2025年中考数学总复习《圆与反比例函数》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《圆与反比例函数》专项测试卷（附答案）

学校:班级：姓名:考号：

一'选择题（每题3分，共24分）

1.如图，一次函数y=2x与反比例函数y=]（k>0）的图象交于A,B两点，点P在以C（-2,0）

已知OQ长的最大值为，则k的值为（）

C.32D

25-I

2.如图，点A（1,2）在反比例函数y=4（x>。）上,B为反比例函数图象上一点，不与A重合，当

以OB为直径的圆经过A点，点B的坐标为（)

A.(2,1)B.(3,1)C.(4,0.5)D.(5,0.4)

3.如图，P（%,y）（久>0）是反比例函数y=四的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP长为半径的圆与x

JX

轴相交于点4延长OP交OP于点B,连结AB,则AOAB的面积为（）

B.2V3C.V3D.2

4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=[（k>0,x>0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为

半径作圆，当。A与x轴相切、OB与y轴相切时，连结AB,AB=4遮，则k的值为（)

y

A.3B.4V2C.4D.5

5.如图，已知在平面直角坐标系元0y中，。为坐标原点，点P是反比例函数（x>0）图象上的一个

动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为A、B,当弦的长等于2b时，点P

的坐标为（）

A.（1,6）和（6,1）B.（2,3）和（3,2）

C.（V2,3V2）和（3V2,V2）D.（V3,2V3）和（2百，翼）

6.如图，点PQ,/^0，（^是反比例函数了二堂的^^的图象上的一个动点，以点P为圆心，0P为半径

的圆与x轴交于点4延长0P交圆P于点B,连结AB,贝必。4B的面积是（）

A.3B.2V3C.V3D.亨

7.如图，RtAOBC的斜边08落在x轴上，A0CB=90°,CO=CB=2^2,以。为圆心.08长为半径

作弧交OC的延长线于点D,过点C作CE||0B,交圆弧于点E.若反比例函数y=］（kA0,%>0）的图像

经过点E,则k的值是（)

A.3A/3B.3A/5C.4^3D.4V5

8.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于4、3两点，分别以A、3两点为圆心，画与无轴相切

的两个圆，若点A的坐标为（2,1）,则图中两个阴影部分面积的和是（）

A.；兀B./兀C.7iD.47r

二'填空题（每题3分，共15分）

9.如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=［图象上的点点3为顶点，分别作菱形AOCD

和菱形。3斯，点。，E在x轴上，以点。为圆心，0A长为半径作弧AC,连接BE则阴影部分面积之

和为•

10.如图，点A（7/,7V2）,过A作AB，x轴于点B,C是反比例函数y=?图像上一动点且在△AOB

内部，以C为圆心鱼为半径作。C,当。C与AAOB的边相切时，点C的纵坐标是

11.如图，一次函数y=2x与反比例函数y=[(k>0)的图象交于A,B两点，点M在以C(4,0)为圆心，半

径为2的0c上，N是BM的中点，已知0N长的最大值为3,则k的值是

12.如图，0A在x轴上，0B在y轴上，0A=8,AB=10,点C在边0A上，AC=2,OP的圆心P在线段

BC上，且。P与边AB,A。都相切.若反比例函数y专传0)的图象经过圆心P,则k=--------------

13.在平面直角坐标系xOy中，直线y=血％+)1分别交y轴负半轴，反比例函数y=[(k>0,久〉0)的

图象于点A,B,以B为圆心，AB长为半径画弧，交平行于x轴的直线AE于点C,作CD垂直于x轴交

反比例函数y=-(fc>0,%>0)的图象于点D.若累=|,ABCD的面积为2,则k的值等于_________.

XC//1乙

三'解答题(共7题，共61分)

14.如图，已知一次函数以=kx+b的图像与反比例函数为=2的图像交于点4(-3,九)，且与y轴交于点

4X

B,第一象限内点C在反比例函数为=1的图像上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D,

B.

(2)求一次函数的表达式；

(3)当当<以时，直接写出x的取值范围.

15.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，P是反比例函数y=乌(x>0)图象上任意一点，以

X

P为圆心，P0为半径的圆与X轴交于点A、与y轴交于点B,连接AB.

