2025年中考数学几何模型归纳训练：全等与相似模型之一线三等角（K字）模型解读与提分训练（全国版）

专题19全等与相似模型之一线三等角（K字）模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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例题讲模型

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模型L一线三等角模型（全等模型）....................................................2

模型2.一线三等角模型（相似模型）....................................................6

习题练模型一

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大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

例题讲模型］

模型1.一线三等角模型（全等模型）

模型解读

一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线

段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。

模型证明

1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）

锐角一线三等角直角一线三等角（“K型图”）钝角一线三等角

条件：ZA=NCED=NB,AE=DE；结论：*BE.ECD,AB+CD=BC.

2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）

锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角

条件：ZDCF=ZABC=ZAED,AE=DE；结论：AABE*ECD,AB-CD=BC。

1）（同侧型）证明：VZAEC=ZB+ZBAE,NB=/AED,：.ZAEC=ZAED+ZBAE,

•：/AEC=/AED+NCED,：.ZBAE=ZCEDO

在/ABE和/EC。中，ZB=ZC,ZBAE=ZCED,AE=ED；：.AABE=^ECD,

：.AB=EC,BE=CD,・：BC=BE+EC,：.AB+CD=BCO

2）（异侧型）证明：*：ZDCF=ZABC,；.NECD=NABE,

VZABC=ZA£B+ZA,ZAED=ZAEB+ZCED,ZABC=ZAED,

：.ZAEB+ZA=ZAEB+ZCED,ZA=ZCED,

在AABE和/EC。中，ZA=ZCED,ZECD=ZABE,AE=ED；：.^ABE=^ECD,

：.AB=EC,BE=CD,TBC=EC-BE,：.AB-CD=BC0

模型运用

例1.（2024•山东烟台・中考真题）在等腰直角AABC中，ZACB=90°,AC=3C,。为直线BC上任意一点,

连接AD.将线段AD绕点。按顺时针方向旋转90。得线段ED,连接BE.

【尝试发现】（1）如图1,当点D在线段BC上时，线段BE与C。的数量关系为；

【类比探究】（2）当点。在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段8E与C。的数量关

系并证明；

【联系拓广】（3）若AC=BC=1,8=2,请直接写出sin/ECD的值.

例2.（2023•湖南岳阳•统考一模）如图，在A8C中，AB^AC=2,NB=40。，点。在线段BC上运动（点。不

与点8、C重合），连接AD,作/AOE=40。，OE交线段AC于点E.

U）当/2DA=115°时，ZEDC=°,ZAED=°；

（2）线段。C的长度为何值时，AABD2LDCE,请说明理由；（3）在点。的运动过程中，A4OE的形状

可以是等腰三角形吗？若可以，求/BD4的度数；若不可以，请说明理由.

例3.（2024•甘肃•中考真题）【模型建立】（1）如图1,已知AABE和△BCD,AB±BC,AB=BC,CD±BD,

AE1BD.用等式写出线段AE,DE,8的数量关系，并说明理由.

【模型应用】（2）如图2,在正方形ABCD中，点E,B分别在对角线3。和边8上，AELEF,AE=EF.用

等式写出线段BE,AD,DP的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】（3）如图3,在正方形ABCD中，点E在对角线3D上，点尸在边。的延长线上，AELEF,

AE=EF.用等式写出线段BE,AD,的数量关系，并说明理由.

图2图3

例4.(23-24八年级上•重庆泰江•期末)(1)如图①，ZMAN=90°,射线AE在这个角的内部，点8、C分

别在NM4N的边AM、AN上，SLAB=AC,(下上短于点尸，8DLAE于点D求证：VABZ注VC4F；

(2)如图②，点3、C分别在/M4N的边4W、4V上，点E、尸都在4£4N内部的射线A。上，4、Z2

分别是△"£1、VC4r的外角.已知AB=AC,S.Z1=Z2=ZBAC.求证：EF=BE—CF；

(3)如图③，在VABC中，AB=AC,AB>BC.点。在边BC上，CD=3BD,点、E、F在线段AD上,

4=N2=NBAC.若VABC的面积为17,求AAC》与V3DE的面积之和.

