2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型解读与提分训练（全国版）

专题11三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比1:1:忘"、“45。辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸，

常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，

有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常

用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！

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例题讲模型

...........................................................................................................................................2

模型1.等直内接等直模型..............................................................2

模型2.等直+高分线模型...............................................................5

习题练模型一

...........................................................................................................................................8

例题讲模型］

模型1.等直内接等直模型

模型解读

等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为

原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。

模型证明

条件：已知如图，等腰直角三角形ABC,NBAC=90。，尸为底边BC的中点，且NEPP=90。。

结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；®AE+AF=42AP；

⑤S=1S；⑥CE'BF'EF，

A匕尸r2ADC

（注意题干中的条件：/EPF=90。,可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！）

证明：•••等腰直角三角形ABC,ZfiAC=90°,点P是BC的中点.•.AP=JBP=PC=；2C,AP，BC

ZAPE+ZAPF=ZCPE+ZAPE=90°/.ZAPF=ZCPE同理可得：=X.C=45°,

AAPF=ACPE（ASA）AF=CE,PE=PF,\'AB=AC,：.AE=FB；

又-NEP尸是直角，.•.她/>尸是等腰直角三角形，同理：易证AAB尸是等腰直角三角形。

：.AE+AF=FB+AF=AB,：.AE+AF=拒AP。

AAPF=ACPE（ASA）,SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC>°

22222

•:AE=FB,CE=AF,ZJBAC=90°；CE+BF=AF+AE=EF

模型运用

例1.（2024・广东广州•中考真题）如图，在中，ZA=90°,AB=AC=6,。为边8c的中点，点E,

厂分别在边A3,AC上，AE=CF,则四边形AEZm的面积为（）

例2.（2024•天津.模拟预测）如图，已知中，AB^AC=6,/B4C=90。，直角/EPF的顶点尸是BC

中点，两边产区尸尸分别交AB、AC于点E、E当NEPb在SBC内绕顶点尸旋转时（点£不与42重合），

给出下列四个结论：@EPR是等腰三角形；②M为EF中点时，AM+PM=EF；③EF=AB；④△BEP

和一尸CF的面积之和等于9,上述结论中始终正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

例3.（23-24九年级上•四川内江•期末）如图，边长为1的正方形A8CD的对角线AC,8。相交于点。，Z

MPN为直角，使点尸与点。重合，直角边PM,PN分别与重合，然后逆时针旋转NMPN,旋转

角为0（0。＜。＜90。），PM,PN分别交AB,8C于E,F两点，连接取交OB于点G,则下列结论：①EF

=&.OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4:③BE+BF=血OA；④在旋转过程中，当与△＜%»/的面积

3

之和最大时，⑤OG・BD=AE2+CF2.其中结论正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

例4.（23-24八年级上•山西吕梁•期末）综合与探究

问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板A3C中，ZBAC^90°,

AB=AC,D为8c的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点。上，得到将NMEW绕点。

旋转，射线ZW,DN分别与边A3,AC交于E,尸两点，如图1所示.

（1）操作发现：如图2,当E,尸分别是A3,AC的中点时，试猜想线段。E与。歹的数量关系是,

位置关系是.

（2）类比探究：如图3,当E,尸不是AB,AC的中点，但满足3E=A尸时，判断」）EF形状，并说明理由.

（3）拓展应用：①如图4,将NMDN绕点。继续旋转，射线QM,DN分别与AB,C4的延长线交于E,F

两点，满足=。砂是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；

②若在NMDN绕点。旋转的过程中，射线。欣，ZW分别与直线AB,C4交于E,尸两点，满足BE=AF,

若AB=a,BE=b,则AE=（用含。，b的式子表示）.

模型2.等直+高分线模型

模型解读

等直+高分线模型模型是指在等腰直角三角形过其中一个角所在顶点作另一个底角平分线的垂线。

模型证明

A

条件：如图，AABC中，ZABC=45°,<20，回于。，8E平分/ABC,且班，4。于£,与CO相交于点

F,”是BC边的中点，连接与8E相交于点G.

结论：①BF=AC；②CE=(BF；③ADG尸是等腰三角形；④BD+DF=BC；⑤”=也.

