2025年中考数学分类复习：函数综合压轴题（32题）（原卷版）

专题29函数综合压轴题（32题）

一、单选题

1.（2024•四川广元中考真题）如图，己知抛物线y=M+bx+c过点C（0,-2）与无轴交点的横坐标分别为4,

4，且一1<%<0,2</<3,则下列结论:

CDa—Z?+cvO；

②方程ox?+以+c+2=0有两个不相等的实数根;

③a+Z?>0；

2

⑤廿-4女〉4a2.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）如图，正方形ABCO的顶点A,C在抛物线y=-丁+4上，点。在V轴上.若

A。两点的横坐标分别为好几（m>n>0）,下列结论正确的是（）

A.m+n=\B.m—n=1C.nm=lD.—=1

n

3.（2024・山东济南・中考真题）如图1,VABC是等边三角形，点。在边AB上，瓦）=2,动点尸以每秒1

个单位长度的速度从点8出发，沿折线BC-C4匀速运动，到达点A后停止，连接。P.设点P的运动时间

为f（s）,Dp］为y.当动点尸沿2C匀速运动到点C时，y与f的函数图象如图2所示.有以下四个结论:

①AB=3；

②当r=5时，y=l；

③当4W/V6时，14y43；

④动点P沿3c-C4匀速运动时，两个时刻％,%&</2）分别对应为和%，若4+^=6,则%>>2.其中

正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②C.③④D.①②④

图1

二、填空题

4.（2024・湖北武汉•中考真题）抛物线y="2+6x+c（a,b,。是常数，a<0）经过,（私1）两点，

且0<7〃<1.下列四个结论：

①b>0；

②若0<x<l,贝Ua（x-iy+6（x-l）+c>l；

③若a=T,则关于龙的一元二次方程62+灰+c=2无实数解；

④点3（毛,弦）在抛物线上，若占+%>-；，芭>%，总有必〈必，则。<机4：.

其中正确的是（填写序号）.

3

5.（2024.江苏宿迁.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y尤上，且点A的横坐标为4,

直角三角板的直角顶点C落在X轴上，一条直角边经过点A,另一条直角边与直线Q4交于点2,当点C

在x轴上移动时，线段AB的最小值为.

2

6.（2024.黑龙江大庆.中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称

为“倍值函数”，该点称为“倍值点”.例如：“倍值函数"y=3x+1,其“倍值点”为（-1,-2）.下列说法不氐

卿的序号为.

①函数y=2x+4是“倍值函数”；

Q

②函数>的图象上的“倍值点”是（2,4）和（-2,-4）；

14

③若关于尤的函数y=尤2+的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是加<§；

④若关于尤的函数'=/+（加-左+2八+£-3的图象上存在唯一的“倍值点”，且当-LW〃zW3时，w的最小

值为鼠则/的值为土史.

2

7.（2024.四川巴中.中考真题）若二次函数y=o?+云+c（a>0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴

对称.则下列说法正确的序号为.（少选得1分，错选得0分，选全得满分）

①2=2

a

35

②当黄aV=时，代数式—5H8的最小值为3

22

③对于任意实数，"，不等式。根2+而z-a+620一定成立

④PQ1，乃），（2（久2，%）为该二次函数图象上任意两点，且占<%.当占+超+2>°时，一定有％〈为

三、解答题

8.（2024.江苏常州•中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分

别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点

（1）如图1,当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是；

（2）如图2,若EF〃BC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值；

（3）如图3,当AE>EC,时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由.

9.（2024.四川资阳・中考真题）已知二次函数y+Zzx与y=-bx的图像均过点A（4,0）和坐标原

点0,这两个函数在0VxV4时形成的封闭图像如图所示，P为线段的中点，过点P且与x轴不重合的

直线与封闭图像交于3,C两点.给出下列结论：

①万=2；

®PB=PC；

③以0,A,B,C为顶点的四边形可以为正方形；

④若点B的横坐标为1,点。在y轴上（。，B,C三点不共线），则△BC。周长的最小值为5+内.

