2025年中考数学几何模型归纳训练：解直角三角形模型之12345模型解读与提分训练

专题30解直角三角形模型之12345模型

初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、

特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”

模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型的

独特魅力。

1

1

3

例题讲模型|]

模型1.“12345”模型及衍生模型

模型解读

（19年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，贝°（点A,B,尸是网格交点）。

0

I-----r—।-----r—।-----1

:p：!

r—rr~~n

i|I

一

--------------------------

该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。

如图，即：ZPAB+ZPBA=ZBPQ=45°o

上面的/尸AB和/P8A便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45。之外，用三角函数的观点来看:

tanZPAB=-,tanZPBA=~,对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。

23

模型证明

12345基础模型模型还可变式为

1a

tana=—tana=一a1

;tana二二八b-a

2.(Z+夕=45。；变式1：b-^a+J3=45°变式2：<bftan/?=------

a+b

tan/?=-tan/3=---[a+4n=4A5C°O

a+b

证明：（基础模型）如图，作矩形ABC。，S.AB=CD=3,AD=BC=A,在BC上取一点E使得B£=l,在。C

上取一点/使得DF=2,根据矩形性质得：EC=3,CF=1,故tanZDAF=~,tanZBAE=-,tanZFEC=-,

233

易证：AABE^AECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

证明：（模型变式D如图，作矩形ABC。，且AB=CZ）=a,AD=BC=a+b,在BC上取一点E使得BE=a,在

。。上取一点尸使得Z)F=b-a,根据矩形性质得：EC=b,CF=a,

,,b-a,a,a

故fa”NDAF=------,tanNBAE=一，tanZ.FEC=—,

a+bbb

易证：AABE^/\ECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

ZBAE+ZAEB=90°,：,ZCEF+ZAEB=90°,：.ZAEF=90°,：.ZEAF=45°

模型变式2可借鉴变式1证明方法，自行证明即可。

(5)Za+Zp=90°；(6)/ADB+NDBA=NBAC；(6)/ADB+/DBA=NBAC；

上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。

切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来

解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的,

但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。

模型运用

例1.（2022・四川乐山・中考真题）如图，在RfABC中，NC=90。，=，点。是AC上一点，连接

BD.若tan/A=」，tanZABD=-,则C£>的长为（）

23

A.2逐B.3C.75D.2

例2.（2024吉林长春.校考二模）如图，正方形ABC。中，AB=8,G是8C的中点.将AABG沿AG对折至

△AFG,延长GF交。。于点E,则DE的长是（）

A.-B.2D.3

3

例3.（23-24八年级下•江苏南京•期中）如图，在四边形ABCZ）中，ZA=Zfi=90°,AB=BC=4,AD=3,

E是43上一点，且“CE=45。，则DE的长度是（）

A.3.2B.3.4C.3.6D.4

例4.（2023•山西晋城•模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E,歹分别为BC,A3的中点，连接AE,

点G是线段AE上一点，连接G/，延长尸G交CO于点若AB=4,NAG尸=45。，则CM的长为.

例5.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,点、E、尸分别在3C、CD±,若

AE=MZ£AF-45°,则AF的长为.

例6.（23-24九年级上•福建泉州•期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+机分别交X轴，y轴于AB

两点，已知点C（2,0）,点尸为线段08的中点，连结弘PC,若NCPA=ZABO,则用的值为.

例7.（2023•龙华区九年级上期末）如图，已知正方形42a）的边长为6,E为BC的中点，将AABE沿直

线AE折叠后，点B落在点尸处，AF交对角线8。于点G,则FG的长是.

BEC

8.（2024九年级上•浙江・专题练习）如图，将已知矩形纸片ABC。的边BC斜着向AD边对折，使点8落在AD

上，记为？，折痕为CE；再将C。边斜向下对折，使点£＞落在3'C边上，记为以，折痕为CP,B'D'=2,

BE=；BC.则矩形纸片ABC。的面积为.

例9.（2023•湖北黄冈・统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以点B为圆心，适当长为半

径画弧，分别交BC,BD于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于工后厂长为半径画弧交于点P,作射线

2

BP,过点C作3P的垂线分别交82Ao于点M,N,则CN的长为（）

A.VioB.V1TC.2A/3D.4

例10.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2百，点后是。。的中点，8E与AC交于点

M,P是AD上一点，连接跖分别交AC,AE于点G,H,且M_LAE,连接MH,则AH=,

MH=.

