2025年中考数学复习提升训练：动点在梯形中的分类讨论 （含解析）

动点在梯形中的分类讨论

1、如图1,在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与无轴交于点4(-1,0)和点2(3,0),。为抛物线的顶

点，直线AC与抛物线交于点C(5,6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E在无轴上，且△AEC和△AEZ)相似，求点E的坐标；

(3)若直角坐标系平面中的点尸和点A、C、。构成直角梯形，且面积为16,试求点尸的坐标.

2、如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x+2与彳轴交于点4点B是这条直线上第一象限内的一个点，

过点8作无轴的垂线，垂足为已知△A3。的面积为18.

(1)求点2的坐标；

(2)如果抛物线了=-2/+法+(?经过点A和点8,求抛物线的解析式；

2

(3)已知(2)中的抛物线与y轴相交于点C,该抛物线对称轴与无轴交于点P是抛物线对称轴上

的一点，过点P作尸Q//AC交x轴于点。，如果点Q在线段上，且AQ=CP,求点尸的坐标.

图1

3、已知直线y=3x—3分别与无轴、y轴交于点A,B,抛物线yud+Zx+c经过点A,B.

U)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)记该抛物线的对称轴为直线/,点B关于直线/的对称点为C,若点。在y轴的正半轴上，且四

边形ABCD为梯形.

1

①求点D的坐标；

②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y=3尤一3交于点E,若

tanZZ)PE=-＞求四边形的面积.

4、如图1,把两个全等的R3A0B和RtACO。方别置于平面直角坐标系中，使直角边在无轴上.已

知点A(l,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点£、F.抛物线y=o?+6x+c经过。、A、C三点.

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)点尸为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点交无轴于点N,问是否存在

这样的点P,使得四边形为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若4AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),AAOB在平移的过程中与△COD

重叠部分的面积记为S.试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

5、已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点，且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的

另一交点为点B.

(1)求二次函数的解析式及顶点尸的坐标；

(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D使四边形。尸3。为等腰梯形？若存在，求出点。的坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外)，以每秒上个单位长度的速度由点尸

向点。运动，过点M作直线MN//X轴，交尸3于点N.将APA/N沿直线MN对折，得到△PiMM在动

2

点M的运动过程中，设APiMN与梯形0MN8的重叠部分的面积为S,运动时间为f秒，求S关于r的函数

关系式.

图1图2

1.思路点拨

1.由A、C、。三点的坐标，可以得到直线C4、直线ZM与无轴的夹角都是45。，因此点E不论在点A

的左侧还是右侧，都有因此讨论△AEC和△AED相似，要分两种情况.每种情况又要讨

论对应边的关系.

2.因为/C4。是直角，所以直角梯形存在两种情况.

满分解答

(1)如图1,因为抛物线与x轴交于点A(—1,0)和点2(3,0),设y=a(x+l)(x-3).

将点C(5,6)代入y=a(x+1)(%-3),得12a=6.

解得a=1所以抛物线的解析式为y=51(x+l)(x—3)=：1d—x—Q

1ai

(2)由y=—x2—x--=-(X-1)12-2,得顶点。的坐标为(1,一2).

222

由A(—1,0)、C(5,6)、。(1,一2),得/C4O=45°,Z£)AO=45°,AC=672,AD=2也.

因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有/C4E=/D4E.

3

如果△CAES^OAE,那么它们全等，这是不可能的.

如图2,图3,如果△CAEsAEAD,那么AE2=ACAD=6忘X2&=24.

所以AE=2#.所以点E的坐标为(-2n-1,0),或(2卡-1,0).

(3)因为NC4Z)=90。，因此直角梯形存在两种情况.

①如图4,当。刊/AC时，由S=g(O/+AC)-AD=16，得g(DR+6&>20=16.

解得DF=2啦.此时F、。两点间的水平距离、竖直距离都是2,所以尸(3,0).

②如图5,当C77/A£>时，由S=g(€T+AD)-AC=16,得;(CV+2&)-6夜=16.

解得Cf=2加.止匕时从C两点间的水平距离、竖直距离都是2,所以f(”,3).

2.思路点拨

1.△A3。是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点8的坐标.

2.AQ=CP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形.

平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：平行于等腰三

角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形.

满分解答

(1)直线y=x+2与x轴的夹角为45。，点A的坐标为(一2,0).

4

因为△A3。是等腰直角三角形，面积为18,所以直角边长为6.

因此00=4.所以点3的坐标为(4,6).

(2)将A(—2,0)、5(4,6)代入y=—；1+云+。，

得「2-2"C=0,解得=2,C=6.

[-8+4b+c=6.

所以抛物线的解析式为y=-；Y+2X+6.

