2025年中考数学几何模型归纳训练：全等三角形模型之角平分线模型解读与提分训练（原卷版）

专题15全等三角形模型之角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全

等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

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例题讲模型'

-~一_..........................................................................................................................................................2

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）.............................................2

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）..............................................5

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）..................................7

习题练模型一

.............................................................................................................10

例题讲模型］

模型1.角平分线垂两边(角平分线+外垂直)

角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分

线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。

模型证明

条件：如图1,0c为/Z08的角平分线，CQ4于点CBL0B于点、B.

结论：CA=CB、AOACA0BC.

证明：为NZ08的角平分线，CA10A,CB10B,

：.CA=CB,ZCBO=ZCAO=90°,,：OC=OC,:.NOACQbOBC(HL)

常见模型1(直角三角形型)

条件：如图2,在A43C中，ZC=90°,2。为NC48的角平分线，过点。作

结论：DC=DE、AOZC会AZX4E.(当A48C是等腰直角三角形时，还有幺8=ZC+CD.)

证明：：/。=90°,/£＞为NC43的角平分线，DELAB,

:.DC=DE,ZAED=ZACD=90°,,：AD=AD,:.ADAC2ADAE(HL)

常见模型2(邻等对补型)

条件：如图3,0c是的角平分线，AC=BC,过点。作CD_LO4CELOB.

结论：®ZBOA+ZACB=180°;②AD=BE；③OA+OB=2AD.

证明：：。。是N/O3的角平分线，CD±OA,CELOB,

：.CD=CE,ZCDA=ZCEB=90°,AC=BC,：.M)ACAE5C(.HL'),：.AD=BE,/CAD=NCBE；

'：ZOBC+ZCBE=180°,ZOBC+ZCAD=180°,ZBOA+ZACB=180°,

同图1中的证法易得：AOOCgAEOC(7a),：.OD=OE,

OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2AD,

模型运用

例1.（2024•陕西・中考真题）如图，在“BC中，=是边N3上一点，连接CE,在BC右侧作8尸〃4C,

且=连接CF.若ZC=13,BC=10,则四边形匹/C的面积为

例2.（23-24八年级上•江苏南通•阶段练习）如图，V/08的外角/C48,2DA4的平分线4尸，8P相交于

点、P,PELOC于E,PFLOD于F,下列结论：（1）PE=PF；（2）点尸在/COD的平分线上；（3）

乙4尸8=90。一/。；（4）若4吸=17,则OE=8.5,其中正确的有（）

C.3个D.4个

例3.（2023春•安徽宿州•八年级统考阶段练习）已知4B〃CD,8尸和CP分别平分/48C和N8CD,点£,

厂分别在和CD上.（1）如图1，EF过点P,且与垂直，求证：PE=PF；

（2）如图2,E尸为过点P的任意一条线段，试猜想尸£=尸尸还成立吗？请说明理由.

图1图2

例4.（23-24九年级下•辽宁本溪•阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如

图1,4力平分/BAC,M为42上一点，N为ZC上一点，连接线段DN,若N84C+NNDM=180。.求

证：DM=DN.

A

ENCENC

①如图2,小文同学从己知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在NC上截取连

接DE,易证A/DM%NDE,将线段DM与。N的数量关系转化为DE与DN的数量关系.

②如图3,小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过。点向/5/C的

两边分别作垂线，垂足分别为点E,F,易证A4DEHADF,得到DE=DF,接下来只需证&FDM卬EDN,

可得.

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程

【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角,

姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答.

如图4,在V48C中，AB=AC,BD平分N4BC交AC与点D,在线段8C上有一点E,连接4E交AD与

点尸，若NCAE=NABD.求证：AD=CE.

【学以致用】（3）如图5,在V48c中，AB=AC,ADLBC,垂足为点。，在C2的延长线上取一点E,

9

使NE4B=NBAC,在线段£5上截取斯=45,点G在线段4E上，连接尸G,使/E尸G=NE45,若｛D=1,

EG=（,BF」Q_3圆,求四边形的面积.

