2025年新高考数学专项复习：双曲线解答题十一大题型（原卷版）

专题2-11双曲线解答题十一大题型汇总

。常考题型目录

题型1弦长问题......................................................................1

题型2求直线方程问题...............................................................3

题型3面积问题......................................................................4

题型4中点弦问题...................................................................6

题型5取值范围问题.................................................................7

题型6最值问题.....................................................................10

题型7定点问题.....................................................................11

题型8定值问题.....................................................................13

题型9定直线问题..................................................................15

题型10向量相关问题...............................................................17

题型11探索性问题.................................................................19

但题型分类

题型1弦长问题

【方法总结】

有关圆锥曲线弦长问题的求解方法

涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时

也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆

锥曲线的定义求解.

22

【例题1](22-23下•遂宁•阶段练习)已知双曲线今―标=l(a>0”>0)的焦距为6,且

虚轴长是实轴长的/倍.

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为用勺直线I与双曲线交于A,B两点，求力8|.

【变式1-1】1.(2223下•河南模拟预测)已知双曲线1=1(。>0)的左、右焦点

分别为a,B•过尸2的直线।交C的右支于M,N两点，且当I垂直于x轴时，I与C的两条

渐近线所围成的三角形的面积为4.

Q)求C的方程；

(2)证明:MN1&N,求|MN|.

【变式1-1]2.(22-23上•南京•阶段练习)如图,已知圆C：(久+旧/+y2=8M(V3,0),

Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M,设点M的轨迹为E.

片M

(1)求轨迹E的方程：

⑵过点A作倾斜角为三的直线I交轨迹E于B,D两点，求|BD归勺值

【变式(2223上辽宁•期末圮知双曲线C的渐近线为y=±V3x且过点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点，0为坐标原点，若0A与0B垂直，求

a的值以及弦长MB|.

【变式(2223上•江西期中)已知双曲线C：《—5=l(a>0,b>0)的离心率为8,

双曲线C的左、右焦点分别为，点P在双曲线。的右支上，且IP&I-IPF2I=4.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点。(4,0)的直线/交双曲线C于48两点，目以4B为直径的圆过原点。，求弦长|4B|.

【变式1-1】5.(22.23下•抚顺•模拟预测)已知双曲线C:g-g=l(a>0,b>0)的离

心率为竽，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之积为，

34

(1)求c的方程；

(2)若线段PF与C的左支交于点Q,与两条渐近线交于点A,B,且3|4B|=|PQ|,求|PQ|.

题型2求直线方程问题

【方法总结】

(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去X(或y)建立一元二

次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情

形.

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【例题2120-21下漳州•阶段练习)已知椭圆3=l(a>b>0)与双曲线言-七=

1有公共焦点6、F2，点H的坐标为(0,6),且△口6&的面积为2世.

(1)求椭圆C的方程.

(2)是否存在直线y=2x+t与椭圆C相交于M、N两点，使得直线与HN的斜率之和为1?

若存在，求此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

【变式2-1J1.(22-23下浙江•二模)已知双曲线C：£一§=1的渐近线方程为*±2y=0,

左右顶点为4B,设点P(-l,t),直线2P,8P分别与双曲线交于M,N两点(不同于4B).

(1)求双曲线的方程；

(2)设4ABP.AMNP的面积分别为S],$2,若S2=6S]，求直线方程.(写出一条即可)

【变式2-1]2.(21-22上•镇江•阶段练习)已知双曲线C：/—5=l(a>0,6>0)离心率

为2,且过点旦2,3).

(1)求C的方程：

(2)若斜率为1的直线I与。交于P,Q两点，△POQ面积为历,求直线/方程.

【变式2-1]3.(2324上•株洲•阶段练习)已知双曲线C经过点P(2,-夜),且其两条渐近

线相互垂直.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点Q(0,2)的直线1与双曲线C相交于不同的两点民F,若公OEF的面积为2/(。为坐标

原点)，求直线珀勺方程.

【变式2-1]4.(23.24上金华•模拟预测)已知双曲线C§-?=1,直线/过双曲线C的

右焦点F且交右支于48两点，点S为线段4B的中点，点T在x轴上,ST1AB.