其中，所有正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

10.（2024.江苏常州.中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数,=-无?+a+3的图像与x轴相交

于点A、B,与y轴相交于点C.

备用图

（1）OC=；

（2）如图，已知点A的坐标是（T,0）.

①当iWxWm,且根＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t,s-t=2f求相的值；

②连接AC,尸是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点8除外），过点尸作无轴，垂足为。.作

4

ADPQ=ZACO,射线尸。交y轴于点0,连接。。、PC.若DQ=PC,求点P的横坐标.

11.（2024•北京・中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识

和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，

当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度々（单位：cm）和2号杯的水面

高度生（单位：cm）,部分数据如下：

V/mL040100200300400500

hx/cm02.55.07.510.012.5

h21cm02.84.87.28.910.511.8

（1）补全表格（结果保留小数点后一位）;

（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画々与V,久与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这

两个函数的图象；

Ah/cm

----------1______i_

1-I------I----------T-

||一---I----------4--

忐-----r--T-

；7_

⑹一」

；4—

3一T

2—\

fl—

OLWOJ2Q0J3Q0：400J_5Q0V/mL

（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm

（结果保留小数点后一位）；

②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为

cm（结果保留小数点后一位）.

12.（2024•吉林・中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）

所示，输入x的值为-2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输

出y的值为6.

开蛤

入7

（ffll）（图2）

⑴直接写出上a,b的值.

（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）.

I.当y随x的增大而增大时，求尤的取值范围.

II.若关于x的方程分。+6x+3-r=0（f为实数），在0<x<4时无解，求f的取值范围.

III.若在函数图像上有点尸，。（尸与。不重合）.P的横坐标为相，。的横坐标为T"+l.小明对尸，Q

之间（含P，。两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随，"的变化而变化，直接

写出机的取值范围.

13.（2024.四川宜宾・中考真题）如图，抛物线y=f+Zu+c与x轴交于点A（-l,0）和点8,与y轴交于点

C（0,-4）,其顶点为D

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标;

6

⑵在y轴上是否存在一点使得的周长最小.若存在，求出点"的坐标；若不存在，请说明理

由；

⑶若点E在以点P（3,0）为圆心，1为半径的「尸上，连接AE,以AE为边在AE的下方作等边三角形AER,

连接班1.求ar的取值范围.

14.（2024.江苏苏州.中考真题）如图①，二次函数y=f+bx+c的图象G与开P同下的二次函数图象G均

过点4（一1,0）,3（3,0）.

⑴求图象G对应的函数表达式；

⑵若图象过点C（0,6）,点尸位于第一象限，且在图象G上，直线/过点P且与X轴平行，与图象G的另

一个交点为。（。在P左侧），直线/与图象C1的交点为N（N在M左侧）.当尸。=MP+QN时，求点

P的坐标；

（3）如图②，D,E分别为二次函数图象G，g的顶点，连接4D,过点A作交图象C,于点E连

接EF,当EF〃A。时，求图象对应的函数表达式.

15.（2024•黑龙江绥化•中考真题）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-Y+bx+c与直线相交于A,3两点，其中点4（3,4）,5（0,1）.

（1）求该抛物线的函数解析式.

（2）过点8作3C〃x轴交抛物线于点C,连接AC,在抛物线上是否存在点P使tantan/AC2.若

存在，请求出满足条件的所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.（提示：依题意补全图形，并解答）

i

（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到^^alx+blx+c^atwO）,平移后的抛物线与原抛物线相交于点

。，点E为原抛物线对称轴上的一点，尸是平面直角坐标系内的一点，当以点8、D、E、产为顶点的四

边形是菱形时，请直接写出点F的坐标.

16.（2024•云南・中考真题）已知抛物线＞=/+法-1的对称轴是直线x=“设加是抛物线y=/+6x-l与

x轴交点的横坐标，记河=生会.