习题练模型

1.（23-24广东汕头•模拟预测）如图，正方形ABCD中，AB=6,G是BC的中点.将AABG沿AG对折至MFG,

延长GF交DC于点E,则GE的长是（）

B.4C.3D.2

2.（2024.山东淄博.校考一模）如图，正方形ABCD的边长为9,点E,F分别在边AB,AD上，若E是

则CF的长为（）

A.12B.3C.35D.36

3.（23-24九年级下.江苏南通・阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ZA=ZB=90°,AB=BC=8,AD=6,

E是边A3上一点，且4>CE=45。，则DE的长度是（）

A.8B.7.4C.7D.6.8

4.（23-24九年级上•贵州铜仁・期末）如图，在平面直角坐标系尤Oy中，直线y=-尤+机。*0）分别交无轴,

y轴于4,2两点，已知点C（3,0）.点P为线段的中点，连接B4,PC,若/CB4=45。，则m的值是.

5.（2024•辽宁葫芦岛•二模）如图3,在矩形MCD中，点E,尸分别在边BC,CO上，将矩形A3C少沿AE,

AF折叠,点2落在点M处,点。落在点G处,点G恰好在同一直线上,若。尸=2CF,=6,AD=10,

则线段BE的长为.

6.（2024・广东•模拟预测）在正方形ABC。中，边长为6,BE=2AE,连接。E,在AD、BC上分别存在点G、

F,连接GP交。E于五点，且NGHZA45。，求线段FG=.

7.（2023・山东・中考模拟）如图，在矩形ABC。中，AB=4,A£）=6,点、E,尸分别在边BC,CD

上，ZEAF=45°,BE=2,则。尸的长为.

7.（23-24九年级•江苏无锡・期末）如图,在正方形ABCD中,P是8C的中点，把△BAB沿着PA翻折得到△加E,

过C作CF_LDE于E若CF=2,则DF=

8.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、。都在

格点处，与CD相交于。，贝卜加/8。。的值等于

9.（2016甘肃天水中考真题）如图，把矩形纸片0ABe放入平面直角坐标系中，使04、0c分别落在x轴、

y轴上，连接。2,将纸片O48C沿折叠，使点A落在点A'位置，0B<,tan/B0C=g,则点，的

坐标为•

10.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABC。，折痕是DM,点C落在点E处,

分别延长ME,DE交AB于点F,G,若点M是8C边的中点，则FG=cm.

AGB

11.（23-24九年级上•重庆•阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为JI5,对角线AC、BD交于点O,

点E在BC上，且CE=2BE,过B点作BFLAE于点F,连接OF,则线段OF的长度为.

12.（2024.宁夏银川•三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,将矩形ABC。沿8E折叠，点A落

在4处，若RT的延长线恰好过点C,则sinNABE的值为.

BC

13.（23-24九年级•天津河西•期末）正方形ABC。的边长48=2,E是的中点，尸是3c的中点，AF分

别与DE,BD相交于点N,则的长为.

14.（23-24八年级上•江苏南京•期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=—2x+4的图像与x轴、y

轴分别交于点A、B,将直线AB绕点8顺时针旋转45。，交x轴于点C,则直线8c的函数表达式为.

15.（23-24.深圳•模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点8（0,2）,点A在反比例函数y=，

x

的图象上.作射线A3,再将射线A8绕点A按逆时针方向旋转45。，交y轴于C点，则AABC面积为.

16.（2023年四川省凉山州数学中考真题）阅读理解题：

阅读材料:如图1,四边形ABCD是矩形，是等腰直角三角形，记NBAE为a、NE4D为夕，若tana=g,

则tan,=j.

证明：设BE=k,*.*tantz=；,AB=2k,

易证人4£8名△£FC（AAS）

DFk1

EC=2k,CF=k,：.FD=k,AD=3k：.tan^=—

若a+/=45。时，当tana=；,贝Utan/=；.

同理：若二+/?=45°时，当tana=g,贝=

根据上述材料，完成下列问题：

rri

如图2,直线y=3x-9与反比例函数y=—（x>0）的图象交于点A,与1轴交于点儿将直线绕点A顺

x

时针旋转45。后的直线与y轴交于点E,过点A作AAf_L%轴于点M,过点A作AN_Ly轴于点N,已知

04=5.

