2025年中考数学复习：翻折问题

专题二翻折问题

知识与方法

折叠问题的实质是轴对称问题，是全等变换，其性质如下：

1.图形的全等：图中必有全等图形，对应边相等、对应角相等；

2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕所在直线）垂直平分.

典例精析

例1小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图221①，在RtAABC中,NACB=90o,/B=30o,AC=：l第一步,

在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠，点A落在A处,如图②;第二步，将纸片沿CA折叠，点D落在D处，如

图③.当点D恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段AD的长为.

答案：T或：2—V3

【简析】①当点D恰好落在直角三角形纸片的AB边上时.设AC交AB边于点E,如图2-2-2①,由题意

得:AADC之△A'DC之△ADC,AC垂直平分线段DD,

则/.D'A'C=/.DA'C=NA=60。,4c=AC=1,易求CE=A'E=1-y.

从而可得.4。'=2A'E=2-V3.

图2-2-2

②当点D恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图②，

由题意，得AADCdADC-AA'D'C,9=^A'CD=^'CD'=^ACB=3。。厕RAC=

z.DA'C=NA=60°,A'C=AC=1.可得A'D'=14c=

综上，线段AD的长为［或22-VI

例2（沿中位线折叠）如图223,在RtAABC中,NACB=9（T,AB=5,BC=3将点A折叠到点C处，则折痕DE的

长度为

A

图2-2-3

答案：|

【简析】由折叠的性质可知，DE是AABC的中位线DE=|.

变式1（沿边的垂直平分线折叠）如图224,在直角三角形ABC中,NACB=9（T,AB=5,BC=3,将点A折叠到点

B处，则折痕DE的长度为./•,

\\E

口木,8

【简析】解法一：（相似处理）图2-2-4

易知△ADES^ABC,，AE=DE3|］—=丝.解得DE=-.

438

解法二：（勾股定理处理）

设CD=x，则.AD=BD=4—x,；.%2+32=（4-x）2.解得x=（则BD=^.-.DE=］管丫—=装.

解法三：（面积处理）

^ABC~SABD+^BCD'•,--x3x4：=-x3x-+-x5xDE.DE——.

变式2（沿角平分线折叠）如图2-2-5,在RtAABC中,/ACB=90。,AB=5,BC=3,将点C折叠至l|AB边上的点E

处,折痕为BD,则DE的长度为.

图2-2-5

答案：|（可用变式1中三种方法）

变式3（沿斜边中线折叠）已知，如图2-2-6,在RtAABC中,/ACB=9（F,AB=5,BC=3,将点B沿斜边AB上的中

线CD折叠到点E处，连接AE,贝［|AE的长度为.

【简析】解法一：（隐圆处理）

本题出现了斜边上的中线，可知CD=AD=BD,又由折叠可知DE=BD,则可得A,E,C,B四点共圆，转化为圆的

内接四边形处理.

如图227,延长AE,BC交于点G,由折叠可知:CE=BC,

图2-2-7

贝！ICE等于BC,；.NGAC=/BAC.贝！|可由ASA证彳导AGAC丝Z\BAC,即GA=BA=5.设AE=x，贝！1GE=5-x,

易知AGECs^GBA,则穿=能即？=X=(即AE=I，

(JDADObb□

解法二：（面积处理）

如图228,连接BE,由折叠性质可知CD垂直平分BE,则S=SCDE+SBCD=2SABCD=SAABC,

四也形BLHD

BExCD=BCxAC.BE=g由解法一可知/AEB=90。，.•.4E=

解法三：（勾股定理处理）图2-2-8

如图229,过点D作DGLAE于G,连接BE交CD于点F.易得利用等积法可求出BF=普，利

用勾股定理求出DF=卷则AE=2DF=1.

CB

图2-2-9

解法四：（旋转处理）

如图2210将AAEC绕点C顺时针旋转/ECB的度数可得AABC,

由解法一,知NAEC+NABC=180。,

.../ABC+NA，BC=180。.则A1,B,A三点共线.

过点C作CFLAA：垂足为F,

12916

・•.CF=—,BF=-,AF=—.

555

77

・,.A'B=-.BPAE=

图2-2-10

变式4如图2211,在RtAABC中,/ACB=9（T,AB=5,BC=3,将点A折叠到点A处，目EA」BC,则折痕DE的

长度为

D

变式5如图2212在R3ABC中,NACB=90o,AB=5,BC=3,将点A折叠到点A处，且A，B=1,则折痕DE的长度

为.

图2-2-12

答案:15%

22

变式6如图2213在RSABC中,NACB=9（F,AB=5,BC=3,将点A折叠到点A处，使四边形ADA'E为菱形,

则折痕DE的长度为.

