2025年中考数学证明题专项训练：三角形的证明

2025数学中考证明题专项：三角形的证明

一、解答题

1.已知直线AM〃3N,NBA〃的平分线与NABN的平分线交于点C,过点C作DE交40

于点。，交直线BN于点、E.

当直线时，如图①，易证：AB=BE+AD；当直线DE与A〃不垂直时，如图②、

图③，猜想线段AD，BE,AB之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并利用图②或图③

进行证明.

2.如图，在VABC中，AACB=90°,CE±AB于点、E,AD=AC,"平分NCAB交CE于

点尺。厂的延长线交AC于点G.

⑵求证：FG=FE.

3.(1)观察图形：如图1,VABC中，AB=AC,ZBAC=45°,CDA.AB,AE±BC,垂

足分别为。、E,CO与AE交于点F.

mi图2图3

①线段AF与线段CE的数量关系是；

②写出图1中所有的全等三角形；

(2)问题探究：如图2,VABC中，ABAC^45°,AB=BC,AD平分，B4C,ADLCD,

垂足为。，AD与BC交于点E.试探究AE和的数量关系，并证明.

（3）拓展延伸：

如图3,VABC中，Z&4C=45°,AB=BC,点。在AC上，ZEDC=-ZBAC,DELCE,

2

垂足为E,OE与8C交于点尸.若CE=1,EF=6-1，求的长.

4.如图，已知△K4。和ABCE均为等腰直角三角形，ZBAD=ZBCE=90°,点M为。E的

中点，过点E与平行的直线交射线AM于点N.

（1）当A,B,C三点在同一直线上时（如图1）,求证：〃为AN的中点；

（2）将图1中的△8CE绕点8旋转，当A,B,E三点在同一直线上时（如图2）,求证：

△ACN为等腰直角三角形.

5.如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，ZACB=ZDCE=9Q°.

（1）观察猜想如图1,点E在BC上，线段AE与8。的数量关系是,位置关系是.

（2）探究证明把出绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理

由.

BB

6.如图1,为测量池塘宽度48,可在池塘外的空地上取任意一点。，连接49、BO,并

分别延长至点C,。，使OC=Q4,OD=OB,连接CD.

（1）求证：Afi=CD；

（2）如图2,受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长49至点C,使过点

C作的平行线CE,延长80至点尸，连接EF,测得NCEF=140。，Z0FE=110°,CE=llm,

EF=10m,请直接写出池塘宽度AB.

试卷第2页，共4页

图1图2备用图

7.在平面直角坐标系中，已知点A(8,0),B(0,-8),连接48

(1)如图①，动点C在无轴负半轴上，且交2C于点打、交08于点P,求证：

△AOP安△BOC；

(2)如图②，在(1)的条件下，连接。区求证：2NOHP=/AHB：

(3)如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE,作E/UGE交x轴于凡猜想GB、

OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由.

8.如图，已知AB1AC于点A,Ar>J_AE于点A,AB=AC,AD=AE.

⑴求证：ND=NE；

⑵求N3的度数.

9.在平面直角坐标系中，A(。,。)，B(0,b),a,6满足|a+l|+H与=0,点C与点A关

于y轴对称.

图1

⑴请直接写出B,C两点的坐标；

（2）如图1,分别以AB,8C为直角边向右侧作等腰Rt及山和等腰RtBCE,连接OE交x轴

于点M,连接求证：BM±DE;

（3）如图2,点尸为y轴上一动点，点G（m,-3〃?+3）在直线2C上，以2c为直角边向右侧作

等腰RtBCE,若连接E,F,G三点（按逆时针顺序排列）恰好围成一个等腰直角三角形，

请直接写出符合要求的机的值为.

10.已知点A、B分别在％轴，y轴上，OA=OB,点C为AB的中点，42=12应.

（1）如图1,求点C的坐标；

（2）如图2,E、P分别为。4上的动点，且/ECF=45。，求证：EF^O^+AF2；

（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3,0）,求5的长.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.图②：AB=BE+ADi图③猜想：AB=BE-AD,证明见解析

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，全等三角

形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.

图②：AB=BE+AD.延长AC交3N于Q,图③：BE=AD+AB.延长AC交BN于Q,

证明ABC^,QfiC(AAS),得到AC=C。，再证明ABC^0BC(AAS),得到AC=C。，

最后ADC^QEC(ASA),得到AD=QE,进而根据线段之间的关系可得结论.

【详解】解：图②：AB=BE+AD.