图①图②图③

例5.(23-24九年级下•黑龙江哈尔滨•期末)如图,在平面直角坐标系中，AABC的顶点A在y轴正半轴,

点C在x轴正半轴，AB=AC,NC4B=90。,BC交y轴于点E.⑴如图1,若点8坐标为(-3,-3),直接写

出点A的坐标，点C的坐标;(2)如图2,若点8坐标为(北机)(〃?<0),过点8作BD工BC交

无轴于点。，设。。的长为d,请用含相的式子表示d；(3)如图3,若点2为第三象限内任意一点，过点B

模型2.一线三等角模型（相似模型）

模型解读

“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等“，再利用

平角为180。,三角形的内角和为180。,就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可）,

从而得到两个三角形相似.

模型证明

1）一线三等角模型（同侧型）

（锐角型）（直角型）（钝角型）

条件：如图，Z1=Z2=Z3,结论：AACEs^BED。

证明：'：Z1+ZC=Z2+ZDEB（外角定理），Z1=Z2

：.ZC=ZDEB,VZ1=Z3,A△£££）„

2）一线三等角模型（异侧型）

条件：如图，Z1=Z2=Z3,结论：AADEsABEC.

证明:（等角的补角相等），.•.△ACES/XBE。。

；N2=/C+/CEB（外角定理），Z3=ZDEA+ZCEB,Z2=Z3：.ZC=ZDEA,：.△ADE^ABEC.

3）一线三等角模型（变异型）

①特殊中点型：条件：如图1,若C为的中点，且/1=/2=/3,结论：AACEsABEDsAECD.

证明：；N1+/C=N2+/DEB（外角定理），Z1=Z2,：.ZC=ZDEB,VZ1=Z3,^ACE^ABEDo

.•.丝=4,：C为AB的中点，:.AE=EB,.-.££=,:.吧=吗,VZ2=Z3,ABED^/\ECD

BDEDBDEDCEED

②一线三直角变异型1：条件：如图2,NABD=NAFE=NBDE=90。.结论:AABC^/\BDE^ABFC^AAFB.

证明：VZABD=ZAFE=90°,：.ZABF+ZCBF=90°,ZA+ZABF=90°,：.ZCBF=ZA,

/ABD=/BDE=90°,；.AABC^>ABDE,:ZABD=NAFE=90°,：.ZABC=NBFC=90。,

:.AABCs^BFC,同理可证：AABCsAAFB。,故AABCSABDEsABFCsAAFB.

③一线三直角变异型2：条件：如图3,ZABD=ZACE=ZBDE=90°.^^：AABMs丛NDEs八NCM.

证明：VZABD=ZACE^90°,:./ABM=NMCN=90。,

•.,/AMB=NNMC（对顶角相等）:.AABMs4NCM.同理可证：ANDEsANCM

故：4ABMsANDESANCM.

模型运用

例1.（2023•山东东营•统考中考真题）如图，AABC为等边三角形，点。，E分别在边3C,A3上，ZADE=60°,

若3D=4DC,DE=2.4,则AD的长为（）

例2.（2023•黑龙江・统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作:

第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形至防，然后把纸片展平；

第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点尸处，得到折痕MN,如图②.

根据以上的操作，若AB=8,AD=12,则线段的长是（）

A.3B.75C.2D.1

例3.（2024•湖北武汉•校考模拟预测）【试题再现】如图1,Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线/过

点C,过点A、5分别作AD_L/于点。，8E_L/于点E,则DE=AD+3E（不用证明）.

CE

E^~~CE

'B4

备用图

（1）【类比探究】如图2,在AABC中，AC=BC,^.ZACB=ZADC=ZBEC=\0O°,上述结论是否成立？若成

立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论.

⑵【拓展延伸】①如图3,在AABC中，AC=nBC,且ZACB=ZADC=ZBEC=100。，猜想线段DE、AD.BE

之间有什么数量关系？并证明你的猜想.

②若图1的RtZkABC中，ZACB=90°,AC=nBC,并将直线/绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，分别

过点A、8作直线/的垂线，垂足分别为点。和点E,请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE、AD.

8E之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）.