答案：呼

例3（沿对角线折叠）如图2-2-14,将矩形纸片ABCD沿AC折叠点B的对应点为E,线段CE交AD于点F,

已知AB=3,BC=4厕线段AF的长为

答案：

【简析】矩形折叠一般都会形成等腰三角形，是解题的突破口.“角平分线+平行线T等腰三角形”（知2推1很

重要）.

解法一：（勾股定理处理）设AF=x，则CF=x,DF=4-x,在RtADFC中,

必=（4一%）2+32,解得X=每

O

解法二：（三角函数处理）

如图2215过点F作FGLAC于点G,则AG=|,XF=

变式1（沿对角线的垂直平分线折叠）如图2216,折叠矩形纸片ABCD,使点B与点D重合折痕为EF,已知

AB=3,BC=4,贝（JEF=

【简析】解法一：（勾股定理处理）

如图2217,连接BD交EF于点O,设BF=x，则DF=x,CF=4—x,在RtADFC中Y=（4一久y+32,解得=-.

x8

即DF=全由折叠可知OD=「D=则由勾股定理可得OF=EF=学.

82284

解法二：（相似处理）

如图2218,连接BD交EF于点0,过点E作EGLBC于点G,

则可得AEGFs/XBCD（矩形中的“十字”必相似）,

解法三：（面积处理）

“角平分线+平行线T等腰三角形”（知2推1很重要）.

连接BE,BD易得四边形BEDF为菱形，则BFxCD=BDxEFx|,

即-x3=5xFFx-,

82r

・••ELFL=—15.

4

变式2（直角顶点折叠到某一边上）如图2-2-19,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5.沿过点C的直线折叠，点B落

到AD边上的点E处，折痕为CF,贝！J折痕CF的长为.

答案：（V10

【简析】解法一：（相似处理）

由折叠可知,CE=CB=5,则DE=4油"一线三直角”可得AAEFs^DCE,可得=|,

由勾股定理可知CF=

解法二：（构造等腰三角形处理）

如图2220,延长DA,CF交于点G,易得AECG为等腰三角形,，EG=5.

由解法一可得DE=4,则DG=9,由勾股定理可得：（GC=3国,又；△GAFs^CBF,相似比为gCF=的。=

|V10.

变式3（直角顶点折叠到矩形外侧）如图2221,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,将点B折叠到E处折痕为

PC,PE交AD于点F,且AF=2,则PB=

图2-2-21

答案：|

【简析】解法一：(勾股定理)

如图2-2-22,连接CF.

VAF=2,.\DF=5.

由勾股定理可知CF=5V2,

由折叠可知CE=7,则由勾股定理可得EF=1.设PB=xJ5!|PE=x,PF=x-l.AP=5-x,(x-I)2=(5-x)2+22.

解得x=(即PB=

解法二：(构造等腰三角形法，“角平分线+平行线一等腰三角形”)

如图2223,延长PE,CD交于点G.

可知ACPG为等腰三角形，且GP=CG.

由AAPFs^DGE得-=—=

MDGDF5

设AP=2x,GD=5x,贝!]PB=5-2x,

APE=5-2x.

VGC=5+5x,

；.GE=7x.由勾股定理得:((5+5x)2=72+(7x)2,解得/=[，冷=](舍去).(为什么会产生两个解呢？留个悬

念读者自行解决)

・•・AP3PB=7-.

=2%=22

变式4（直角顶点折叠到矩形外侧）如图2-2-24,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,将点B折叠到E处,折痕为

PC,PE交AD于点F,且AF=EF厕PB=.

【简析】（勾股定理+全等处理）如图2225，设CE交AD于点G,在RtACDG中，由勾股定理可得=当

变式5（二次折叠）已知，如图2-2-26①,在矩形ABCD中,AB=3.对折矩形纸片，将BC边与AD边重合，折痕为

MN,再将矩形纸片展开；如图②，将点A折叠到MN上,并使折痕经过点B,同时得到线段AB,则折痕

BE=.

图2-2-26

答案：2百

反思与总结

由上述题型可知，我们应抓住折叠的一个本质即折叠是一种全等变换，会藏有相等的角和边，这些条件恰恰是

我们解题的关键.我们还要树立方程思想，运用已知关系构造等式求解.一般来说，折叠问题求长度均可通过勾股定

理、相似、三角函数、面积法求解，我们解题时要学会灵活运用.

折叠问题中的“一二一”：

“一个本质+二项归类+一种思想”.