（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出tanNBAM、tanNM4E的值；（3）求直线AE■的解析式.

专题30解直角三角形模型之12345模型

初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、

特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”

模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型的

独特魅力。

1

1

3

例题讲模型|]

模型1.“12345”模型及衍生模型

模型解读

（19年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，贝°（点A,B,尸是网格交点）。

0

I-----r—।-----r—।-----1

:p：!

r—rr~~n

i|I

一

--------------------------

该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。

如图，即：ZPAB+ZPBA=ZBPQ=45°o

上面的/尸AB和/P8A便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45。之外，用三角函数的观点来看:

tanZPAB=-,tanZPBA=~,对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。

23

模型证明

12345基础模型模型还可变式为

1a

tana=—tana=一a1

;tana二二八b-a

2.(Z+夕=45。；变式1：b-^a+J3=45°变式2：<bftan/?=------

a+b

tan/?=-tan/3=---[a+4n=4A5C°O

a+b

证明：（基础模型）如图，作矩形ABC。，S.AB=CD=3,AD=BC=A,在BC上取一点E使得B£=l,在。C

上取一点/使得DF=2,根据矩形性质得：EC=3,CF=1,故tanZDAF=~,tanZBAE=-,tanZFEC=-,

233

易证：AABE^AECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

证明：（模型变式D如图，作矩形ABC。，且AB=CZ）=a,AD=BC=a+b,在BC上取一点E使得BE=a,在

。。上取一点尸使得Z)F=b-a,根据矩形性质得：EC=b,CF=a,

,,b-a,a,a

故fa”NDAF=------,tanNBAE=一，tanZ.FEC=—,

a+bbb

易证：AABE^/\ECF,：.ZBAE=ZCEF,AE=EF,

ZBAE+ZAEB=90°,：,ZCEF+ZAEB=90°,：.ZAEF=90°,：.ZEAF=45°

模型变式2可借鉴变式1证明方法，自行证明即可。

(5)Za+Zp=90°；(6)/ADB+NDBA=NBAC；(6)/ADB+/DBA=NBAC；

上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。

切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来

解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的,

但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。

模型运用

例1.（2022・四川乐山・中考真题）如图，在RfABC中，NC=90。，=，点。是AC上一点，连接

BD.若tan/A=」，tanZABD=-,则C£>的长为（）

23

A.2逐B.3C.75D.2

【答案】C

【分析】法1：先根据tan/A=；,tanZABO=1,再由12345模型知：ZB£）C=45°,从而可求出CD

法2：先根据锐角三角函数值求出AC=26,再由勾股定理求出超=5,过点。作于点E,依据三角

113

函数值可得==从而得再由AE+3E=5得AE=2,DE=l,由勾股定理得A£>=

书,从而可求出CD.

【详解】法1：；tan/A=；,tanZA8D=g,.•.根据12345模型知：ZBDC=45°,

VZC=90°,...三角形BCD为等腰直角三角形，•.•8C=6，...CD=BC=^

Be]

法2：在RfABC中，ZC=90°,BC=45,：.tanZA=——=一AC=2BC=2如，

AC2

由勾股定理得,AB==J（2百4+（逐）2=5过点。作于点E,如图，

・匹_

*.*tanZA=—,tanZABD=—J_DE_1

23*AE-25BE-3

ADE=-AE,DE=-BE,：.-AE=-BE：.BE=-AE

23232

3

VAE+BE=5,：.AE+-AE=5：.AE=2,:.DE=T,

在RfAADEAD=y/AE2+DE2=A/22+12=45

VAD+CD=AC=145,:.CD=AC-AD=2亚-亚=卮故选:C

【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出。E的长是解答本题的关键.

例2.（2024•吉林长春•校考二模）如图，正方形A8CD中，AB=8,G是BC的中点.将A/IBG沿AG对折至

XAFG,延长GF交0c于点E,则DE的长是（）

D.3

【答案】C

【分析】法1：连接AE,由折叠的性质可得AP=A2=A。，BG=GF,易证RfAADEgRfAAFE,得到DE=EF,

设。E=x,在放ACEG中利用勾股定理建立方程求解.法2：先求出/GAE=45。，再利用12345模型的变式,

求解即可。

【详解】解：法1：如图所示，连接AE,：•四边形ABC。为正方形，

AB=BC=CD=AD=8,ZB=ZC=ZD=90°：G为3c的中点BG=GC=4

由折叠的性质可得AF=4B=8,BG=GF=4,在和放AAFE中,

'：AE=AE,AF=AD=S,:.RmADE^RMAFE(HL)：.DE=EF

设DE=EF=x,贝ijEC=8-x在RaCEG中，G(?+EC2=GE2,即4?+(8-尤)2=(4+尤?解得x=|故选：C.

