2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之逆等线模型解读与提分训练（全国版）

专题36最值模型之逆等线模型

最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各

类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试

题分析，方便掌握。

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例题讲模型］

-----------------------1..........................................................................................................................................1

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..........................................1

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）..............................................3

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）..............................................4

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）......................................5

模型5.最值模型-加权逆等线模型..............................................................7

习题练模型

...........................................................................................................................................9

例题讲模型］

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）

模型解读

逆等线：AABC中，D、E分别是A3、AC上的动点，S.AD=CE,即逆向相等，则称和CE为逆等线。

逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。

模型证明

条件：如图，在zVlBC中，ZABC=a,BC=m,AC=w,点。、E分别是AB、AC上的动点，MAD=CE,求

CD+BE的最小值。

u

证明思路：①在AADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点C作CF//AB,且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出“DC丝SAS）；证出EF=CD；

@CD+BE=EF+BE,根据两点之间，线段最短，连接3/，则即为所求，此时，B、E、尸三点共线；

⑤求8凡构造直角三角形求出8G和尸G,再利用勾股定理求出8尸即可。

模型运用

例1.（23-24九年级上.广东广州•期中）在等边三角形VA3C中，边AB上的点。从顶点A出发，向顶点6运

动，同时，边BC上的点E从顶点8出发，向顶点C运动，D,E两点运动速度的大小相等，设％=/1£）,

y=AE+CD,y与尤的函数图象如图，图象过点（0,4）,则图象最低点的纵坐标是（）

乂4卜J

AL

BECO1j

A.V2-1B.©C.2V3-ID.2A/3

例2.（23-24九年级上•江苏无锡•期末）如图,在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D、E分另U是AB、

AC上两动点，且AD=CE,连接CD、BE,CD+BE最小值为____.

AA

B乙-----------、C

例3.（23-24九年级下•广东广州•阶段练习）如图，在Rt^ABC中，AB=3,AC=4,ABAC=90°,D,E

分别是边A8,AC上的动点，且=则CD+BE的最小值为.

例4.（24-25八年级上•四川成都・期中）如图，在VABC中，ZABC=45°,ABAC=15°,AC=2,点E与

点。分别在射线8C与射线AD上，且=则AE+BD的最小值为,的最小值为.

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）

模型解读

条件：已知三角形ABC中，AB=a,BC=b,C。为高，CE=BF,求AF+3E的最小值。

CG

4DBADB

证明思路：①CE在ABEC中，以2尸为一边构造另一个三角形与之全等,这个也叫做一边一角造全等;

②即过点B作BG//CE,且BG=BC=6。（构造一边一角，得全等）；

③构造出ABEC0△GFB（SAS）；证出EB=FG；

@AF+BE=AF+FG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为所求，止匕时，A、F、G三点共线;

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

模型运用

例1.（2024•安徽合肥•一模）如图，AQ为等边AABC的高，E、尸分别为线段A。、AC上的动点，且AE=

CF,当8F+CE取得最小值时，ZAFB=

A

BDC

A.112.5°B.105°C.90°D.82.5°

例2.（2023・四川成都•一模）如图，在三角形VABC中，NA4c=50。，AB=AC,8。_147于。，M,N

分别是线段BO,上的动点，BM=CN,当AM+AN最小时，ZMAD^.

例3.（2024・四川乐山•二模）如图，等腰AABC中，ZBAC=100°,3。平分NABC,点N为20上一点，点

M为BC上一点、,且BN=MC,若当AM+4V的最小值为4时，A8的长度是.

A

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）

模型解读

条件：已知在RtAABC中，ZACB=90°,AB=a，点、E、。是线段AB上的动点，且满足

求CD+CE的最小值。

C

模型证明

证明思路：①BE在ABEC中，以A。为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点A作AF//BC,且AF=BC=6。（构造一边一角，得全等）；

③构造出XBEC名AADF（SAS）；证出CE=FD；

@CD+CE=CD+FD,根据两点之间，线段最短，连接CR则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线;

⑤求尸C。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明尸C=A3也可。

模型运用

例1.（23-24八年级上•北京朝阳・期末）如图，R/AABC中，ZACB=90°,ZB^30°,D,E为A3边上的

两个动点，且=连接CD,CE,若AC=2,则CD+CE的最小值为.