2FC2

证明：CDVAB,BEVAC,:.ZBDC=ZADC=ZAEB=90。,

：.ZA+ZABE^90°,ZABE+ZDFB=90°,:.ZA=ZDFB,

ZABC=45°,NBDC为0。,ZDCB=90°-45°=45°=ZDBC,:.BD=DC,

ZBDF=ZCDA

在ABDF和kCDA中</A=/DFB,/.ABD尸思ACZM(AAS),BF=AC.

BD=CD

郎平分/ABC,ZAJ5C=45°,:.ZABE=ZEBC=22.5°

VBE1AC,.-.ZA=ZBG4=67.5°,:.BA=BC,BE上AC,AE=EC=-AC=-BF

22f

NBDC=9。。,BH=HC,:.ZBHG=90°,:./BDF=/BHG=90。,

ZABE=ZCBE=22.5°,ZBGH=ZBFD=67.5°,ZDGF=ZDFG=67.5°,

：.DG=DF,..ADG尸是等腰三角形.NBDF^CDA,:.DF=AD,.•.BC=AB=BD+AD=BD+DF,

sBD

BE平分点尸到AB的距离等于点尸到BC的距离，，$此=正，

-S^DF_DFBD+2_DF.DFBD•・•三角形BDC是等腰直角三角形，，生=些=工=也。

9

・S&BC「FCBD+2-而‘FC~BCFCBC722

模型运用

例1.（23-24九年级下•浙江金华•阶段练习）如图，在VABC中，ZABC=45°,于。，BE平分，ABC,

且3ELAC于E,与CD相交于点E5是2c边的中点，连接DH与BE相交于点G,以下结论中：

①VABC是等腰三角形；@BF=AC；③BH:BD:BC=1：6：2;@GE2+CE2=BG2.

正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

例2.（23-24八年级上.山东临沂・期中）如图，等腰RtZkABC中，AB=AC,/BAC=90。,ADL3C于点。,

/ABC的平分线分别交AC、AD于E、尸两点，M为族的中点，40的延长线交BC于点N,连接ZW,

下列结论：®DF=DN；②ZXAFE为等腰三角形；③NN4C=22.5。；@AE=NC,其中正确结论有（）

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

例3.(23-24八年级•浙江杭州•阶段练习汜知:如图，ABC中，NASC=45。,CD工AB于D,BE平分ZABC,

且3ELAC于E,与C。相交于点K”是2c边的中点，连结£归与8E相交于点G.(1)说明：BF=AC；

(2)说明：CE=^BF.(3)试探索CE,GE,3G之间的数量关系，并证明你的结论.

Z

BHC

例4.(23-24八年级上.广东东莞•期末)如图，等腰直角VABC中，ZCAB=90°,AC=AB,点、E为BC上

一点，于点M,交AC于点。，AHLCB于点H,交BD于点、G,连接。E,MH.

⑴若BE=54,求证：8。垂直平分AE；⑵若点E在线段C"上运动.

①请判断CE与AG的数量关系，并说明理由；②求证：MH平分ZEMB.

一/

EHB

习题练模型

1.（23-24山东威海九年级上期中）已知VABC中，AC=BC=4,ZACB=90°,。是A3边的中点，点、E、

尸分别在AC、8C边上运动，且保持AE=CF.连接。E、DF、E尸得到下列结论：①①跖是等腰直角

三角形；②△CEF面积的最大值是2；③的最小值是2.其中正确的结论是（）

C.①③D.①②③

2.（2024.广东汕头•二模）如图，四边形48C。为正方形，NCAB的平分线交BC于点E,将ABE绕点8

顺时针旋转90。得到NCBF，延长AE交CV于点G,连接BG,OG与AC相交于点”.有下列结论:①5E=3

AFr-

②ZACF=NF；③BG,DG；©—=>/2,其中正确的结论有（）个

DH

C.3D.4

3.（2024•山东泰安・模拟预测）如图，等腰直角VABC中，NB4c=90。，ADIBC于点，,ABC的平分

线分别交AGAD于点E,F,M为EF中点"AM延长线交BC于点N,连接,下列结论：①=ON；

②FM+AM=6DM;③DM平分4MN；④SABM=SDBM；⑤MNBF=BDCN,其中正确结论的个数

A.2B.3C.4D.5

4.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，AABC中，ZABC=45°,CZ）_LAB于点。，BE平分/ABC,且8E_L