35

FBDC

图5

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而

得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在

解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等

来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！）

模型证明

图1图2图3

条件:如图1,0C为NZ03的角平分线，ABLOC,

结论:MOC名ABOC,A048是等腰三角形，0C是三线合一等。

证明:：0C为NZ08的角平分线，：.ZCOA=ZCOB,

:ABLOC,ZBCO=ZACO=90°,"：CO=CO,：.&AOC冬ABOC(ASA),

20=80,.•.A048是等腰三角形，ABLOC,OC是三线合一。

条件：如图2,BE为NZ8C的角平分线，BELEC,延长R4,CE交于点、F.

结论：ABEC学ABEF,A5EC是等腰三角形、3E是三线合一等。

证明：同图1的证法,

模型运用

例1.（23-24八年级下•安徽马鞍山•期末）如图，“BC中，AB=8cm,AC=6cm,点E是的中点，若

平分N8ZC,CD1AD,线段。£的长为（）

A

C.1.5cmD.2cm

例2.（2024•广东深圳•八年级校考阶段练习）如图，中，5C=10,AC—AB=5,是/A4C的角

平分线，CDLAD,则以B或的最大值为.

例3.（2024•广东•九年级期中）如图，在A45C中，AB=AC,ZBAC=90°,

图1图3

（1）如图1,5。平分N/8C交/C于点。，F为5C上一点，连接"交5。于点E.

（D若AB=BF,求证：垂直平分/；（ii）若/尸_LB。,求证：ND=CF.（2）如图2,BD平分N4BC

交4c于点D,CE1BD,垂足E在的延长线上，试判断线段CE和8。的数量关系，并说明理由.

（3）如图3,F为BC上一点、,ZEFC=-ZB,CELEF,垂足为E,EF与HC交于点、D,写出线段CE

2

和ED的数量关系.（不要求写出过程）

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）

模型解读

角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到

对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型证明

条件：如图1,0c为/Z08的角平分线，/为任意一点，在08上截取连结C8.

结论：A0AC%A0BC,CB=CAo

证明：：0C为NZ08的角平分线，：.ZCOA=ZCOB,

'：OB=0A,CO=CO,:."0C必BOC(SAS),：.CB=CA。

条件：如图2,BE、CE分别为NABC和ZBCE的平分线，AB//CD,在BC上截取BF=AB,连结EF。

结论：ABAE0A5FE,bCDE2KCFE,AB+CD=BC.

证明：1为448c的平分线，AZABE=ZFBE=-ZABC,

2

,:BF=AB,BE=BE,:.MAE名帖FE(MS),AZAEB=ZFEB,

AB//CD,：.ZABC+ZBCD=180°,:CE为ZBCE的平分线，；.ZFCE=ZDCE=-ZBCD,

2

ZEBC+ZBCE=-ZABC+-ZBCD=90°,：.ZFEC+ZFEB=90°,ZAEB+ZCED=9Q°,

22

AZFEC=ZCED,,:EC=EC,:.NCDE空NCFE,：.FC=DC,：.AB+CD=BF+FC=BCa

模型运用

例1.（2023•浙江•九年级专题练习）如图，在AABC中，AB=AC,4=100。，5。是/4BC的平分线,

延长3。至点E,DE=AD,试求的度数.

A

D

例2.(2022•北京九年级专题练习)在四边形4&DE中，C是边的中点.

(1)如图(1),若/C平分48/E,ZACE=90°,则线段/£、AB、的长度满足的数量关系为；

(直接写出答案)；(2)如图(2),AC平分NB4E,EC平分NAED,若N/CE=120。，则线段43、BD、

DE、/£的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

例3.(2023•山东烟台•九年级期末)已知在A4BC中，满足乙4c2=2/8,

(1)【问题解决】如图1，当/C=90。，为NB4C的角平分线时，在A8上取一点E使得/E=/C,连接

求证：48=/C+CO.(2)【问题拓展】如图2,当/Cw90。，为NB/C的角平分线时，在48上取一点

£使得/£=/C,连接。E,(1)中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由.