(3)由丁=-」/+2%+6,得抛物线的对称轴为直线x=2,点C的坐标为(0,6).

-2

如果AQ=CP,那么有两种情况：

①如图2,当四边形C4。尸是平行四边形时，AQ//CP,此时点尸的坐标为(2,6).

②如图3,当四边形。1QP是等腰梯形时，作AC的垂直平分线交x轴于点尸，那么点尸在尸C上.

设点F的坐标为(x,0),根据FA2=FC2列方程，得(无+2)2=/+62.

解得尤=8.所以0F=8,HF=6.

39Q

因此PH=印入tanN/=6xz=].此时点尸的坐标为(2,-).

3.思路点拨

1.这道题的最大障碍是画图，A、&C、。四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就

可以了.

2.抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是。、P两点间的垂直距离等于7.

3.已知/OPE的正切值中的7的几何意义就是。、P两点间的垂直距离等于7,那么点尸向右平移到

直线x=3时，就停止平移.

满分解答

(1)直线y=3x—3与x轴的交点为4(1,0),与y轴的交点为2(0,-3).

5

将A(l,0)、8(0,—3)分别代入＞=0/+法+°,

得]a+2+c=0,解得]。=1,

[c=-3.[c=—3.

所以抛物线的表达式为y=/+2x—3.

对称轴为直线x=-1，顶点为(一1,—4).

(2)①如图2,点2关于直线/的对称点C的坐标为(一2,—3).

因为CDIIAB,设直线CD的解析式为y=3x+b,

代入点C(—2,—3),可得b=3.

所以点。的坐标为(0,3).

②过点P作尸轴，垂足为“，那么NPDH=NDPE.

3PH3

由tanZDPE=—，^tanZPDH=—=--

7DH7

而。H=7,所以PH=3.

因此点E的坐标为(3,6).

所以与加四=；(就(+必)/〃=24-

图2图3

4.思路点拨

1.如果四边形是等腰梯形，那么为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个

全等的直角三角形，A3边分成的3小段，两侧的线段长线段.

2.△AOB与△CO。重叠部分的形状是四边形EFGH,可以通过割补得到，即AOEG减去△OE".

3.求△OE”的面积时，如果构造底边OH上的高EK,那么RtAEHK的直角边的比为1：2.

4.设点4移动的水平距离为如那么所有的直角三角形的直角边都可以用机表示.

满分解答

(1)将A(l,2)、0(0,0)、CQ,1)分别代入y=a/+bx+c,

6

a+b+c=2,

得＜c=o角星得〃=一3,b=Lc=o.所以、=一3工2+7.1.

^2222

4a+2b+c=1.

(2)如图2,过点尸、〃分别作梯形A8PM的高PP、MMf,如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AAT

=BP',因此yA—yAT=yP—yB.

直线0c的解析式为y=；x,设点P的坐标为(x,；x),那么M(x,-gf+gx).

解方程2—(―+gx)=；x，得X|=g，x2=2■

x=2的几何意义是尸与C重合，此时梯形不存在.所以

(3)如图3,△AO8与△COZ)重叠部分的形状是四边形EFGH,作EK_LO。于K.

设点4移动的水平距离为加，那么0G=1+%，GB，=m.

在RtAOEG中，FG=1oG=1(l+m).所以SA。”=；Q+加产.

在RtA4HG中，A'G=2~m,所以”G=^A'G=！(2-〃7)=1—!机.

222

13

所以OH=OG-HG=(1+〃Z)-(1-5〃Z)=/〃Z・

在RtAOEK中，0K=2EK；在RtAEHK中，EK=2HK；所以0K=4HK.

因此OK=3O"=3*3〃Z=2〃7.所以EK=L(9K=〃Z.

3322

1]33

所以S"m^-OHEK=-x-mm^-m2.

AOEH2224

于是S=S.—S.=—(1+m)2——m2=——m2+—m+-=-(zu——)2+—•

AO0FGCAnOF£HR44224228

因为0＜小＜1,所以当加=工时，S取得最大值，最大值为3.

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5.思路点拨

7

1.第(2)题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行

四边形的情况.

2.第(3)题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是尸。的中点.

满分解答

4〃+左=0,

(1)设抛物线的解析式为丁=。(％-4)2+左，代入A(2,0)、C(0,12)两点，得＜解

16。+左=12.

6Z—1,

得《

k=-4.

所以二次函数的解析式为y=(x—4)2—4=x?—8x+12,顶点尸的坐标为(4,-4).

(2)由y=£-8x+12=(x-2)(x-6),知点2的坐标为(6,0).

假设在等腰梯形0P2D那么。尸=02=6.设