例4.（2023•浙江宁波・二模）【基础巩固】如图1,P是NABC内部一点，在射线的上取点。、E,使得

NCEP=ZADP=ZABC.求证：^ABD^^BCE；

【尝试应用】如图2,在Rt«ABC中，ABAC=90°,AB=AC,。是AC上一点，连接BD,在BD上取点E、

F,连接CE、AF,使得NAFD=/CED=45。.若BF=2,求CE的长；

【拓展提高】如图3,在RtAABC中，ZBAC=90°,ZACB=30°,。是AC上一点，连接BD,在BD上取点

E,连接CE.若NCED=60。，—求N3CE的正切值.

DE5

例5.（2023•河北沧州•校考二模）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,点。是线段A3上的一

点，连接8,过点8作3GLCD,分别交C£＞、C4于点E、F,与过点A且垂直于的直线相交于点G,

连接。尸，下列结论错误的是（）

A.黑=鉴B.若点。是A8的中点，贝

ABFC3

C.当8、C、F、。四点在同一个圆上时，DF=DBD.若黑="，则山比=95«呀

习题练模型

1.（2024・重庆・中考真题）如图，在正方形ABCD的边8上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转

90°,得到小，连接CF并延长与的延长线交于点G.则&的值为（）

A.72B.73C.述D.述

22

2.（2024.辽宁朝阳•八年级统考期末）如图，AABC中，AB=AC,ZB=40°,。为线段3c上一动点（不

与点8,C重合），连接AQ,作ZADE=4O°,交线段AC于E,以下四个结论：

®ZCDE=ZBAD；②当。为3c中点时，DE1AC,③当VADE为等腰三角形时，ZBAD=20°；

④当/54。=30。时，BD=CE.其中正确的结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2024.浙江温州.模拟预测）如图，已知点A（-L0）,川0,2）,A与H关于y轴对称，连结AB,现将线段

以A点为中心顺时针旋转90。得A0,点8的对应点9的坐标为（）

A.（3,1）B.（2,1）C.（4,1）D.（3,2）

4.（23-24九年级下.黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知：如图，等腰直角AABC,/区4c=90。，AB=AC,点

。为"RC外一点，ZADB=45°,连接CDAD=4,CD=5五,3C的长为.

D

5.（2024.陕西西安.模拟预测）如图，已知44BC,AB=6,ZABC=3O°,BC=8,和△ACE都是

等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为.

D

6.（2024•广东汕头•一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（AB=CB,ZABC=90°）

放置在凹槽内，三个顶点A,B,C分别落在凹槽内壁上，若ZAMN=NCNM=90。，测得A〃=18cm,

CN=30cm,则该凹槽的宽度跖V的长为cm.

7.（2024•江苏苏州•二模）如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AEFG,使点E落

4R4RF

在边BC上，且点D巧合是尸G的中点，若黑=三则当的值为

AD5CE

8.（2024•湖北襄阳•模拟预测）如图，将一张正方形纸片ABCD折叠，折痕为AE,折叠后，点8的对应点

落在正方形内部的点尸处，连接。尸并延长交3C于点G.若BG=CG,AD=26,则EG的长为.

AD

：\/F

m-----\Z_Z_--------\r

EG

9.（2024・四川成都•一模）已知等边“IBC的边长为5,点M在边A5上运动，点N在直线AC上运动,将^ABC

f}Ar1

沿着MN翻折，使点A落在直线5C上的点A处，若行;=1，则AN=.

10.（23-24八年级下•山东滨州•期末）小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之

后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通.于是他撰写了一篇数学

作文.请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容.“一线三垂直”模型的探索与拓展

【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90。，且它们的顶

点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”.若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.

例如：如图1,ZACB=90°,过点C作任意一条直线"7,A£>_L机于点。，BEL”于点、E,则三个直角的

顶点都在同一条直线机上,这就是典型的“一线三垂直”模型;如果AC=3C,那么由Nl+N2=N2+N2=90。，

可得N1=N3,又因为NADC=/CEB=90。，所以可得△ADC/△（?£».

【模型应用】问题1：如图2,在Rt^ABC中，ZBAC^90°,AB=AC,点。为BC上一点，连接AD.过

点B作于点E,过点C作C尸，AD交AD的延长线于点F.若BE=5,CF=1,求E尸的长.

