2025年新高考数学专项复习：棱锥相关解答题十大题型（原卷版）

专题1-3棱锥相关解答题十大题型汇总

。常考题型目录

题型1平行关系..................................................................1

题型2垂直关系..................................................................3

题型3长度问题..................................................................6

题型4距离体积问题..............................................................8

题型5线线、线面角问题.........................................................10

题型6二面角问题...............................................................13

题型7线面角与动点问题.........................................................15

题型8二面角与动点问题.........................................................18

题型9体积与动点问题...........................................................20

题型10最值取值范围问题........................................................22

U题型分类

题型1平行关系

【例题1】（2023•全国•高三专题练习）如图，在三棱锥P-48c中,AB1BC,AB=2,BC=

2版，PB=PC=遍，BP、AP.8C的中点分另（J为D、E、0，点F在AC上,BFLAO.求证：

EF〃平面2。。.

【变式1-1]1.（2023•全国•高二专题练习）如图，在三棱锥P-48C中，PA，底面ABC,

^BAC=90。.点D,E,%分别为棱PA.PC,8C的中点，M是线段4。的中点，P4="=2,

AB=1.求证：MN〃平面BDE；

p

【变式1-1J2.(2023・高二课时练习)如图，在三棱锥P-ABC中,PA1平面力8c,AB1AC.

(1)求证：AC1PB；

(2)设0、D分别为4C、AP的中点，点G为A04B内一点，且满足函=式布+函)，求

【变式1-1]3.(2023•全国•高二专题练习)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP

所在的平面互相垂直，S.AB//CD,AB1BC,AP1PB,AB=2,BCCD=1.

(1)求证：AB1PD；

(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；

(3)线段PA上是否存在点E,使得PC〃平面EBD?若存在，求出节的值；若不存在，请说

明理由.

【变式1-1J4.(2023春・湖南长沙•高二长沙一中校考期末)如图，在四棱锥P-48CD中，

CDJ_平面PAD,APAD为等边三角形，AD//BC,AD=CD=2BC=2,平面PBC交平面

PAD直线I,E、F分别为棱PD,PB的中点.

(1)求证：BCIIZ；

(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在点G，使得DGII平面AEF?若存在，求得的值，若不存在，说明理

由.

【变式2023・全国•高二专题练习如图，在三棱锥P-ABC中,PA1底面ABC尸4=2,

AB=AC=1,将4P4B绕着24逆时针旋转;到4P2。的位置，得到如图所示的组合体，M为

PD的中点.

(1)当NBAC为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；

(2)当PC〃平面M48时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.

题型2垂直关系

【例题2](2023•全国•高二专题练习)如图,在三棱锥P-ABC中，AB=AC,D为BC的

中点，P0,平面ABC,垂足。落在线段AD上.已知BC=8,P0=4,A0=3,0D=2.

⑴证明：AP^BC;

⑵若点M是线段AP上一点，目AM=3,试证明AM，平面BMC.

【变式2-1]1.(2023秋・全国•高二随堂练习)如图，在三棱锥P-ABC,AB=AC,D

是BC的中点，P0,平面ABC,垂足0落在线段AD上,已知BC=8,P。=4,4。=

3,0D=2.

⑴求证：AP^BC；

⑵若点M是线段AP是一点，S.AM=3.试证明平面AMC,平面BMC.

【变式2-1]2.(2023・全国•高二专题练习)如图，在三棱锥P-ABC中，PB，平面A8C,

ABLBC,AB=PB=2,BC=273,E、G分另为PC、PA的中点.

(1)求证：平面BCG1平面P4C；

(2)在线段4c上是否存在一点N，使PN1BE?证明你的结论.

【变式2-1]3.(2023秋•全国•高二随堂练习)如图，在三棱锥P-ABC中，MBC是边

长为2的正三角形，PA=2,1底面ABC于点D,2。，DB,且DB=1.

(1)求证:4C〃平面PDB.

(2)在棱PC上是否存在一点E,使得DE1平面PAB?若存在，求出青的值；若不存在，请

说明理由.

【变式2-1]4.(2021・高二课时练习)如图，在三棱锥P-48C中，底面A2BC为等边三

角形，^APC=90。,4C=2PA=4,且平面PAC1平面ABC.

(1)求三棱锥P-ABC的体积；

(2)求二面角B-AP-C的余弦值；

(3)判断在线段2C上是否存在点Q,使得△PQB为直角三角形？若存在，找出所有符合要

求的点Q,并求黑的值；若不存在，说明理由.

P

AC

B

【变式2-1]5.(2023•全国•高二专题练习)如图，已知四棱推P-28CD的底面是平行四

边形，侧面P4B是等边三角形,BC=2AB,AC=^3AB,PB1AC.

