2025年中考数学总复习《勾股定理》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《勾股定理》专项测试卷（附答案）

学校:班级：姓名：考号：

一、单选题

1.在VABC中，若NAfiC=90。，则下列正确的是（）

A.BC=AB+ACB.BC2=AB2+AC2

C.AB2=AC2+BC2D.AC-=AB2+BC2

2.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，

若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是（）

C.12D.16

3.一艘轮船以16海里，小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里，小时从

港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（）

A.36海里B.48海里C.60海里D.84海里

4.《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，

从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门

对角线恰好相等问.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方

程（）

A.X2—（尤-4）2+（%-2）2B.2x2—（尤-4）2+（%-2）2

C.x2=42+（x-2）2D.x2=（尤-4）2+22

5.如图，在MAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,点D是2C上一动点，连接AD,

将△AC。沿折叠，点C落在点E处，连接。E交A2于点忆当/。仍是直角时，DF

的长为（）.

cD.2

-I4

二、填空题

6.如图所示，点A为小红家的位置，点B为小明家的位置，点C为学校的位置，三地之间

的距离如图，已知学校在小明家的正西方向，则小红家在小明家的方向.

3

7.VABC中，若NA=jN2=3NC,AC=2A/3CIH,则zL4=度，NB=度,

ZC=度，BC=cm,S*=cm2.

8.如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的额，若正方形A、B、C、D的边

长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是一

9.如图，由赵爽弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD，

正方形EFGH,正方形跖VKT的面积分别为S-邑，S3,若岳+S?+风=15,邑=1,则凡

的值是—.

D

B

10.如图所示，长方体的高为3cm,底面是正方形，边长为2cm,现使一绳子从点A出发,

沿长方体表面到达C处，则绳子最短是cm.

三、解答题

11.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千

米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速

检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这

辆小汽车超速了吗？

小汽车小汽车

观测点

12.如图，一艘船由A港沿北偏东60。方向航行lOfon至B港，然后再沿北偏西30。方向航行

10km至C港.

（1）求A,C两港之间的距离（结果保留到O.lfow,参考数据：及81.414,73-1.732）；

（2）确定C港在A港的什么方向.

13.如图，折叠长方形一边4D,点。落在8C边的点尸处，BC=10cm,AB=8cm,求EC

的长.

14.如图，在VA2C中，AD.LBC,AB=W,BD=8,CD=26.

⑴求AO的长.

(2)求VABC的周长.

15.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，你能说说其中的道理吗?

ba

参考答案

题号12345

答案DBCAC

1.D

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三

角形中，两条直角边分别为。、b,斜边为c,那么4+62=.根据勾股定理进行计算即可.

【详解】解：•••在VABC中，若NABC=90。，

AC2=AB2+BC2.

故选：D.

2.B

【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解.

【详解】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是

4x(3—1)=8.

故选B.

【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键.

3.C

【详解】解：如图，二.两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

ZBAC=90°,

两小时后，两艘船分别行驶了16x3=48,12x3=36海里，

根据勾股定理得：,48?+362=60(海里).

故选：C.

4.A

【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成

直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长.

【详解】解：根据勾股定理可得：

x2=(x-4)2+(x-2)2,

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解

答本题的关键，难度一般.

5.C

【分析】如图，由题意知ZA£D=NC=90。，AE=AC=3,DE=CD,ZAED=ZDEB=90°,

可知A、E、3三点共线，E与尸重合，在RMABC中，由勾股定理得3C=jAB2一a。？，求

BC的值，设=DE=CD=x,=4-x,在Rt^BDE中，由勾股定理得BE2=BD2-DE2，

计算求解即可.

【详解】解：如图，

,/NDEB是直角

/.ZDEB=90°

由题意知/AED=/C=90。，AE=AC=3,DE=CD

：.ZAED=NDEB=90。

AE、3三点共线

，E与尸重合

在Rt^ABC中，由勾股定理得BC=y/AB2-AC2=4

设DF=DE=CD=x,BD=4-x

在RMBDE中，由勾股定理得BE2=BD2-DE2即2?=(4-*丫-d

3

解得x

二叱的长为：

2

故选C.

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识.解题的关键在于明确A旦3三点共

线，E与尸重合.

6.正北

【分析】根据题中给出的三条边的关系，可知82+152=17、也就是说这个三角形是直角三

角形，而学校在小明家的正东方，所以小红家在小明家的正北方，据此解答即可.

【详解】解：因为8?+152=172,所以小明家、小红家、学校三点构成了一个直角三角形,

而学校在小明家的正东方，则小红家在小明家的正北方向.