(1)求证：P为线段AB的中点；

(2)求小AOB的面积.

16.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，P是反比例函数y=^.(%>0)图象上任意一点，以P

为圆心，PO为半径的圆与X轴交于点A、与y轴交于点B,连接AB.

(1)求证：P为线段AB的中点；

(2)求仆AOB的面积.

17.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与双曲线y=1交于A,B两点，其中A的坐标为(1,a),P

是以点C(-2,2)为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP,Q为AP的中点.

(1)求双曲线的解析式：

(2)将直线y=x向上平移m(m>0)个单位长度，若平移后的直线与。C相切，求m的值

(3)求线段OQ长度的最大值.

18.若一个圆的圆心P(久，y)落在反比例函数y=［在第一象限的图象上，则称这个圆为“比心圆

(1)当比心圆同时与x轴和y轴相切时，求圆心P的坐标和。P半径；

(2)若比心圆以OP为半径，交%轴和y轴分别为点A和点B,判断△OAB的面积是否为定值？如

果是定值请求出，如果不是请说明理由；

(3)若比心圆的半径为1,请直接写出当比心圆与%轴或y轴相交时的圆心P的横坐标%的取值范

围.

19.小静发现希腊数学家曾利用反比例函数图象将一个角三等分，具体方法如下：

第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角/A08的顶点与原点。重合，角的一边与x轴正方向

重合.在平面直角坐标系里，绘制函数旷=工的图象，图象与已知角的另一边0A交于点尸.

JX

第二步：以尸为圆心、以20P为半径作弧，交函数y=」的图象于点R.

JX

第三步：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点连接OM,得到(如图1).

1

这时ZMOB="AOB.

为什么NMOB=/乙40B?小静想要证明这个结论却没有思路，便询问老师.

老师进行了指导：分别过点尸和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q(如图2),解答这道题的关

键就是证明O,Q,M三点共线，在平面直角坐标系中，证明三点共线最直接的做法是先用两点确定一条

直线的表达式,再证明第三点在这条直线上.

老师指导后,小静若有所思.请你和小静一起,

(1)已知C(—1,0),以0,2),F(l,4),请说明C、D、E三点共线.

(2)在“三等分角”的作图中(如图2),请证明O,Q,M三点共线.

(3)在⑵的基础上，请证明NMOB=*40B.

20.如图，一次函数y=2x与反比例函数y=](k>0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2,0)为圆心,

1为半径的圆上，Q是AP的中点

(1)若AO=V5,求k的值；

(2)若OQ长的最大值为f,求k的值；

(3)若过点C的二次函数y=ax?+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=O；②当aWxWa+1时，函数

y的最大值为4a,求二次项系数a的值.

参考答案

L【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】C

6【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】3声—学

10.【答案】4或2四

11•【答案】嘿

12.【答案】-5

13.【答案】|

14.【答案】（1）解：在当=[中，当久=—3时，丫？=[=—3,

An=-3；

（2）解：如图所示，连接CB,CD,

:以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点O,B，

CB=CD,CB1y轴，CD1久轴,

二可设点C的坐标为（m,m）,

.9

・・m=一，

m

Am=3或m=-3（负值舍去），

...点B的坐标为（0,3）,

将点4（一3,—3）、B（0,3）代入y1=kx+b中,

•（—3k+b=-3

7b=39

.（k=2

F=3，

・・・一次函数解析式为%=2%+3；

（3）x的取值范围为：一3<久<0和x>|.

15.【答案】（1）证明：•.•点A、0、B在。P上，且NAOB=90。,

AAB为。P直径，

即P为AB中点；

（2）解：:P为、=工（x>0）上的点，

设点P的坐标为（m,n）,则mn=12,

•.•点A、0、B在。P上，

；.M为0A中点，0A=2m；

N为OB中点，OB=2n,

**.SAAOB=；0A«0B=2mn=24.

16.【答案】（1）证明：•.•点A、0、B在。P上，且NAOB=90。,

；.AB为。P直径，即P为AB中点

（2）解：...p为y=工（x>0）上的点，

JX

设点P的坐标为（m,n）,则mn=12,过点P作PM，x轴于M,PN，y轴于N,

的坐标为（m,0）,N的坐标为（0,n）,且OM=m,ON=n,\•点A、O、B在。P上，

为OA中点，OA=2m；N为OB中点，OB=2n,.*.SAAOB=10A，0B=2mn=24.