问题2：如图3,在平面直角坐标系中，A（-l,0）,B（0,2）.若是以A3为腰的等腰直角三角形，请直

接写出所有满足条件的点P的坐标.

【模型迁移】问题3：如图4,已知AABC为等边三角形，点。㈤P分别在三边上，且班＞=CF,NEDF=NB.求

证：AOEF是等边三角形.

11.（2023•江苏•九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根

据以下问题，把你的感知填写出来：

①如图1,AABC是等腰直角三角形，ZC=90°,AE=BD,贝心隹。/_______；

②如图2,△ABC为正三角形，BD=CF,NEDF=60。,贝必80£丝；

③如图3,正方形ABCD的顶点8在直线/上，分别过点A、C作于E,于足若钻=1,CF=2,

则EF的长为.

【模型应用】（2）如图4,将正方形放在平面直角坐标系中，点。为原点，点A的坐标为（1'百），则

点C的坐标为

【模型变式】（3）如图5所示，在AMC中，40=90。，AC=BC,BELCE于于。，°E=4cm,

AD=6cm,求8E的长.

12.（2024•黑龙江牡丹江•九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（NACB=90。）和一直线MN.过点C

作CELMN于点E,过点8作战，MN于点?当点E与点A重合时（如图1）,易证：AF+BF=2CE.

（1）当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立,

线段ARBF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明.

（2）当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立,

线段ARBF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明.

13.（2024•浙江•校考一模）（1）探索发现：如图1,己知RMABC中，ZACB=90°,AC^BC,直线/过点

C,过点A作过点8作BE，/,垂足分别为。、E.求证：CD=BE.

（2）迁移应用：如图2,将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶

点与坐标原点。重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为（4,2）,求点M的坐标.

（3）拓展应用：如图3,在平面直角坐标系内，已知直线y=-4x+4与＞轴交于点P,与x轴交于点Q,将

直线PQ绕尸点沿逆时针方向旋转45。后，所得的直线交无轴于点R.求点R的坐标.

14.（2024・北京校考•一模）已知梯形ABCD中，AD//BC,S.AD<BC,AD=5,AB=DC=2.

⑴如图，P为AD上的一点，满足NBPC=NA,求AP的长；

⑵如果点P在AD边上移动（点P与点。不重合），且满足NBPE=NA,3c交直线BC于点E,同时交直线

DC于点2.①当点。在线段DC的延长线上时，设CQ=y,CQ=y,求V关于了的函数关系式，并写出自

变量x的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程）

15.（2024・湖北・中考真题）如图，矩形ABCD中，E,尸分别在AD,8c上，将四边形ABFE1沿EF翻折，使A

的对称点尸落在CO上，8的对称点为G,PG交BC于H.

⑴求证：AEDPs2CH.（2）若尸为CO中点，且AB=2,BC=3,求G”长.

（3）连接2G,若尸为8中点，H为5c中点，探究2G与48大小关系并说明理由.

16.（2023年安徽省九年级数学一模试卷）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,O是线段AB上

的一点，连接C。，过点3作BGLCD,分别交CO,C4于点E,F,与过点A且垂直于的直线相交于

点G,连接。尸（1）求证：当=若（2）若。是A3的中点，求条的值.（3）若当=；求沁^的值.

ABCFACAD2、4BDF

17.（2023秋•广东深圳•九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1,在“RC中，ZACB=90°,AC^BC,

。是AB边上一点，尸是BC边上一点，ZCDF=45°.求证：ACBF=ADBD；

【尝试应用】（2）如图2,在四边形A8FC中，点。是A3边的中点，ZA=NB=NCDF=45。,若4C=9,

BF=8,求线段CF的长.

【拓展提高】（3）在AABC中.AB=4应,/3=45。，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点。在3c

上，点E在AC上.若CE=26，求。的长.

18.(2024・河南・三模)问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,将两块全等的直角三角形

纸片和ADEF叠放在一起，其中NACB=NE=90。，BC=DE=6,AC=FE=8,顶点。与边AB的

。厂交AC于点G.求重叠部分(△DCG)的面积.

图3

(1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤:

解：,/NAC3=90。，。是的中点，，DC=DB=DA.：.ZB=Z.DCB.(依据:)

又,；AABC"AFDE,:./FDE=ZB.AZFDE=ZDCB.：

：.ZAGD=ZACB=90°.：.DG±AC.又：DC=DA,；.G是AC的中点，Z)G为AACD中位线.