⑴求6的值；

⑵比较M与巫的大小.

2

17.（2024・江苏常州•中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一

定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移

关联图形”.

⑴如图1,AaO是线段AE的四等分点.若AE=4,则在图中，线段AC的“平移关联图形”是

d=（写出符合条件的一种情况即可）；

（2）如图2,等边三角形ABC的边长是2.用直尺和圆规作出YABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2（保

留作图痕迹，不要求写作法）;

8

(3)如图3,在平面直角坐标系xOx中，点、D、E、G的坐标分别是(-1,0)、(1,0)、(0,4),以点G为圆心，厂

为半径画圆.若对G上的任意点歹，连接Z)区EF.ED所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d»3,

直接写出厂的取值范围.

18.(2024•江苏宿迁・中考真题)如图①，已知抛物线％=，+fcr+c与x轴交于两点。(0.0)、42,0),将抛

物线为向右平移两个单位长度，得到抛物线内，点尸是抛物线为在第四象限内一点，连接出并延长，交

(1)求抛物线内的表达式；

(2)设点P的横坐标为巧,，点0的横坐标为女,求％-巧1的值；

(3)如图②，若抛物线%=/-8x+f与抛物线％=/+bx+c交于点C,过点C作直线分别交抛物线5

和力于点/、N(M、N均不与点C重合)，设点”的横坐标为点N的横坐标为〃，试判断是

否为定值.若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由.

19.(2024•山东济南・中考真题)在平面直角坐标系无0y中，抛物线Q-.y=x2+6x+c经过点A(0,2),B(2,2),

顶点为。；抛物线G：，=%2-2侬+加一加+2(加学1),顶点为。.

图1图2

(1)求抛物线G的表达式及顶点D的坐标;

(2)如图1,连接AD,点E是抛物线对称轴右侧图象上一点，点尸是抛物线G上一点，若四边形ADFE

是面积为12的平行四边形，求机的值；

(3)如图2,连接BD,。。，点M是抛物线q对称轴左侧图像上的动点(不与点A重合)，过点M作跖V〃

交x轴于点N,连接BN,DN,求3DN面积的最小值.

20.(2024・湖北•中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线丁=-/+/+3与x轴交于点A(-l,0)和点B,与

y轴交于点C.

(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，ZMAB=ZACO,求点M的横坐标；

(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L乙与y轴交于点M设L的顶点横坐标为〃，NC

的长为d.

①求d关于w的函数解析式；

②工与x轴围成的区域记为U,U与，ABC内部重合的区域(不令边界)记为W.当d随〃的增大而增大,

且卬内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出w的取值范围.

k

21.(2024・四川雅安・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象/与反比例函数y=~的图象

X

⑴求反比例函数及一次函数的表达式;

10

(2)求的面积；

(3)若点P是y轴上一动点，连接尸河，PN.当PM+/W的值最小时，求点尸的坐标.

22.(2024・四川巴中・中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线)=依2+及+3,片0)经过A(TO),B(3,0)

且在直线BC的上方.

(2)如图1,过点尸作PDLx轴,交直线BC于点E,若PE=2ED,求点P的坐标.

(3)如图2,连接AC、PC、AP,AP与2C交于点G,过点P作尸尸〃AC交2C于点尸.记&ACG、PCG、

PGb的面积分别为外S2,S3.当今+称取得最大值时，求sin/BCP的值.

23.(2024.四川雅安・中考真题)在平面直角坐标系中，二次函数>=狈2+桁+3的图象与无轴交于A(l,0),

3(3,0)两点，与y轴交于点C.

(2)如图①，若点尸是线段BC上的一个动点(不与点8,C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,

当线段P。的长度最大时，求点。的坐标；

(3)如图②，在(2)的条件下，过点。的直线与抛物线交于点。，且NCQO=2NOCQ.在y轴上是否存在

点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

24.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图，已知二次函数y=o?+2x+c的图象与x轴交于A,8两点.A点

坐标为(-1,0),与y轴交于点C(o,3),点M为抛物线顶点，点E为4B中点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在直线3c上方的抛物线上存在点2,使得NQCB=2川C,求点。的坐标；

(3)已知O,歹为抛物线上不与A,B重合的相异两点.