例2.（23-24八年级下•黑龙江哈尔滨•期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和凡连接BE

和3/，^AE=CF,AC-AB=9,AC—BC=2,则3E+3尸的最小值是.

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）

模型解读

特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。

条件：已知在矩形ABC。中，AD=a,AB=b，点、E、尸是边BC、8。上的动点，且满足

求AE+AE的最小值。

模型证明

证明思路：①BE在AABE中，以。尸为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点A作/EDG=NABE=90。，且DG=AB=6。（构造一边一角，得全等）；

③构造出AABE且△GZ）尸（SAS）；证出AE=FG；

④AF+AE=AF+FG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为所求，止匕时，A、F、G三点共线；

⑤求AG。先利用相似求出。X和8G（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两

条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。

模型运用

例1.（2023•山东德州•校考一模）如图，在菱形ABCD中，/ABC=60。，AB=4,E,尸分别是边2C和

对角线50上的动点，且=f，则A£+AF的最小值为

例2.（2023・陕西西安・模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E、下分别是边8C和对角线

3。上的例2.动点，且BE=DF,则A£+AF的最小值是.

例3.（2024・福建南平.一模）如图，在菱形A8CQ中，AB=2,NABC=120。，点E,F分别在AB,CD±,

且DF=BE,连接DE,AF,则DE+AF的最小值为

模型5.最值模型-加权逆等线模型

模型解读

条件：已知在VABC中，ZACB=a，AB=a,AC=6,点及。是线段AB、8C上的动点，且满足8E"

xA£）,

求AE+QC。的最小值。

模型证明

证明思路：①在AAOC中，以2E为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似;

②即过点B作NE8P=/ZMC=90。，且BF=kxAC=kb。（构造一边一角，得相似）;

③构造出△E2F丝ZX/MC(SAS)；证出EF=kxDC；

@AE+k^CD=AE+EF,根据两点之间，线段最短，连接AE则AF即为所求，此时，A、F、E三点共线;

⑤求A凡^MZGBF=ZACB=a,再利用三角函数求出BG和尸G,最后利用勾股定理求出A尸即可。

模型运用

例1.（24-25九年级上•四川成都•阶段练习）如图，在等边VABC中，BC=6,E,尸分别是边AB、AC上

的动点，且满足C「=23E,则3尸+2CE的最小值为；

例2.（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,E、歹分别为BC、

CO上的动点，且BE=2DR,则DE+2AF的最小值为.

例3.（2024•四川成都•校考一模）如图，平行四边形ABCD,AB>AD,AD=4,ZAZ>B=60。，点E、F为

对角线8。上的动点，DE=2BF,连接AE、CF,则AE+2b的最小值为.

例4.（2024・吉林•模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=4,NABC=60。，点E,尸分别是3。，CD±

的点，若BE=2CF,则,+净的最小值是一.

BC

习题练模型

1.（23-24九年级上.河南安阳•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和尸，连接BE

和BF,若AE=CF,AC-AB=4,AC-BC=2,则3E+3尸的最小值是（）

A.4B.10C.6D.20

2.（2024•河南商丘•八年级期中）如图，等边AABC中，为BC边上的高，点M、N分别在A。、AC上,

且AM=CN,连3M、BN,当最小时，的度数为（）

A.15°B.22.5°C.30°D.47.5°

3.（23-24八年级下.安徽安庆•期末）如图，正方形ABCD的边长为4,点E,尸分别是BC,C。边上的动

点，且=（1）若比=CF=1,则AE+A^=；（2）/场+”的最小值为

4.（2024•四川绵阳•三模）在Rt/XABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。，E分别为AB,8C上的动点,

且AB=3日当AE+CD的值最小时，CE的长为.

A

D

5.（23-24八年级下•江苏宿迁•期末）如图，边长为2的菱形ABCD中，ZABC=60°,E,尸分别是AO,BD

上的动点，DE=BF,连川，CE,则AE+CE的最小值为.

6.（23-24八年级上•四川成都・期末）在VABC中，N54c=90。，AB=5,AC=y,D,E分别为射线BC

与射线AC上的两动点，且BD=AE,连接AD,BE,则AD+3E最小值为；|相）-即的最大值为.