DG=-BC=-x6=3./.S=i-CGDG=ix4x3=6.

CG=-AC=-x8=4,nrr

222222

(2)“希望”学习小组受此问题的启发，将ADEF绕点。旋转，使交AC于点”，。/交AC于点G,

如图2,请解决下列两个问题：①求证：AAHD^AABC；②求出重叠部分(^DGH)的面积.

(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3,将ADEF绕点D旋转,DE,。尸分别交于点M,N,

当ADWN是以DM为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分(ADMN)的面积是.

19.(22-23九年级上•江苏泰州•阶段练习)如图，在等腰直角△4BC中，ZACB=90°,AC=BC,。是中线，

一个以点。为顶点的45。角绕点O旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F,

。尸与AC交于点M,与BC交于点N.(1)如图1,若CE=CF,求证：DE=DF.(2)在/EDF绕点、D旋

转过程中：①如图2,求证：CD2=CECF；②若CE=6,CF=3,求。N的长.

图1图2

20.(2024・河南周口.三模)在四边形A3CD中，E是边3c上一点，在AE的右侧作EF=AE,且

ZAEF=ZABC=a(a>90°),连接CF.(1)如图，当四边形A3CD是正方形时，ZDCF=

(2)如图，当四边形ABCD是菱形时，求ZDCF(用含a的式子表示).

(3)在(2)的条件下，且AB=6,a=120。,如图，连接A厂交CO于点G；若G为边的三等分点，请直

接写出班的长.

F

专题19全等与相似模型之一线三等角（K字）模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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例题讲模型

.........................................................................................................................................................2

模型L一线三等角模型（全等模型）....................................................2

模型2.一线三等角模型（相似模型）....................................................6

习题练模型一

.......................................................................................................................................................10

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

例题讲模型］

模型1.一线三等角模型（全等模型）

模型解读

一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线

段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。

模型证明

1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）

锐角一线三等角直角一线三等角（“K型图”）钝角一线三等角

条件：ZA=NCED=NB,AE=DE；结论：*BE.ECD,AB+CD=BC.

2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）

锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角

条件：ZDCF=ZABC=ZAED,AE=DE；结论：AABE*ECD,AB-CD=BC。

1）（同侧型）证明：VZAEC=ZB+ZBAE,NB=/AED,：.ZAEC=ZAED+ZBAE,

•：/AEC=/AED+NCED,：.ZBAE=ZCEDO

在/ABE和/EC。中，ZB=ZC,ZBAE=ZCED,AE=ED；：.AABE=^ECD,

：.AB=EC,BE=CD,・：BC=BE+EC,：.AB+CD=BCO

2）（异侧型）证明：*：ZDCF=ZABC,；.NECD=NABE,

VZABC=ZA£B+ZA,ZAED=ZAEB+ZCED,ZABC=ZAED,

：.ZAEB+ZA=ZAEB+ZCED,ZA=ZCED,

在AABE和/EC。中，ZA=ZCED,ZECD=ZABE,AE=ED；：.^ABE=^ECD,

：.AB=EC,BE=CD,TBC=EC-BE,：.AB-CD=BC0

模型运用

例1.（2024•山东烟台・中考真题）在等腰直角AABC中，ZACB=90°,AC=3C,。为直线BC上任意一点,

连接AD.将线段AD绕点。按顺时针方向旋转90。得线段ED,连接BE.

图1图2

【尝试发现】（1）如图1,当点D在线段BC上时，线段BE与C。的数量关系为；

【类比探究】（2）当点。在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段8E与C。的数量关

系并证明；

【联系拓广】（3）若AC=BC=1,CD=2,请直接写出sin/ECD的值.

【答案】（1）BE=^CD;（2）BE=RD，补图及证明见解析；（3）sinNEC。=2近或sinNEC。=2叵

135

【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键.

（1）过点E作延长线于点M,利用一线三垂直全等模型证明再证明=

即可；（2）同（1）中方法证明△ACE^ADME,再证明物1=EM即可；

（3）分两种情况讨论：过点E作EA/LCB延长线于点M,求出EM,CE即可.