(1)求证：平面PAB_L平面4BCD；

(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B,Q两点的截面，目2C||平面BEQF,是否存在

点Q，使得平面BEQF，平面P2。？若存在，求照的值；若不存在，说明理由.

题型3长度问题

【例题3](2023•四川绵阳・统考模拟预测)如图，在三棱锥P-48c中，PA1底面4BC,

^BAC=90。.点。、E、N分别为棱PA、PC、BC的中点，M是线段4。的中点，P4="=4,

AB=2.

(1)求证：MN〃平面BDE；

(2)已知点”在棱P4上，且直线N”与直线BE所成角的余弦值为宏,求线段4"的长.

【变式3-1]1.(2023•全国•高三专题练习)在三棱锥P-48c中,PA=BC,PB=PC,

AB=AC.

(1)证明：PA1BC；

(2)若PB=五PA=2V2,AB=V10,M在棱PB上，当直线2M与平面P8C所成的角最大时,

求PM的长.

【变式3-1】2.(2022・全国•高三专题练习)如图，等腰梯形A8CD中2D〃BC,BE1AD,BC=

BE=4,DE=8,沿班将4ABE折起至与平面BCDE成直二面角得到一四棱锥，M为4E中

点，过C、D、M作平面a.

请画出平面COM截四棱锥A-BCDE的截面,写出作法，并求其周长；

【变式3-1]3.(2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱锥D—ABC中,G是^ABC的

重心，E,F分另1J在BC,CD上，S.BE=\EC,DF=\FC.

(1)证明：平面GEFII平面ABD;

(2)若CD，平面/XBC,AB1BC,AC=CD2,BC=1,P是线段EF上一点，当线段GP

长度取最小值时，求二面角P-4。-C的余弦值.

D

题型4距离体积问题

【例题412023春•高二单元测试如图，在三棱锥P-ABC中,PA_L平面ABC^BAC=90°,

D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC1,PA=2.

⑴求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；

⑵求点P到平面DEF的距离；

⑶求点P到直线EF的距离.

【变式(2023・全国•高二假期作业)如图，在三棱锥P-中,ABIBC,AB=2,

BC=2V2,PB=PC=y[6,BP,2P,BC的中点分别为。,E,。,点F在AC上,BF1AO.

(1)求证：EF〃平面AD。；

(2)若NPOF=120°,求三棱锥P—ABC的体积.

【变式4-1]2.(2023春・天津河西•高三天津市第四十二中学校考阶段练习)如图所示，

在三棱锥S-ABC中，SC_L平面ABC,SC=3,AC±BC,CE=2EB=2,AC=\,CD=

ED.

⑴求证:DE_L平面SCD;

(2)求二面角4-SD-C的余弦值；

(3)求点A到平面SCD的距离.

【变式4-1]3.(2023•全国•高二假期作业)如图，在三棱锥4-BCD中/BCD=90°,AB=

力C=的中点为G.

(1)证明：直线2G1平面BCD；

(2)若BD=2,BC=1,当直线48与平面AC。所成的角最大时，求三棱锥4-BCD的体积

C

【变式4-l】4.(2023春•云南昆明•高二安宁中学校考阶段练习衽三棱锥P-28C中,PA=

PB"BAC=90°,M为棱BC的中点.

⑴证明：4B1PM；

(2)若平面P481平面ABC,PA=PB=y/2ABAC=2.,E为线段PC上一点2PE=EC,

【变式4-1]5.(2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱锥P-4BQ中，PB，平面ABQ,

BA=BP=BQ=2,D,C,E,F分另U是2Q,BQ,AP,BP的中点,ABJ.BQ,PD与EQ交

于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.

(1)求证：AB//GH；

(2)求平面P28与平面PCD所成角的余弦值；

(3)求点4到平面PCD的距离.

题型5线线、线面角问题

【例题5](2023春•吉林长春•高二长春市解放大路学校校考期末)如图，在三棱锥P-ABC

中，平面P48_L平面ABC,P4=2或，PB=&,4B=返，AC1PC,D是棱PC的中点.

(1)求证■.BC1AC；

(2)若AC=V3,求直线BC与平面ADB所成角的正弦值.

【变式5-1]1.(2022秋・安徽合肥•高二校考阶段练习)如图所示，在三棱锥P-ABC中,

PC1平面力BC,4C1BC,AC=3,BC=6,点分别在棱上,满足劣=饕="且

ADDC

DE1PD.

(1)求实数4的值；

(2)若PC=2,求直线与平面PDE所成角的正弦值.

【变式5-1]2.(2022秋・全国•高三统考阶段练习)如图，在三棱锥P-力BC中,PA1底

面4BC,AB=AP,PC=BC,D为P8的中点.

(1)求证：PB1AC；

(2)若4B=AC,求直线4P与平面PBC所成角的正弦值.