7.（2024•陕西西安•二模）如图，正方形ABCD的边长为2,E、歹分别是对角线AC和边C。上的动点，满

足AE=£＞尸.当BE+8B=2有时，线段CP的长度为一.

8.（2024.四川宜宾・中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=4,E、尸分别是边CD、AD±.

9.（2024湖北武汉.二模）如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE

=2DF,若AB=1,BC=2,则ME+2AF的最小值为

10.（23-24九年级上•福建福州・期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=20，BC=6,ZADC=120°,

点、E,F分别在边AD,AB上运动，且满足BF=6DE,连接BE,CF,则CF+y/iBE的最小值是

11.（2024•黑龙江绥化•模拟预测）如图：等边三角形ABC中，AB=1,E、E分别是边AB、AC上的动点,

且CR=23E,则政+2CE的最小值为.

A

12.（2024・山东济南・二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的动点，且3E=2CF,

若AB=1,则DE+2BF的最小值是.

13.（23-24九年级上•陕西咸阳•阶段练习）如图，在44BC中，AB=4,AC=6,以点5为直角顶点、BC

为直角边向下作直角△BCD,且3C=2BD,连接AQ,则AD的最大值是

14.（23-24九年级上•四川成都・期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E,尸分别是AC,CD

ApSS

上的动点，且而，连接BE,3尸，当E为AC中点时，贝UBE+M=；在整个运动过程中，BE+tBF

15.（2024・广东深圳•模拟预测）如图，在菱形ABCD中，ZA=2ZB,钻=2,点£和点尸分别在边AB和

边BC上运动，且满足=则。P+CE的最小值为（）

C.2骄D.6

16.（23-24九年级上•四川成都・开学考试）如图，在矩形中，AB=2,ZACB=30°,P,。分别为对

角线AC边CO上的两点，且AP=C0,3P+3Q的最小值为.

17.（2024•江苏连云港•中考真题）【问题情境】

（1）如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面

积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2）,这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的

倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；

图1图2

【操作实践】(2)如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边。、b、c、1之间存在某种数量关系.小

昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点

产为端点的四条线段之间的数量关系；

【探究应用】(3)如图5,在图3中“④”的基础上,小昕将△产□?绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中NDAP

存在最大值.若PE=8,PF=5,当NZMP最大时，求的长;

(4)如图6,在Rt/VlBC中，ZC=90°,点E分别在边AC和8c上，连接DE、AE、BD若AC+CD=5,

BC+CE=8,求AE+8Z）的最小值.

18.(2024・安徽池州•模拟预测)如图，已知抛物线丁=-；/+泳+。与x轴交于A、8(4,0)两点，与y轴交

于点CQ2).点尸为第一象限抛物线上的点，连接C4,CB,PB,PC.

(1)直接写出结果：b=；。=；点人的坐标为；tanZABC=；

(2)如图1,当/PCB=2/OG4时，求点尸的坐标；

(3)如图2,点。在V轴负半轴上，OD=03,点。为抛物线上一点，/。8。=90。.点E,尸分别为

的边OQ,£>8上的动点，且QE=。尸，求8E+Q尸的最小值.

图1图2备用图

专题36最值模型之逆等线模型

最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各

类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试

题分析，方便掌握。

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模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..........................................1

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）..............................................3

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）..............................................4

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）......................................5

模型5.最值模型-加权逆等线模型..............................................................7

习题练模型

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例题讲模型］

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）

模型解读

逆等线：AABC中，D、E分别是A3、AC上的动点，S.AD=CE,即逆向相等，则称和CE为逆等线。

逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。

模型证明

条件：如图，在zVlBC中，ZABC=a,BC=m,AC=w,点。、E分别是AB、AC上的动点，MAD=CE,求

CD+BE的最小值。

证明思路：①在AADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

②即过点C作CFHAB,且CP=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出“OC0（SAS）；证出EF=CD；

@CD+BE=EF+BE,根据两点之间，线段最短，连接8/，则即为所求，此时，B、E、尸三点共线；

⑤求8八构造直角三角形求出BG和BG,再利用勾股定理求出8尸即可。

模型运用

例1.（23-24九年级上•广东广州•期中）在等边三角形VABC中，边A8上的点。从顶点A出发，向顶点8运

动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D,E两点运动速度的大小相等，^x=AD,

y=AE+CD,y与无的函数图象如图，图象过点（0,4）,则图象最低点的纵坐标是（）

C.273-1D.2A/3

【答案】D

【分析】结合函数图像，当x=0时，y=4,求得等边三角形的边长，证明AADC&A8E4,得出

y=AE+CE=2AE,当AE_L3C时，AE最小，勾股定理即可求解.