一个本质一折叠问题的本质是全等变换；

二项归类一折叠问题通常用于求角度和长度；

一种思想——方程思想.

进阶训练

1.如图2227将nABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处.交BC于点F.若/ABD=48、/CFD=4。。,

则NE的度数为（）

A.102°B.112°

C.122°D.92°

2.如图2228,将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3厕AO

的长为（）

A.V5B.|V5C.2V5D.4V5

3.如图2229,在AABC中,D是AC边上的中点，连接BD把ABDC沿BD翻折狷至以BDC,DC与AB交于

点E,连接AC.若AD=AC=2,BD=3,,则点D到BC的距离为（）

4.如图2230在R3ABC中,/ACB=9（T,AC=8,BC=6,将边BC沿CN折叠使点B落在AB上的点B处，再

将边AC沿CM折叠，使点A落在CB，的延长线上的点A，处，两条折痕与斜边AB分别交于点N,M,则线段

A'M的长为)

A-IB.|C-IDl

5.如图2231,在RtAABC纸片中,NACB=9(F,AC=4,BC=3点D,E分别在AB,AC上，连接DE,将AADE沿DE

翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上.若FD平分/EFB厕AD的长为()

图2-2-31图2-2-32

6.如图2232,已知AD〃BC,AB，BC,AB=3,E为射线BC上一个动点，连接AE,将AABE沿AE折叠点B

落在点B处过点B作AD的垂线，分别交AD,BC于M,N两点.当B为线段MN的三等分点时，BE的长为()

A.-B.-V2

22

c.|或|V2£>.|V2或|V5

7.如图2-2-33,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在

EF上的点A处，得到折痕BM,BM与EF相交于点N.若直线BA交直线CD于点O,BC=5,EN=1,则0D的

长为()

X.|V3B.|V3C.JV3£).|V3

8.如图2234矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=3,点P在BC上，将ACDP沿DP折叠，点C落在点E

处.PE,DE分别交AB于点O,F,且OP=OF,则cosZADF的值为()

9.如图2-2-35,在RtAABC中,NBAC=9(T,AB=2V^,AC=6,点E在线段AC上，且AE=1,D是线段BC上的一

点，连接DE,将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE.当点G恰好落在线段AC上时,AF=.

10.如图2236是一张矩形纸片ABCD,M是对角线AC的中点点E在BC边上把ADCE沿直线DE折

叠使点C落在对角线AC上的点F处若MF=AB,则/DAF=_____度

11.如图2-2-37①，在AABC中，AB=4V2,ZB=45°,ZC=60°.

(1)求BC边上的高线长.

(2)E为线段AB的中点点F在边AC上，连接EF,沿EF将AAEF折叠得至！］APEF.

①如图2237②，当点P落在BC上时，求NAEP的度数.

②如图2237③，连接AP,当PFXAC时.求AP的长.

图2-2-37

12.如图2238直线y=-|乂+6与x轴交于点B,与y轴交于点A,点P为线段AB的中点，点Q是线段

OA上一动点(不与点O,A重合).

(1)请直接写出点A,点B,点P的坐标.

⑵连接PQ,在第一象限内将AOPQ沿PQ翻折得到AEPQ,点O的对应点为点E.若/OQE=90。,求线段AQ的

长.

(3)在⑵的条件下，设抛物线ax2-2a2%+a3+a+l(a0)的顶点为点C.

①若点C在APQE内部(不包括边).求a的取值范围.

②在平面直角坐标系内是否存在点C，使ICQ-CEI最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理

由.

13.如图2-2-39①，在RtAABC中,NACB=90o,NA=6(r,CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将

ABDE沿DE折叠，点B的对应点为点F.

⑴若AB=a，直接写出CD的长(用含a的代数式表示)；

⑵若DFLBC,垂足为G,点F与点D在直线CE的异侧，连接CF,如图②，判断四边形ADFC的形状，并说

明理由；

⑶若DF_LAB,直接写出NBDE的度数

图2-2-39

14.在矩形ABCD中，BC=WCD,点E,F分别是边AD,BC上的动点，且AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF

折叠，点C落在点G处.点D落在点H处.

⑴如图2240①，当EH与线段BC交于点P时,求证:PE=PF;

⑵如图②，当点P在线段CB的延长线上时,GH交AB于点M,求证:点M在线段EF的垂直平分线上；

⑶当AB=5时在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

备用图

图2-2-40

15.如图2241,已知正方形ABCD,点E是BC边上一点，将AABE沿直线AE折叠点B落在点F处，连接

BF并延长，与/DAF的平分线相交于点H,与AE,CD分别相交于点G,M,连接HC.

⑴求证:AG=GH.

