2025年中考数学总复习《与等腰（边）三角形有关的线段相等问题》专项测试卷（含答案）

2025年中考数学总复习《与等腰（边）三角形有关的线段相等问题》专项测试卷

含答案

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知识与方法

1.角平分线+垂线构造等腰三角形

2.角平分线+平行线构造等腰三角形

3.等边三角形的三边相等

典例精析

例1如图1-1-35,在矩形ABCD中,NABC的平分线BE与AD交于点E,ZBED的平分线EF与DC交于

点F若AB=12,DF=2FC,则BC的长是_______.

【简析】解法一：角平分线+平行一等腰三角形如图1-1-36,延长BC,EF交于点G设CG=a,

A____________ED

8忆----------------------

图1-1-36

由ACGF^ADEF得DE=2a,・•.AD=12+2a.由AD〃BC,EF平分/BED得BE=BG.

•••12+2a+a=12A/2.

•••a=4^2—4.

•••BC=12+2a=12+8V2-8=8V2+4.

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解法二：角平分线+双垂直

如图1-1-37过点F作FGXBE于点G,连接BF.

图1-1-37

设DE=a，等积法：SBEF=SR-S-S,X12应x8=+12+a)X12-X8a-|x

四世彬BLDHBCFDEFZZNN

4(12+a),

a=8V2—8.BC=12+a=8V2+4.

解法三：角平分线+对称两边一全等

如图1-1-38,在AD的延长线上截取.EB,=BE,连接FB,FB：设DE=a.

2

(12+a)2+42=(12V2-a)+82.

解得a=8/—8.

BC=12+a=8V2+4.

解法四：倍半角

图17-39

由图1-1-39②易得tan22.5。=卷=/一1如图1-1-39①，在RtADEF中，tan22.5。=署=等=鱼一

1..-.DE=842-8.

BC=AD=12+(8&-8)=8V2+4.

例2已知AABC是等边三角形，点D,E分别在直线BC,AC上.

⑴如图1-1-40①，当BD=CE时，连接AD与BE交于点P,则线段AD与BE的数量关系是;ZAPE

的度数是.

(2)如图②，若“BD=CE"不变,AD与EB的延长线交于点P,那么⑴中的两个结论是否仍然成立？请说明理由.

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⑶如图③，若AE=BD,连接DE与AB边交于点M.求证:M是DE的中点.

图1-1-40

【简析】(1)利用等边三角形的性质结合已知，证明AABD0ABCEISAS)即可解决问题.

⑵结论"AD=BE,/APE=60。”仍然成立利用等边三角形的性质结合已知，证明△ABDgABCE(SAS)即可解决问

题.

(3)过点E作EF〃:BC交AB边于点F.证明AMEF四△MDB即可解决问题.

解:(1)AD=BE60°

⑵结论"AD=BE,/APE=60。”仍然成立理由如下:如图1-1-410,

图1-1-41

「△ABC是等边三角形，

AB=BC,ZABC=ZACB=60°.

ZABD=ZBCE=120°.

又：BD=CE,

/.AABD^ABCE(SAS).

AD=BE,ZBAD=ZCBE,ZADB=ZBEC.

XZAPE=ZADB+ZDBP,ZACB=ZCBE+ZCEB=60°,ZDBP=ZCBE,

ZAPE=ZACB=60°.

(3)证明:「△ABC是等边三角形，

ZA=ZABC=ZACB=60°.

如图1一1一41②过点E作EF〃BC交AB边于点F.

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A

图1-1-41

/.ZAFE=ZABC=60°,ZAEF=ZACB=60°.

.•.△AEF是等边三角形.

；.EF=AE.

VAE=BD,

/.EF=BD.

：EF〃BD,

ZEFM=ZDBM.

,/NEMF=NDMB,

AMEF^AMDB(AAS).

；.EM=DM,M是DE的中点.

进阶训练

1.如图1-1-42,在AABC中,AB=3AC,NBAC的平分线交BC于点D.过点B作8£，人口,垂足为£,求

证:AD=DE.

2.如图1-1-43,AB〃CD.BE平分/ABC,CE平分/BCD,若E在AD上.

3.问题:如图1-1-44,在nABCD中,AB=8,AD=5,/DAB,/ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求

EF的长.

答案:EF=2.

探究:⑴把“问题”中的条件“AB=8”去掉其余条件不受

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①当点E与点F重合时，求AB的长;

②当点E与点C重合时，求EF的长.

⑵把“问题”中的条件“AB=8,AD=5"去掉，其余条件不变，当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时，求华的

值.

图1-J.-44

4.如图1-1-45,在AABC中,/ACB=2NB,/BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点，过H作直

线UAO于点H,分别交直线AB,AC,BC于点N,E,M.

⑴当直线1经过点C时（如图①）,求证:BN=CD;

（2）当M是线段BC的中点时（如图②），写出线段CE和线段CD之间的数量关系，并证明.

图1-1-45

5.如图1-1-46QABC是等边三角形,CE是Z1ABC的外角/ACM的平分线，点D为射线BC上一点目/

ADE=ZABC,DE与CE相交于点E.

⑴如图①,如果点D在边BC上.求证:AD=DE.

⑵如图②,如果点D在边BC的延长线上那么⑴中的结论“AD=DE”还能成立吗?请说明理由.

⑶如果AABC的边长为4,且NDAC=30。,请直接写出线段BD的长度（无需写出解题过程）.

图1-1-46

6.如图1-1-47,在RtAABC中,NACB=9（F,/A=60o,M为AB中点,D为边AB上一动点，在CD右侧作等边

三角形CDE,直线DE与直线CB交于点F,连接BE.