故答案为

小红家在小明家的正北方向.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方向问题，若三角形三条边的关系满足一条边的平

方加上另一条边的平方等于第三条边的平方，据此可判定是直角三角形.

7.90603042石

【分析】根据三角形内角和定理和已知条件可求得VABC的三个内角的度数，然后根据勾股

定理可求得AB,8C的长，最后根据三角形的面积公式求得其面积.

3

【详解】解：・.•在VABC中，ZA=-ZB=3ZC,

21

ZB=—ZA,NC=—NA,

33

ZA+ZB+ZC=90°,

ZA+-ZA+-ZA=180°,

33

・・・ZA=90°,

21

ZB=-ZA=60°,ZC=-ZA=30°,

33

AAB=^BC,BC2=AB2+AC2,

,**AC=2^cm，

：.BC2+(2回,

即BC=4cm,AB=2cmf

2

s△/.indr=-2AC.AB=-2x2yl3x2=2y/3cm.

【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形.该性质是直

角三角形中含有特殊度数的角（30。）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应

用.

8.47

【分析】由正方形的面积公式求出正方形A、B、C、D的面积，再由勾股定理得出正方形

GHMN的面积，同理得出正方形MKLS的面积，即可得出结果.

【详解】解：如图所示：

:正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,

，正方形A、B、C、D的面积分别是32=9,52=25,22=4,32=9,

ZGFH=90°,

GH2=GF2+FH2=9+25=34,

正方形GHMN的面积=34,

同理：正方形MKLS的面积=4+9=13,

同理：正方形E的面积=34+13=47；

故答案为：47

【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握正方形的性质

和勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键.

9.9

【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形

的性质，根据已知得出3GF2=27是解决问题的关键.

根据八个直角三角形全等，四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形，得出CG=NG,

22

CF=DG=NF,再根据H=(CG+DG)2,S2=GF,S3=(NG-NF),^+^+^=15^

出3G尸2=15,求出G产的值即可.

【详解】解：,•,八个直角三角形全等，四边形ABC。，EFGH,MAKT是正方形，

:.CG=NG,CF=DG=NF,

S]=(CG+DG)2

^CG2+DG2+2CGDG

=GF2+ICGDG,

2

S2=GF,

222

S3=(NG-NF)=NG+NF-2.NG-NF,

H+邑+S3=GF2+2CG-DG+GF2+NG2+NF2-2NG-NF=3GF2=15,

GF2=5,

邑=1,

:.St=15-52-S3=15-5-1=9.

故答案为：9.

10.5

【解析】略

11.小汽车超速了

【分析】根据题意，运用勾股定理可求出3C的长，由此可求出小汽车的速度，与限速比较

即可求解.

【详解】解：根据题意可得，AB1.BC,即/ASC=90。，AB=30m,AC=50m,

...在RtZXABC中，BC=4AC1-AB1=7502-302=40(m)，

・,•小汽车的速度为—=20(m/s),

175

70(km/h)=-^-(m/s)«19.4(m/s)<20(m/s),

小汽车超速了.

【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键.

12.(1)A、C两地之间的距离为14.1b"；(2)C港在A港北偏东15。的方向上.

【分析】(1)根据方位角的定义可得出/A8C=90。，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.

(2)由(1)可知△A8C为等腰直角三角形，从而得出/BAC=45。，求出/CAM=15。，所而

确定C港在A港的什么方向.

【详解】(1)由题意可得，ZPBC=30°,ZMAB=60°,：.ZCBQ=60°,ZBAN=30°,：.ZABQ=30°,

：.ZABC=9Q°.

,/AB^BC=1Q,：.AC=ylAB2+BC2=10A/2«14.1.

答：A、C两地之间的距离为14.1hw.

(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，

AZBAC=45°,：.ZCAM=15°,

；.C港在A港北偏东15。的方向上.

【点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.

13.3cm

【分析】由矩形和折叠的性质可知AB=CD=8cm,AD=BC=AF=10cm,DE=EF.在

无中利用勾股定理可求出5尸=6011,从而可求出_FC=4cm.设EC=xcm,则

DE=EF=(S-x)cm,在比“EFC中利用勾股定理可列出关于尤的方程，解出x即可.

【详解】解：,••四边形A58是矩形，

.-.AB=CD=8cm,AD=BC=10cm,

由折叠可知：AD=AF=10cm,DE=EF,

在咫AAB尸中：BF=JAF?-AB?=6cm，

..FC=BC—BF=4cm.

设EC=xcm,则£>£1=EF=(8-x)cm,

在RAEFC中：EF2=FC2+EC2,即（8-尤＞=4?+x?,

解得：x