【详解】当％=0时，y=AE+CD=AB+AC=4f♦三角形A3C是等边三角形，：.AB=BC=2,

•；AD=BE,ADAC=NEBA=60°,AC=BA,；.^ADC^BEA,

y=AE+CE=2AE,当AE_L8C时，AE最小，最小值为JAB?-AB)=^-AB=43,

的最小值为2g,即图象最低点的纵坐标是2相，故选：D.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，求得等边三角形的边长是解题的关键.

例2.(23-24九年级上•江苏无锡•期末)如图，在等腰AABC中，AB=AC=5,BC=6,点D、E分别是AB、

AC上两动点，且AD=CE,连接CD、BE,CD+BE最小值为.

【答案】历

【分析】过点A作BC,>AH=BC,连接。X,由题意易得进而可证

则有CD+BE=CD+HD,当CD+BE为最小时，即CD+HO为最小，当点C、。、”三点共线时即为最小，连

接CH,交于点过点M作MNLBC于点N,点A分别作于点忆如图所示，即C8的长度

113

为CD+BE的最小值，然后可得AHW/则有MN=—AF=2,BN=NF=—BF=—,

222

9

CN=CF+NF=-,然后问题可求解.

2

【详解】解：由题意可得如图所示：

\'AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZHAD=ZBCE,

'：AD=CE,:.△HAD也ABCE(SAS),：.HD=BE,：.CD+BE=CD+HD,

.•.当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小,

二当点C、。、“三点共线时即为最小，连接CH,交A8于点M,过点M作MN,8c于点N,点A分别作

AFL8C于点居如图所示，即C”的长度为CO+BE的最小值，

VAB=AC=5,BC=6,；.BF=CF=3,/.AF=^AB2-BF2=4-

AH//BC,：.ZHAM=ZB,；NHMA=NCMB,

:.AHAM%CBM(A4S),：.AM=BM=-,HM^CM=-HC,

22

113

•：AF//MN,点M是AB的中点，:.MN=—AF=2,BN=NF=—BF=—，

222

ACN=CF+NF=^,.：在&AMNC中,CM=yjMN2+CN2=,

CH=2CM=屈，：.CD+BE的最小值为历；故答案为屈.

【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之

间线段最短进行求解即可.

例3.(23-24九年级下.广东广州•阶段练习)如图，在RtZ^ABC中，AB=3,AC=4,ABAC=90°,D,E

分别是边AB,AC上的动点，且BD=AE,则CD+BE的最小值为.

【答案】屈

【分析】本题考查了正方形和矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过8作枷，4?,

使3N=AB=3,连接DN,CN,作M0，AC交C4延长线于点M,证明四边形4VWB是正方形，由勾股

定理得CN=1MN?+C”=打+72=屈，然后证明△及石丝ANBDGAS),当N,。，C三点共线时，

CD+8E有最小值耳，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】过8作使m=AB=3,连接DN,CN,作MlJ_AC交6延长线于点”，

ZAMN=ZMAB=ZABN=90°,四边形AMA啰是矩形，:.BN=AB,

四边形AMA®是正方形，=AEV=3,CM=7,CN=QMN?+CM?=j3?+7?=屈，

VBD=AE,/BAE=NNBD=90。,AB=BN,；.ABAERNBD（SAS）,

：.BD=BE,/.ND+DC>CN,即CD+BENCN,

当N,D,C三点共线时，CD+BE有最小值可，故答案为：758.

例4.（24-25八年级上•四川成都・期中）如图，在VABC中，ZABC=45°,/&LC=75。，AC=2,点E与

点。分别在射线BC与射线AD上，且=则AE+3D的最小值为,AE+ED的最小值为.

