10.1 二元一次方程组的概念（教学设计）-（人教版2024）

10.1二元一次方程组的概念教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十章“二元一次方程组”10.1二元一次方程组的概念，内容包括：理解二元一次方程(组)及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程(组)的解；能针对具体问题列出二元一次方程(组)．2.内容解析本节课内容是方程知识体系的拓展，它丰富了方程的类型，让学生接触到更具一般性和实际应用价值的方程模型，进一步深化对方程概念的理解.二元一次方程(组)是进一步学习多元方程(组)、一次函数等知识的基础.同时，二元一次方程(组)是解决实际问题的有力工具，通过学习二元一次方程(组)，学生能够更好地运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力，增强数学学习的实用性和趣味性．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二元一次方程(组)及其解的概念.二、目标和目标解析1.目标（1）理解二元一次方程(组)及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程(组)的解；能针对具体问题列出二元一次方程(组).（2）体会从实际问题抽象为数学问题的建模思想，在探究二元一次方程(组)的概念过程中，体会类比思想．（3）在分析实际问题，列出二元一次方程(组)的过程中，培养数学抽象能力和逻辑推理能力．2.目标解析（1）理解二元一次方程（组）及其解的概念是本节课的基础，检验解是对概念的具体应用，能让学生直观感受方程（组）解的意义.而根据具体问题列出方程（组），则是将所学知识用于解决实际问题，培养学生的数学应用能力，是知识的深化与拓展.（2）建模思想帮助学生学会用数学的眼光观察现实世界，将实际问题转化为数学模型求解，提升学生分析和解决问题的能力.类比思想通过对比一元一次方程，引导学生自主发现二元一次方程（组）的特点和规律，有助于学生构建完整的知识体系，培养学生的自主学习能力和逻辑思维能力.（3）数学抽象能力使学生能够从具体情境中提炼出数学要素，并用数学语言表达出来.逻辑推理能力则帮助学生依据已知条件和数学规则，推导出方程（组），培养学生思维的严谨性和条理性，为学生后续学习更复杂的数学知识奠定基础.三、教学问题诊断分析1.概念理解：学生容易混淆二元一次方程和二元一次方程组的概念，对解的唯一性和共同性把握不准.在学习过程中，需要列举大量的正反实例，让学生对比分析，加深对二元一次方程和二元一次方程组概念的理解.2.列方程（组）：在解决实际问题的过程中，学生难以准确分析数量关系，找出等量关系.在涉及多个未知量和复杂情境的问题中，学生可能会遗漏关键信息，或者错误地建立等量关系.在学习过程中，需要加强分析实际问题的训练，引导学生从问题中的关键语句入手，找出等量关系.可以采用小组合作学习的方式，让学生互相交流讨论分析思路，分享解题经验.同时，多提供一些不同类型的实际问题，如行程问题、工程问题、销售问题等，让学生在练习中逐步提高分析问题和建立方程（组）的能力.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能针对具体问题列出二元一次方程(组).四、教学过程设计（一）情境引入问题新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm2棉田的采摘．如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？分析在这个问题中，要求的是两个未知数．如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数．能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？（二）合作探究探究1列方程要先找到相等关系.问题中包含了哪些必须同时满足的相等关系？若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？分析问题包含两个必须同时满足的相等关系：大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数，大型采棉机1h采摘面积＋小型采棉机1h采摘面积＝1h采摘总面积.这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝6和2x＋y＝8表示．探究2这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？这两个方程中，①每个方程都含有两个未知数（x和y）；②含有未知数的式子都是整式；③含有未知数的项的次数都是1.像这样的方程叫作二元一次方程.把这两个方程合在一起，就组成了一个方程组．x＋这个方程组中，①含有两个未知数；②含有未知数的式子都是整式；③含有未知数的项的次数都是1.一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.探究3满足方程x＋y＝6，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中．一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．例如，x＝1y＝5是方程x＋y追问表中哪对x，y的值还满足方程2x＋y＝8？一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解．例如，x＝4y＝2是方程（三）典例分析例1对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.（1）某村乡村振兴项目计划把28t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2t，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4t，前后共用8天完成全部加工任务．这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？分析问题包含两个必须同时满足的相等关系：改进加工方法前的工作天数＋改进加工方法后的工作天数＝总天数，改进加工方法前的工作量＋改进加工方法后的工作量＝总工作量.设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天：这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝8和2x＋4y＝28表示．小组讨论如何找出方程组的解呢？解：设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，由题意得：x+y＝8当x=2，y=6时，x+y=8且2x+4y=28.答：这个项目改进加工方法前用了2天，改进加工方法后用了6天.（2）在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少？分析问题包含两个必须同时满足的相等关系：胜场数＋负场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.设这个队的胜场数是x，负场数是y：这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝10和2x＋y＝16表示．解：设这个队的胜场数是x，负场数是y，由题意得：x+y＝10当x=6，y=4时，x+y=10且2x+y=16.答：这个队的胜场数是6，负场数是4.设计意图：在列方程解决实际问题时，让学生从不同角度思考问题，探索多种解题路径，这样做可以激发思维活力，培养创新思维.在合作交流方面，讨论为学生提供了交流平台，分享方法和思路时，能相互学习、拓宽视野，培养合作精神.而且不同方法代表不同思考过程，讨论中，学生可对比分析，深化对知识的理解，掌握不同解题策略，强化知识运用能力.（四）巩固练习1.下列式子中，是二元一次方程的是（A）A．x+y＝1B．2x﹣1＝x C．x2+y2＝4D．y＝2x22.填表，使上下每对x，y的值是方程3x+y＝5的解．方程组x+6y＝43xA.x＝2y＝−0.25B.x＝4.x＝1y＝3和x＝0y＝−2都是方程ax﹣y＝b的解，则a﹣b的值是（A．﹣3B．2C．3D．75.已知是一个二元一次方程，则a的值为（B）A．±2B．﹣2C．2D．无法确定6.已知方程(m2﹣1)x2+(m+2)x+(m+1)y＝m+3，当m＝-1时，该方程是一元一次方程；当m＝1时，该方程是二元一次方程．设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.归纳总结

感受中考1.（2023•无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（D）2.（2022•雅安）已知x＝1y＝2是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为13.（2021•金华）已知x＝2y＝m是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是24.（凉山州）下列方程组中是二元一次方程组的是（D）5.（毕节）已知关于x，y的方程x2m-n-2+4ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（A）6.（盐城）若一个二元一次方程的一个解为x＝2y＝−1，则这个方程可能是x+y=1设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检