2025年新高考数学专项复习：抽象函数七大题型（原卷版）

专题4-1抽象函数七大题型汇总

。常考题型目录

题型1抽象函数的定义域........................................................................1

题型2抽象函数求值............................................................................2

题型3抽象函数解不等式........................................................................3

题型4抽象函数求解析式........................................................................4

题型5抽象函数的值域..........................................................................5

题型6抽象函数的单调性........................................................................6

题型7抽象函数的奇偶性........................................................................8

U题型分类

题型1抽象函数的定义域

【方法总结】

对于抽象函数定义域原则为括号里范围相同。

【例题1】（2023上•甘肃白银•高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数y=/（%）的定义域是[-1,3],

则y=/（2x-1）的定义域是（）

A.[0,2]B.[-1,3]C.[0,4]D.[-j.o]

【变式1-1】L（2022上•北京•高一北京市第一六一中学校考阶段练习）已知f（x）的定义域为[1,2],则f（团）

的定义域为

【变式1-1]2.（2023上•安徽阜阳•高一阜阳市第三中学校考期中）若函数八久）的定义域为[0,4],则函数

gO）=/（k-1|）+/弄勺定义域为

【变式1-1]3.（2023上河南•高一校联考期中）已知函数/⑺的定义域为[0,4],则函数y=/（/）的定义

域为

【变式1-1J4.（2023上•山东潍坊•高一统考期中）已知函数y=/㈤的定义域为[-2,5],则函数y=

x-1

的定义域为

题型2抽象函数求值

【方法总结】

抽象函数大题，基本技巧是赋值，有如下规律技巧：

1.第一层次赋值：常常令字母取o,-1,1.

2.第二层次赋值：若题中有条件f(X。)=t,则再令字母取X。.

3.第三层次赋值：拆分赋值.根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积(较

多)或者差与商(较少).如4=2X2,8=4X2;拆成和，3=1+2=1+1+2等等

【例题2】(2021•全国•高一专题练习)已知函数/'(%)满足f(孙)=f(x)+“y)且％,yeR，则6)+/(|)+f

(1)+/(2)+/(3)=()

A.0B.1C.-2D.5

【变式2-1]1.(2015上•上海徐汇•高一位育中学校考期中)对％eR,y6R,已知/0+y)=/(x)./(y),

且"1)=2则®+®+/+…+"2。15)"2016)的彳百为

日八),人Jf⑴十f⑵十f(3)十十八2014)+f(2015)HM旦刀,

【变式2-1]2.(2020上•安徽安庆•高一安徽省怀宁中学校考阶段练习)若对任意的居yGR,有八龙)+

/(y)-/(%+y)=3,函数g(x)=品+f(x),则g⑵+g(-2)的值为

【变式2-1J3.(2018・重庆•高一重庆南开中学校考期中)已知函数;'(X)对任意的实数x,y都满足f(x+y)+

f(x-y)=2f(x)/(y)且f(1)=则f(2)+f(-2)的值为

【变式2-l】4(2020・高一课时练习波偶函数f(x)满足:/(1)=2目当时町丰0时/("可)=黑券,

八町十八刃

则八一5)=

【变式2-1]5.(2020上•高一课时练习)已知定义在R上的函数/(%)，其值域也是R，并且对任意比,y&R,

都有〃犷(y))=xy，则|/(2017)|等于()

A.0B.1C.20172D.2017

【变式2-l】6.(2023上•山东济宁•高一嘉祥县第一中学校考阶段练习股函数y=f(久)的定义域为(0,+8),

f(xy)=+/(y),若/(8)=6,则/'(a)等于()

A「”.lC.|D.i

【变式2-1]7.(2023上•安徽阜阳•高一阜阳市第三中学校考期中)已知函娄好3满足：f(x)丰0,且对任

意的非零实数,都有/'(x+y)=©+成立，/(1)=2.若/(7?)=/(n+I),??eZ,则

n=.

题型3抽象函数解不等式

【方法总结】

简单概括为f的"穿"、"脱”问题。将函数符号加上即为"穿"、将函数符号去掉即为"脱"，

根据函数值相等——先"穿"，根

据函数的单调性----后"脱"。

【例题3](2023上•湖南•高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习)已知定义在R上的函数人光)在[0,+8)

上是增函数，且对任意的x,y,都有f(盯)=/(%)/(y),若f(-1)=1,则f(x)<1的解集为.