【答案】3五46

【分析】先根据已知条件求得各边数据,然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当。在上时，

取得最小值，如图所示，过点M作交出的延长线于点N,进而勾股定理即可求解；对于AE+EZ）,

构造等边三角形，进而即可求解.

【详解】如图所示，过A作AFIBC交BC的于尸，

VZABC45°,ZBAC=75。,：.ZACB=180°-45°-75°=60°AZCAF=30°,ZABC=ZBAF=45°,

"：AC=2,：.CF=^AC=1,AF=BF=>jAC2-CF2=73AB=y/AF2+BF2=46

如图所示，作NM4D=45。且AM=AB,连接£>Af,BM,AB=AM,ZABE=ZMAD=45°,BE=AD

：.AABE^AM4D（SAS）/.AE=DM，BD+AE=BD+DM>BM,

当。在BM上时，即+AE取得最小值，如图所示，过点M作脑交54的延长线于点N,

ZBAD=75°,Z.DAM=45°ZNAM=60°,ZAMN=300'：AB=AM/.ZABM=30°

：AM=AB=而在Rt&WM中，AN=-AM=—,：.MN=y[3AN=^-

222

:.BM=2MN=3及,即钻+应）的最小值为人历；

如图所示，作A关于的对称点J,连接则

AB=AM,ZBAM=120°AB=AM则ZABM=ZJBM=30°ZABJ=60°,

,/对称，；.BA=BJ：.“ABJaAMJ都是等边三角形，连接EJ,DJ,

•：AABE当41AD,：.ZBAE=ZAMD,贝=

又•/AJ=JM,AE=MD:.AEAJ'DMJ：.ZEJA=NDJM,EJ=DJ

：./R7D=/ATM=60。.是等边三角形，AE+ED=AE+EJ>AJ

...当E在A7上时，AE+ED=AJ,如图所示

此时AE+ED取得最小值，最小值AJ=AB=n故答案为：3应，瓜.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段

最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键.

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）

模型解读

条件：已知三角形A8C中，AB=a,BC=b,C。为高，CE=BF,求AF+BE的最小值。

模型证明

证明思路：①CE在ABEC中，以8尸为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等;

②即过点8作BG//CE,且BG=BC=6。（构造一边一角，得全等）;

③构造出(SAS)；证出EB=FG；

④AF+BEMF+PG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线;

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

模型运用

例1.(2024・安徽合肥.一模)如图，为等边"BC的高，E、尸分别为线段A。、AC上的动点，且AE=

CF,当BP+CE取得最小值时，ZAFB=

A.112.5°B.105°C.90°D.82.5°

【答案】B

【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明"EC丝△CM,得CE=FH,将CE转化为FH,与BF

在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点P的位置，即尸为AC与的交点时，BF+CE的值最

小，求出此时乙4尸8=105。.

【详解】解:如图，作C//L2C,且C8=BC,连接交AD于M,连接产

•.,△ABC是等边三角形，AD±BC,：.AC=BC,ZDAC=30°,：.AC=CH,

,：ZBCH=90°,ZACB=60°,：.ZACH=9O°-60°=30°,：.ZDAC=ZACH=3>0°,

•：AE^CF,：./\AEC^/\CFH,:.CE=FH,BF+CE=BF+FH,

当F为AC与的交点时，如图2,Bb+CE的值最小，

此时NPBC=45°,ZFCB=60°,：.ZAFB=105°,故选2.

图2图1

【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当

3F+CE取得最小值时确定点E的位置，有难度.

例2.（2023・四川成都•一模）如图，在三角形V45C中，ABAC=50°,AB=AC,8Z）_LAC于。，M,N

分别是线段3。，8C上的动点，BM=CN,当AM+4V最小时，ZMAD=.

【分析】在8C下方作ACA^,使AQMNABMA,连接A41则4W+4V最小值为A4',止匕时A、N、A三点

1ono_inco

在同一直线上，推出Z4'AC=/A'=----------------=37.5。，所以㈤M=37.5。，即可得到

2

ZMAD=ZBAC-ZBAM=50°-37.5°=12.5°.

【详解】解：在5C下方作△皈，，使/△BM4,连接AV.