B

【变式5-1]3.（2023秋•高二单元测试）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA，平面

ABCDE.AB||CD,AC||ED,AE||BC,乙ABC=45°,AB=2/,BC=2AE=4、三角形P力B是

等腰三角形.

⑴求证：平面PCD1平面P4C：

（2）求直线PB与平面PCD所成角的大小；

【变式5-1]4.（2023•全国•高二专题练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经

过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.现将棱长为3的正四

面体沿棱的三等分点分别作平行于各底面的截面，截去四个顶点处的小棱锥，得到所有棱长

均为1的截角四面体，如图所示.

⑴求证：BDLEF；

⑵求直线8。与平面"K所成角的正弦值.

【变式5-1]5.（2023•全国•高二专题练习）如图，在三棱锥P-A8C中，4818C,48=

BC=kPA,点。、。分另U是4C、PC的中点,OP1底面48C.

⑴求证。。〃平面P4B；

（2）当k=/寸，求直线P4与平面PBC所成角的正弦值；

⑶当k取何值时，。在平面P8C内的射影恰好为4PBC的重心?

题型6二面角问题

【例题6】（2023•全国•高三专题练习）在三棱锥S-4BC中，底面ABC是边长为4的正三

角形，侧面S4C1底面ABC,SA=SC,SB=2V5，点E在线段SB上,且工=|.

⑴证明:SB1平面ACE;

（2）求二面角4-SB-C的正弦值.

【变式6-1]1.（2023・四川自贡统考二模）如图，在三棱锥P-48C中,H为△4BC的内

心，直线4H与BC交于M,4PAB=/.PAC,/.PCA=乙PCB.

⑴证明：平面PAM1平面4BC；

(2)若AB_LBC,P4=28=3,BC=4,求二面角M-PA-C的余弦值.

【变式6-1]2.(2023•全国模拟预测)如图，球O是正三棱锥P-ABC和Q-4BC的外接

球，M为4力8c的外心,直线AM与线段BC交于点D,D为BC的中点，两三棱锥的高之

比为PM:QM=3:1,E为PA上一点，且PE:E4=5:3.

(1)证明：PE1EC；

(2)求二面角E-BC-Q的正弦值.

【变式6-1]3.(2023•全国•高二假期作业)如图，在三棱锥P-4BC中，P2=PB,48=

BC=2,乙APB=^ABC=90°,平面，平面48c,点E是线段P4上的动点.

(1)证明：平面4PC1平面PBC；

(2)若点Q在线段BC上,BQ=l，且异面直线EQ与PB成30。角，求平面EBC和平面ABC夹角

的余弦值.

【变式6-1]4.(2023・全国•模拟预测)如图,在三棱锥P-2BC中,PB，平面ABC,PB=

AC-1,AB—45,BC—2V2,D,E,F分别为BC,PA,AB的中点.

(1)证明：平面ADE1平面DEF;

(2)求二面角。-AP-C的余弦值.

【变式6-1]5.(2023•全国•高二专题练习)如图，在三棱锥C-48。中,AB1BD,S.AADB=

30°,BCLCD,BC=CD,E是4。的中点,AB=CE.

(1)求证：平面48。1平面BCD；

(2)求平面2CD与平面BCD的夹角的余弦值.

题型7线面角与动点问题

【例题7](2023•全国•高二专题练习)在三棱锥P-ABC中，若已知P2IBC,PB1AC,

点P在底面ABC的射影为点H,则

(1)证明:PC1AB

(2)设PH=HA=HB=HC=2，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面P4B所成

角的余弦值为，若存在，设詈="求出入的值，若不存在，请说明理由.

【变式7-1]1.(2022・全国•高二期末)已知三棱锥P-ABC(如图一)的平面展开图(如

图二)中，四边形4BCD为边长等于鱼的正方形，△43石和小BCF均为正三角形，在三棱锥

P—A8C中：

⑴证明：平面PNC1平面ABC；

(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面P4C所成的角最大时，求二面角M-BC-4的余

弦值.

图一图二

【变式7-1]2.(2023秋・天津河西・高三北京师范大学天津附属中学校考期末)如图，在

三棱锥P—48c中，PA1底面48c,Z.BAC=90。.点。、E、N分别为棱PA、PC、8C的中

点，M是线段4。的中点，PA=2C=4,A8=2.

(1)求证：MN〃平面BDE；

(2)求平面CEM与平面MNE夹角的正弦值；

(3)点H在棱PA上,直线NH与BE所成角余弦值为手,求线段长.

【变式7-1]3.(2023•全国•高二假期作业)如图，在三棱锥P-48C中，PA，底面A8C,

血C=90°，点D,E4分别为棱P4,PC,BC的中点,M是线段4。的中点,PA=AC=4,

AB=2.

Q)求证：MN〃平面BDE.

(2)已知点”在棱P2上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为手,求线段AH的长.