【变式3-1]1.(2023•重庆统考一模)已知定义域为(0,+8)的减函数了(比)满足/(盯)=/(%)+/(y),且

f(2)=-1，则不等式/(%+2)+/(%+4)>一3的解集为

【变式3-1]2.(2022上•河北唐山•高一滦南县第一中学校考期中)定义在(0,+8)上的/(%)同时满足以下

三个条件:①f⑵=2；②/(久)为单调函数；③对任意的x,y£(0,+8)，总有f(盯)=f(x)+f(y)一1,则

关于x的不等式外切>3的解的集合是

【变式3-1]3.(2023上•安徽•高一校联考期中)已知f(x)是定义在R上的减函数，且对于任意eR,

总有/(x)+/(y)=/(x+y)+2,若使-ax)+f(x-a)>4成立的解集中恰有两个整数,则实数a的

取值范围为

【变式3-1J4.(2021上•四川•高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习)设/(切为定义在R上的增函数,

且/"(%)ho,对任意%i，久2eR都有fCq+久2)=fOi)/(久2).

(1)求证：f(x)>o;

(2)求证：/(%1-X2)f(X2)=f01)；

(3)若/⑴=3,解不等式外4式)>9/(%).

【变式3-1】5(2021上•宁夏中卫•高一中卫一中校考阶段练习定义在R上的函数f(X),当X>0时-久)>1,

且对任意的x,y6R,有/(%+y)=/(x)-/(y),/(I)=2.

(1)求/(0)的值；

(2)求证：对任意x6R,都有f(久)>0；

(3)解不等式/(4一2x)>4.

题型4抽象函数求解析式

【例题412021上•江苏南京•高一南京外国语学校校考期中匿函数/(久)满足eZ?,/(xy)=,

写出一个符合要求的解析式f。)=

【变式4-1]1.(2022上•江苏苏州•高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习)请写出一个满足

f(xy)=f(x)+/(y)的增函数fO)=.

【变式4-1]2.(2023上•湖南衡阳•高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习)Vx>0,Vy>0,f(孙)=

f(x)+/1(y),当0cx<l,/(x)<0;x>l,/(x)>0,则/(x)=

【变式4-l】3.(2021上•全国•高三校联考阶段练习塔定义在R上的函数f(x)满足①对于任意的eR,

都有f(*y)=-/(x)/(y)；②"久)为奇函数.则函数/0)的一个解析式可以是

【变式4-1】4.(2021•江苏南通•统考模拟预测)已知;'(%)在(0,+8)上是减函数，且f(x)+/(y)=f(孙)+1

对任意的％G(0,+8)都成立，写出一个满足以上特征的函娄妤Q)=

【变式4-1]5.(多选)(2023上•浙江•高一校联考期中)已知函数f⑺定义域为R,且/(久)=G)(xe

(-00,0)U(0,+00)),/(X)+((y)+xy=f(x+y)，则下列说法正确的是()

A./(O)=0B./(3)=3

2

c./(X)-f(—x)=xD.f(x)=手

【变式4-1]6.(2023•全国•高三专题练习)设/(%)是定义在实数集R上的函数，且对任意实数x,y满足

f(x-y)=/(无)+/(y)+xy-1恒成立.

(1)求f(0),f⑴;

(2)求函数f(x)的解析式；

(3)若方程(2x)]=k恰有两个实数根在(-2,2)内，求实数k的取值范围.

【变式4-1]7.(2022上•江苏淮安・高一江苏省洪泽中学校联考期中)某问题的题干如下："已知定义在R

上的函数满足：①对任意比、y6R，均有2f(盯)=/(%)•/(y)；②当x>0时,/(%)>0;③f(2)=16：

某同学提出一种解题思路，构造/'(>)=a•/(a力0),使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以

下问题.

(1)求"久)的解析式；

2

(2)若方程f(%)=岂恰有3个实数根，求实数m的取值范围.

题型5抽象函数的值域

【例题5](2019上•河南•高一校联考阶段练习)定义在R上的函数/(久)对一切实数x、y都满足九久)丰0,

且f0+y)=/O)"(y),已知“乃在(0,+8)上的值域为(0,1),则/(X)在R上的值域是()

A.RB.(0,1)C.(0,4-00)D.(0,1)u(1,+oo)

【变式5-1]1.(2019上•河北保定•高一统考期中)已知函数/⑺对于任意实数"GR总有/⑶+/(y)=

f(x+y),当x>0时f(久)<0,/(I)=-|.