贝l)Z/VC4'=ZMR4,AM=AN.AAM+AN=AN+AN>AA,

即AM+4V最小值为4V,此时A、N、A三点在同一直线上.

VZBAC=5009AB=ACf：.ZACB=ZABC=65°,

BD1AC,ZABD=90°-50°=40°,ZNCA=40°,ZACA=65°+40°=105°,

1QQO_105。

ZA'AC=ZA'=---------------=37.5°,ZBAM=37.5。，

2

ZMAD=ZBAC-ZBAM=50°-31.5°=n.5°,故答案为：12.5°.

【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑

线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

例3.（2024•四川乐山•二模）如图，等腰AABC中，ZBAC=100°,8D平分/ABC,点N为80上一点，点

加为8C上一点，且BN=MC,若当+AN的最小值为4时，AB的长度是

【答案】4

【分析】由等腰AABC中，Z&4C=100°,可得ZABC=/ACB==的。,由比）平分/ABC,可

得NABO=gNABC=20。，如图，作NBCE=NABD=20。，使CE=AB,连接加，贝1J

ZACE=ZACB+ZBCE=60°,证明ACEM丝AB4N（SAS）,则ME=4V,CE=AB,AM+AN=AM+ME,

可知当A、M,E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4,证明"CE是等边三角形，贝UAC=AE=4,进

而可求.

【详解】解：：等腰“BC中，ZBAC=100°,/ABC=/ACB=幽二也2=40。，

2

：8。平分/ABC,Z.ZABD=|ZABC=20°,如图，作NBCE=NASD=20。，使CE=AB,连接EM,

/.ZACE=ZACB+ZBCE=60°,VCE=AB,ZBCE^ZABD,MC=BN,

/.ACEM=ABAN(SAS),ME=AN,CE=AB,AM+AN=AM+ME,

...当A、M、E三点共线时，+最小，即AE=4,

VCE^AC,ZACE=60°,；.△ACE是等边三角形，；.AC=AE=4,AAB=4,故答案为：4.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质

等知识.熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是

解题的关键.

模型3.最值模型-逆等线模型(同边上的逆等线)

模型解读

条件：已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=a,点、E、。是线段A8上的动点，且满足

求CD+CE的最小值。

证明思路：①BE在ABEC中，以为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等;

②即过点A作AF//BC,且A尸=BC=6。（构造一边一角，得全等）；

③构造出4BEC沿AADF（SAS）；证出CE=FD；

@CD+CE=CD+FD,根据两点之间，线段最短，连接CT,则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线;

⑤求PC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明也可。

模型运用

例1.（23-24八年级上•北京朝阳•期末）如图，中，ZACB=90°,ZB=30°,D,E为AB边上的

两个动点，且=连接CD,CE,若AC=2,则CD+CE的最小值为.

【答案】4

【分析】过点A,B分别作AC的垂线和8c的垂线交于点"，连接MC,ME,先证△ACBZ/WBC,得

AB^MC,再证A。⑦丝AMBE,得CD=ME,进而得出CD+CE=ME+CE,当C,E,M三点不共线时，

ME+CE>MC；当C,E,M三点共线时，ME+CE=MC,然后根据直角三角形中，30。的角所对的直

角边等于斜边的一半求出AB的值，从而得出结果.

【详解】过点A,8分别作AC的垂线和BC的垂线交于点“，连接MC,ME,

■：ZACB=90°,MA±AC,..AM//CB,,:MBIBC：.AC〃MB,AC=MB,■.ZCAB=ZMBA,

■：BC=CB,ZACB=ZAffiC=90°,AACB^MBC,AB=MC,

■：AD=BE,^CAD^iMBE,■-CD=ME,■-CD+CE=ME+CE,

当C,E,M三点不共线时，ME+CE>MC-,当C,E,M三点共线时，ME+CE^MC.

CD+CE的最小值是MC的长，Z5=30°,ZACB=90°,AB=2AC,

VAC=2,AB=4,■-MC=AB=4,CD+CE的最小值是4.故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助

线找出恰当的全等三角形是解本题的关键.