⑵若AB=3,BE=1,求点D至!］直线BH的距离.

(3)当点E在BC边上(端点除外)运动时,NBHC的大小是否变化？为什么?

图2-2-41

答案

进阶训练I

1.B［解析］,."□ABCD中,AD〃BC,

ZADB=ZDBC.

由折叠可彳导/ADB=NBDF,

ZDBC=ZBDF.

又/DFC=40。，

ZDBC=ZBDF=ZADB=20°.

又/ABD=48°,

AABD中，NA=180°—20°-48°=112°.

ZE=ZA=112°.

故选B.

2.C［解析］由折叠可得/AFO=NCFO,AF=CF,

四边形ABCD是矩形，

••.AD//BC,ZB=90°..*.ZCFO=ZAEO.

ZAFO=ZAEO.Z.AE=AF=5=CF.

BF=3,.-.AB=VXF2-BF2=4,BC=8

•••AC=y/AB2+BC2="6+64=4V5.

由对折得：。4=OC==2有.故选C.

3.B［解析］如图，连接CC,则CC」BD,垂足记为F.

•••D是AC边上的中点,，DA=DC.

由折叠可知.DC=DC,

贝!JDA=DC=DC,ZAC'C=90°.

•••AC=AD=2,

：.CC=2V3,DF=1,BF=2.BC=小点D到BC的距离等于点D到BC的距离，考虑用等积法.过点D作DH

_LBC交BC于H,

则BD-CF=BCDH,代入解得：DH=噜=手，故选B.

4.B［解析］VAC=8,BC=6,ZACB=90°,AAB=10.

VAB'CN,AA'CM分另（J由ABCN,AACM翻折得至U,

AB'CN^ABCN,AA'CM^AACM.

ZA'CM=ZACM,ZB'CN=ZBCN,ZB'NC=ZBNC=90°,B'C=BC=6,A'C=AC=8.

.,.A'B'=8-6=2,ZMCN=45O.

ZNMC=45°.

.,•ZAMC=ZA'MC=135°.

^A'MB=135°-45°=90°.

ZA'MB=ZCNM.A'M//CN.

ACNB'^AA'MB'.

设CN=x,MB'=a，贝!JMN=x,NB'=x-a,

­•--=解得a=2%.

ax-a4

•2

B'N=BN=-x.

4

在RtABCN中，BN2+CN2=BC2,

2

（5）+/=62解得X=g（负值已舍）.

7774R

A'M=XM=10-BM=10--x=10--X—=

4455

5.D［解析］如图，过点D作DHLBC于H在RtAABC中,NACB=9(F,AC=4,BC=3,由勾股理得AB

V32+42=5.

♦."各AADE沿DE翻折彳导AFDE,

.*.AD=DF,ZA=ZDFE.

：FD平分/EFB,

/.ZDFE=ZDFH..\ZDFH=ZA.

设DH=3x,在RtADHF中，sinzDFW=sinX=|,

:.DF=5x.BD=5-5x.

•••ZXBDHsABAC,.••!!=器=竽.

44cL20

・•・%=一・•••=5x=——.

77

6.D［解析卜①当MB'=：时'时,如图,1<3人］\48，中，AB'AB=3,MB'=^AB=1,

AM=<AB'2-MB'2=2V2.

：AD〃BC,ABJ_BC,MN±AD,

.••四边形ABNM是矩彩

BN=AM=2V2.

设BE=x，则B'E=K,EN=2V2-x,

RtAB'EN中，B'N=MN-MB'=2,EN2+B'N2=B'E2,

(2V2—x)2+22=解得x=誓.

；.BE的长为苧；

②当N夕=^MN时，如图.

1

•・•NB'=-MN=l

3f

.・.MBf=2.设BE=y，同①可得y=—,

•••BE的长为詈.

综上所述，BE的长为学或千•故选D

7.B［解析］•••EN=1,；.由三角形中位线定理，得AM=2.

由折叠的性质，可得.A'M=2,

VAD//EF,

ZAMB=ZA'NM.

,/ZAMB=ZA'MB,

AAA'NM=AA'MB.

：.A'N=A'M=2..-.A'E=3,A'F=2.

过M点作MGLEF于G,

.".NG=EN=1..\A'G=1.

由勾股定理得MG=722-12=回

：.BE=MG=V3.

•••OF:BE=A'F-.A'E=2:3,

c口2^3c八w2y［3近

OF=——./.OD=V3----=——.

333

故选B.

8.C［解析］由题意得:RtADCP丝RtADEP,；.DC=DE=4,CP=EP.