【详解】解：（1）如图，过点E作£MJ_CB延长线于点

由旋转得AD=£>E,ZADE=90°,：.ZADC+ZEDM=90°,

VZACB=90°,：.ZACD=ZDME,ZADC+ZCAD=90°,

：.ZCAD=ZEDM,：.^ACE^ADME,：.CD=EM,AC=DM,

'：AC=BC,：,BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD,：.BM=EM,

■：EM±CB,：.BE=y/2EM=yf2CD，故答案为：BE=叵CD；

(2)补全图形如图：BE=6CD，理由如下：过点E作加交BC于点

由旋转得ZADE=90°,：,ZADC+ZEDM=90°,

VZACB=90°,：.ZACD=ZDME,ZADC+ZCAD=90°,

：.ZCAD=ZEDM,：.AACD^ADME,:.CD=EM,AC=DM,

'：AC^BC,：.BM=BC-CM=DM-CM=CD,:.BM=EM,

VEMrCB,：.BE=y/2EM=-J1CD;

(3)如图，当。在CB的延长线上时，过点E作加于点连接CE,

由⑵^DM=AC=1,EM=CD=2,：.CM=CD+DM=3,

2万

CE=yjCM2+EM-=y/13：.sinZECD=—=与

CE71313

当。在BC的延长线上时，过点E作于点如图，连接CE,

同理可得：AACD四△DME,DM=AC=1,ME=CD=2,：.CM=2-1=1,

,CE=d2、f=5•••sin/EC£>=等=5=亭；综上：sinZECD=sinZECD=

例2.（2023・湖南岳阳•统考一模）如图，在ABC中，AB=AC=2,48=40。，点D在线段8C上运动（点。不

与点8、C重合），连接4D,作/AD£=40。，OE交线段AC于点E.

（1）当NBZM=115。时，ZEDC=°,NAED=°；

（2）线段。C的长度为何值时，XABD会4DCE,请说明理由；（3）在点。的运动过程中，AAOE的形状

可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由.

B25C

【答案】(1)25°,65°；(2)2,理由见详解；(3)可以，110。或80。.

【分析】(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；(2)当DC=2时，利用NDEC+NEDC=140。,

ZADB+ZEDC=140°,求出NADB=NDEC,再利用AB=DC=2,即可得出AABD之Z\DCE.

(3)当NBDA的度数为110。或80。时，AADE的形状是等腰三角形.

【详解】解：(1)•；/B=40°,ZADB=115°,AZBAD=180°-ZB-ZADB=180o-115o-40o=25°,

VAB=AC,.\ZC=ZB=40°,VZEDC=1800-ZADB-ZADE=25°,

ZDEC=180°-ZEDC-ZC=115°,ZAED=180°-ZDEC=180°-115°=65°；

(2)当DC=2时，AABD4ADCE,理由：VZC=40°,ZDEC+ZEDC=140°,

XVZADE=40°,.\ZADB+ZEDC=140°,/.ZADB=ZDEC,又：AB=DC=2,

NADB=NDEC

在AABD和ADCE中，,NB=NC/.△ABD^ADCE（AAS）；

AB=DC

（3）当/BDA的度数为110。或80。时，AADE的形状是等腰三角形，

,/NBDA=110°时，；.ZADC=70°,

：/C=40。，.•.NDAC=70。，.•.△ADE的形状是等腰三角形；

•.•当/BDA的度数为80。时，；.ZADC=100°,

•.•/C=40。，，NDAC=40。，.,△ADE的形状是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等

知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题.

例3.（2024•甘肃・中考真题）【模型建立】（1）如图1,已知AABE和△BCD,ABJ.BC,AB=BC,CDLBD,

AELBD.用等式写出线段AE,DE,8的数量关系，并说明理由.

【模型应用】（2）如图2,在正方形ABCD中，点E,尸分别在对角线3D和边上，AELEF,AE=EF.用

等式写出线段BE,AD,。尸的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】（3）如图3,在正方形A8CD中，点E在对角线8。上，点尸在边C。的延长线上，AE±EF,

AE=EF.用等式写出线段8E,AD,的数量关系，并说明理由.