证明：如图②，延长AC交于。，

ZMAC=ZBAC,

'：AM//BN,

：.Z.MAC=ZAQB,

：.ABAC=AAQB,

AB=BQ,

BC平分/A3Q,

・・.ZABC=/QBC,

在VABC和△沙。中,

ZCAB=ZCQB

</ABC=/QBC,

BC=BC

：.ABC空QBC(AAS),

AC=CQ,

AM//BN,

：./DAC=NEQC,

答案第1页，共21页

在AWC和中，

ADAC=ZEQC

<AC=CQ,

ZACD=ZQCE

：..ADC^QEC(ASA),

AD=QE,

:.AD+BE=EQ+BE=BQ=AB,

即=5石+AP；

图③：BE=AD+AB.

证明：如图③，延长AC交3N于。,

图③

•/AC平分NM4B,

ZMAC=ABAC,

:AM//BN,

；.ZMAC=ZAQB,

；.NBAC=ZAQB,

AB=BQ,

丁BC平分/A3Q,

.・・ZABC=NQBC,

在VABC和中，

ZCAB=ZCQB

</ABC=NQBC,

BC=BC

ABC金QBC(AAS),

AC=CQ,

・・・AM//BN,

:./DAC=NEQC,

答案第2页，共21页

在AWC和-0EC中，

ADAC=ZEQC

<AC=CQ,

ZACD=ZQCE

：..ADC^QEC(ASA),

AD=QE,

AD+AB=EQ+BQ=BE,

^BE=AD+AB.

2.(1)ZAP尸=40。

Q)见解析

【分析】(1)根据已知，证出ACF巨ADF,从而得到对应角相等；

(2)已知。尸〃5C,AC±BC,则GAC,再根据角平分线上的点到角两边的距离相

等即可证出；

本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是

正确寻找全等三角形解决问题.

【详解】(1)解：AF平分NC4B,

:.ZCAF=ZDAF,

在△ACF和尸中，

AC=AD

<ZCAF=ZDAF,

AF=AF

AACF2△AZ*(SAS)

:.ZACF=ZADF

ZACB=9Q°,CELAB,

ZACE+/CAE=90°,ZCAE+NB=90°,

.\ZACF=ZBf

：.ZADF=ZB=40°.

(2)证明：ZADF=ZB,

DF//BC

BC.LAC,

答案第3页，共21页

:.FG±AC

FE1AB,

又AF平分—CAB,

：.FG=FE.

3.(1)①AF=2CE,©AABE^AACE,AADF^ACDB；(2)AE^ICD,理由见解析;

(3)V2+1.

【分析】(1)①根据等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质解答；

②根据等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理解答；

(2)延长AB、CD交于点G,分别证明△ADCgZkADG、△ADC^ACBG,根据全等三

角形的性质证明；

(3)作DGLBC于点H,交CE的延长线于G,分别证明4DEC之△DEG,aDHF^ACHG,

根据全等三角形的性质证明即可.

【详解】(1)①AF=2CE,

理由如下：

VAB=AC,AE_LBC,

；.BC=2CE,

VZBAC=45°,CD1AB,

；.DA=DC,

ZAFD+4AE="+4AE=90°,

，NAFD="