法2：由法1知：RmADE迫Rt^AFE,：.ZDAE=ZFAE,由翻折知：ZBAG=ZFAG,

•：ZDAB=90°,/.ZGA£=45°,VAB=8,G是BC的中点，/.tanZBAG=~,

2

1o

由12345模型变式知：tanZDA£=-,VAD=8,：.DE=~,故选：C.

33

【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明。E=ER然后利用勾股定理建立方程是解

题的关键.

例3.（23-24八年级下•江苏南京•期中）如图，在四边形ABC。中，ZA=Zfi=90°,AB=BC=4,AD=3,

E是AB上一点，且"CE=45。，则DE的长度是（）

A.3.2B.3.4C.3.6D.4

【答案】B

【分析】法1：过点C作CfUAD,交AD延长线于月利用12345模型变式求解即可。

法2：如图，过点C作CFLA。，交A。延长线于忆CG±CD,交AB延长线于G,可证明四边形ABCF是

正方形，可得的长，根据角的和差关系可得NDb=NGCB,利用ASA可证明之△GCB,可得C£>=CG,

BG=DF,根据/OCE=45。可知NECG=NOCE=45。，利用S4s可证明AOCE四△GCE,可得DE=GE,根据S

正方彩ABCF=S&AED+2SAGCE列方程可求出AE的长，进而求出GE的长即可得答案.

【详解】法1：如图，过点C作CPLA。，交AD延长线于R

VZA=ZB=90°,AB=BC=4,AD=3,四边形ABCP是正方形，DF=1,CF=4,tanZDCF=~,

4

由12345模型变式（即：Jan&=£=tanZBCE=-

a+£=45°a+b

12817

'：BC=4,：.BE=—,AE=-,\'AF=4,DF=1,：.AD=3,：.DE=—,故选：B.

法2：如图，过点C作CfUAD,交A£>延长线于F,CG±CD,交AB延长线于G,

VZA=ZB=90°,AB=BC=4,AD=3,四边形ABC尸是正方形，DF=1,

,/ZDCF+ZBCD=90°,ZGCB+ZBCD=9Q°,：.ZDCF=ZGCB,

ZGBC=ZCFD=9Q°

在AOCP和AGCB中，\BC^CF,.•.△OCF也ZxGCB,：.CG=CD,BG=DF=\,

ZGCB=ZDCF

VZDCE=45°,CG±CD,:.NECG=/DCE=45°,

CD=CG

在△£>(7£1和AGCE中，］ZDCE=ZECG,:.ADCE会4GCE,

CE=CE

：.SAGCE=SADCE,DE=GE,工S正方形ABCF=SAAED+2SAGCE,

：.^AEAD+2x^GEBC=AB2,即:x3A£+4(5-AE)=42,解得：AE=1.6,：.DE=GE=5-AE=3A.故选：B.

【点睛】本题考查正方形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题

关键.

例4.（2023•山西晋城•模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点、E,尸分别为3C,A3的中点，连接AE,

点G是线段AE上一点，连接GF,延长FG交CO于点若AB=4,NAGF=45。，则CM的长为

【答案】|2

【分析工法1：过点作A/WM,交DC于点H,先求出NH4E=45。，再用12345模型的变式，求解即可。

法2：连接AC交于N,过点尸作于H,由正方形的性质得？390?,AB=BC=4,AB//CD,

AC1AJ-fFJ_f

ZACM=ZBAC=45。，由勾股定理得AC=^ABr+BC2=40，再证明，得==

VYAEABBE

从而求得AHFH=^~,继而求得G"=FH=拽,AG=AH+GH=­,FG=^FH2+GH2

55555

FC6君2\/10

然后证明..AG尸得煞=片，即可—，从而求得AN=30，继而求得CN=A7V-4V=后，

ANAF-----=------

AN2

最后证明.4VFS3以，得.•.葛=言，即方=等，从而可求得CM=g.