例2.（23-24八年级下•黑龙江哈尔滨•期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和尸，连接破

和3尸，若AE=CF,AC-AB^9,AC-BC=2,则仍+3歹的最小值是.

D

【答案】17

【分析】如图，连接Db,BD,由全等三角形判定(SAS)可以证得△ABE0ACD7L得到DF=BE,进而

得到5E+9'23。，再根据题意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案.

【详解】解：如图，连接。尸，BD,

,•・四边形ABCD是矩形，:.AB//CD,AB^CD,ZABC=90°,:.NBAE=NDCF,

■.■AE=CF,:.AABEMACDF(SAS),:.BE=DF,vBF+DF>BD,:.BE+BF>BD,

又••・AC,80为矩形的对角线，=3D;.3E+M2AC,

•.•△ABC是直角三角形，AC-AB=9,AC—BC=2,.-.AB2+BC2=AC2,

：.(AC-9)2+(AC-2)2=AC2移项得AC2-22AC+85=0,

配方得4。2—224。+121=121—85,(AC-11)2=36,解得AC=17,或AC=5

­.•AC-AB=9>5,.-.AC=17,:.BE+BF>11,故答案为：17.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一

元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键.

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）

模型解读

特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。

条件：已知在矩形ABC。中，AD=a,AB=b,点、E、F是边BC、2。上的动点,且满足BE=DF,

求AB+AE的最小值。

模型证明

证明思路：①BE在母488中，以。尸为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等;

②即过点A作/EDG=NABE=90。，且DG=AB=6。（构造一边一角，得全等）；

③构造出△ABEg/kG。尸（SAS）；证出AE=FG-,

@AF+AE=AF+FG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为所求，止匕时，A、F、G三点共线；

⑤求AG。先利用相似求出。”和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两

条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。

模型运用

例1.（2023•山东德州•校考一模）如图，在菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=4,E,尸分别是边8C和

对角线80上的动点，且=则A£+AF的最小值为.

BEC

【答案】40

【分析】在3c的下方作NCBT=30。，截取BT,使得BT=AD,连接ET,AT.证明ZViZ)尸也ATOdSAS),

推出AF=£T,AE+AF=AE+ET,根据AT求解即可.

【详解】解：如图，8c的下方作NCBT=30。，截取2T,使得BT=4D,连接ET,AT.

,•・四边形A8CD是菱形，ZABC=60°,ZADC=ZABC=O)°,ZADF=^ZADC=30a,

■,AD=BT,ZADF=ZTBE=30°,DF=BE,...△AD尸2△TBE(SAS),,-.AF=ET,

ZABT=ZABC+Z.CBT=60°+30°=90°,AB=AD=BT=2,

AT=+B『=G+4,=40,:.AE+AF=AE+ET,

AE+ET>AT,:.AE+AF>4yf2.，?!£；+AF的最小值为40,故答案为40.

【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

例2.(2023•陕西西安・模拟预测)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E、下分别是边8C和对角线

8。上的例2.动点，且BE=DF,则AE+瓶的最小值是.

A^---------------------

E

27985

-5--

【分析】设点。关于3C的对称点为G,在BG上截取=连接£77,可证从而

AF=EH,^^AE+AF=AE+EH>AH,A、X都是固定点，过点H作H0_LAB于点M,结合相似三角

形和勾股定理即可求得，

【详解】如图，设点。关于8C的对称点为G,在BG上截取=连接EH,过点H作于

点跖

,四边形ABCD是矩形，AB=CD=6,3C=AT>=8,AD//BC,：.ZADF=ZDBC,

VDC=CG,BC1DG,：.BD=BG,:.NDBC=4CBG,：.ZADF=ZHBE,

VDA=BH,DF=BE,：.^ADF=^HBE,：.AF=EH,：.AE+AF=AE+EH>AH,

在RtABCD中，BD=46+G=10,<HM上AB,：.NBHM=/G=/BDC=9Q°—/CBG：.ABHM〜GBC,

.BMMHBH.BMMH82454

BM=—,MH=-^,：.AM=AB+BM=6+——=——

''CD~BC~DB'"6-8"1055

在Rt^AMH中，AH=y/AM2+MH2=+］曰=3等,/.AE+AF的最小值是劣等.

故答案为：马叵生.

5

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角