2025年中考数学几何模型归纳训练：等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分训练（解析版）

专题13等腰(等边)三角形中的重要模型之维维尼亚模型

维维亚尼定理(Viviani'stheorem)：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边

三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点尸跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点

的位置无关。它以温琴佐・维维亚尼命名。

而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去

相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连

接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。

目录导航

例题讲模型

.................................2

模型1.等边三角形中维维尼亚模型......................................................2

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型......................................................7

习题练模型

14

例题讲模型I]

模型1.等边三角形中维维尼亚模型

模型解读

条件：在等边VABC中，尸是平面上一动点，过点尸作PELAC,PF±BC,PD±AB,过点A作

结论：①如图1,若动点尸在三角形ABC内时，贝ij尸£>+尸E+Pb=AM；

②如图2,若动点尸在三角形ABC外时，贝UP£）+PE-PF=AM。

（当点尸在三角形ABC外时，受尸的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

模型证明

证明：①如图1,连结AP,BP,CP。「VABC是等边三角形，，AB=BC=AC,

s=S+S+S；PD+PE+PF=AMo

HAOBLCnADBPrDBC\^Pr.ACP=-BC-AM

②如图3,连结AP,BP,CP。:VABC是等边三角形，.,.AB=BC=C4,

则SABC=S.p+SACP-SBCP=]AB.pD^ACPE^BCPF^BC.(PD+PE-PFy

7

SABC=SABp+SBCP-SACP=^BC-AM；：.PD+PE-PF=AM.

模型运用

例1.（2024・河北•二模）如图，尸为边长为2的等边三角形A2C内任意一点，连接E4、PB、PC,过尸点

分别作8C、AC、48边的垂线，垂足分别为。、E、F,则PD+PE+PF等于（）

BD

A.乎B.6C.2D.2月

【答案】B

【分析】求出等边三角形的高，再根据AABC的面积等于APAB、APBC,APAC三个三角形面积的和，列

式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高.

【详解】解：；正三角形的边长为2,...高为2xsin60°=G，，SAABC=；X2XG=6，

VPD,PE、PF分别为BC、AC、AB边上的高，.\SAPBC=-BC.PD,SPAC=-AC-PE,SPAB=-AB-PF,

2A2A2

,/AB=BC=AC,/.SAPBC+SAPAC+SAPAB=-BC«PD+-AC，PE+-AB«PF=-x2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF,

2222

；SAABC=SAPBC+SAPAC+SAPAB,PD+PE+PF=73.故选B.

【点睛】本题利用等边三角形三边相等的性质和三角形的面积等于被分成的三个三角形的面积的和求解.

例2.（2024八年级•广东・培优）如图，点尸为等边SBC外一点，设点尸到三边的距离PD=hl,PE=h2,PF=h3,

且%-色+4=6,则的面积等于（）

A.4A/3B.6A/3C.12有D.24石

【答案】C

【分析】本题考查等边三角形的性质，连接出、PB、PC,过8作8GLAC于点G,根据面积相等得出

^AC-BG+^BC-h2=^AB-\+^AC-h3,求出BG=/4-也+%=6,得出AC=2AG=2x#x6=，即

可求出面积.

【详解】解：如图，连接E4、PB、PC,过2作3GLAC于点G,

SABC+S尸BC=SMB+SPAC>—AC-BG+—BC-Jr,=~AB-+-AC-hi,

AB=AC=BC,BG=hl—ho+h3=6,AC=2AG=2xx6=4^,

3

x4x

ABC=1^36=12^/3.故选：C

例3.（23-24八年级上•浙江宁波・期中）如图，尸是等边三角形A3C内一点，且9=4,PB=2拒,PC=2,

以下3个结论：①N3PC=120。；②AB=2币;③S4ABp=46；④若点尸到VABC三边的距离分别为PE,

PF,PG,贝用PE+Pb+PG=@A8,其中正确的有（）

2

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60。，得到一AHB,连接HP,由全等三角形的性质可得48=AP=4,

BH=PC=2,ZAHB=ZAPC,可证ZWP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求尸=90。，取HP中

点。连接BQ,根据直角三角形斜边中线性质可求====2=进判断为等边

三角形，ZHPB=30°,可得/AHB=1200=NAPC,ZBPC=150°,可判断①，由勾股定理可求A3的长，

可判断②，由三角形的面积公式可求sABP的面积，可判断③，由三角形的面积公式可求PE+W+PG的

值，即可判断④.