①若点P与点C重合，D(m,-12),且机＞1,求证：D,E,尸三点共线；

②若直线4D,8尸交于点尸，则无论。，尸在抛物线上如何运动，只要I),E,尸三点共线，

ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由.

25.(2024・江苏无锡・中考真题)己知二次函数y=A+x+c的图象经过点和点3(2,1).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若点C(m+l,yJ,。(m+2,%)都在该二次函数的图象上，试比较X和%的大小，并说明理由；

(3)点P，Q在直线48上，点M在该二次函数图象上.问：在，轴上是否存在点N,使得以P,Q,M,

N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

26.(2024•山东济宁•中考真题)已知二次函数片加+bx+c的图像经过(0,-3),(-b,c)两点，其中a,b,

c为常数，且必＞0.

(2)若该二次函数的最小值是T,且它的图像与x轴交于点A,8(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C

12

①求该二次函数的解析式，并直接写出点A,8的坐标；

②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点尸，过点P作x轴的垂线，垂足为与直线AC交于

点E,连接尸C,CB,BE.是否存在点尸，使合但="|?若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请

说明理由.

27.(2024・辽宁•中考真题)已知》是自变量x的函数，当%=孙时，称函数X为函数％的“升塞函数”.在

平面直角坐标系中，对于函数X图象上任意一点称点BQ",加")为点A"关于%的升募点”，点B在

函数为的"升哥函数"内的图象上.例如：函数％=2x,当%=孙=犷2%=2了2时，则函数%=2/是函数

%=2x的“升嘉函数”.在平面直角坐标系中，函数％=2x的图象上任意一点4(九2叫，点网相,2疗)为点

3

(2)如图1,点A在函数％=—(x>0)的图象上，点A"关于%的升幕点”8在点A上方，当AB=2时，求点A

x

的坐标；

(3)点A在函数％=-工+4的图象上，点A"关于%的升哥点”为点8,设点A的横坐标为机.

①若点B与点A重合，求机的值；

②若点8在点A的上方，过点8作x轴的平行线，与函数》的“升幕函数”%的图象相交于点C,以AB,3C

为邻边构造矩形ABC。，设矩形A3。的周长为求'关于加的函数表达式；

③在②的条件下，当直线y=4与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E,F,G,当直线y=t2

与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M,N,若EF=MN,请亶塔写出的值.

28.(2024.四川资阳・中考真题)已知平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=-g/+bx+c与无轴

交于A,B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B(4,0),BC=4及.

（2）如图1,点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB,PC,过点尸作PDLx轴于点。，交2C于点K.记

△PBC,30K的面积分别为S2，求S2的最大值；

（3）如图2,连接AC,点E为线段AC的中点，过点E作砂，AC交x轴于点足抛物线上是否存在点。，

使NQEE=2/OC4?若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

29.（2024•甘肃兰州•中考真题）在平面直角坐标系X0V中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点。

P01

在尸O的延长线上，使得万石=不，如果点Q在图形W上，则称点尸是图形W的“延长2分点”，例如：如

（3、PO1

图1,42,4）,8（2,2）,尸是线段A3外一点，Q（2,3）在尸。的延长线上，且右=不，因为点。在线

⑴如图1,已知图形W：线段4（2,4）,3（2,2），在片［一,一1）£（一1,一1）田（一1,一2）中，是

图形叱的“延长2分点”；

（2）如图2,已知图形叽：线段BC,8（2,2）,C（5,2）,若直线M2V：y=-x+6上存在点尸是图形叫的“延

长2分点”，求b的最小值：

⑶如图3,已知图形%:以T&1）为圆心，半径为1的eT,若以。（—1,一2）,E（-l,