在^ADF^DACDB中，

'ZAFD=ZB

<NADF=ZCDB=90°,

AD=CD

：.AADF^ACDB(AAS),

；.AF=BC,

；.AF=2CE,

故答案为：AF=2CE；

②：AB=AC,AE±BC,

.•.ZAEB=ZAEC=90°,

答案第4页，共21页

在RtAABE和RtAACE中，

AB=AC,AE=AE,

.,.△ABE^AACE,

由①得：△ADF之△CDB(AAS),

故答案为：△ABE^AACE,△ADF^ACDB；

(2)AE=2CD,

理由如下：

延长AB、CD交于点G,如图2所示：

VAD平分NBAC,

・・・NCAD=NGAD,

VADXCD,

AZADC=ZADG=90°,

在^ADC和^ADG中，

ZADC=ZADG

<AD=AD,

ZCAD=ZGAD

AAADC^AADG(ASA),

ACD=GD,即CG=2CD,

VZBAC=45°,AB=BC,

・•・ZABC=90°,

・・・ZCBG=90°,

AZG+ZBCG=90°,

VZG+ZBAE=90°,

AZBAE=ZBCG,

答案第5页，共21页

在^ABE和^CBG中，

ZABE=ZCBG

<AB=CB,

ZBAE=/BCG

.,.△ADC^ACBG(ASA),

・・・AE二CG=2CD；

(3)作DGLBC于点H,交CE的延长线于G,

图3

VZBAC=45°,AB=BC,

・・・ABJ_BC,

・・・DG〃AB,

.'.ZGDC=ZBAC=45°,

ZEDC=-ZBAC=22.5°=ZEDG,DH=CH,

2

又,.,DE_LCE,

・•・ZDEC=ZDEG=90°,

在^DEC和^DEG中，

/EDC=/EDG

<DE=DE,

ZDEC=ZDEG

•・.△DEC丝ZXDEG(ASA),

・・・DC=DG,CG=2CE,

VZDHF=ZCEF=90°,ZDFH=ZCFE,

・•・NFDH=NGCH,

在^DHF和^CHG中，

答案第6页，共21页

FDH=NGCH

<DH=CH,

NDHF=NCHG=90。

.•.ADHF^ACHG(ASA),

；.DF=CG=2CE,

VCE=1,EF=V2-B

DE=DF+EF=2CE+EF=2+72-1=72+1.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助

线，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

4.(1)见解析；(2)见解析.

【分析】(1)根据平行线的性质及中点的定义可得DM=EM,利用AAS可证明△ADM^/\NEM,

根据全等三角形的性质可得进而可得结论；

(2)根据等腰直角三角形的性质可得CB=CE,NC8E=/CE8=45。，根据平行线

的性质可得ND4E+/NEA=180。，即可求出/NEC=135。，根据全等三角形的性质可得

AD=NE,进而可得AB=NE,禾!J用SAS可证明△ABC会△NEC,可得AC=NC,ZACB=ZNCE,

根据角的和差关系可得/ACN=90。，进而可得结论.

【详解】(1)'：EN//AD,

：.ZMAD=ZMNE,ZADM=ZNEM,

:点M为。E的中点，

：.DM=EM,

'AMAD=ZMNE

在"OM和ANEW中｛ZADM=NNEM,

DM=EM

:.AADM%LNEM(AAS),

：.AM=MN,

为⑷V的中点.

(2)•.•△BA。和△BCE均为等腰直角三角形，

：.AB=AD,CB=CE,ZCBE=ZCEB=45°,

"."AD//NE,

：.ZDAE+ZNEA=1SO0.

答案第7页，共21页

,?ZDAE=90°,

：./NEA=90。,

：.ZNEC=135°,

,：A,B,E三点在同一直线上，

AZABC=180°-ZCBE=135°,

：.ZABC=ZNEC,

,：△ADA/gANEM（已证），

：.AD=NE,

,：AD^AB,

：.AB=NE,

AB=NE

在&ABC和ANEC中，＜ZABC=ZNEC,

BC=EC

:.AABC冬ANEC(SAS),

：.AC=NC,ZACB=ZNCE,

：.ZACN=ZACB+ZDCN=ZNCE+ZDCN=ZBCE=90°,

...LACN为等腰直角三角形.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形

的判定定理是解题关键.

5.(1)AE=BD,AEA.BD-,(2)成立，见解析

【分析】(1)延长AE交8。于"证明AACE四△BCD即可；

(2)延长AE交8。于H,交BC于O,只要证明△ACEgZ\8CD,即可证明(1)中的结论

还成立.

【详解】解：(1)如图1中，延长AE交2。于H

图1

在△ACE与△2。中,

答案第8页，共21页

AC=BC

</ACE=/BCD,

CE=CD

：.AACE^ABCD(SAS),

：.AE=BD,/EAC=/CBD,

VZEAC+ZAEC=90°,/AEC=/BEH,

：.ZBEH+ZEBH=90°,

：.ZEHB=90°,BPAELBD,

故答案为：AE=BD,AELBD-

(2)(1)中的结论还成立，理由如下：

如图2中，延长AE交5。于〃，交5C于0.

VZACB=ZECD=90°,

ZACE=ZBCD,

在△ACE与△5CD中，

AC=BC

<NACE=/BCD,

CE=CD

：.AACE^ABCD(SAS),

：.AE=BD,/EAC=/CBD,

9：ZEAC+ZAOC=90°,/AOC=/BOH,

：.ZBOH+ZOBH=90°,

：.ZOHB=90°,BPAE_LBDf

：.AE=BD,AE.LBD,(1)中的结论还成立.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、

解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题.

6.(1)见详解；(2)21m

答案第9页，共21页

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质解答即可；

（2）延长OF、CE交于点G,可得CG=CE+EG,再证明△A5O之△CGO,根据全等三角

形的性质解答，即可.