【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转60。，得到连接HP,

AAA

：..APC^AHB,NH4尸=60°,Af/=AP=4,BH=PC=2,ZAHB=ZAPC,

AA/户是等边三角形，:.HP=4,ZAHP=ZAPH=6O0,

'：HP2=16,BH2+BP2=16,/•HP2=BH2+BP~，:.ZHBP=90。,

取印5中点。连接BQ,BQ=g"P=PQ="Q=2=HB,.•.△BT/Q是等边三角形，

ZBHQ=ZBQH=60°,VQP=QB,：.ZQBP=ZQPB,

又ZBQH=ZQBP+NQPB：.NBPH=30°,；.ZAPB=ZHPB+ZAPH=90°,

ZAHB=ZAHP+ZBHP=120°=ZAPC,：.ZBPC=360°-ZAPB-ZAPC=150°,故①错误;

VZAPB=90°,ABNA^+BP2=2币,故②正确;

=百=4小，故③正确，如图，

：.-xAB-(PG+PF+PE}=—-AB2,：.PG+PF+PE=—AB,故④正确，故选：B.

21742

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形

的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

例4.(23-24八年级上•云南昆明・期末)如图(1),已知在VABC中，A5=AC,且/3=60。,过A作APLBC

于点尸，点M是直线8C上一动点，设点M到VA3C两边A3、AC的距离分别为祖，n,VABC的高为瓦

⑵如图(2),试判断机、〃、/?之间的关系，并证明你的结论.

(3)如图(3),当点M运动到BC的延长线上时，求证：或±£=4二+幽_

202220221011

【答案】（1）证明见解析（2）w+“=/z,证明见解析（3）证明见解析

【分析】（1）当点P与点M重合时，过点用作地，至于点。，于点E,由等边三角形的性质

得出BM^CM,^\S^ABM=S^ACM,根据三角形面积公式可得出结论；（2）连接AM,根据SABC=SABP+sAPC

可得出结论；（3）连接AM,根据SAMC+S.ABC=SABM可得出"+〃=机，进行变形后可得出结论.

【详解】（1）解：当点尸与点M重合时，机=〃，

理由：过点M作于点。，MEJ_AC于点E,如图，则ME>=加，ME=n,

P(.W)c

AB=AC,且NB=60°,：.NABC是等边三角形,

；AP_LBC即AM_LBC,BM=CM,：.SAABM=S^ACM,

：.-ABMD=-ACME,:.MD=ME,m=n.

(2)解：m+n—h.理由如下：如图②，连接AM,则5ABe=S钻”+SAMC，

：.-ABMD+-MEAC=-BCAP,即』AB•相+』，

222222

又：VABC是等边三角形，BC^AB^AC,帆+〃=力；

(3)解：如图，连接AM,则SAMC+SABC=§ABM，

：.-ACME+-BCAP=-ABMD,即-AC-n+-BC-h^-AB-m,

222222

又；VABC是等边三角形，AAC=BC=AB,：.n+h^m,

221

：.(m-=Jr,：.m+n-2mn=h,两边同时除以2022得，竺士或一2”

,720222022

.m2+«2mnh2日口m2+n2h1mn

202210112022202220221011

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用,

运用等积法建立关系式是解题的关键.

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型

模型解读

条件：如图，等腰VA3C（AB=AC）中，点P在8c上运动，过点尸作PH±AC,CE1AB,

结论：①如图1,若动点尸在边BC上时，贝UPE+PD=CR

②如图2,若动点P在BC延长线上时，则|尸广尸£|=8。

模型证明

证明：①如图1,连结AP；：VABC是等边三角形，

则++SARr=-AB-CF；.PE+PD=C尸。

AoCAtirAl^r2221A6C2

①如图2,连结AP；：VA3c是等边三角形，；.A8=AC,

则SAM=SVSABC=-ABCD^:.PF-PE=CD。

ADCABTAl^r222\A6C2

模型运用

例1.（23-24八年级上•广西百色•期末）如图，已知AA8C是等腰三角形，A8=AC,点。是8c上任意一点,

OE±AB,OF±AC,等腰三角形的腰长为4,面积为4月，则OE+OF的值为（）

【答案】B

【分析】连接A。,根据三角形的面积公式即可得到;AB・OE+；AC・OF”，根据等腰三角形的性质进而

求得OE+OF的值.