⑴求双曲线C的渐近线方程；

⑵若丽-TB=^,求直线1的方程.

【变式2-1]5.(23-24上•江西•阶段练习)已知双曲线C:9—苴=1(a>0,6>0)的离心

率为2,右焦点尸到一条渐近线的距离为低

Q)求双曲线C的方程；

⑵已知点8(0,b)，过点P(-!,。)作直线1与双曲线C相交于M,N两点，若|8M|=|BN|,

求直线珀勺方程.

2222

【变式2-1]6.(22-23上■驻马店•期末)已知圆G：(工+3)+y=9,C2：(x-3)+y=1,

动圆M与圆G,3均外切，记圆心M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)直线2过点。2,且与曲线。交于4B两点，满足寤=3空,求直线/的方程.

题型3面积问题

[例题312223上•西宁•期末)已知双曲线—《=l(a>0,6>0)的渐近线为y=±|x,

抛物线3：/=2py的焦点为F,点P(&,2)在抛物线。2上，且|PF|=3，抛物线C2交双曲线G

的两条渐近线于O,A,B三点.

(1)求双曲线的的离心率；

(2)求4力FB的面积.

22_

【变式3-1]1.(22.23上烟台•期末)已知双曲线C与-=1有相同的渐近线，(2V5,2)

416

为c上一点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设双曲线C的左、右焦点分别为尻、F2，过a且倾斜角为45。的直线与C相交于48两点，

求44B4的面积.

【变式3-1]2.(22-23上•江西期中)已知双曲线9—5=l(a>0,b>0)的左、右焦点

6

分别为6,F2，-V5,虚轴长为4.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)直线Ly=kx(0<k<2)与双曲线交于4,B两点且乙4F2B=与，求MF2B的面积.

【变式3-1]3.(23-24上•徐汇・阶段练习)已知两定点&(-四,0),F2(V2,0),满足条件

\PK\-\PK\=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx—1与曲线E交于A,B两个不同的点.

(1)求曲线E的方程；

⑵求实数k的取值范围；

⑶如果|431=6V3,且曲线E上存在点C,使UI+OB=mOC,求m的值和△ABC的面积

SA4BC-

【变式3-1]4.(23-24上・江苏•阶段练习)已知双曲线E：/-5=l(a>0,6>0)的两条

渐近线分别为k：y=f,%：y=—今

(1)求双曲线E的离心率；

(2)0为坐标原点，过双曲线上一点P(2夜,1)作直线2分别交直线4，%于4,B两点(4,B分

别在第一、第四象限)，且丽=2Q,求4AOB的面积

【变式3-1]5.(23-24上江西•阶段练习)已知圆。1:(工+5尸+/=1的圆心为0]，圆。2:

(x-5)2+y2=9的圆心为O2,动圆M与圆01和圆。2均外切，记动圆M圆心的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

⑵若P是C上一点，且。1P1O2p,求4。1。22的面积.

题型4中点弦问题

【方法总结】

弦中点问题的解法

点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，

但要注意直线斜率是否存在

22

【例题4](20-21上•西安期中)已知椭圆与双曲线?-"=1的焦点相同，且它们的离心

率之和等于？

⑴求椭圆方程；

(2)过椭圆内一点作一条弦，使该弦被点“平分，求弦48所在直线方程.

【变式4-1]1.(21-22下浦东新•期中)已知双曲线「：/-5=1(6>0).

(1)若离心率为y,求b的值，「的顶点坐标、渐近线方程；

(2)若b=V5,是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在,

请说明理由.

【变式4-1]2.(19-20上•唐山•阶段练习)已知一动圆与圆G:(x+3)2+*=9外切,

且与圆。2：(%-3)2+y2=1内切.

(1)求动圆圆心P的轨迹方程C；

(2)过点Q(4,l)能否作一条直线1与C交于4,B两点，且点Q是线段4B的中点，若存在，求

出直线/方程；若不存在，说明理由.

【变式4-1]3.(23-24上・连云港•期中)已知双曲线E:^-^=l(a>0,b>0)的左、

右焦点分别为&,F2,斜率为2的直线I与E的一条渐近线垂直，且交E于A,B两点，

llX^I-IXFJl=4.

⑴求E的方程；

(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.

