2025年中考数学总复习《规律探究》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《规律探究》专项测试卷(附答案)

学校:班级：姓名：考号：

类型1数式规律探索

1.【规律探索】观察以下等式:

211

第1个等式:

22-1-13’

211

第2个等式:

42-1-3-5,

211

第3个等式:

62-1-5-7’

按照以上规律，解决下列问题:

222

⑴写出第6个等式：,由此可计算有+工+...+目的结果为

(2)写出你猜想的第〃个等式(用含"的式子表示)，并证明.

2.【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方(任意一个个位数字为5的自然数百

可用代数式10〃+5来表示，其中〃为正整数)，会发现一些有趣的规律.请你仔细观察，

探索其规律，并归纳猜想出一般结论.

【规律发现】

第1个等式：152=(1X2)X100+25；

第2个等式：25?=(2X3)X100+25；

第3个等式：352=(3X4)X100+25；

【规律应用】

(1)写出第4个等式：；写出你猜想的第〃个等式：(用

含〃的等式表示)；

(2)根据以上的规律直接写出结果：2024X2025X100+25=2；

___2

(3)若n5与100”的差为4925,求力的值.

3.观察以下等式.

第1页共20页

21.

第1个等式：1X5=1-1X2；

831

第2个等式：-X一二

23-22X3；

……11541

第3个等式：-x-

34一33X4

……12451

第4个等式：-X-；

45一4—4X5

按照以上规律，解决下列问题.

(1)写出第5个等式：;

(2)写出你猜想的第〃个等式：(用含〃的式子表示)，并证

明.

4.观察以下等式：

&9

等

式

第+X---

(42

11

第2个等式：G+分x(9—1)=8,

112S

第3个等式：(2+可)x(16-1)=

11

第4个等式：&+分x(25-1)=18,

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第5个等式：;

(2)写出你猜想的第〃个等式(用含"的等式表示)，并证明.

5.观察以下等式：

第1个等式：Zx(2,)=3等

第2个等式：学X(2咯)=3-1；

755

第3个等式：詈x(2-1)=3-1；

第4个等式：(24)=34；

按照以上规律，解答下列问题：

(1)写出第5个等式：_________________________

第2页共20页

（2）写出你猜想的第〃个等式：（用含〃的等式表示）,

并证明.

6.观察下列等式：

第1个等式：旦」=1；

44

第2个等式：工上=3；

44

第3个等式：更上=5；

44

根据上述规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式；

（2）写出你猜想的第n个等式:（n是正整数,用含〃的等式表示）,

并证明.

7.观察下列等式：

22

第1个等式：士3一42=33t+1L+a；

133

22

第2个等式：24—42=土4上+2土+。；

248

22

第3个等式：35—25+3L+a；

3515

第4个等式：9—2=《±H+q；

4624

按照以上规律，解决下列问题：

（1）各等式都成立时，a=；

（2）在（1）的条件下，写出你猜想的第〃个等式（用含〃的式子表示），并证明.

8.观察以下等式：

第1个等式：工+9+工x9=i,

1212

第2个等式：l+l+lxl=l,

2323

第3页共20页

第3个等式：l+2+lxZ=i,

3434

第4个等式：1+2+1X2=1,

4545

第5个等式：1+1+1xA=i,

5656

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第6个等式：；

(2)写出你猜想的第n个等式：(用含”的等

式表示)，并证明.

9.观察以下等式：

32-12

第1个等式：-----=1+1;

4

42_22

第2个等式：=1+2；

4

52—32

第3个等式：-----=1+3；

4

62-42

第4个等式：-----=1+4；

4

72-52

第5个等式：——=1+5；

4

按照以上规律，解答下列问题：

(1)写出第6个等式：:

(2)写出你猜想的第n个等式：(用含n的式子表示)，并

证明.

10.观察以下等式：

第1个等式:2X1+2=22+1X1-1；

第2个等式：4X2+6=32+2X3-1；

第3个等式：6X3+12=42+3X5-1；

第4个等式：8X4+20=52+4X7-1；

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第5个等式：;

第4页共20页

（2）写出你猜想的第九个等式：（用含"的式子表示），并证明.

11.类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法.阅读材料：

设J?+px+q=G的两个根为XI和尤2,那么x1+px+q=（尤-Xl）（X-X2）=x2-（X1+X2）X+X1X2

比较系数，可得Xl+X2=-P，XlX2=q.

类比推广，回答问题：设尤3+户分和+厂=0的三个根为XI,X2,X3,那么（X

-XI）（尤-尤2）（尤-X3）=尤3+（）/+（）X+（）

比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：

X1+X2+X3—,=q,X1X2X3—.