【详解】法1：过点作AWFM,交DC于点H,

•.•正方形ABC。，/.AB//CD,；.四边形AFM”为平行四边形。VZAGF=45°,：.ZEAH=45°

；点E,尸分别为3C,AB的中点，AB=4,：.BE=AF=HM=2,：.tanZBAE=1,

142

ZEAH=45。，由12345模型变式知：tanNDAH=丁AO=4,DH=一,：.CM=-,

CBE'C

法2：连接AC交MF于N,过点/作FHLAE于H,如图，

•.,正方形ABCD,：.1B90?,AB=BC=4,AB//CD,ZACM=ABAC=45°,

AC=y/AB2+BC2=472-:点E，歹分别为2C，AB的中点,

11,------------「

•*-AF^-AB^2,BE=3BC=2,：.AE=\JAB2+BE2=2-45>

VFH1AE,NAGF=45°,/.Z.HFG=ZAGF=45°,:.FH=GH,

AFAHFHan2AHFH

•:ZAHF=ZB=90°，；.△AHFS^E，.；获=漏=而，即法=丁=三，

ABA£«LJLJ"乙

22

:.AH,FH=^~,：.GH=FH=­,AG=AH+GH=—fFG=^FH+GH,

55555

6A/52M

*：ZAGF=ZFAN=45°,ZAFG=ZNFA：.AGF^NAF,—即工工

fANAF

AN2

:.AN=3五,，CN=A2V-4V=40-3叔=0,VAF//CMf：..ANF^,CNM,

.AF22

：.CM=~,故答案为:

「CMM即2送3

【点睛】本题词考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握相似

三角形判定与性质是解题的关键.

例5.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,点、E、尸分别在3C、CD±,若

AE=45Z£AF=45°,则AF的长为.

【答案］勺®

3

【解析】根据A8=2,AE=^5,/2=90。得到：BE=2,可得tanZBAE=-,

2

・・・NFA£=45。，ZBAD=90°,：.ZBAE+ZDAF=45°f

14

根据12345模型知：tanZDAF=-f：.DF=-,

33

再根据勾股定理求得：AF=也，故答案为：回

33

例6.（23-24九年级上•福建泉州•期中）如图，在平面直角坐标系中，直线V=-X+M分别交x轴，y轴于AB

两点，已知点C（2,0）,点尸为线段。B的中点，连结弘PC,若NCPA=ZABO,则优的值为.

【答案】12

【分析】法1：由12345模型求解；法2：构造相似三角形，PCQS/APB,对俄的取值分析进行讨

论，在〃z<0时，点A在x轴的负半轴，而此时，ZAPC>ZOBA=45°,不合题意；故加>0.由相似比求得

边的相应关系.

【详解】法1：,/一次函数丁=-％+根的图像分别交x、y轴于点A、B。

A(m,0)B(0,m),AO=m,BO=m,NABO=45°,

ZC^ZABO,：.ZAPC=45°,设ZPAO=a,ZOPC=p,

VZa+Zp+ZAPC=90°,/APC=45°,Na+Np=45°,

mrriI

,点尸为线段。2的中点，，尸（0,—）,尸。=—,可得—，

222

根据12345模型知：ranp=1,/.3OC=OP,VC（2,0）：.OP=6,：.OB=OA=12,m=12.

法2：作OD=OC=2,连接CD.则NPDC=45。，CD=2夜,如图，

由丫=-*+机可得4〃7,0），B（o,m）.：,OA=OB,AB=y/2mZOBA=Z.OAB=45°.

当机<0时，ZAPC>ZOBA=45°,

所以，此时NC7V1>45。，故不合题意.m>0.

ZCPA=ZABO=45°,NBPA+ZOPC=NBAP+Z.BPA=135°,即NOPC=ZBAP，，一PCD^_APB,

••,点尸为线段QB的中点，•••OP=BP=U，w,PD=-m+2：.—=—,即2^=早_解得根=口.

22ABPBy/2mLm

2

故答案是：12.

【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造相似三角形.

例7.（2023・龙华区九年级上期末）如图，已知正方形A8CD的边长为6,E为8C的中点，将AABE沿直

线AE折叠后，点8落在点F处，AF交对角线于点G,则尸G的长是.