【变式4-1]4.(23-24上•盐城•期中)双曲线C：捺—A=1S＞。,6〉0)的渐近线方程为

y=±x,一个焦点到该渐近线的距离为1.

(1)求C的方程；

(2)是否存在直线/,经过点M(l,4)且与双曲线C于A,B两点，M为线段AB的中点，若存在，

求/的方程；若不存在，说明理由.

【变式4-115.(2223•全国专题练习)已知4(-2,0),B(2,0),直线AM,相交于点M,

且它们的斜率之积是3.

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)过点N(2,3)能否作一条直线m与轨迹C交于两点P,Q,且点N是线段PQ的中点？若

能，求出直线m的方程；若不能，说明理由.

题型5取值范围问题

【方法总结】

圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的

等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的

取值范围.

【例题5](23-24上•哈尔滨•阶段练习)已知双曲线C：弓一g=l(a>0,Z7>0)的渐近线为

y=±小，点P(低手)在C上，直线2:y=kx+t与双曲线C相交于两点M,N,线段MN

的垂直平分线分别与x,y轴相交于A,B两点.

(1)若直线I过点(0,1),且点M,N都在双曲线的左支上，求k的取值范围；

⑵若△AOB(O为坐标原点)的面积为t，且kA0,求k的取值范围.

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【变式5-1]1.(23-24上•全国•阶段练习)已知双曲线C嗑—3=l(a>0,b〉0)上

一点P(2,l)到C的两条渐近线的距离之积为|.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线1与C有两个不同的交点4,B,且△APB的内心恒在直线x=2上,求/在y轴上的截

距的取值范围.

【变式5-1J2.(2324上金华阶段练习)在直角坐标系xOy中，48是双曲线。彳-必=1

的两条渐近线上的动点，满足点A在第一象限，点8在第四象限，且直线AB与C的右支有交

点

⑴求|AB|的最小值；

(2)设P是直线AB与C的一个交点且标=4万.记C上的点到C的焦点的距离的取值集合为S,

若]GS,求^A。8面积的取值范围.

22

【变式5-1]3.(23-24上•朝阳•阶段练习)设双曲线。+―言=l(a>0,b>0)的右焦点

为F,a?+/=1,。为坐标原点，过F的直线/与C的右支相交于A,B两点.

(1)若6<y,求C的离心率e的取值范围；

⑵若乙4。8恒为锐角，求C的实轴长的取值范围.

【变式5-1]4.(23-24上•深圳•开学考试)已知双曲线C:—誓=l(a〉0,b>0)的左、

右焦点分别为6,F2,且IF/2I=4,若C上的点M满足|国川-|M&I|=2恒成立.

(1)求C的方程；

(2)若过点M的直线I与C的两条渐近线交于P,Q两点，且|MP|=\MQ\.

(i)证明：I与C有且仅有一个交点；

(")求就+高的取值范围•

【变式5-1]5.(2223福州•三模)已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与

直线y=比垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y=-x垂直，B为垂足且位于

第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2,记动点M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

⑵点E(2a,0),直线PE,QE与C分别交于P,Q两点，直线PE,QE,PQ的斜率分别

为七，k2,"若偿+J.心=-6,求WQE周长的取值范围.

【变式5-1]6.(22-23下烟台•三模)已知双曲线C：5—5=l(a>0,b>0)的焦距为4,

点(声,1)在C上.

⑴求双曲线C的方程；

(2)设双曲线的左、右焦点分别为6/2,斜率为k(k丰0)且不过6的直线/与C交于点4B,若

k为直线46,86斜率的等差中项，求尸2到直线Z的距离d的取值范围.

题型6最值问题

【方法总结】

圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给

出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.另外

在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据共线得到点的坐标之间的关系，进而为

消去变量起到了重要的作用

【例题6](22-23上•全国•模拟预测)已知双曲线C:-预产=1与x轴的正半轴交于点

M动直线I与双曲线C交于A心两点，当I过双曲线C的右焦点且垂直于x轴时，就.砺=[,

0为坐标原点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若乙4MB=90。，求点M到直线I距离的最大值.

【变式6-1]1.(23-24上・温州•期中)已知2,0),C(2,0),4B与4c两边上中线长

的差的绝对值为3次.