【详解】连接AO,如图，

AB=AC=4,/.SAABC=SAABO+SOC=-AB-OE+-AC-OF=12,

AA22

VAB=AC,A1-AB(OE+OF)=4』，.-.OE+OF=2^.故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键.

例2.（23-24九年级下•四川成都•阶段练习）如图，将矩形沿折叠，使点。落在点8处，P为折

痕防上的任意一点，过点P作尸GL3E,垂足分别为G,H,若AD=16,CF=6,则PG+PH=.

【分析】本题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和等角对等边是解决此

题的关键.连接3P,过点E作石。,3c于。，根据57^+58q=52^可得出23+叨=£1。，根据折叠的

性质可得CF=CN=6,BC'=CD,ZC=ZC=900,利用勾股定理求出8C',继而求出E。，然后即可求出

结论.

【详解】解：如图，过点E作EQLBC于。，连接成，

:四边形ABCD是矩形，AAD//BC,；.ZDEF=ZBFE,

由折叠可得，ZDEF=ZBEF,：.ZBFE=ABEF,：.BE=BF,

PG_LBE、PH_LBC,**.SBEF=SBEP+SBFP=—BE■PG+—BF-PH=—BF(PG+PH),

SBEF=^BFEQ,：.PG+PH=EQ,•..四边形ABCD是长方形，/.AD=BC,/C=/ADC=90°・

AD=16,CF=6,：.BF=BC-CF=AD-CF=1O.

由折叠易知，CF=C'F=6,BC=CD,NC'=NC=90。，

•*.BC,=VBF2-C,F-=8C'B=CD=EQ=8.:.PG+PH=EQ=8.故答案为：8.

例3.(23-24八年级下.江西吉安•阶段练习)数学课上，老师画出一等腰VABC并标注：AB=AC=10,

NA=30。，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答.

图1图2图3

（1）甲同学提出：ZB=ZC=度；（2）乙同学提出：VA3c的面积为：；

（3）丙同学提出：点。为边2C的中点，DEJ.AB,DFJ.AC,垂足为£、F,请求出DE+O/的值；

（4）丁同学说受丙同学启发，点。为边BC上任一点，DEJ.AB,DFJ.AC,CHYAB,垂足为E、F、H,

则有OE+OF=C〃.请你为丁同学说明理由.

【答案】（1）75。（2）25（3）5（4）见解析

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出结果即可；（2）过点B作交AC于点H,根据30。角所

1I1

对的直角边等于斜边的一半求出=根据三角形面积公式求出SJC=3AC-B〃=5X10X5=25

即可；（3）先证明=D尸，根据5坂=348-005皿3=34。£>尸得出5.=5.+$48=5（小+0厂）,

即5（。£+止）=25,即可求出结果；（4）连接AD,根据三角形的面积公式得出S=；Aa£>E,

sACD=-ACDF,S^^ABCH,根据以加+SA“8=SAMC，得出:49。石+：4。。P=："-0/,

乙乙乙乙乙

即=即可求出结果.

【详解】（1）解：AB=AC=IQ,ZA=30°,.-.ZB=ZC=1（180°-ZA）=75°；

（2）解：过点8作9LAC,交AC于点”，贝U：ZBHA=90°,

AAA

（3）解：连接AD,如图所示：AB=AC,点。为边BC的中点，平分/A4C,

-.DE±AB,DF1AC,：.DE=DF（角平分线的性质）；

'：AB^AC=10,:.SABD=-ABDE,SACD=-ACDF,

S^c=s△诙+S^ACD=^ABDE+^ACDF=^AC（DE+DF）=5（DE+DF）

由（2）知SMe=25,，5（DE+DF）=25,.\DE+DF=5；

（4）证明：连接AD,如图所示：

111

■:DELAB,DF1AC,CHLAB,:.SA/ADBUD=2-ABDE,SmACJD=2-ACDF,SABvC=2-ABCH,

sABD+SACD=SABC>ABAC,:.-AB-DE+-AC-DF=-AB-CH,

即：AB\DE+DF）=ABCH,:.DE+DF=CH.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练

掌握等腰三角形的性质，准确计算.

