210gx2+log2x-3=0,

令Iog2x=t,得|+t—3=0,即t2-3t+2=0,

解得t=l或t=2,

当t=l时，可得Iog2x=l,即x=2;

当t=2时，可得Iog2x=2,即x=4.

经检验x=2,x=4均符合题意，

故原方程的解为：x=2或x=4.

【变式7-1]4.(2020上•高一课时练习)解下列关于x的方程：

(1)log2x-log34-logs9=8；

2

(2)log5(2%+1)=log5(x-2)；

(3)(Igx)2+Igx3-10=0.

【答案】(1)25;(2)3;(3)10-5,102

【解析】(1)结合换底公式，将方程转化后即可求解.

(2)先求得x应满足的条件，再根据对数的性质转化为一元二次方程，解方程即可求解.

(3)将对数方程转化，因式分解后，根据对数与指数式的转化即可求解.

-

【详解】(I)--log2x-log34-log59=8

方程中的x应满足x>0

Igx21g221g3

—-----------------=8

lg2lg3lg5

即lg%=21g5=lg25

%=25

2

(2)log5(2x+1)=log5(x-2)

所以方程中的x应满足比>V2

22

由logs(2x+1)=log5(x—2)得2x+1=x-2

即/-2%-3=0,解得x=—1或久=3

因为x>夜,所以当久=-1时不满足真数大于0,舍去；

故x=3.

(3)(Igx)2+Igx3-10=0

所以方程中的X应满足X>0

方程整理得(Igx)2+3Igx-10=0,BP(Igx+5)-(Igx-2)=0

所以gIx=-5或Igx=2

解得久=10-5或％=102

经检验知,X=10-5,x=102都是原方程的解.

【点睛】本题考查了对数方程的解法才奂底公式及指数式与对数式的转化在解方程中的应用，注意解方程前需

先判断方程中定义域X应满足的条件，再通过转化方程的方式求解,属于基础题.

题型8指对方程

【例题8】(2023・江苏高一专题练习)方程叫3(9，-4)=乂+1的实数解为

【答案】log34

x+1x+1

【分析】由Iog3(>—4)=%+1,得log3(9,-4)=log33,贝一4=3,再解关于3,的二次方程即

可.

x+1

【详解】由log3(9*-4)=%+1,得咋3(>-4)=log33,

所以尹-4=3X+1,即(3*)2-4=3•3"

即(3,-4)(3、+1)=0,所以3*=4或3*=一1(舍去)，

所以久=log34.

故答案为：Iog34.

【变式8-1]1.(2023上•江西赣州•高一江西省信丰中学校考阶段练习)方程：2%+1=log3(l-2-3，)的

解是

【答案】-1

【分析】根据题意，由对数的运算，代入计算，即可得到结果.

X2xZ

【详解】因为2x+1=log3(l-2-3),即32才+1=1-2•3"所以3-3+2-3-1=0,

即(3-3X-1)(3X+1)=0,解得3•3/一1=0,贝！]x=—1,或3》+1=0无实根.

故答案为：-1

【变式8-1]2.(2021上•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习)关于x的方程2'=31唯5的解

为

【答案】x=log25

【分析】先根据指数与对数的关系得到比=10g23bg35,然后利用对数的运算性质和换底公式化简即得.

5

【详解】•.*=31呜5,.-.X=log2310g3=log35log23=警|xlog23=log25,

10g2§

故答案为：X-log25

+1

【变式8-1]3.(2020•上海•高一专题练习)方程log20+l)log2(2^+2)=2的解为.

【答案】0

x

【分析】设徵=log2(2+1),可得m=-2或m=1,即可得出结果.

xxx

【详解】设m=log2(24-1),则log2(2*l+2)=log22(24-1)=1+log2(2+1)=14-m

所以m(l+m)=2=>m2+m-2=0,解得ni=-2或=1

z

当m=-2时，-2=log2(2+1)无解

x

当m=1时，1=log2(2+1)=>x=0

故答案为：0

【变式8-1】4.(2021•上海杨浦统考二模)方程logs。-11)-1=1嘀(2,-3)的解为x=.

【答案】2

【分析】结合对数运算以及指数运算，解方程求得x的值.

x

【详解】依题意logs(4*-11)-1=Iog5(2-3),

x

log5p^)=logs(2-3),

=2X-3>0,

5，

(2X)2-5-2%+4=0,

(2X-1)(2X-4)=0,

即2*=1或2*=4,

解得x=。或％=2,

当久=0时，2*-3=-2<0,不符合题意，舍去.

所以x=2.

故答案为：2

题型9指对实际应用

【例题9](2023上•江苏扬州•高一扬州市新华中学校考阶段练习)当把一个任意正实数N表示成N=ax

10n(l<a<10,nGZ)的时候,就可以得出正实数N的位数是n+1,如：235=2.35x102,则235是一

个3位数.利用上述方法，判断123。的位数是()(参考数据：Ig2x0.3010,Ig3«0.4771)

A.32B.33C.34D.35

【答案】B

【分析】设123。=ax10n(l<a<10,n€Z),!J!]lgl230=lg(ax10n)=n+Iga,计算即可求出n=32,

从而得出结果.

【详解】设洋3。-ax10n(l<a<10,n6Z),JJl(jlgl230=lg(ax10n)—n+Iga

又因为lgl23。=301g(3X22)=30(lg3+21g2)«30(0.4771+0.3010X2)=32,373,

所以32.373=n+Iga,即Iga=32.373-n,

因为1<a<10,所以0<Iga<1,所以0<32.373-n<1,

解得：31.373<n<32,373,因为nGZ,

故n=32,所以123。的位数是32+1=33.

故选：B

【变式9-1]1.(2023上•湖北宜昌•高一长阳土家族自治县第一高级中学校考阶段练习)某网红城市鹅城

人口模型近似为P=32e。。15t(单位：万人)，其中t=。表示2015年的人口数量，则鹅城人口数量达到

60万的年份大约是()(参考数据6n2«0.693,In3«1.099,In5«1.609)

A.2037年B.2047年

C.2057年D.2067年

【答案】C

【分析】根据指对互化，即可求解.

【详解】P=32e0015t=60,即e°Qi5t=—,0.015t=In竺，