17.【答案】（1）解：:•点A（1,a）在直线y=x上，

/.a=l,

・••点A的坐标为（1,1）,

把点A坐标代入到反比例函数解析式得1=

:・k—1,

反比例函数解析式为y=5

（2）解：由题意得平移后的直线解析式为y=%+m,

如图所示，设直线y=x+巾与圆C的切点为D,与y轴的交点为H,连接OC,过点C作CE±x轴于E,

.•.点H的坐标为(0,m)

；.OH=m,

•.•点C(-2,2),

；.CE=OE=2,OC=J(—2)2+22=2版

.\ZCOE=45°,

；.NDOH=45°,

同理可证NBOE=45。，

AZBOC=90°,即OC_LAB,

直线y=x+TH与直线AB平行，

；.OC与直线y=久+加垂直，

又,直线y=x+与圆C相切于点C,

/.CD与直线y=x+m垂直，

；.C、O、D三点共线，

•.•圆C的半径为1,

：.0D=0C-CD=2A/2-1,

VZODH=90o,NDOH=45。，

；./DHO=45°,

-,-DH=OD=2V2-1,

OH=<DH2+OD2=4一四,

"•m—4—V2

同理当切点D在圆O上方时可以求得m=4+鱼，

综上所述，若平移后的直线与。C相切，m=4—/或m=4+/;

(3)解：如图所示，连接PB,PC,BC,

由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点,

...点B的坐标为(-1,-1),

：Q是AP的中点，

；.0Q是△APB的中位线，

1

-"-0Q=

要想OQ最大，则PB最大，

•:PB<PC+BC,

...当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC,

♦.•点C(-2,2),点B(-1,-1),

：.BC=V(-l+2)2+(-l-2)2=V10,

,PB谡大=旧+1,

二…啜

18.【答案】(1)解：如图所示，连接OP、PA、PB

二,比心圆同时与x轴和y轴相切

・・・PA_Ly轴，PB_Lx轴,且PA=PB,

二・点P处y=%，

(y—x/

・•・{y=；解得真Q

VP(%,y)落在反比例函数y=［在第一象限的图象上

圆心P(2,2),半径PA=2

(2)解：如图2,在y=［的图像上任取一点P,设P点坐标为(尤1，%),过P作PELy轴，PF,轴,

PE=x、,PF=y1，

・1111

•♦S^AOB=S4AOP+S"op=2°力,PR+•PE=2。4・丫1+/B-x1，

•・,由圆的性质可知OA=OP=OB,

**•OA-OB—2yl，

.11

,*^LAOB=2x2x1y1+x2y1x1=2x1y1，

VP在y=i的图像上，

，X

4

•'•SAAOB=2%i•—=8，

X1

；.△OAB的面积是为定值，且S“OB=8；

(3)解：如图3,比心圆的半径为1,且与%轴或y轴相交，

情况一：与y轴相交，P距离y轴的距离，即横坐标大于零，小于1,此时x的取值范围：0<x<l；

情况二：与x轴相交，P距离x轴的距离，即纵坐标大于零，小于1,此时0<±<1，解得x>4,即此

X

时X的取值范围：x>4,

综上：x的取值范围：0<x<l或x>4.

19.【答案】(1)解：设直线CE解析式为、=kx+b,将C(—l,0),F(l,4)代入得

[°.=-母，解得｛£=|

4=k+b3=2

・•・y=2%+2

将％=。代入得，y=2

・・・D在直线CE上，・・・C、D、E三点共线

(2)解：PM||x轴，MR||y轴，设P(a,》，R(b,1)

11

•,"(4五)，Q(a，万)

设OM的解析式为y=kx,

11

：

*a,•—=bk.,•ak.b=-

二直线OM的解析式为：y=

当久=a时，y=J,

・••Q(a,》，•••点Q在直线OM上；

(3)解：设PR交QM于点D,

:过P,R作x,y轴的平行线，二四边形PORM为矩形，

DQ=DR

・•・乙DOR=乙DRQ,

・