Q)求/⑺在[-3,3]上的最大值和最小值

(2)若f(%)+f(x-2)<4有成立，求x的取值范围.

【变式5-112.(2021・高一单元测试)函数〃久)的定义域为(0,+8),且对任意%>0,y>0都有f6)=

f(x)-f(y)+1,且f(2)=2,当久>1时，有f(x)>1.

(1)求/⑴，f⑷的值；

(2)判断以久)的单调性并加以证明；

(3)求f(比)在［1,16］上的值域.

【变式5-1］3.(2023上•广东东莞•高一校考期中)已知函数f⑺，对于任意的居yeR,都有/(x+y)=

f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且/⑴=-|.

(1)求f(0),f(3)的值；

(2)当-8<x<10时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(3)设函数g(X)=/(x2-m)-2/(|x|),若方程g(x)=0有4个不同的解，求m的取值范围.

【变式5-1】4.(2018上•河北保定•高一校联考期中)已知函数f(%)的定义域为(0,+8)目对一切久>0,

y>0者B有/'(%y)=/(%)+/(y),当％>1时，有〃久)>0.

(1)判断/(%)的单调性并加以证明；

(2)若〃4)=2,求/(%)在［1,8］上的值域.

题型6抽象函数的单调性

【方法总结】

在证明抽象函数的单调性时的方法时需要构造的数量关系是久然后灵活运用题

2=%1X1--,

目的法则进行求解证明是关键，在证明过程中题目中的每一句都要进行灵活运用，类似单

调性定义证法作差，化简，定号.本题有难度，需要在平常学习过程中多积累，多思考，

多运用方法解题.

【例题6］(2022上福建厦门•高一厦门一中校考期中淀义在区间(-1,1)上的函数/⑴满足:/(%)-/(y)=

/(奇),x6(T0)时<0，若a=/(<+/0，b=,c=/(0),则©=,三个实数

a,b,c最大的为

【变式6-1]1.(2023上•北京•高一北京市十一学校校考期末)已知函数f(x)的定义域为(0,+8),满足对

任意居yG(0,+co),都有f(孙)=/(x)-/(y)-/(x)-f(y)+2,且x>1时,/(%)>2.则下列说法正确的

是.

①/(I)=2；②/(I)=1；③当x6(0,1)时J(x)<2；④/(x)在(1,+8)上是减函数；⑤存在实数k使得函

数y=1/(%)+刈在(0,1)上是减函数.

【变式6-1】式2020•高一课时练习)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+y)=f(x>f(y),当%>0时,fW>l.

(1)求询；

(2)求证：f(x-丫)=篇;

(3)判断f(x)的单调性.

【变式6-1]3.(2023上•河南驻马店•高一校联考阶段练习)已知定义在(0,+8)上的函数/(久)对于Vx,ye

(0,+8),都满足+((y)=f(xy)+3,且当x6(0,1)时,/(%)<3.

(1)求f(1)的值；

(2)根据定义，研究/(%)在(0,+8)上的单调性.

【变式6-1]4.(2023上•山东德州•高一校考阶段练习)函数/⑺满足对一切〃久+y)+2=/(%)+f(y),

且/⑴=0；当久>1时,有/(为<0.

⑴求了(一1)的值；

(2)判断并证明/(比)在R上的单调性；

(3)解不等式[/(——3%)]2+4/(%2—3%+2)+4<0.

【变式6-1]5.(2023上•重庆沙坪坝•高一重庆南开中学校考期中)已知“切为定义在(0,+8)上不恒为0的

函数，对定义域内任意％,y满足：2/(xy)=/(x)/(y),/(I)=2.且当久<1时，0</(%)<2.

Q)证明:/(%)>0；

⑵证明：f(X)在(0,+8)单调递减；

(3)解关于久的不等式：-2)>4.

题型7抽象函数的奇偶性

【方法总结】

证明奇偶性，实质就是赋值.如下常见证明奇偶性的赋值规律：

I.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f(0),f(l)等，

2.尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f(x+y),可令y=-x,f(xy),可令y=-1

等等

3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧.

实际授课，是实验探索第2条来推导赋值第1条

2

【例题7](多选X2023上•湖北•高一校联考期中)已知函数f⑺的定义域为R久)+x/(y),

则()

A./(0)=0B.Al)=0C.f(x)是奇函数D.