⑴如图①，当点D与点M重合时，求证:CE=BE.

（2）如图②，当点D在线段AM（不包括端点A,M）上时,CE=BE是否仍然成立？请说明理由.

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cE

DM

①②

图1-1-47

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答案

进阶训练I

1.证明:如图延长AC,BE交于点F,取CF的中点G,连接EG.

在z\ABE和2kAFE中，

NBAE=/FAE,

<AE=AE,

NBEA=NFEA=90°,

・•・AABE^AAFE(ASA).

・・・AB=AF,BE=FE.

又・.,AB=3AC,

・・・AF=3AC.

ACF=2AC.

又CG=FG,

AAC=CG=FG.

在ABCF中，

,.,CG=FG,BE=FE,

・・・EG〃BC.

又・.,AC=CG,

二•AD=DE.

2.解:解法一:如图，在BC上取点F,使BF=BA,连接EF.

AB=FB,

在4ABE和4FBE中

BE=BE,

：.AABE^AFBE(SAS).

AZA=Z5.

•・・AB〃CD,

・・・NA+ND=180。.

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.\Z5+ZD=180.

VZ5+Z6=180°,

AZ6=ZD.

(Z6=乙D,

在ACFE和ACDE中.Z3=Z4,AACDE^ACFE(AAS).

ICE=CE,

ACF=CD.

•「BOBF+CF,

・・・BC二AB+CD.

BFC

解法二过点E作AB的平行线EF与BC交于点F,可知AB,EF,CD互相平行，由BE平分/ABC,易得BF=EF,

由CE平分/BCD易得CF二EF,所以BF二CF.根据平行线分线段成比例，可得EF是梯形ABCD的中位线，推出

AB+CD=2EF,进而可得BC=AB+CD.

3.解:⑴①如图①所示:

•・.四边形ABCD是平行四边形，

CD=AB,BC=AD=5,AB//CD.

・•・ZDEA=ZBAE.

VAE平分NDAB,

・•・ZDAE=ZBAE.

・•・ZDEA=ZDAE.

二•DE二AD=5.

同理:BC=CF=5.丁点E与点F重合,

・・・AB=CD=DE+CF=10.

②如图②所示：

___N。⑹

AB

②

'・•点E与点C重合,・・・DE=DC=5.

易得CF=BC=5,・••点F与点D重合.

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，EF=DC=5.

⑵分三种情况：

①如图③所示：

同(1)得:AD=DE,

VC,D,E,F相邻两点间的距离相等,

An1

.・.AD=DE=EF=CF.

AB3

②如图④所示:

同(1)得:AD=DE=CF,

,/DF=FE=CE,

•_A_D.—_2■

''AB~3r

③如图⑤所示：

同(1)得:AD=DE=CF,

VDF=DC=CE,/.ADB=2.

综上所述，笫；的值为［或|或2.

4.解：(1)证明:连接ND,如图①所示:

©

VAO平分NBAC,

ZBAD=ZCAD.

.直线1-LAO于点H,

ZAHN=ZAHE=90°.

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・•・NANH二NAEH.

AAN=AC.

.*.NH=CH.

・・・AH是线段NC的垂直平分线.

ADN=DC.

・•・ZDNH=ZDCH.

JZAND=ZACB.

ZAND=ZB+ZBDN,ZACB=2ZB,

・・・NB=NBDN.

・・・BN=DN.

二•BN=DC.

⑵当M是BC中点时,CE和CD之间的数量关系为CD=2CE理由如下：

过点C作CN'XAO交AB于N,过点C作CG/7AB交直线1于点G,如图②所示.

VCG//AB,

:.NANE=NCGE,NB=NBCG.

易得AAHN也"明

ZANE=ZAEN.

・•・ZCGE=ZAEN.

.'.CG=CE.iSnNN^G中，NN'=CG,

・•.NN'=CE.

•・・M是BC中点，

JBM=CM.

Z-B—Z-BCG,

在△BNM和^CGM中BM=CM,

/NMB=乙GMC,

：.ABNM^ACGM(ASA).

・・・BN=CG.

・・・BN=CE.

由(1)彳导BN'=CD,

•••CD=BN'=NN'+BN=2CE.

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5.解:⑴证明:如图①，在AC上截取CN=CD.连接DN.

①

:△ABC是等边三角形，

.*.ZACB=ZB=60°.

•••△CDN是等边三角形.

・•・ND=CD=CN,ZCND=ZCDN=60°.

・•・ZAND=120°.

・・・ZADE=ZB=60°,

:.ZADE=ZNDC.

・•・ZADN=ZEDC.

VCE平分NACM,

JZACE=60°.

・••乙DCE=120°=乙AND.

在4ADN和AEDC中，

ZADN=乙EDC,

DN=DC,

ZAND=乙ECD,

：.△ADNdEDC(ASA).

・・・AD=ED.

⑵结论仍然成立.理由如下：如图②，在AC的延长线上截取CN二CD,连接DN.

②

VAABC是等边三角形，

JZACB=60°.

JZDCN=60°.

.•.△CDN是等边三角形.

.*.ND=CD=CN,ZCND=ZCDN=60°.

VCE平分NACM,

・•・ZACE=ZDCE=60°.

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・•・ZECD=ZAND.

ZADE=ZB=60°,

JZADE=ZCDN.

JZADN=ZEDC.

在2kADN和/kEDC中，

/ADN=/EDC,

JND=C。，

、/AND=/ECD,

・・・AADN^AEDC(ASA).

AAD=DE.

(3)BD的长度为2或8.

［解析］当点D在线段BC上时，

VAABC是等边三角形，