AC于点E,与CO交于凡〃是BC边的中点，连接。”与8E交于点G,则下列结论：®BF=AC；②乙4

=NDGE；③CEVBG；④S*DC=S四边形CEGH；⑤。G・AE=Z）C・EF中，正确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2024・湖南长沙.一模）如图，在ABC中，ZS4C=90°,AB=AC.点E是AC边上的中点，连接BE,

将.ABE绕A点逆时针旋转90°,得到ACD，延长8E交。C于点G,连接AG,过点A作AF，AG,交8G

于点现有如下四个结论：①ZAGD=45。；②EG:GC:FE=1:2:3；③FE-EG=GC；®SAADC=2SAAEF

6.（2024•江苏淮安・三模）如图，VA8C中，ZABC=45。，CD_LAB于。，8E平分NABC,且郎_LAC于

1S.BD

E,与8相交于点尸.下列结论：①BF=AC；②CE=^BF；③BD+DF=BC；@-AB^nt=—,其中

2、4BCF

正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.（2024・辽宁朝阳•模拟预测）如图，在正方形ABC3中，对角线AC,2。相交于点。，点E在BC边上，且

CE=2BE,连接AE交80于点G,过点B作3尸，/1E于点F,连接。尸并延长，交8c于点过点。作

OPLOF交DC于占N,S四边形M°NC=3,现给出下列结论：①器=：；②sin4。尸=士何；③。尸

4ACr310=*55

④OG=BG；其中正确的结论有（）

C.①②④D.①③④

8.（2024•黑龙江.二模）如图，等腰直角三角形A3c中，ZBAC=90°,ADIBC于O,—ABC的平分线分

别交AC、AD于E、尸两点，M为所的中点，延长AM交3c于点N,连接/N,AE.下列结论:①AE=AF；

②M2=创介3£;③即是等边三角形；④跖=AN;⑤四边形AE/VF是菱形，正确结论的序号是（）

A.②④⑤B.①②③④⑤C.①③④D.①②④⑤

9.（23-24九年级上.江苏南通.阶段练习）如图，已知VABC中，AB=AC=8,ABAC=90°,直角NEPb的

顶点尸是BC中点，两边PE、尸尸分别交AB、AC于点E、F,当NEPb在VABC内绕顶点P旋转时（点E

不与A、B重合），给出以下四个结论：®AE=CF-,②.是等腰直角三角形；③/边形码F=：SAABC；

@BE+CF=EF-⑤△BEP与△尸歹C的面积和无法确定.上述结论中始终正确的有（）

A.①②③B.①②⑤C,①③⑤D.②③④

10.（23-24九年级上.广东河源•期中）如图，在正方形ABCD中，A5=4,AC,3。相交于点。，E,尸分别

为边BC,CD上的动点（点E,尸不与线段BC,CD的端点重合）且3E=CF,连接OEOF,EF.在点E,

尸运动的过程中，有下列四个结论：①.OE5始终是等腰直角三角形；②，。中面积的最小值是2；③至少

存在一个△£</,使得△ECF的周长是4+2后；④四边形OECF的面积始终是4.其中结论正确的有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

11.（2024•重庆•中考模拟预测）如图，在等腰直角.ACB=90。，。是斜边A3的中点，点。、E分别在直角

边AC、上，且/DOE=90。，DE交OC于点、P.则下列结论：

⑴图形中全等的三角形只有两对;（2）VA8C的面积等于四边形CDOE的面积的2倍;⑶C£>+CE=&OA;

（4）AD-+BE1=2OPOC.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.（23-24九年级上•辽宁丹东•期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC,应>相交于点。，点E在3C边

上，且CE=2BE,连接AE交8。于点G,过点B作B尸，隹于点尸，连接。尸并延长，交BC于点过

9GE1

点、。作ONLOF交DC于点,N,S四边形MONC=:，以下四个结论：®—=-;②正方形ABC。的面积为9；

4ACJJ

③OG=BG；④OF二空,其中正确的结论有（）

5

C.3个D.4个

13.（2024•黑龙江•校考一模）如图，在面积为4的正方形ABCD中，。是对角线AC/。的交点，过点。作

射线。M,ON分别交Z?C,CD于点瓦/，且NEOF=90°,OC,E尸交于点G.下列结论：®VFOC^VEOB；

②VOGE:VFGC；③四边形CEO歹的面积为1；④D尸+BE2=2OG.OC.其中结论正确的序号有（）

A.①②③B.①②

C.③④D.①②③④

14.（23-24八年级上.广东茂名.期中）如图所示，在等腰直角AABC中，点。为AC的中点，DEJ.DF,DE

交42于E,DF交BC于F,若AE=25EF=4,则BC的长是.