【详解】证明：（1）在与△CDO中

OC=OA

・;[NBOA=NDOC,

OD=OB

：.AABO^ACDO（SAS）,

：.AB=CD；

（2）如图所示：

备用图

延长。小CE交于点、G,

VZCEF=140°,ZOFE=110°,

・・・NFEG=40。，ZEFG=70°,

：.ZG=180°-40°-70°=70°,

：・EF=EG,

VCE=llm,EF=10m,

，CG=CE+EG=CE+EF=11+10=21m,

CG//AB,

：.ZA=ZC,

在△人8。与4CGO中

答案第10页，共21页

ZA=ZC

<OA=OC,

ZCOG=NAOB

：.AABO^ACGO(ASA)

：.AB=CG=21m.

【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是添加辅助线，

构造等腰三角形和全等三角形，根据全等三角形的判定和性质解答.

7.(1)证明见解析

(2)证明见解析

⑶当点G在y轴的正半轴上时，BG-BO=AF；当点G在线段上时，OB=BG+AF；当

点G在2点下方y轴上时，AF=OB+BG；理由见解析

【分析】(1)要证明△4。尸^^8。(？已经有一边，一角相等，只要证明即可.

⑵如下图②中，过O分别作0M'_LCB于/点，作OMLHA于N点，由小COM”丛PON(AAS),

推出0M=0N.因为。M_LC2,ON上HA,推出X。平分NCHA,由此即可证明.

(3)分点G在y轴的正半轴上、点G在线段02上、点G在B点下方y轴上时三种情况画出

图形讨论即可.

【详解】(1)证明：如图①中，

,：AH1BC,即/AHC=90°,ZCOB=90°

ZHAC+/ACH=ZOBC+NOCB=90°,

：.ZHAC=ZOBC.

NCOB=NPOA=90°

在4。4尸与^OBC中:{OA=OB

ZOAP=ZOBC

:AOAP义AOBC(ASA),

答案第11页，共21页

(2)解：过。分别作。于M点，作ONL/M于N点，如图②.

在四边形。中，NMON=360。-3x9(F=90。，

/COM=/PON=90。-/MOP.

又由(1)可知：△尸丝△02C,

：.OP=OC.

ZCOM=NPON

在4COM与小PON中：,NOMC=NONP=90,

OC=OP

:.ACOM名APON(A4S),

：.OM=ON.

'：OM±CB,ON±HA,

ZOHP=gZC/fA=45°,

ZAHB=90°,

：.2ZOHP=ZAHB.

(3)解:GB、OB、AF三条线段之间的数量关系如下：

情况一：当点G在y轴的正半轴上时，BG-BO=AF；

情况二：当点G在线段。2上时，OB=BG+AB

情况三：当点G在线段。8的延长线上时，AF=OB+BG；

下面逐个证明：

情况一：当点G在y轴的正半轴上时，连接。E,作EFLEG,如图.

答案第12页，共21页

VZAOB=90°,OA=OB,E为AB的中点，

AOELAB,ZBOE=ZAOE=45°,OE=EA=BE,

：.ZOAB=45°,ZGOE=ZGOA+ZAOE=90°+45°=135°,

・•・ZEAF=135°=ZGOE.

•；GE_LEF,即NGEb=90。，

；・/OEG=NAEF,

ZOEG=ZAEF

在AGOE与△砌石中：［OE=AE,

ZGOE=ZEAF

:•丛GOE叁XFAE(ASA),

・・・OG=AF,

：.BG-BO=GO=AF,

：.BG-BO=AF.

情况二：当点G在线段08上时，连接OE,作EfUEG,如图:

ZOEG=ZFEG-ZFEO=900-ZFEO,ZAEF=ZAEO-ZFEO=90°-/FEO,

：.ZOEG=ZAEF,

答案第13页，共21页

结合情况一中已经证明的EO=EA,ZEOG=ZEAF=45°,

：.△GOE沿/\FAE(ASA),

：.GO=AF.

：.OB=BG+GO=BG+AF.

情况三：当点G在8点下方y轴上时，连接0E,作EFLEG,如图:

ZBEG=ZFEG-ZFEB=90°-ZFEB,ZOEF=ZOEB-ZFEB=900-ZFEB,

：.ZBEG=ZOEF,

且NEOE=NBO3+/BOE=900+45°=135°,ZGBE=180°-ZOBE=180°-45°=135°,

：.ZFOE=ZBGE=135°,

又OE=BE,

易证△GOE^AFAE(ASA),

：.GO=FA.

：.AF=AO+OF=OB+BG.

【点睛】本题属于三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、等腰三

角形的性质及判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

8.(1)见解析

(2)/3=45°

【分析】(1)根据垂直的定义可得NR4C=NZM£=90。，然后求出/BAD=正，再利用

“边角边”证明一ABE和；ACD全等，即可证明结论成立；

(2)根据等腰直角三角形的判定定理即可得到结论.