【变式7-1]4.(2022秋•重庆南岸•高二重庆第二外国语学校校考期中)莲花山位于鄂州

市洋澜湖畔.莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名.这里三面环湖,

通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺.旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图

①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3V3m，顶部为底面边长为

2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是45。.

(1)求该凉亭及其内部所占空间的大小；

(2)在直线PC上是否存在点M，使得直线MA与平面BD/i所成角的正弦值为f?若存在，

请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.

图①图②

题型8二面角与动点问题

【例题8]（2023・全国•高三专题练习）如图，在三棱锥P-4BC中，平面PBC1平面4BC,

APBC为等边三角形,D,E分别为PC,PB的中点，8。1PA,BC=2,AC=1.

⑴求证：AC1平面PBC；

⑵在线段4c上是否存在点F,使得平面DEF与平面A8C的夹角为，若存在，求出CF的长；

若不存在，请说明理由.

【变式8-1]1.（2023・上海虹口・上海市复兴高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥P-

4BC中,AB=BC=2笆，PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

（1）证明：P。，平面ABC;

⑵若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30。，求常勺值.

p

c

B

【变式8-1]2.(2023・全国・高二专题练习)如图，在三棱锥「一力8。中，48=灰?=

2y/2,PA=PC=AC=4：,平面ABC1平面P4C.

(1)求异面直线4c与PB间的距离；

⑵若点”在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面P2M所成角的正弦值.

【变式8-1]3.(2023•全国•高二专题练习)如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知P41平

面4BC,平面P4B1平面PBC.

(1)证明：BC，平面P4B；

(2)若P2=AB=6,BC=3，在线段。。上(不含端点)，是否存在点。，使得二面角B-AD-C

的余弦值为?，若存在，确定点。的位置；若不存在，说明理由.

R

【变式8-1]4.（2023•全国•高三专题练习）在三棱锥4-ABC中,D,E,P分别在棱AC,

AB,BC上，且D为AC中点，4。=力E=A'D=A'E=2,AP1于F.

（1）证明：平面A4'P1平面4OE；

⑵当BE=1,BC=5,二面角4——P的余弦值为|时，求直线4B与平面4DE所成角

的正弦值.

题型9体积与动点问题

【例题9]（2023・全国•高三专题练习）如图1，在边长为4的菱形ABCD中,zDAB=60°,

点M,N分别是边BC,CD的中点,ACriMN=G.沿MN将&CMN翻折到

的位置，连接PA,PB,PD,得到如图2所示的五棱锥P-ABMND.

（1）在翻折过程中是否总有平面平面PAG?证明你的结论；

⑵当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；

（3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q,使得二面角Q-MN-P的平面角的余弦

值为噂?若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.

B

图1

【变式9-1】1.（2022•全国•高三专题练习）如图，在三棱锥4-BCD中，平面AB。1平面

BCD,AB=AD,。为8。的中点.

⑴证明：04_LCD；

(2)已知△OCD是边长为1的等边三角形，且三棱陶4-BCD的体积为£,若点E在棱4。上,

O

且二面角E-BC-。的大小为45。，求答.

【变式9-1]2.(2023・全国•高二专题练习)如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知241平

面ABC,平面/MB1平面PBC,点D为线段PC上一点，且PD=2DC,

⑴证明:BC1平面P4B；

(2)若48=6,BC=3,且三棱锥P-48C的体积为18,求二面角B-AD-C的正切值.

P

【变式9-1]3.(2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱锥P-力BC中，侧面P2C是边长

为2的正三角形，BC=4,48=2有，分别为PC,PB的中点，平面4EF与底面A8C的

交线为I.

(1)证明：Z//平面PBC.

(2)若三棱锥P-4BC的体积为竽,试问在直线1上是否存在点Q，使得直线PQ与平面4EF所

成角为a,异面直线PQ,EF所成角为。，且满足a+8=三？若存在，求出线段4Q的长度；若

【变式9-1]4.(2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱锥P-力BC中，侧面P2C1底面

ABC,AC1BC,AP4C是边长为2的正三角形,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点，记平面4EF

与平面A8C的交线Z.

(1)证明：直线11平面P4C.

(2)若Q在直线I上且N82Q为锐角，当"TEFQ=4-4BC时，求二面角4-PQ-B的余弦值.

题型10最值取值范围问题

【例题101(2023春•宁夏银川・高二银川一中校考期中必说中，乙4cB=45。,8c=3,

过点4作4。1BC,交线段BC于点。(如图1),沿4。将44BD折起，使4BDC=90°(如图

2),点民M分别为棱BC,AC的中点.

(1)求证：CD1ME；

(2)在①图1中tan2B=—J②图1中前=|国+[左，③图2中三棱锥a-BCD的体积

最大.

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.

问题：已知,试在棱C。上确定一点N，使得EN1BM,并求平面BMN与平面C8N

的夹角的余弦值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【变式10