15.（2024广东九年级模拟（二模））一副三角板按如图1放置，图2为简图，。为AB中点，E、尸分别是

一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2,CE=5,连接。E,〃为8c上一点，且满

足/CME=2/ADE,EM=

图2

16.（23-24九年级上•陕西榆林•期末）如图，在正方形ABCD中，AB=2,对角线AC、BD交于点0,点E、

尸分别为边BC、CO上的动点（不与端点重合），且BE=CF,连接OE、OF、EF,则线段跖的最小值

17.（2024.山东德州.二模）如图，在等腰直角VABC中，ZACB=9Q°,尸是线段2C上一动点（与点3、C

不重合），连接AP,延长2C至点。，使得CQ=CP,过点。作于点a,交于点M.

（1）若/R4C=a,则ZAMQ=；（用含a的式子表示）；

⑵求证：AP=QW；（3）猜想线段与PQ之间的数量关系，并证明.

18.（23-24江苏泰州八年级上期中）在一ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,将一块三角板的直角顶点放在

斜边AB的中点P处，将此三角板绕点尸旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点、D、点、E,图

①，②，③是旋转得到的三种图形.

（1）观察线段和尸£之间有怎样的大小关系,并以图②为例，加以说明；（2）观察线段C。、CE和之间

有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明;（3）把三角板绕P点旋转，点E从C点沿射线CB方向移动,

△P3E是否构成等腰三角形？若能，请直接写出NPEB的度数；若不能，请说明理由.

19.（2023•山东荷泽・二模）【课本再现】（1）如图1,正方形ABCD的对角线相交于点。，点。又是正方形ABC0

的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1,四边形OEB尸为两个正方形重叠部分，正方形A4G。可绕

点。转动，则下列结论正确的是（填序号即可）.①△AEgABFO；®OE=OF；③四边形/

的面积总等于“④连接砂，总有AE、C*E凡

【类比迁移】（2）如图2,矩形A8CD的中心。是矩形AMG。的一个顶点，4。与边相交于点区G。与

边CB相交于点死连接E尸，矩形4耳。。可绕着点。旋转，猜想环之间的数量关系，并进行证

明；【拓展应用】（3）如图3,在Rt^ACB中，NC=90o,AC=3cm,BC=4cm,直角NED尸的顶点。在边A3

的中点处，它的两条边。E和。尸分别与禀缱AC,8c相交于点E,F,NEDF可绕着点D旋转,当AE=2cm

时，求线段政的长度.

专题11三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比1:1:忘"、“45。辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸，

常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，

有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常

用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！

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例题讲模型

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模型1.等直内接等直模型..............................................................2

模型2.等直+高分线模型...............................................................5

习题练模型一

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例题讲模型］

模型1.等直内接等直模型

模型解读

等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为

原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。

模型证明

条件：已知如图，等腰直角三角形ABC,NBAC=90。，尸为底边BC的中点，且NEPP=90。。

结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；®AE+AF=42AP；

⑤S=1S；⑥CE'BF'EF，

A匕尸r2ADC

（注意题干中的条件：/EPF=90。,可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！）

证明：•••等腰直角三角形ABC,ZfiAC=90°,点P是BC的中点.•.AP=JBP=PC=；2C,AP，BC

ZAPE+ZAPF=ZCPE+ZAPE=90°/.ZAPF=ZCPE同理可得：=X.C=45°,

AAPF=ACPE（ASA）AF=CE,PE=PF,\'AB=AC,：.AE=FB；

又-NEP尸是直角，.•.她/>尸是等腰直角三角形，同理：易证AAB尸是等腰直角三角形。

：.AE+AF=FB+AF=AB,：.AE+AF=拒AP。

AAPF=ACPE（ASA）,SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC>°

22222

•:AE=FB,CE=AF,ZJBAC=90°；CE+BF=AF+AE=EF

模型运用

例1.（2024・广东广州•中考真题）如图，在中，ZA=90°,AB=AC=6,。为边8c的中点，点E,

厂分别在边A3,AC上，AE=CF,则四边形AEZm的面积为（）

90C.9D.60

【答案】C

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是

解题关键.连接4）,根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出VADEHCC凡将四边形AEZ万的面

积转化为三角形ADC的面积再进行求解.