【详解】(1)证明：AD1.AE,

：.ZBAC=ZDAE=90°,

答案第14页，共21页

ZBAC+ZCAE^ZDAE+ZCAE,

即=

AB=AC

在_ABE和ACD中，<ZBAE=ZCAD,

AD^AE

：.ZXABE/△ACD(SAS),

，ZD=ZE；

(2)解：VAB±AC,AB=AC,

VABC是等腰直角三角形，

ZB=45°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌

握三角形全等的判定方法，并求出/&归=/。10是解题的关键，也是本题的难点.

9.(1)B(O,3),C(1,O)

(2)见解析

(3)1或2或3

【分析】(1)由非负数的性质列方程求出。、6的值即可；

(2)作DN〃CE,交x轴于点N,先证明Rt3CE丝RtBAD,再证明四△MWD,

即可证明=再结合=即可证明⑻0_L£>E；

(3)作轴于点L,证明BOC丝.CLE(AAS),证明3O=CL=3,OC=LE=1,得

出OL=OC+CL=l+3=4,得出“4,0),E(4,l)；分三种情况：①当NEGb=90。时，②

当NFEG=90。时，③当NEFG=90。时，分别求出租的值即可.

【详解】(1)解:|a+l|+V^=0,

'|«+1|>0,7^3>0,

/.a+1=0fZ?—3=0,

解得，a=—l,b=3,

.•.A(-l,0),3(0,3),

A,c关于y轴对称，

答案第15页，共21页

•.C(1,O)；

(2)证明：如图1,作£W〃CE,交无轴于点N,则/ECM=NDNM,

图1

y轴是线段AC的垂直平分线，

:.CB=AB,

BAD与3CE是等腰直角三角形，

:.CB=CE,AB=AD,ZBCE=ZBAD=90°,

」BCEWBAD(SAS),

：.CE=AD,BD=BE,

ZECM+ZBCA=90°,NZMC+NR4c=90。，且ZfiC4=/BAC,

:.ZECM=ZDAC,

:.ZDNM=ZDAC,

:.AD=ND,又CE=AD

:.CE=ND,

Z.CME=ZNMD,又NECM=ZDNM

:._CMD^NMD(AAS),

:.DM=ME,

,:BD=BE,

：.BM±DE.

(3)解：：是等腰直角三角形，

:.BC=CE,/CBE=NCEB=45°,

如图2,作ELLx轴于点L,则ZBOC=NCLE=90。，

答案第16页，共21页

NCBO=90°—NOCB=NECL,BC=CE

/.BOC^CLE（AAS）,

,-.BO=CL=3,OC=LE=1,

..a=OC+CL=l+3=4,

.•・“4,0）,E（4,l）；

①当NEG尸=90。时，如图2,

1/BCE为等腰直角三角形，点歹为y轴上一动点，点G（m,-3〃?+3）在直线3C上,

此时点厂与点8重合，点G与点C重合，

・•tn=1；

②当NFEG=90。时，点厂与点5重合，如图所示：

ZCEB=45°,

：.ZCEG=90°-45°=45°,

・•・/CEF=/CEG,

,:EF=GE9

：.BC=CG,

・,•点。为5、G的中点，

答案第17页，共21页

.m+01

解得：m=2；

③当NEFG=90。时，过点石作石轴于点M,过点G作GN,y轴于点N,如图所示:

则ZEMF=ZGNF=90°,

9：ZMEF+ZMFE=ZMFE+ZNFG=90°,

・•・/MEF=ZNFG,

°：EF=FG,

：.AEMFHFNG,

：.NF=ME,MF=NG=m,

V£（4,1）,

：.NF=ME=4,OM=1,

G（m,-3m+3）,

・•・ON=3m—3,

;ON+OM-MF=NF,

3/一3+1—772=4,

解得：m=3；

综上所述，加的值为1或2或3,

答案第18页，共21页

故答案为：1或2或3.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查非负数的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角

形的判定与性质、平面直角坐标系、轴对称的性质等知识，解题的关键是正确地作出所需要

的辅助线，构造全等三角形，解第(3)题时应注意分类讨论.

10.(1)C(6,6)；(2)见解析；(3)CF=2-710

【分析】(1)连接OC,作CGLOA于点G,由等腰直角三角形的性质可以得出CG=OG=g

OA,结合AB的长度即可得出点C的坐标；

(2)连接OC,在OB上截取OM=AF,连接CM、ME.通过证明△ACF^△