12.观察以下等式：

第1个等式：23-3X1X2=13+1

第2个等式：33-3X2X3=23+1

第3个等式：43-3X3X4=33+1

第4个等式：53-3X4X5=43+1

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：；

（2）写出你猜想的第w个等式（用含〃的式子表示），并证明.

13.观察下列等式：

_1,1_2

ai~1x2x3+2—1x3；

1,13

a-=2x3x4+3=2x4;

114

a3=3^5+4=3^5;

117

(1)猜想并写出第6个等式06---+—=---.

—6X7X8--76X8一

11n+1

(2)猜想并写出第〃个等式即----------+---=------

—n(n+l)(n+2)n+1n(n+2)-

（3）证明（2）中你猜想的正确性.

第5页共20页

类型2图形规律探索14.很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导

和解释.例如：平方差公式、完全平方公式等.

【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：13+23+33+.-+/=?

【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：

32332333

1=1,1+2=3,1+2+3=；

【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出13+23+33+-+«3=（用含w

的代数式表示）；

【拓展应用】根据以上结论,计算：23+43+63+-+⑵）3.

15.用同样规格的黑白两种颜色的正方形，拼如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列

的问题：

rrn.1111口11口「

Ei……

①②③

图1图2图3

第15题图

（1）在图2中用了一块白色正方形，在图3中用了一块白色正方形；

（2）按如图的规律继续铺下去，那么第w个图形要用一块白色正方形；

（3）如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2024块白色正方形，拼出具有以上

规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由.

16.【观察思考】

第6页共20页

第16题图

【规律总结】

（1）每增加一个图案，则正八边形的顶点上“★”增加一个，“▲”增加一个;

（2）第〃个图案中有个，“▲”有个；

【规律应用】

（2）在第2025个图案中，求的数量比的数量多多少个?

17.【观察思考】

△△

oAo

△△

△△△"oo\O%°CPOA

oAo△o△^ooo△

△△△CHDA△Aoo△

△O△△o△△o△磔榛

△△△△△△△△

△△△△

△△△△△△△△

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

第17题图

【规律发现】

请用含〃的式子填空:

（1）第5个图案中“△”的个数为

（2）第〃（〃为正整数）个图案中“O”的个数为,的个数为；（用含〃

的式子表示）

【规律应用】

（3）结合上面图案中和“△”的排列方式及规律，求正整数n,使得“O”比

的个数多28.

18.合肥近几年城市发展迅速，交通便利，2024年计划再筑公路533公里，深入推进“1155”

大交通计划.修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烧，其中偶数个苯环可视

为同系物.注：最简单的稠环芳香烧是蔡，它的分子结构图与结构简式如下:

H।

III

H'C/CQC/C'H

III

I

H

结构图结构简式图⑴G禺图（2）g6H图（3）C22Hl8

第18题图

第7页共20页

【观察思考】观察右侧结构简式的分子式回答下列问题：

【规律发现】

（1）图（4）的分子中含个C原子；

（2）图（〃）的分子中含个C原子；

【规律运用】

（3）若图（m）和图（m+1）的分子中共含有242个C原子，求机的值.

19.【观察思考】

如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线）,

第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推…

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

第19题图

【规律发现】

请用含的式子填空：

（1）第w个图案中含有长为1的线段条数是—；

（2）第1个图案中含有三角形个数可表示为10X1-2；第2个图案中含有三角形个数可

表10X2-2；第3个图案中含有三角形个数可表示为28=30-2=10X3-2；…第〃个

图案中含有三角形个数可表示为—；

【规律应用】

（3）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长

为1的线段条数多吗？请说明理由.

20.高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，

观察图形，回答下列问题：

（1）图1的彩色正方形有：1+1=1+吆（；+1）；

图2的彩色正方形有：1+1+2=1+*，；

图3的彩色正方形有：1+1+2+3=1+必|电；

图4的彩色正方形有：1+1+2+3+4=1+丝零也；…，

图”的彩色正方形有：；

第8页共20页

(2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2

个；图3中，白色正方形比彩色正方形多3个；…；图〃的白色正方形有一个.

(3)若图n中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图w中白色正方形的

个数.

A

△

△△_

图1图2图3

第20题图

21.某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为

有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时,

正方形地砖有H块，三角形地砖有10块；.…

图2图3

(1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加

______块；

(2)若铺设这条小路共用去。块六边形地砖，分别用含。的代数式表示正方形地砖、三角

形地砖的数量；

(3)当。=25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量.