(1)求三角形448c重心的轨迹G方程；

(2)g£(-V3,0),F(V3,0)，点Q在直线比=|上连结EQ,FQ，与轨迹G的y轴右侧部分交于M,N

两点，求点E到直线MN距离的最大值.

【变式6-1]2.(23-24上・安徽•阶段练习)已知双曲线'=l{a>b>0)左、右焦点

为&尸2，其中焦距为2位，双曲线经过点。(4,3).

(1)求双曲线的方程；

(2)过右焦点尸2作直线交双曲线于M,N两点(M,N均在双曲线的右支上),过原点。作射

线。P,其中OP1MN,垂足为E,P为射线OP与双曲线右支的交点，求4|MN|-|OP|2的最大

值.

22

【变式6-1]3.(22-23下浙江•期末)已知双曲线C：台=l(a>0,b>0)离心率为2,

4,4分别是左、右顶点，点M是直线x=1上一点，且满足3tanNM4i42=tanzMX2711,

直线M4,M4分别交双曲线右支于8,C两点.记△MArA2,AM8C的面积分别为Si,S2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)求钝勺最大值.

【变式6-1]4.(2223・淄博•三模)已知双曲线C:|-g=l(a>0,b>0)的左、右焦点

分别为6、F2,焦距为4,右顶点为A,以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线

相交于R,S两点，且NRAS=60。.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知点M,Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限的

角平分线记为I,过点M做I的垂线，垂足为E,与双曲线右支的另一交点记为点N,求需

的最大值.

【变式6-1]5.(22-23下•淮安•模拟预测)已知双曲线M:g-g=l(a>0,fa>0)的离

心率为苧点&尸2分别为其左、右焦点点POo,%)为双曲线M在第一象限内一点设4BPF2

的平分线PQ交y轴于点Q,当PF216尸2时，IP&I=|

⑴求双曲线M的方程；

⑵若y0>1,此时直线6Q交双曲线M于A、B两点，求小F2AB面积的最大值.

题型7定点问题

【方法总结】

求解直线过定点问题常用方法如下：

(1)"特殊探路，一般证明"：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的

一般性证明;

(2)”一般推理，特殊求解"：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线

系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的

解为坐标的点即为所求点；

(3)求证直线过定点值,%),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-久°)或截距式y=

kx+b来证明.

【例题7](2223・石家庄•模拟预测)双曲线A=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别是

FiE,离心率为3,点(学,1)在双曲线上.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)48分别为双曲线的左，右顶点，若点P为直线x=]上一点，直线24与双曲线交于另一

点M,直线与双曲线交于另一点N,求直线MN恒经过的定点坐标.

【变式7-1]1.(22.23下•佛山•阶段练习)已知&(—2,0),F2(2,0),点P满足

\PF±\-\PF2\=2,记点P的轨迹为E,

⑴求轨迹E的方程；

(2)若直线/过点/2，目与轨迹E交于P、Q两点.在x轴上是否存在定点M，无论直线/绕点尸2怎

样转动，使丽-MQ=0恒成立？如果存在，求出定点M；如果不存在,请说明理由.

【变式7-112.(22-23下•武汉•三模)已知双曲线C1:5-5=1的一条渐近线为y=-紧，

椭圆5=1的长轴长为4，其中a>b>0.过点P(2,l)的动直线交G于A,B两点，

过点P的动直线b交于M,N两点.

(1)求双曲线G和椭圆心的方程；

(2)是否存在定点Q,使得四条直线QA,QB,QM,QN的斜率之和为定值?若存在，求出

点Q坐标；若不存在，说明理由.

【变式7-1]3.(2L22•全国专题练习)设直线x=爪与双曲线C:=小(M>0)的

两条渐近线分别交于a,B两点，且三角形。48的面积为8.

(1)求小的值；

(2)已知直线/与其轴不垂直且斜率不为0,1与C交于两个不同的点M,N,M关于无轴的对称

点为AT,F为C的右焦点，若,尸，N三点共线，证明：直线/经过x轴上的一个定点.