【答案】上

7

【解析】为BC的中点，AB=6,；.BE=3,可得由翻折知：tanZFAE=-,

22

3

根据12345模型知：tanZGAD=-,过点G作G8_LA£）,是正方形，ADH=GH

设A4=4x,JKJGH=DH=3x,AG=5x,AD=1x,AB=AF=lx,GF=2x。

'：AB=6,；.7x=6,x=9,GH=]1,故答案为：上。

777

8.（2024九年级上•浙江・专题练习）如图，将已知矩形纸片ABC£＞的边BC斜着向AD边对折，使点8落在AO

上，记为8,折痕为CE；再将C。边斜向下对折，使点。落在EC边上，记为折痕为CF,877=2,

【答案】15

【分析】根据折叠性质和勾股定理求得BC和A3的长，或者利用相似三角形的判定与性质求出相应线段长,

再由勾股定理解方程，然后根据矩形的面积公式代值求解即可得到答案.

【详解】解：方法1：由题意，BC=BC,CD=CD,ZBCE=ZB'CE,ZDCF=ZD'CF.

・.・ZBCD=90°,JNECF=NB'CE+ZD*CF=45°.

ii13

VBE=-BC,AtanZBCE=-,由12345模型变式知・・・tanND'CF=—,tan/BCB=—.

3324

3

•・・AD〃BC,・・・NFB'D'=NB'CB,・・・tanNFB'D'=—,

4

33

・・・DF=D'F=—BD'=—,.・.CD=CD'=2D'F=3,

42

・・・BC=BC=B'D'+CD'=2+3=5,JS矩形ABCD=BCCD=5x3=15.

解：方法2：设=则5。=3々，由题意可得C8=C?,CD=CDf,BE=BfE=a,

B'D'=2,:.CD'=3a—2,CD=3〃-2,二.AE=3a—2—a=2〃一2,

DB'=y]CB,2-CD2=J(3a)2-(3a-2)2=Jl2a-4=2巧-1,/.ABf=3a-2,3〃-1,

____225

B,A1+AE1-B'E1»..0a-2J3a-1)+(2a—2)2=a2,解得〃或〃=§,

22

当Q=§时，BC=2,AB=CD=3a-2=0,，〃=§时不符合题意，舍去；

当。=：时，BC=5,AB=CD=3a-2=3,.•.矩形纸片ABCD的面积为5x3=15,故答案为：15；

AR'EB'

方法3：设CD=%，则CD'=x,CB'=x+2,CB=x+2,由题意可得△AB'£SADCB',——,

BE=-BC,AB'=-x,B'D=x+2--x=-x+2,

3B'C3x3333

在Rt_CDB'中，由勾股定理可得8'。2+°2=5匕2,

22

即（gx+2）+x=（x+2）,解得无i=3,x2=0（舍去），；.矩形纸片ABCD的面积为5义3=15,故答案：15.

【点睛】本题考查翻折变化、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键

是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用翻折的性质和矩形的面积公式解答.

例9.（2023・湖北黄冈•统考中考真题）如图，矩形A5CD中，AB=3,BC=4,以点B为圆心，适当长为半

径画弧，分别交8C,于点E,F,再分别以点E,尸为圆心，大于工石/长为半径画弧交于点P,作射线

2

BP,过点C作8尸的垂线分别交于点M,N,则CN的长为（）

A.V10B.VTTC.2卡＞D.4

【答案】A

【简证】易知tana=」，故CN=MND=^CD=回

33

【详解】解：如图，设族与CN交于点O,与C。交于点K,作火Q_L8D于点。,

矩形ABCZ)中，AB=3,BC=4,：.CD=AB=3,BD^^BC1+CEr=5.

由作图过程可知，BP平分NCBD,四边形A3CD是矩形，CDLBC,

又-RQLBD,：•RQ=RC,在RtBCRRt8QR中，[RQ=RC

RtBCR=RtBQR(HL)，

~'[BR=BR

BC=BQ=4,QD=BD-BQ=5-4=1,设RQ=RC=x,贝！JDR=CD—CR=3-x,

在Rt.DQR中，由勾股定理得。炉=OQ2+RQ2,即（3_"2=12+工2,

解得x=3,，CR=3.BR=yjBC2+CR2=-VlO.

333

SBCR=；CRBC=gBROC，..农=生些=^^=2阿

22BR4^5

,ZCOR=ZCDN=90°fZOCR=ZDCNf:_OCRs_DCN,

—=即1——=^-,解得CN=M.

DCCN3CN

例10.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2逐，点后是8的中点，班与AC交于点

M,尸是AD上一点，连接8尸分别交AC,AE于点G,H,且班'_