2025年新高考数学专项复习：立体几何小题轨迹问题七大题型（原卷版）

专题1-5立体几何小题轨迹问题七大题型汇总

6常考题型目录

题型1平行关系与轨迹............................................................1

题型2垂直关系与轨迹............................................................3

题型3定长与轨迹................................................................5

题型4相等关系与轨迹............................................................8

题型5角度定值与轨迹............................................................9

题型6翻折问题与轨迹...........................................................12

题型7旋转问题与轨迹...........................................................14

口题型分类

题型1平行关系与轨迹

【例题1】（2023•全国•高三专题练习）如图，在三棱柱ABC中，M为4的的中点

N为侧面BCG2上的一点，目MN〃平面ABC1，若点N的轨迹长度为2,则（）

A.AC】=4B.BC1=4C.AB、=6D.BrC-6

【变式（多选X2023•全国•高三专题练习）已知△ZBC为等腰直角三角形,AB=AC,

其高4。=3,E为线段BD的中点，将4ABC沿AD折成大小为。g<0<欧的二面角，连接

BC,形成四面体A-BCD,动点P在4"D内（含边界），且PEII平面4BC,则在。变化的

过程中（）.

A.XD1BC

B.E点到平面ADC的距离的最大值为|

C.点P在△4。。内（含边界）的轨迹长度为企

D.当BP12C时，BP与平面4DC所成角的正切值的取值范围为[2a,+8）

【变式1-1]2.侈选）（2023•全国•高三专题练习）已知正方体4BCD-4/1GD1的棱长为

2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得MN〃平面A/G，则（）

A.三棱锥N-&BC]的体积为定值|

B.当|MN|最大时，MN与BC所成的角为:

C.正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等

D.若DN=2,则点N的轨迹长度为2TT

【变式1-1]3.侈选）（2022•全国•模拟预测）已知正方体ABCD-&B1GA的棱长为2,

平面a过点A,ArH1平面a,且垂足H在正方体的内部，P是棱G5上的动点，则（）

A.当BD〃平面a时，H点的轨迹长度为TI

B.点H所形成曲面的面积为与

C.若仅存在唯一的平面a，使得1HP,则DiP=史?

D.若P为C也的中点，则直线PH与平面&B1QD1所成角的最大正切值为手

【变式1-1]4.（2023•全国•高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABC。-

中，点E,F分别是棱BC、CG的中点，P是侧面ADD14内一点（含边界）,若PC1〃平面

AEF,点P的轨迹长度为

DiC,

题型2垂直关系与轨迹

【例题2】（2023•全国•高三对口高考）如图，定点A和B都在平面a内，定点P^a,PBLa,

C是a内异于A和B的动点，且PC1AC.那么，动点C在平面a内的轨迹是（）

A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点

C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点

【变式2-1]1.（多选）（2023•全国•高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体4BCD-

a/iGA中，M为名Ci边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正

A.存在点P,使得1A/

B.过三点4的正方体。-的截面面积为?

M、AABCA/iGAO

C.四面体A1G80的内切球的表面积为:

D.点N在棱BBi上，且BIN=4NB,若/P1NP,则满足条件的P的轨迹是圆

【变式2-1]2.侈选）（2023•全国•高三专题练习）（多选）如图所示，圆锥PO中，PO为

高，AB为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于2的等腰直角三角形，C为母线PA的

中点,点M为底面上的动点，目OM^AM,点O在直线PM上的射影为H.当点M运

动时，（）

A.三棱推M-ABC体积的最大值为,

B.直线CH与直线PA垂直不可能成立

C.H点的轨迹长度为n

D.AH+HO的值小于2

【变式2-1】3.（多选）（2023・重庆•校联考三模）已知在三棱锥P—ABC中,PA=PC=AB=

8C=2,AC=2百，平面PAC，平面ABC.若点M为BC的中点，点N为三棱锥P-ABC

表面上一动点，则下列说法正确的是（）

A.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为20TTB.直线PC与AM所成的角9e（也以

C.若4C1MN,则点N的轨迹长度为1+亨D.若点N在棱AC上，贝+NP的最小

值为2

【变式2-1]4.（2021秋•高二课时练习）如图,圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三