2

【变式7-1]4.(2223•云南•模拟预测)已知圆C：(%+*)+y2=4,定点。(逐,0),

如图所示，圆C上某一点4恰好与点。关于直线PQ对称，设直线PQ与直线的交点为「

(1)求证：||TC|-|TD||为定值，并求出点T的轨迹E方程；

⑵设4(-1,0),M为曲线E上一点，N为圆/+必=1上一点(M,N均不在无轴上).直线AM,

2N的斜率分别记为灯，fc2,且七=-4B.求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标.

【变式7-1]5.(23-24上・连云港•阶段练习)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为

(-2V5,0),离心率为迷，点儿,4为C的左，右顶点.P为直线x=1上的动点，P4与C

的另一个交点为M,P4与C的另一个交点为N.

(1)求C的方程；

(2)证明：直线MN过定点.

题型8定值问题

【方法总结】

直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于X或y的一元二次方程的形式；

②利用△>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；

④化简所得函数式，消元可得定值.

[例题812324上・南阳・期中)已知双曲线C卷*=l(a>0,b>0)的右焦点为F(小,0),

离心率e=

(1)求C的方程；

(2)若直线/过点P(4,0)且与C的右支交于M,N两点，记C的左、右顶点分别为4,4，直

线M4,N4的斜率分别为统…kNA2,证明：”为定值.

【变式8-1]1.(23-24上•南昌•阶段练习)已知双曲线C：*5=l(a>0,6>0)的实轴

长为4,离心率为四.过点P(4,2)的直线I与双曲线C交于A,B两点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知点Q(3,4),若直线QA,QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判

断与证明.

【变式8-1]2.(23.24上•广西•阶段练习)已知双曲线真-§=1过点(3,|)和点(4,V15).

(1)求双曲线的离心率；

(2)过M(0,l)的直线与双曲线交于P,Q两点，过双曲线的右焦点F且与PQ平行的直线交双曲

线于4,B两点，试问吗辔是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由.

【变式8-1]3.(22-23下河南•模拟预测)已知双曲线C：g=l(a>0)的左、右焦点

分别为6,6-过尸2的直线I交C的右支于M,N两点，当I垂直于x轴时，M,N至IJC的

一条渐近线的距离之和为2V1

Q)求C的方程；

⑵证明：器+霜为定值-

【变式8-1]4.(23-24上•长沙•阶段练习)已知双曲线C：g-g=l(a>O,b>0)的离心

率为近,点M(3,-1)在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

⑵若F为双曲线的左焦点，过点尸作直线/交C的左支于4B两点.点P(-4,2),直线4P交直线

x=-2于点Q.设直线Q4QB的斜率分别的水2,求证：七-6为定值.

2

【变式8-1J5.(21-22上•大连•阶段练习)已知双曲线*=1的渐近线倾斜角分别为30。

和150。，尸为其左焦点，P为双曲线右支上一个动点.

⑴求双曲线方程.

⑵过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为Q,R,求证：|PQ|•|PR|为定值.

【变式8-1]6.(23-24上汉中•阶段练习)已知双曲线C：/—5=l(a>0,6>0)的焦距

为2区,且焦点到渐近线的距离为1.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若动直线/与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两点，。为

坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值.

题型9定直线问题

【例题9](22-23下・荆门・期末)已知双曲线C：*5=l(a>0,b>0)的实轴长为2,两

渐近线的夹角为;.

(1)求双曲线C的方程：

(2)当a<b时，记双曲线C的左、右顶点分别为&,4,动直线/：久=my+2与双曲线C的

右支交于M,N两点(异于4),直线,4N相交于点T,证明：点T在定直线上，并求

出定直线方程.

【变式9-1]1.(22-23下・安庆•一模)如图1所示,双曲线具有光学性质：从双曲线右焦

点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲

22

线3=l(b>0)的左、右焦点分别为6、F2,从4发出的光线经过图2中的人B两

点反射后，分别经过点C和。，且tan/CAB=AB1BD.

\4/<\4Aac

F2x

(1)求双曲线E的方程；

(2)设4、4为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P(4,0)的直线/与双曲线C交于M、N两点，

试探究直线与直线&N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；

如不存在，请说明理由.