(3)［猜想证明】如图3,当/。为“ABC的外角平分线时，在BA的延长线上取一点E使得AE=AC,连接DE,

线段/8、AC,CO又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

例4.(24-25八年级上•江苏扬州•阶段练习)问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等

三角形问题.

如图①，在四边形N8DE中，点C是5。边的中点，4c平分/BAE,NACE=90。,证明：AE=AB+DE.

讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思

广议，提出了一个截长法：如图②，在/£上截取/尸=48,连接CF,先证明△NBC也△4FT,再证明

△EFC必EDC,即有所=Z)E,BPAE=AB+ED.

解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明

AE=AB+DE,理由如下：如图②，在/£上取一点尸，使/尸=/3,连接CF.

AB=AF

,；AC平分/BAE,；./BAC=NFAC,在和中，］ZBAC=ZFAC；.AACB知ACF(SAS)

AC^AC

；.BC=FC,ZACB=ZACF.

(1)小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧.

拓展探究：已知：如图③，在A/BC中，乙8=60。，D、E分别为上的点，且交于点尸.若

为A/BC的角平分线.(2)NAFC=°；(3)证明：DF=EF.

(4)如图④，在A/3C中，/4CB/90。,延长A4BC的边A4到点G,力。平分/G4c交8C延长线于点。，

^AB+AC=CD,ZABC=30°,贝

图④

习题练模型

1.（2024・山东烟台・中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下,

其中射线。尸为NZO8的平分线的有（）

2.（2024•广东深圳・中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线/。平分NA4c的

D.只有①

3.（2024•重庆•校考一模）如图，已知四边形48co的对角互补，且NB4C=ND4C,AB=15,4D=12.过

顶点。作CEL/3于£,则二二的值为（）

A.V73B.9C.6D.7.2

4.（2024・安徽•一模）如图，中，4D平分NB4C,£是8C中点，AD1BD,AC=7,48=4,则

DE的值为（）

13

A.1B.2C.vD.-

22

5.（2024•绵阳市•校考一模）已知，如图，BC=DC,ZB+ZD=180°.连接AC,在AB,AC,AD上分别

取点E,P,F,连接PE,PF.若AE=4,AF=6,ZkAPE的面积为4,则AAPF的面积是（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2023春・广东深圳•八年级校考期中）如图，点P为定角//OB的平分线上的一个定点，且与

//O8互补，若/MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与。4相交于M、N两点，则以下结论:

①尸河=PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形尸MCW的面积不变；其中正确的个数为（）

A

B

A.3B.2C.1D.0

7.（23-24九年级上•重庆•阶段练习）如图，在A48c中，N8/C和//8C的平分线/E,3尸相交于点O,

AE交BC于E,BF交AC于F,过点。作QD_L8C于。，下列几个结论：

①。C平分Z8C4®ZAOB=90°+③当/C=60。时，AF+BE=AB；

④若OD=a,AB+BC+CA=2b,则％其中正确的有（）

8.（2023・四川南充•统考二模）如图，。为的平分线OC上一点，DE=DF,但OEw。b，则NOED

9.（2023•山东淄博•校考二模）如图，点。在内部，BD平分/4BC,且/。工8。，连接CD.若△BCD

的面积为2,则的面积为.

10.（2024・湖南・中考真题）如图，在锐角三角形4BC中，40是边BC上的高，在A4,8C上分别截取线

段BE,BF,使BE=BF；分别以点E,尸为圆心，大于!E尸的长为半径画弧，在248C内，两弧交于点

2

P,作射线AP,交/。于点过点“作跖于点N.若MN=2,AD=4MD,贝l|NM=.