角形，O为底面中心，M为S。中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若AM^MP,

则点P形成的轨迹长度为，点S与P距离的最小值是

【变式2-1]5.侈选）（2023•全国•高三专题练习）如图，圆柱。01的底面半径和母线长均

为3,是底面直径，点C在圆。上且OC1AB，点E在母线BD上,BE=2，点F是上底面的一

A.存在唯一的点尸，使得2F+FE=2旧

B.若4E1CF,则点尸的轨迹长为4

C.若2F1FE,则四面体4CEF的外接球的表面积为40n

D.若4F1FE,则点F的轨迹长为2伤II

题型3定长与轨迹

【例题3】（2023•全国•高三专题练习）正方体A8CD-481GA的棱长为1，点P在三棱锥

G-BCD的表面上运动，且&P=孚,则点P轨迹的长度是（）

*V3+2>/62V3+V6

A.-------ITDn.--------T[

66

「V3+V6、2V3+V6

C.------TID.--------TT

63

【变式3-1】1.（多选）（2023秋・广东阳江•高三统考开学考试）已知正方体4BCD-

的棱长为2,M为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）

A.若M为线段AC上任一点，则与BQ所成角的范围为[若]

B.若M为正方形力DZMi的中心，则三棱锥M-48。外接球的体积为8TT

C.若M在正方形DCC1D1内部,且|MB|=V6,则点M轨迹的长度为fn

D.若三棱锥M-BDG的体积为=讨亘成立，点M轨迹的为椭圆的一部分

【变式3-1]2.（多选）（2023•全国•高二专题练习）如图,在棱长为1的正方体A8CD-

力1当6。1中，。为棱BBi的中点，Q为正方形BBiGC内一动点（含边界），则下列说法中正

确的是（）

A.若AQ〃平面,则动点Q的轨迹是一条线段

B.存在点Q，使得DiQJ_平面&PD

C.当且仅当点Q落在Ci处时，三棱锥Q-&PD的体积最大

D.若D】Q=噂，那么点Q的轨迹长度为乎TT

【变式3-1]3.（多选）（2023春・广东惠州•高一统考期末）如图,点M是棱长为1的正方体

ABCD-4/16%中的侧面ADD14上的一个动点（包含边界）,则下列结论正确的是（）

A.有无数个点M满足CM1AD1

B.当点M在棱。必上运动时，MA+MB]的最小值为V5+1

C.若MBLV2,则动点M的轨迹长度为]

D.在线段AD】上存在点M，使异面直线与CD所成的角是30。

4

A

【变式3-1]4.侈选）（2023•全国•模拟预测）如图，已知正方体4BCD-4汨心必的棱长

为2,P,Q分别是0%和底面ABCD上的动点（包含边界），且PQ=1,PQ的中点为M,

则下列说法正确的有（）

A.点M的轨迹的面积为2

O

B.直线CiQ与BC所成角的余弦值的范围为[|,等]

C.当PQ12Q时，三棱锥％-QC4的体积为定值

D.|帝+瓦的最小值为4百-1

【变式3-1]5.侈选）（2023•全国•高二专题练习）在直四棱柱中力BCD-&B1G必中，底

面力BCD为菱形，ZBAD=60°,AB=AD==2,P为CG中点，点Q满足丽=WC+

〃DD],（入E[0,l],/ze[0,1]）.下列结论正确的是（）

A.若4+〃=J则四面体&BPQ的体积为定值

B.若4QII平面&BP,则2Q+CiQ的最小值为J10+3同

C.若△4/Q的外心为。，则布■不5为定值2

D.若力&=V7,则点Q的轨迹长度为|兀

题型4相等关系与轨迹

【例题4]（2023•全国•学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线"异面且垂直，

平面all"且%ua,若点P到限"距离相等，则点P在平面a内的轨迹为（）

A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【变式（多选X2023•河北唐山•开滦第二中学校考模拟预测）已知四棱锥P-4BCD,