【变式9-1]2.(2223•广西一模)如图，已知双曲线C：/—《=l(a>0,b>0)的右焦

点为尸(2,0),0为坐标原点，过点F作直线％与双曲线的渐近线交于P,Q两点，且点P在

线段FQ±,0P1PQ,\OP\+\OQ\=V3|P(?|.

(1)求c的方程；

(2)设公,乙是C的左、右顶点，过点G，0)的直线I与C交于M,N两点，试探究直线与

&N的交点S是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由.

【变式9-1]3.(22.23上・福州•期末)在直角坐标平面内，已知4(-2,0),8(2,0),动点P满

足条件：直线P4与直线PB的斜率之积等于;,记动点P的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)过点C(4,0)作直线1交E于M,N两点，直线AM与BN交点Q是否在一条定直线上？若是，

求出这条直线方程；若不是，说明理由.

22

【变式9-1】4.(22.23上•南通•阶段练习)已知人B分别为双曲线“W一卷=l(a>0,b>

0)的左、右顶点，尸为双曲线M的右焦点，点。为双曲线M左支上异于点4的另一点，当。点坐

标为(―&,—1)时，\DF\=3.

Q)求双曲线M的方程；

(2)若点C(2,0),直线CD交双曲线M的右支于点E,判断直线4。与直线BE的交点P是否在一

条定直线？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.

题型10向量相关问题

【例题10](2223•徐汇・三模)椭圆「1吟+5=l(a>b>0)的焦点&F2是双曲线心的顶

点，其顶点是双曲线「2的焦点双曲线12的渐近线是y=士x，椭圆与双曲线心有一个交点。，

APF/2的周长为4+2V2.

(1)求椭圆r1与双曲线「2的标准方程；

(2)设直线人：y=k1x+「交双曲线「2于。、。两点，交直线％：y=于点E，若心心=1.证

明：E为CD的中点；

(3)过点Q(-4,0)作一动直线Z交椭圆I1于A、B两点，记瓶=AQBCAeR).若在线段4B上取一

点M，使得前=(-A)MB,求点M的轨迹方程.

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【变式10-1】1.(2223下浙江•期中)已知双曲线C曝-琶=1过点M(3,鱼),且右焦点

为F(2,0).

(1)求双曲线C的方程：

(2)过点尸的直线/与双曲线C的右支交于A,B两点，交y轴于点P,若m=mAF,PB=nBF,

求证：m+n为定值；

(3)在(2)的条件下，若点Q是点P关于原点。的对称点，求三角形Q4B的面积的取值范围.

【变式10-1】2.(22-23上徐州•期中)已知双曲线C：《-5=1的离心率为白，点P(2,l)在

双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

⑵设过点(1,0)的直线/与曲线。交于MN两点,问在久轴上是否存在定点Q，使得丽•丽为

常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由.

【变式10-1]3.(22-23下•上海•期末)已知反比例函数y=扣勺图象C是以x轴与y轴为

渐近线的等轴双曲线.

(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；

⑵设为双曲线C的两个顶点点M(x°,yo),N(yo，Xo)是双曲线C上不同的两个动点求

直线与&N交点的轨迹E的方程；

⑶设直线I过点P(0,4)且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q当配=X1OA=A2OB,

且%+%=-8时，求点Q的坐标.

【变式10-1]4.(1L12•天水一模)已知向量m=(2,0),OC=AB=(0,1)动点M到定直

线y=1的距离等于d,并且满足丽•AM=fc(CM-BM-d2),其中。是坐标原点，k是参数.

(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；

(2)当k=用寸，求|丽+2前忖勺最大值和最小值；

⑶如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足?<e<当求实数k的取值范围.

题型11探索性问题

【方法总结】

解决探索性问题是否存在时，要设出直线方程并联立椭圆方程，得到根与系数关系，结合

已知条件化简，难点在于计算过程比较复杂，计算量较大，且基本都是字母参数的运算，

因此要十分仔细，

【例题111(23•24上・常州・期中)若双曲线C:捺—2=l(a>0,6>0)的一个焦点是F(2,0),

且离心率为2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设过焦点尸的直线/与双曲线C的右支相交于A,B两点(不重合)，

①求直线/的倾斜角的取值范围；

②在x轴上是否存在定点M，使得直线M力和M