11.（2024•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，四边形48CD中NO=2N8=120。，AB=AD,E为BC_L

一点，连接/E,BE=2,CD=7,4ZBAE+ZBCD=\20°,则线段CE的长为

12.（2024・江苏•九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形43C中，AB=AC,/A4c=90。，B尸平分

/ABC,CO交3尸的延长线于点。，试说明：BF=2CD.

13.（2024・湖北孝感•九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画乙408=90。，并画//O3的平分线。C.

（I）把三角尺的直角顶点落在。C的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与//O8的两边04,OB

垂直，垂足为E,F（如图1）.则尸£=尸尸；若把三角尺绕点P旋转（如图2）,则PEPF.（选

填：“<”、">”或“=”）

（理解应用）

（2）在（1）的条件下，过点?作直线GHLOC,分别交04,03于点G,H,如图3.

①图中全等三角形有对.（不添加辅助线）

②猜想GE,FH,EF之间的关系为________.

（拓展延伸）

（3）如图4,画ZAOB=60°,并画ZAOB的平分线0C,在OC上任取一点P,作ZEPF=120°,NEPF的

14.（2023•吉林松原•校联考二模）在四边形中，4c平分ND4B,ZABC=a,ZADC=180°-a.

（1）若a=90。时，直接写出CD与CB的数量关系为—；（2）如图1,当好90。时，（1）中结论是否还成立,

说明理由；（3）如图2,。为NC中点，M为4B上一点BM=AD,求石万群值,

二C

ABAMB

图1图2

15.（23-24九年级上•河南开封•阶段练习）如图，在Rt448C中，ABAC=90。现在有一足够大的直角三角

板，它的直角顶点。是BC边上一点，另两条直角边分别交/8、/C于点£、F.

>

BDCBDC

图1图2

（1）如图1,若尸，/C,求证：四边形/ED尸是矩形.

（2）若点。在/A4c的角平分线上，将直角三角板绕点。旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条

直角边分别交于点£、尸（如图2）,试证明/£+/尸=®4D.（尝试作辅助线）

16.（2024•河南南阳•一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发

展的眼光看问题,形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题,

请你解答.（1）【观察发现】①如图1,NP是VN3C的角平分线，AB<AC,在/C上截取连接

PQ,则尸B与的数量关系是；②如图2,VN8C的角平分线/£、3月相交于点P当NC=60。

时，线段PE与尸尸的数量关系是;

（2）【探究迁移】如图3,在四边形/8C75中，AB=AD+BC,4D48的平分线与N48C的平分线恰好交

于CA边上的点尸，试判断与尸。的数量关系，并说明理由.

（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若N8=15,tan/P48=；,当APBC有一个内角是45。时，直接写出边

的长.

17.（2023•山东济南•二模）在等腰V48。中，f）B=90°,是VN2C的角平分线，过点M作“NL/C,

垂足为N,NEMF=135。、将NEMF绕点M旋转，使NEMF的两边交直线48于点E,交直线/C于点R

请解答下列问题：（1）当NEMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；

（2）当NEAYF绕点M旋转到如图②的位置时，请直接写出线段BE,CF,之间的数量关系；

⑶在（1）和（2）的条件下，tanZBEM=拒,/N=28+2，分别求CF的长.

图①图②

18.（23-24八年级上•江苏无锡・期中）【情境建模】（1）苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形

的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”.

小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形.即

如图1,已知，点。在V/BC的边3C上，平分且求证：AB=AC.请你帮助小

明完成证明；请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：

【理解内化】（2）①如图2,在V45c中，4D是角平分线，过点3作/。的垂线交40、/C于点£、F,

乙iBF=2NC.求证：BE=^AC-AB）i②如图3,在四边形4RDC中，BC=5AC-AB=6,4D平

分NCAB,AD』CD,当△BCD的面积最大时，请直接写出此时CD的长.

【拓展应用】（3）如图4,V/2C是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中N/C5=90。，AC=15m,

BC=20m,该绿化带