在AOEFfflAOBP中,/EOF=NBOP,/E=/B,OF=OP,

AOEF^AOBP(AAS).OE=OB,EF=BP.

设EF=x,贝!］BP=x,DF=4-x,

又BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

/.AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x.

在RtADAF中，AF2+AD2=DF2,

即(1+x)2+32=(4-x)2,

解得久=!".EF=I，DF=4—|=/

...在RtADAF中，COS/.ADF=蔡=得.

9.竽［解析］如图，过点F作FHLAC于H,：将四边形ABDE沿直线DE翻折得到四边形FGDE,AB=

FG=2y/2,AE=EF=l,ZBAC=ZEFG=90°.

厂'、"

EG=y/EF2+FG2=Vl+8

.□厂HFFG

smZ-FEG=—=——,

EFEGF

HF2V22V2

133

EHEFEH1

cosZ-FEG=—=—"♦—=一.：.EH=

EFEG133

4

・•.AH=AE+EH=

3

.•.AF=JAH—"=7y+|_2而

10.18［解析］连接DM,如图:

4p

BEC

•・•四边形ABCD是矩形,・・・NADC=90。.

M是AC的中点,DM=AM=CM.

JZFAD=ZMDA,ZMDC=ZMCD.

DC,DF关于DE对称,JDF=DC.

JNDFONDCF.

MF=AB,AB二CD,DF=DC,MF=FD.

JZFMD=ZFDM.

ZDFC=ZFMD+ZFDM,

JZDFC=2ZFMD.

ZDMC=ZFAD+ZADM,

.\ZDMC=2ZFAD.

设NFAD=x。,贝!J.乙DFC=4x°,

：.ZMCD=ZMDC=4x°.

ZDMC+ZMCD+ZMDC=180°,

2x+4x+4x=180,/.x=18.

11.解：(1)如图，过点A作ADLBC于D.

在RtAABD中，AD=AB-sin45°=4A/2xy=4.

；.BC边上的高线长为4.

⑵①由折叠知AAEF也△PEF,AE=EP.

VE为线段AB的中点,，AE=EB.

BE=EP./EPB=/B=45。.

ZPEB=90°.AZAEP=180°-90°=90°.

②由⑴可知:"，

VPFXAC,

JZPFA=90°.

由折叠知4AEF之ZiPEF,

・•・ZAFE=ZPFE=45°.

JZAFE=ZB.

ZEAF=ZCAB,

AAEF^AACB.

AF_AE日口AF_2V2

■■■布=族，即港=亚.

3

AF=2V3.

在RtAAFP中,AF=FP,

AP=V2XF=2V6.

12.解:(l)A(0,6),B(4,0),P(2,3).

⑵如图过点P作PFLOA于F.

1

•・•(OQE=90°,・・・Z.OQP=*QE=45°.

.*.QF=PF.

・.•点P(2,3),・•・QF=PF=2,OF=3.AOQ=5.

•・•点A(0,6),，AO=6.

・・・AQ=6-5=1,即AQ的长为1.

(3)①y=a(%2—2ax+a2)+a+1=a(%—a)2+a+l,

・•・其顶点C的坐标为(a,a+l).

・••点C是直线y=x+1(x^0)Jz一点.

•・・ZOQE=90°,OQ=5,

当y=5时,x=4.

又•・,点P(2,3)在直线y=x+l上，

・・・当点C在"QE内部(不含边)时，a的取值范围是2<a<4.

②存在点C使ICQ-CEI最大，其坐标为（

13.解：⑴CO=ja.

(2)四边形ADFC是菱形.理由如下：

由折叠的性质得DF=DB,

,.,ZA=60°,.*.ZB=30°.

•••AC=-AB=AD=DB.AC=DF.

2

VDFXBC,・・・AC〃DF.

・•・四边形ADFC是平行四边形.

VAD=DB=DF,

・•・平行四边形ADFC是菱形.

(3)NBDE=45。或NBDE=135°.

［解析］分两种情况：点E在线段BC上，点E在BC的延长线上，如图①，图②.

14.解:⑴证明:,・.四边形ABCD是矩形,

JAD〃BC.・・・ZDEF=ZEFB.

由翻折变换可知,NDEF=NPEF,

・•・NPEF=NPFE.・・・PE=PF.

⑵证明:如图，连接AC交EF于O,连接PM,PO.

・.•AE//CF,・•・ZEAO=ZFCO.

AE=CF,ZAOE=ZCOF,

・•・△AEO之△CFO(AAS).JOE=OF.

PE=PF,・•・PO平分NEPF.

AD=BC,AE=FC,ED=BF.

由折叠的性质可知ED=EH,・・.B