例4.（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,点P是底边8C上

的一点，PD±AB,垂足为点O,PELAC,垂足为点E.求证：PD+PE为定长.

（2）如图（2）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,点尸是底边3C的延长线上的一点，PDYAB,垂

足为点。，PELAC,垂足为点E.求证：PD-PE为定长.（3）如图（3）,已知：点尸为等边三角形A3C

内任意一点，过尸分别作三边的垂线，分别交三边与。、E、F.求证：PD+PE+PF为定长.

【答案】证明见解析

【分析】(1)首先过点C作CF1AB,垂足为点P；连接AP,根据S^BC=$△./>+S^CP列出等式，

-ABCF=-ABPD+-ACPE,然后根据AB=AC,即可得证；

222

(2)首先过点C作CF1AB,垂足为点歹；连接AP,根据SA"C=%ABP-SMCP，得出

-ABCF=-ABPD--ACPE,然后根据AB=AC,即可得证；

222

(3)根据S"Bc=&BCp+kcAp+SAABP，得出关系式，8C-AG=gARPO+gBC，E+gc4PF,然后

根据ABC为等边三角形，得出帅=3C=C4,即可得证.

【详解】(1)过点C作CF1AB,垂足为点尸；连接AP.

S&ABC=S^ABP+S^ACP>—■ABCF=—■AB-PD+--AC-PE.

又；AB=AC,；.PD+PE=CF,为定长.即等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长.

(2)过点C作CF/AB,垂足为点尸；连接”.

"SAABC=SAABP-SAACP,：.-ABCF=-ABPD--ACPE.

XVAB=AC,：.PD-PE=CF,为定长.

即等腰三角形底边的延长线上的任意一点，到两腰的距高之差等于定长.

⑶=++；,LBC.AG^.AB.PD+LBC.PE+LcA.PF.

又,:ABC为等边三角形，/.AB=BC=CA.：.PA+PB+PC=AG,为定长.

即等边三角形内一点到三边距离之和为定长.

【点睛】此题主要考查利用面积构建等式，结合等腰三角形和等边三角形的性质，即可解题.

例5.(2024.江西•一模)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1,ZB

=ZC,则四边形4BCD为等邻角四边形.

EDMEN

Ml

(1)定义理解：已知四边形A8CO为等邻角四边形，且乙4=130。，NB=120。，则/。=_____度.

(2)变式应用：如图2,在五边形A8CL比中，ED//BC,对角线平分NABC.

①求证：四边形A8DE为等邻角四边形；②若/A+NC+/E=300。，ZBDC=ZC,请判断△8。的形状，

并明理由.(3)深入探究：如图3,在等邻角四边形ABC。中，ZB=ZBCD,CE±AB,垂足为E,点P为

边8C上的一动点，过点尸作PALLAB,PNLCD,垂足分别为跖N.在点P的运动过程中，判断PM+PN

与CE的数量关系？请说明理由.(4)迁移拓展：如图4,是一个航模的截面示意图.四边形是等邻角

四边形，ZA=ZABCE为A8边上的一点，ED1AD,ECLCB,垂足分别为。、C,AB=2而dm,AD

=3dm,BD=屈dm.M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN,求与ACEN的周长之和.

【答案】(1)55。(2)①见解析；②△BCD是等边三角形，理由见解析

(3)在点P的运动过程中，PM+PN=CE,理由见解析(4)(6+2而)dm

【分析】(1)由NA=130。，NB=120。知不可能还有内角与NA、相等(否则内角和大于360。)，则NC=

ZD,即得ND=55。；(2)①由ED//BC得NEDB=/DBC,根据对角线2。平分NA2C得故

ZABD=ZEDB,即证四边形ABDE为等邻角四边形；②设NEDB=NDBC=NABD=x。,ZBDC=ZC=y°,由

NA+NC+NE=300。得3x+产240,在ABCD中，x+2y=180,可解得〈“，即ZDBC=60°,ZBDC=ZC=60°,

[y=60

故△8CO是等边三角形；(3)过P作PGLCE于G,由图象可得：四边形PMEG是矩形，再证明APGC0

△CNP,得CG=PN,PM+PN=EG+CG=CE；(4)作①/_L4，由(3)中的结论可得：ED+EC=BH,设

DH=xdm,利用BlP=BD2-DH2=AB2-AH2,解得尤,求得BH,进而求出ED+EC,再根据斜中线定理求得△£(£1〃

与ACEN的周长之和.