【详解】解：连接AT>,如图:

点。是BC中点，AE=CF

：./BAD=NB=NC=45°,AD=BD=DC：.NADE尔CDF,

,"S四边形AEDF=S^AED+S^ADF=^ACFD+=*^AAZ>C=]*^AABC

又SABC=6x6x5=18S四边形AEOF=^SABC=9故选：C

例2.（2024・天津•模拟预测）如图，已知ABC中，AB^AC=6,ABAC=90°,直角NEPF的顶点尸是8C

中点，两边尸区尸尸分别交AB、AC于点E、F,当/EPF在;ASC内绕顶点尸旋转时（点£不与48重合），

给出下列四个结论：①,EPF是等腰三角形；②M■为EF中点时，AM+PM=EF；③EF=AB；④△BEP

和；PCF的面积之和等于9,上述结论中始终正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得NW=/C=45。，AP=CP，根据等角的余角相等求出

ZAPE^ZCPF,然后利用“角边角”证明和式竹全等，根据全等三角形对应边相等可得

AE=CF,PE=PF,全等三角形的面积相等求出SEPB+S"C=SAPB，石厂随着点E的变化而变化，EF不

一定等于A3,再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得=尸，PM=；EF,然后解答即可.

【详解】解：：AB=AC,/"4C=90。，..ASC是等腰直角三角形，

:点P为8C的中点，/.ZBAP=ZC=45°,AP=CP,

,：/F,PF是直角，ZAPE+ZAPF=ZCPF+ZAPF=90°,ZAPE=ZCPF,

Z£AP=ZC=45°

在△AEP和ACEP中，-AP=PC,△AEP丝△CFP(ASA),

/APE=ZCPF

:.AE=CF,PE=PF,S"E=S“F，是等腰三角形，故①正确；

=xx

S£PB+SPPC=S4APB~=­—6x6=9,故④正确；

随着点E的变化而变化，...所不一定等于AB,故③错误；

为政中点，ABAC=90°,/EPF=90°,：.AM=-EF,PM=~EF,

22

/.AM+PM=EF,故②正确；故①②④正确，故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出

4AHpF是解决此题的关键.

例3.(23-24九年级上.四川内江.期末)如图，边长为1的正方形ABC。的对角线AC,8。相交于点。，Z

MPN为直角,使点P与点。重合，直角边PM,PN分别与OA,08重合，然后逆时针旋转/MPN,旋转

角为9(0°<0<90°),PM,PN分别交AB,8C于E,尸两点，连接交于点G,则下列结论：①EF

=6.OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF=eOA；④在旋转过程中，当A8跖与ACOF的面积

3

之和最大时，AE=-；⑤OG・5Q=AE2+c尸.其中结论正确的个数是()

4

AD

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】①由四边形A8CQ是正方形，直角NMPN,易证得△3OE三/XCO产(ASA),则可证得结论；②

由①易证得S四边形OEBF=SBo。=[S正方形，则可证得结论；®BE+BF=BF+CF=BC=y/2OA,故可得结

论；④首先设AE=尤，则班=CF=1—尤，BF=x,继而表示出ZkBE尸与.CO厂的面积之和，然后利用二

次函数的最值问题，求得答案；⑤易证得△QEGAOBE,然后由相似三角形的对应边成比例，证得

OGOB=OE\再利用03与3。的关系，OE与EF的关系，即可证得结论.

【详解】解：①，四边形ABC。是正方形，

・•.OB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,ZBOC=90°,「.ZBOF+ZCOF=90°,