底面ABC。是正方形,PA1平面ABC。,PA=AD=2，点M在平面/BCD上,S.AM=AAD{0<

2<1）,则（）

A.存在4,使得直线PB与2M所成角为？

O

B.不存在4，使得平面/MB1平面PBM

C.当4一定时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面力BCD围成的几何体的外接球的表而

积为4（"+l）2n

D.若4=号，以P为球心，PM为半径的球面与四棱琏P-4BCD各面的交线长为等TT

【变式4-1]2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知在棱长为1的正方体ABC。-

中，点P为下底面ABCD上的动点，则（）

A.当P在对角线BD上运动时，三棱锥4-PB/i的体积为定值

B.当P在对角线BD上运动时，异面直线D#与/A所成角可以取到T

C.当P在对角线8。上运动时，直线。止与平面4BD所成角可以取到三

D.若点P到棱的距离是到平面BCC1Z的距离的两倍,则点P的轨迹为椭圆的一部分

【变式4-1】3（2023・全国•高三专题练习）已知长方体ABC。—&B1GD1中=6,BC=3,

在线段BD、4G上各有一动点P、Q,PQ上有一点M,且PM=2MQ,则点M的轨迹图

形的面积是—.

【变式4-1】4.侈选）（2023•全国•高三专题练习）如图,正方体4BCD-的棱长

为2,点E是线段的中点,点M是正方形CDQCi所在平面内一动点，下列说法正确的是

A.若点尸是线段4B的中点，贝力尸〃&E

B.若点G是线段4。的中点，则GG1平面&BE

C.若〃平面&BE，则M点轨迹在正方形CD。1的内的长度为日

D.若点M到BC的距离与到。必的距离相等，则M点轨迹是抛物线

【变式4-1】5.侈选）（2023•全国•高三专题练习）已知正方体ABCD-4/iGDi的棱长为

1,点P为侧面BCC/i内一点，则（）

A.当于=:取时，异面直线CP与4。所成角的正切值为2

B.当于=2^8（0<A<1）时，四面体DMCP的体积为定值

C.当点P到平面ABC。的距离等于到直线4%的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分

D.当斤=:葭时，四面体BCDP的外接球的表面积为37r

题型5角度定值与轨迹

【例题5]（2023秋•高二单元测试）如图，点P是棱长为2的正方体4BCD-4/©/的表

面上一个动点，则以下不正确的是（）

A.当P在平面BCG%上运动时，四棱锥P-44/1。的体积不变

B.当P在线段4c上运动时，5P与公的所成角的取值范围是

C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45。的点P的轨迹长度为TT+4V2

D.若F是4/1的中点,当P在底面ABC。上运动，目满足PF〃平面B1CQ时，PF长度的最小

值是花

【变式5-1]1.（2023・全国•高三专题练习）如图，在正方体4BCD—ABiGA中,AB=2,

P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（）

A.有且仅有一个点P,使得。止IBiCB.ABrII平面CPC1

C.若丽=IDB,则三棱锥P-B/C外接球的表面积为16TTD.M为的中点，若

MP与平面ABCD所成的角为?,则点P的轨迹长为:

【变式5-1]2.侈选）（2023•全国•高二专题练习）如图,正四棱桓4BCD-&B1GA中，

AA±=2AB=2,动点P满足Q=aAC+bAA1,且a,bG（0,1）.则下列说法正确的是（）

G

小Bi

C

'B

A.当a=3时，三棱锥4-PB4的体积为,

B.当a+b-1时，PB+PBi的最小值为逐

C.若直线BP与8。所成角为T,则动点P的轨迹长为咚TT

4Z

D.当a+26=1时，三棱锥P-4BC外接球半径的取值范围是偿，手）

【变式5-1]3.侈选）（2023•全国•高三专题练习）已知正四棱台4BCD-的所有

顶点都在球。的球面上，AB=24/1=2,A41=&,E为43。的内部（含边界）的动点,

则（）

A.44111平面8。。1

B.球。的表面积为8n

C.EA+E4的最小值为2次

D.若2E与平面BDC1所成角的正弦值为手，则E点轨迹长度为管TT

【变式5-1]4.（2023・全国•高三专题练习）已知矩形ABC。，CD=4AD=4次,过CD作

平面a，使得平面4BCD1a，点P在a内,且4P与CD所成的角为与,则点P的轨迹为

8P长度的最小值为

【变式5-1】5.侈选）（2023・全国•高三专题练习）已知正方体ABCD-&B1C也的棱长为4,

E为侧面BCG2的中心，尸为棱GA的中点，P为线段BDi上的动点（不含端点），Q为上底

面为B1GA内的动点,则下列结论正确的是（）

A.三棱锥P-的体积为定值

B.若EP〃平面,则EP=g

C.若FQ1DP,贝！］线段FQ的最大值为2a

D.当DQ与的所成角为45。时，点Q的轨迹为双曲线的一部分

题型6翻折问题与轨迹

【例题6］（2022•全国•高三专题练习）已知矩形4BCD中,AB=1,AE=^2，如图，将△ABE

沿着BE进行翻折，使得点4与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包

含边界），则动点S的轨迹长度是（）

【变式6-1］1.（2023•全国•高三专题练习）已知菱形4BCD的各边长为2,"=60。如图所

示4CD沿AC折起，使得点。到达点S的位置，连接SB彳导到三棱锥S-ABC，此时SB=3,

E是线段SA的中点，点F在三棱锥S-28C的外接球上运动，目始终保持EF1AC,则点F的

轨迹的周长为（）

5V24V54V3p.5V3

AA.——71D.——71rC.——nD.——7T

3333

【变式6-1]2.（2020秋•浙江台州•高二校联考期中）矩形ABCD中，48=2,4。=b,

E为AB中点，将MDE沿DE折起至AA'DE,记二面角A1-DE-C=0，当0在[o,兀]范围内

变化时，点A，的轨迹长度为

【变式6-1]3.（2021秋•福建泉州•高二福建省南安市侨光中学校考阶段练习）如图所示,

在平行四边形2BCD中，E为2B中点，DE148,DC=8,DE=6.沿着。石将44DE折起，

使4到达点4的位置，且平面ADE1平面BCDE.若点P为A4DE内的动点，且满足NEPB=

【变式6-1】4.（2021秋福建福州•高二福建省长乐第一中学校考阶段练习）已知菱形ABCD

的边长为2"ABC=60。.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角夕-"-D.设E

为夕C的中点，F为三棱锥夕-2CD表面上动点，且总满足AC1EF,则点F轨迹的长度

为

B'

【变式6-1]5.（2023春・全国•高一专题练习）已知菱形力BCD的各边长为4,=60。，如图

所示，将△力CD沿AC折起，使得点。到达点S的位置，连接SB彳导到三棱锥S-ABC，若SB=6

则三棱锥S-48C的体积为,E是线段S4的中点，点尸在三棱锥S-48c的外接

球上运动，目始终保持EF1AC,则点尸的轨迹的周长为.

S

题型7旋转问题与轨迹

【例题7】（多选）（2023•全国•高三专题练习）如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC

的侧棱长均为e,BC=2.若将正三棱推A-PBC绕BC旋转，使得点A,P分别旋转至点

A1,P处，且A,B,C,D四点共面，点A,D分别位于BC两侧，则（）

A.A'D1CP

B.PP〃平面4BDC

C.多面体PP'A'BDC的外接球的表面积为6n

D.点A,P旋转运动的轨迹长相等

【变式(2022•内蒙古呼伦贝