【详解】(1)解：：/A=130。，/B=120。，根据“等邻角四边形”定义可知：

/C=ND,：.Z£>=(360o-130°-120°>2=55°；

(2)①证明：,:EDHBC,AZEDB=ZDBC,

:对角线2。平分NABC,ZABD=ZDBC,：.ZABD=ZEDB,四边形为等邻角四边形，

②解："CO是等边三角形，理由如下：由①知：NEDB=NDBC=NABD,

设NEDB=/DBC=/ABD=x°,/BDC=NC=y。,

'：ZA+ZC+ZE=300°,五边形ABCDE内角和为(5-2)xl80°=540°,

AZE£>C+ZABC=540°-300°=240°,即：3x+y=240,

在△BCD中，ZDBC+ZBDC+ZC=l80°,即x+2y=180,

由联立方程组[[x3x++2y；=2148。0’解得0[x=60。,

/.ZDBC=60°,ZBDC=ZC=60°,△BCD是等边三角形；

(3)解：在点尸的运动过程中，PM+PN=CE,理由如下:

过P作PGLCE于G,如图：

'CPMLAB,CE1AB,PG1CE,：.ZPME=ZMEG=ZEGP=9Q°,

二四边形PMEG是矩形，：.PM=EG,ME//PG,ABIIPG,：.ZB=ZGPC,

VZB=ZNCP,：.ZGPC=ZNCP,,:PN1CD,：.ZPGC=ZCNP=90°,

'：CP=PC,：.APGC^AC^P(AAS),:.CG=PN,：.PM+PN=EG+CG=CE,

即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于CE；

(4)作881AD,垂足为X,如图：由(3)中的结论可得：ED+EC=BH,

设DH=xdm,则AH=AD+DH=(3+x)dm,

"：BH±AF,：.ZBHA=90°,/.BH^BD2-DH2=AB2-AH2,

VAB=2^3,AD=3,BD=V37,.'.(^/37)2-^2=(2^/13)2-(3+.r)2,解得：x=l,

J.BlP^BD2-DH2,=37-1=36,：.BH^6dm,；.ED+EC=6,

VZADE=ZBCE=90°,且M、N分别为AE、BE的中点，

DM=AM=EM=-AE,CN=BN=EN=-BE,

22

Z.ADEM与4CEN的周长之和

DE+DM+EM+CN+EN+EC=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC=DE+EC+AB=6+2岳,

ADEM与△CEN的周长之和为(6+2而)dm.

【点睛】本题考查多边形综合应用，涉及新定义等邻角四边形的证明，三角形全等的判定和性质，等边三

角形的判定和性质以及直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

习题练模型

2.（23-24八年级上.浙江宁波•期末）如图，在等腰AA3c中，AB=AC=5,BC=6,。是AABC外一点,

。到三边的垂线段分别为0。，OE,0F,且。Q:OE:Of=l:4:4,则A0的长度为（）

【答案】D

【分析】连接0A,0B,0C,由OD:OE:OF=1:4:4,设0D=x,0E=4x,0F=4x,根据0E=0F,得到AO为N

BAC的角平分线，再根据AB=AC,得到AO_LBC,根据三线合一及勾股定理求出AD=4,再根据

S/\ABC=S+SMCO—SABCO，得到方程求解即可.

【详解】解：连接OAQBQC,由OD:OE:OF=1:4:4,设OD=x,OE=4x,OF=4x,

•.,OE=OF,；.AO为NBAC的角平分线，

又：AB=AC,AAOIBC,；.AD为AABC的中线，:.A、D、0三点共线，，BD=3,

在R3ABD中，ADEAB-BD2比一手=4,=S/XABO+CO~S^BCO

【点睛】本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面

积公式是解题的关键.

2.（23-24九年级上.重庆・期中）如图，在等腰^ABC中，AB=AC,tanC=2,BDJ_AC于点D,点G是底

边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F,若BD=4,GE=1.5,则BF的长度为（）

A.0.75B.0.8C.1.25D.1.35

【答案】C

【分析】连接AG,根据SACGA+SABGA=SAABC,AC=AB,得到GE+GF=BD,求得GF的长，根据NABC=

GF

NC,得到tanNABC=tanC=2=,求解即可.