AAA

ED

CC

图2图3

【答案】（1）DE+CD=AE,理由见详解，（2）AD=>/2BE+DF,理由见详解，（3）AD=^BE-DF，

理由见详解

【分析】（1）直接证明丝ABCD,即可证明；（2）过E点作于点M,过£点作ENLCD于

点、N,先证明RLA£M四RMEEN,可得40=NF,结合等腰直角三角形的性质可得：MD=DN=—DE,

2

NF=ND-DF=MD-DF,即有NE=AM=AD-MO=AO-—DE,NF=-DE-DF,进而可得

22

AD--DE=—DE-DF,即可证；（3）过A点作AH_L于点”，过/点作bG_LB£>,交8。的延长

线于点G,先证明A/ME也立;跖，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明.

【详解】（1）DE+CD=AE,理由如下：

VCD±BD,AE1,BD,ABJ.BC,：.ZABC=ZD=ZAEB=90°,

：.ZABE+ZCBD=ZC+ZCBD=90°,：.ZABE=ZC,

VAB=BC,；.AABEdBCD,：.BE=CD,AE=BD,

：.DE=BD-BE=AE-CD,：.DE+CD=AE-,

（2）AD=4iBE+DF,理由如下：过£点作于点M,过E点作EN，CD于点N,如图，

:四边形ABC。是正方形，8。是正方形的对角线，；.ZADB=NCDB=45。，BD平分NADC,ZADC=90°,

yf2AD=y/2CD=BD，即DE=BD-BE=^AD-BE,

•：ENLCD,EMLAD,：.EM=EN,VAE=EF,Rt^AEM^Ri^FEN,：.AM=NF,

AA

■:EM=EN,EN.LCD,EMLAD,NADC=90。，.二四边形EMDN是正方形，

即是正方形项flW对角线，MD=ND,：.MD=DN=—DE,NF=ND-DF=MD-DF,

2

NF=AM=AD-MD=AD--DE,NF=-DE-DF,

22

/.AD--DE^—DE-DF,即AD=®DE-DF，

22

,:DE=®AD-BE，:.AD=^(啦AD-BE)-DF,即有A£)=&8E+£)F；

(3)ADfBE-DF，理由如下，过A点作4/，3。于点H,过厂点作交的延长线于点

G,如图，VAH±BD,FGLBD,AE±EF,：.ZAHE=ZG=ZAEF=90°,

：.ZAEH+Z.HAE=ZAEH+NFEG=90°,ZHAE=ZFEG,

又；AE=EF,^HAE^GEF,：.HE=FG,

•.,在正方形ABC。中，ZBDC=45°,；.NFDG=NBDC=45。,

：.ZDFG=45°,；.A。回G是等腰直角三角形，AFG=—DF,：.HE=FG=—DF,

22

行

VZADB=45°,AHLHD,，AADH是等腰直角三角形，：.HD=—AD,

2

DE=HD-HE=—AD-—DF,；.BD-BE=DE=—AD--DF,

2222

BD-\[^AD，*'•A/2AZ)—BE=AD——DF,A.D=\f2BE—DF-

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的

性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数

量关系，是解答本题的关键.

例4.(23-24八年级上•重庆泰江・期末)(1)如图①，ZMAN=90°,射线AE在这个角的内部，点8、C分

别在NM4N的边AN上，且AB=AC,CFLAE于点E于点D求证：7国玲CAF；

(2)如图②，点2、C分别在NM4N的边AM、AN上,点、E、尸都在—MAN内部的射线AO上，4、Z2

分别是△ABE、VC4r的外角.已知AB=AC,J.Z1=Z2=ZR4C.求证：EF=BE-CF；

(3)如图③，在VABC中，AB=AC,AB>BC.点D在边BC上，CD=3BD,点、E、尸在线段AD上，

Z1=Z2=ZBAC.若VABC的面积为17,求△ACF与V5DE的面积之和.

图①图②图③

17

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）—

4

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，三角形外角的性质，余角的性质,

解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，ASA,ASA,SSS,SAS,HL.

（1）根据AAS证明三角形全等即可；（2）证明VABE丝VC4尸（ASA）,得出=CF=AE,即可得

117

出结论；（3）根据VABC的面积为17,CD=3BD,得出△ABD的面积是：