/EOF=90。,「.ZBOF+ZCOE=90°,/BOE=NCOF,

NBOE=ZCOF

在ABOE和CO分中，＜OB=OC,/.ABOE=/\COF(ASA),

/OBE=ZOCF

二.OE=OF,BE=CF,AEF=®OE,故正确；

②四边形正方形

SO£BF=SBOE+SB0E=SB0E+S.COF=SBOC=­SMC0，

•二S四边形OEBF:S正方形ABCD=1：4,故正确；®BE+BF=BF+CF=s/2OA，故正确；

④过点。作O"IBC,

BC=l,：.OH=-BC=~,设AE=x,则3E=CF=1—x,BF=x,

22

SBEF+SC0F+++：,

〃=—-■＜。，.,.当X=:时，SBEF+SCOF最大；

24

即在旋转过程中，当△3EF与》CO尸的面积之和最大时，A£=|,故错误；

4

⑤•.ZEOG=NBOE,ZOEG=NOBE=45°,

AOEG△O3E,OE:OB=OG:OE,；.OGOB=OE2,

iB

OB=-BD,OE=—EF,■-OGBD=EF2,

22

■•在△BEF中，EF2=BE2+BF-，EF2=AE2+CF2,■■OG-BD=AE~+CF2,故正确.故选C.

【点睛】此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三

角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.

例4.(23-24八年级上.山西吕梁・期末)综合与探究

问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，ABAC=90°,

AB=AC,。为5c的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点。上，得到NMDV,将NMEW绕点。

旋转，射线ZW,DN分别与边A3,AC交于E,尸两点，如图1所示.

(1)操作发现：如图2,当E,尸分别是AB,AC的中点时，试猜想线段。E与。R的数量关系是,

位置关系是.

(2)类比探究：如图3,当E,尸不是AB,AC的中点，但满足=时，判断/郎形状，并说明理由.

(3)拓展应用：①如图4,将绕点。继续旋转，射线A暇，EW分别与AB,C4的延长线交于E,F

两点，满足3E=A尸，_DEF是否仍然具有(2)中的情况？请说明理由；

②若在NMZW绕点。旋转的过程中，射线DM,ON分别与直线AB,C4交于E,歹两点，满足BE=AF,

若AB=a,BE=b,贝!JAE7=（用含。，b的式子表小）.

【答案】Q）DE=DF,DE1DFC2）DEF是等腰直角三角形，理由见详解

（3）①/）EF是等腰直角三角形，理由见详解；②。+人或a-匕或

【分析】（1）根据题意易得3万=。尸,3。=8,然后可证V3£Z在VCFD,则问题可求证；（2）连接AD,

然后可证即/&FD,则有。E=DR,NAT不=进而问题可求解；（3）①连接AD,然后可证

ABED^AAFD,则有r>E=O£ZADP=NBr）E,进而问题可求解；②根据①及（2）可直接进行求解.

【详解】（1）解：连接A£>,如图所示：

VABAC=90°,AB=AC,。为3C的中点，

:.NB=NC=45o,BD=CD,AD1BC,△ABQ,A4CD都是等腰直角三角形，

,:E,尸分别是A3,AC的中点，

DE±AB,DF±AC,2ADE?ADF45?,DE=-AB,DF=-AC,

22

:.DE=DF,NEDF=90°,：.DELDF-,故答案为DE=DF,DELDF-,

（2）解：。砂是等腰直角三角形，理由如下：连接AD,如图所示：

VZfiAC=90°,AB=AC,。为BC的中点，AZS=ZC=ZZMF=45°,AD=BD,AD1BC,

'：BE=AF,.BED^AFZ）（SAS）,/.DE=DF,ZADF=ZBDE,

VZADE+ZBDE=90°,：.ZADE+ZADF=90°,：.ED±DF,，勿即是等腰直角三角形；

（3）解：①,QEF仍然具有（2）中的情况，理由如下：连接AD,如图所示：

E图4

VABAC=90°,AB=AC,。为3C的中点,

AZABC=ZC=ZDAC=45°,AD=BD,NDIBC,

：./FAD=180°-ADAC,/EBD=180°-ZABC,ZFAD=ZEBD,

BE=AF,/.BED^.AFZ）（SAS）,；.DE=DF,ZADF=NBDE,

VZADF+ZBDF=90°,：.ZBDE+ZBDF=90°,：.ED±DF,是等腰直角三角形；

②由①和（2）可知：在NMDN绕点。旋转的过程中，始终有ABED当AAFD,

当E,尸是AB,AC上的点，如图3,VAB=a,BE=b,：.AE=AB-BE=a-b-,

当射线。暇，分别与直线AB,C4交于E,尸两点，如图4,AE=AB+8E=a+%；

当射线DM,DN分别与直线AB,C4交于E,尸两点，如图所示：AE=BE-AB=6-。

故答案为或或6—a.