BF

【详解】解：连接AG,

SACGA+SABGA=SAABC,

—xACxGE+—xABxGF=—xACxBD,

222

•「AC=AB,

・・・GE+GF=BD,

VBD=4,GE=1.5,

・・・GF=2.5,

GF

tanNABC=tanC=2=，

BF

・・・BF=1.25.

故选C.

【点睛】本题主要考查锐角的正切值，三角形面积公式，解此题的关键在于作辅助线构造三角形.

3.（23-24八年级下•福建泉州•期中）如图，尸是三角形内一点，PD//AB,PE//BC,PF//ACf若

PD+PE+PF=6,且VABC是等边三角形，则VABC的周长为（）

A.12B.18C.24D.30

【答案】B

【分析】延长FP交2C于N,延长交AB于由条件推出四边形RWBD,四边形PNCE是平行四边

形，PFM,PDN是等边三角形，得到BC=M+PD+PE=6,即可求出VABC的周长.

【详解】解：延长FP交BC于N,延长EP交A3于M,

PD//AB,PE//BC,PF//AC,

二四边形四边形PNCE是平行四边形,

:.CN=PE,BD=PM,

ABC是等边三角形，

.•.々="=60。，

ZPDN=ZB=60°,ZPND=ZC=60°,

ZDPN=180。—ZPDN-ZPND=60°,

:-PDN是等边三角形,

同理：是等边三角形，

:.PD=DN,PF=MP,

:.PF=BD,

BC^BD+DN+CN=PF+PD+PE=6,

ABC的周长为6x3=18,

故选：B.

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，关键是由等边三

角形的性质，平行四边形的性质证明BC=PF+PD+PE=6.

4.（23-24八年级上•江苏常州•阶段练习）如图，VA3C为等边三角形，点。是BC边上异于2,C的任意一

点，DE/AB于点、E.DF工AC于点F.若3C边上的高线AM=6,则.

【答案】6

【分析】

此题主要考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索

问题的精神.

先设=则CD=6-x,根据VABC是等边三角形，得出NB=NC=60。，再利用三角函数求出ED和小

的长，即可得出DE+。尸的值.

【详解】

解：

3c边上的高线AM=6,

/.AB=BC=AC=4y/3,

设=贝lJCD=4A-尤，

一ABC是等边三角形,

...N3=NC=60°.

：.ED=BD-sin60°,即匹=迫尤，

6-3尤,

同理可证：DF=

2

DE+DF=必尤+6-且x=6.

22

故答案为：6.

5.（2024・四川成都•模拟预测）如图，在RtAiABC中，ZC=90°,CA=6,CB=8,点尸为止匕三角形内部（包

含三角形的边）的一点且尸到三角形三边的距离和为7,则CP的最小值为.

【答案】—A/5

【分析】以点C为原点，CB为X轴正半轴，C4为y轴正半轴建立平面直角坐标系，设尸为（x,y）根据已知

和等面积法得到X、y的关系式，则可知点尸在直线y=-2x+ll上运动，当CP垂直该直线时，CP最小，求

出CP所在的直线方程，联立方程组求点P坐标，再利用两点间距离公式即可求解.

【详解】如图所示，以点C为原点，CB为x轴正半轴，C4为V轴正半轴建立平面直角坐标系，

设尸为过尸作轴，尸产_Ly轴，PD±AB,

APE=y,PF=x,连接以，PC,PB,

••=S/kACP+S^BCP+，

—x6x8=—xxx6+—xyx8+—xlOxPZ),

2222

解得：PD=243;4y,

,/P到三角形ABC三边的距离和为7,

PE+PF+PD=1,

24-3x-4y_

即nr1：尤+y+———=7,

整理得：y=-2x+ll,

...点尸在直线y=-2x+ll上运动，设直线y=-2元+11为/,

.•.当cq，/交/于点《时，cq最小,

••kep、•k(—_1,..k(jR=~f

又•・,直线窈过原点。(0,0),

・•・直线/为：yf,

22

ix=—

V=­x，解得：2

联立.2

J=-2x+ll

...最小值CP为cq,

【点睛】本题是将几何图形问题转化为平面直角坐标系中的问题，涉及三角形的等面积法、求直线方程、

直线方程的动点和最值问题、解二元一次方程组、两点间的距离公式等知识，解答的关键是找到相关知识

的关联点，利用代数知识解决几何问题，是有一定难度的填空压轴题.