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角

形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

模型2.等直+高分线模型

模型解读

等直+高分线模型模型是指在等腰直角三角形过其中一个角所在顶点作另一个底角平分线的垂线。

条件：如图，AABC中，ZABC=45°,CD,钻于。，8E平分/ABC,且况，47于£,与8相交于点

F,H是BC边的中点，连接£羽与8E相交于点G.

结论：①BF=AC；②CE=2BF；③ADG尸是等腰三角形；④BD+DF=BC；⑤”=理.

2FC2

证明：CDLAB,BEVAC,:.ZBDC=ZADC=ZAEB=90。,

」.NA+NAB石=90。，ZABE+ZDFB=90°f:.ZA=ZDFB,

ZABC=45°,/BDC=9U。,ZDCB=90°-45°=45°=ZDBC,:.BD=DC,

ZBDF=ZCDA

在ABDF和ACZM中</A=/DFB,/.ABO尸思ACZM(AAS),BF=AC.

BD=CD

助平分/ABC,ZABC=45°,:.ZABE=ZEBC=22.5°

VBEVAC,.\ZA=ZBG4=67.5°,，BA=BC,BE工AC,?.AE=EC=-AC=-BF

22f

NBDC=90。,BH=HC,..ZBHG=90。,ZBDF=ZBHG=90°,

ZABE=ZCBE=22.5°,ZBGH=ZBFD=67.5°,/.ZDGF=ZDFG=67.5°,

:.DG=DF,..AZX汨是等腰三角形.ABDF^ACDA,,\DF=AD,:.BC=AB=BD+AD=BD+DF,

SBD

助平分/ABC,点尸到AB的距离等于点尸到BC的距离，.•.渭也=正，

・・・源=。足血2二竺,・・.空=些，・.•三角形BDC是等腰直角三角形，，空=变=2=也。

“FFCBD+2FCFCBCFCBC722

模型运用

例1.（23-24九年级下•浙江金华•阶段练习）如图，在VABC中，ZABC=45°,。£>，45于£>,BE平分/ABC,

且3ELAC于E,与CD相交于点片反是2C边的中点，连接DH与BE相交于点G,以下结论中：

①VABC是等腰三角形；@BF=AC；③BH:BD:BC=1:拒：2;@GE2+CE2=BG2.

正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】证明sAEBg.CEB可得AB=CB,即可判定①；证明/BCD=45。=NABC得到CD=3D,进而证

明△ACDgAEBD（ASA）得到AC=W,即可判断②；利用三线合一定理和直角三角形的性质得到

DH=CH=BH=；BC,DHLBC,进而利用勾股定理得到=,由此即可判断③；如图所示，连

接CG,证明△GHC/△GHB（SAS）,得至ljBG=CG,利用勾股定理即可证明G炉+CE?=8炉，即可判断④.

【详解】解：*/BE平分ZABC,：.ZABE=ZCBE,：BEVAC,：.ZAEB=ZCEB=90°,

又；BE=BE,：.^AEB学4CEB（ASZ，：•AB=CB,即VABC是等腰三角形，故①正确；

VZABC=45°,CD±AB,：.ZBDC=ZADC=90°,

：.ZBCD=180°-Z.BDC-ZABC=45°=ZABC,/.CD=BD,

,/ZCEF=ZBDF=90°,ZCFE=NBFD,/.ZACD=NFBD,

AAACD^Arar>(ASA),/.AC=BF,故②正确；

是3c边的中点，==DH±BC,；.BD='。斤+BH?=&DH，

；•BH:BD:BC=DH:垃DH:2DH=1:0:2,故③正确；

如图所示，连接CG,,:CH=BH,ZGHC=ZGHB=90°,GH=GH,

：.△GHC丝△GHB(SAS),；.BG=CG,

在Rt.ECG中，由勾股定理得GE2+CE2=CG2,AGE2+CE2=BG2,故④正确；故选A.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和

定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，灵活运用所学知识，通过证明三角形全等得到相应的线段相

等，进而利用勾股定理得到结论是解题的关键.

例2.（23-24八年级上•山东临沂・期中）如图，等腰RtZkABC中，AB=47,/84?=90。,4£），3（7于点。,

—A3C的平分线分别交AC、AD于£、尸两点，M为族的中点，AM的延长线交8