6.（2024八年级•广东•培优）如图，ABC中，AC=3C,点尸是边A3上任意一点，点。是AB延长线上

任意一点，过点尸分别作如，AC于点。，PE工BC于点E,过点。分别作。尸，AC于点F,0GL8C于

点G,贝1|PD+PE+QGFQ.（填或，一）

【答案】=

【分析】本题考查三角形的概念，熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键，连接连接CP、CQ,利

用“等面积法”可得SiACP+SBCP=SACQ-SBCQ,从而得到ACPD+BCPE=ACFQ-BCQG,又AC=BC,

进而可得PD+PE=F0-QG,即可得答案.

【详解】解：连接CP、CQ,如图所示：

c

FQ

D

A

•SACP+SBCP=SACQ—SBCQ,且尸。_LAC,PE^BC,QF1AC,QG1BC,

：.ACPD+BCPE=ACFQ—BCQG,

,:AC=BC,

：.PD+PE=FQ-QG,

：.PD+PE+QG=FQ.

故答案为：=.

7.（23-24九年级上•山东青岛・期末）如图，将矩形MCD沿所折叠，使点。落在点5上，点。落在点C处,

点尸为折痕跖上的任一点，过点尸作尸GJ_BE、垂足分别为G、H,若AD=24cm,C尸=9cm,

PG=2cm则下列结论正确的有（填正确结论的序号）①。石=15cm②的面积是90cm2③

3

sinZDFC=~@尸"=10cm.

【答案】①②④

【分析】根据将矩形筋。。沿£尸折叠，使点。落在点3上，点。落在点C处，证明四边形段7汨是菱形,

可得防=BC—CF=15（cm）,得DE=15cm,判断①符合题意；求出CO=产一CP=12（cm）,可得

CD4

△型的面积，判断②符合题意，在RtVC8中‘sin〃”=而、’判断③不符合题意；由

S.BEF~SBEP+sBFP,可得PH=10（cm）,判断④符合题意.

【详解】解：：将矩形ABC。沿跖折叠，使点。落在点8上，点C落在点C'处,

ZDEF=ABEF，DE=BE，DF=BF，

:四边形ABCD是矩形,

AAD//BC,AD=BC=24,

：.ZDEF=ZBFE,

：.ZBFE=ZBEF,

：.BE=BF,

DE=BE=BF=DF,

.•.四边形班DE是菱形，

VBF=BC-CF=24-9=15（cm）,

ADE=15（cm）,故①符合题意;

OF=DE=15（cm）,

在Rt△。尸C中，CD=^DF'-CF1=V152-92=12（cm）,

.••△BEF的面积为g86C£>=；xl5xl2=90（cn?）,故②符合题意;

CD124

在RtMSDb中，sinZDFC=—故③不符合题意；

DF155

如图，连接3P,

••C—CC

•2BEF-2BEP丁2BFP

A-xl5xPG+-xl5xPH=90,而PG=2cm,

22

.\PH=10（cm）,故④符合题意,

正确的有①②④，

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，菱形的判定，涉及勾股定理及应用，锐角三角函数等知识，解题的

关键是掌握翻折的性质.

8.（2024八年级广东•培优）如图，在ABC中，线段AD为中线，点。为线段A。的中点，直线/经过点O,

且B,C两点在/的同侧，过点8,C,D,A作直线/的垂线，垂足分别为点E,F,H,G.则下列说法一

定正确的有

①△4G9AB/E；

②AG=£>"；

®2AG=BE+CF-

④若点、B,C位于/异侧，有2AG=BE-CF.

【答案】②③/③②

【分析】连接A”,DG,证明AOGg.DOH(AAS),可判定②；证明BECF,得半=%,

CDFH

由B£>=C。，可得EH=FH,即£羽是梯形8CEE的中位线，由梯形中位线性质可判定③；在YAIG与YBIE

中，ZAGI=NBEI=90。,NAIG=NBIE,NGAI=NEBI,得AG与BE是对应边，由于AG=D",无条件

能得出。”=班，故不能判定两三角形全等，可判定①；若点2,C位于/异侧，分两种情况：当BE>CF时，

求得2AG=BE—CF；当时，求得2AG=CF-BE,可判定④.

VAG±l,DH±l,

：.ZAGH=NDHG=90°

VZAOG=ZDOH,OA=OD,

：._AOG^DOH（AAS）,

：.AG=DH,故②正确；

VBE±l,DHVI,CFLI,

BE〃DH〃CF,

.BDEH

"CD~FH

・・・AD为，A3C的中线，

:.BD=CD

JEH=FH

：.是梯形JSbE的中位线，

DH=g（BE+CF）

,:AG=DH

：.2AG=BE^CF,故③正确；

在VA/G与V&E中，ZAGI=ZBEI=90°,ZAIG=ZBIE,/GAI=/EBI,

VAG=DH,而与HE不一定相等，则AG与BE不一定相等，

・・・Y4ZG与VB/E没有对应边相等，所以Y4/G与VB/£全等，故①错误；

若点3,。位于/异侧，分两种情况：当3£>C产时，如图，

在班截取8M=CF,过点M作垂足为M,MN交3C于N,过点N作NP，/于尸，过点。作。。取

于。，

BE//CF

：.ZNBM=ZHFC

•：ZBMN=ZCFH=90°,BM=CF

.BMN'CFHg^)

：.BN=CH

BD=CD

：.ND=HD

VNP±l,DQll

：.DQ〃NP

：.PQ=HQ

：.2DQ=NP

'：NP1.1,BE」,MN±BE

四边形是矩形，

：.ME=NP,

•：ZAGO=ZDQO,ZAOG=NDOQ,OA=OD,

：.^AGO^.DQO,

：.AG=DQ

：.BE-CF=BE-BM=ME=NP=2DQ=2AG,BP2AG=BE-CF-

当3E<CF时，如图，

在C尸截取CN=BE,过点M作MNLb,垂足为M,MN交BC于N,过点N作NP，/于P,过点。作

DQLl于Q,

同理可得：2AG=CF—BE

综上，若点B,C位于/异侧，则有2AG=8E—B或2AG=CF-BE,故④错误.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，梯形中位线性质，平行线的判定与性

质，矩形的判定与性质.熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

9.（2023・四川内江・中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘

徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的

面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形A8CD中，AB=5,AD=U,对角线AC与3。交于点

0,点石为边上的一个动点，EF1AC,EGLBD,垂足分别为点/，G,则£尸+£6=

・小小、60一8

【答案】

【分析】连接OE,根据矩形的性质得到3C=AD=12,AO=CO=BO=DO,ZABC=9Q°,根据勾股定

理得至〜=，6+叱=13,求得08=0。=],根据三角形的面积公式即可得到结论.

AB=5,BC=12,

：.AC=YIAB2+BC2=13-

13

..OB=OC=—,

2

•.SRCC=SRCF+Scov=—xOB-EGH—OC-EF=—S=—x—x5xl2=15,

o（ycDUE,CC/±S222ARr22

113113113

-X—EG+-X—EF=-x—（EG+EF）=15,

222222

.\EG+EF=—,

13

故答案为：y|.

【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合

思想的应用.

10.（23-24九年级上.江苏无锡・期末）如图，已知等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,P为三角形内（含

边）一点，过点尸分别作A3、BC、AC的垂线，垂足分别为。、E、?若PD=PE=PF,则CE长为；

若PD=PE+PF,则点尸运动的路径长为.

c

【答案】1一与2-夜

【分析】(1)如图，当PD=PE=P-时，连接PA,PB,可证四边形CEFR是正方形，再利用HL证明RtAFP

丝RtADP,RtABPE^RtBPD,得出AD=AF,BD=BE,设CE=x,则45=仞+。3=2—2%,再结

合AB=4AC2+BC?=拒,即可求出CE长；

(2)作NABC的角平分线交AC于点M,过点M作〃筋交BC于点H,在上取一点尸，过点

产分别作A3、BC、AC的垂线，垂足分别为。、E、F,过点M作MZV人AB.首先证明PE+PF=CM,

再证C"=MN