22.(1)观察下列图形与等式的关系，并填空

•ooo

••Ooo

•••oo

o1+3+5+7+…+(2n-l)

••第n行••

第9页共20页

第22题图1

（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数

式填空：

••••第n行

•••••第n-l巨

••••第n-2行

第22题图2

1+3+5+…+(2n-1)+()+(2〃-1)+…+5+3+1=

23.观察与思考：我们知道1+2+3+…+n="罗，那么13+23+33+-,,+/结

果等于多少呢?

请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题:

（1）尝试：第5个图形可以表示的等式是.

(2)概括：F+23+33+…+〃3=

（3）拓展应用：求鲁爵■的值•

•。••。。。•••・

。•。•。•。。。•••・

。・・。。。ooooooeeee

••«ooo

•••OOO••••••••••

OOOOOO••••••••••

OOOOOO••••••••••

OOOOOO••••••••••

a2□

1=11+23=3?13+23+33=62i3+23+33+43=102

第23题图

24用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为1.5米的小路.

第10页共20页

第24题图

(1)铺第6个图形用黑色正方形瓷砖块，用白色正方形瓷

砖块；

(2)铺第n个图形用黑色正方形瓷砖块，用白色正方形瓷

砖块；

(3)若黑、白两种颜色的瓷砖规格都为(长为0.5米X宽0.5米)，若按照此方式铺满一

段总面积为24.75平方米的小路，求此时是第多少个图形？

25.图1是由若干个小圆圈推成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以

下各层均比上■层多■个圆圈，一共推了〃层.

将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是"+1.

我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+4+……4n-n(n+l)

(1)按照图1的规则摆放到第12层时，共用了个圆圈；

(1)按照图2的规则摆放到第n层时，共用了个圆圈；

(3)按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数:

1,2,3,4,……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是多少？

第1层

第2层

OOOC5UOOOO

第n层oO二Oooo:::oo99

第25题图

参考答案

1112

1.解：(1)

122-1—1113122-1—1113’13

211

(2)猜想:

(2n)2-l—2n-l2n+l，

证明：右边=

(2n-l)(2n+l)(2n-l)(2n+l)

2n+l—2n+l

(2n-l)(2n+l)

第11页共20页

_2

一（271）2一1

=左边，

故猜想成立.

2.解：(1)452=(4X5)X100+25,(10«+5)2=100«(n+1)+25.

(2)20245.

——2

(3)由九5与100〃的差为4925得，

100几(H+1)+25-100^=4925,

解得〃=7(舍负)，

故〃的值为7.

e13561

3.解：(1)-X——=-

5655X6

1(n+l)2-ln+11

(2)一x

nn+1n71X01+1)'

2,

证明：等式左边

nn+1

_1n2+2n+l—1_1n2+2n_1TI(?I+2)_几+2

-nXn+1-nXn+1-nXn+1-n+l,

“一、5+l1(n+1)21

等式右边---------=-----------

n?ix(7i+l)n(n+l)nx(n+l)

_(n+l)2—l_n2+2n+l—1

nx(n+1)nx(n+1)

_n2+2n_nx(n+2)_n+2

—nx(n+l)—nx(n+l)—n+l>

・•・等式左边=等式右边，

・・・猜想成立.

4.解:（1）根据所给的四个等式反映的规律,可以发现，第5个等式为:眩+3x（62-1）=

49

第12页共20页

故答案为：(1+1)x(62-1)=^;

(2)根据所给的四个等式反映的规律，可以发现，第〃个等式为：(1+i)x[(n+l)2-

1]=学

证明：左边=与异X(n2+2n+1-1)

=x(n2+2n)

n+2,,0、

=布--n(n+2)

=¥=右边，

5.解:(1)-|^-X(2-^-)

(2)4n-lk—2n—+l))=3—2n—+l>

证明：左边=至比.电二上=鱼旦=6n+3-2=3(2n+l)-2=3-_2_=右边,

4n-l2n+l2n+l2n+l2n+l2n+l

故猜想成立.

22

6解.⑴典_65_(2X5)+1_[2X(5-1)]+1_9

'~"44-44

(2)(2n)2+l-12(n-l)]2+i=2/7(〃是正整数)；

44

证明：(2n)2+l.[2(n-l)]2+l=4i?+l_4(n-l)2+l=层+工.(w.n2

44444

——n2-n2+2n-1=2”-1,

4

即(2n)2+l[2(n-l)]2+i=2…(〃是正整数).

44

7.解：⑴-1.

第13页共20页

(2)猜想的第〃个等式为：n

nn+2〃(m+2)

(〃+2丁—2n

证明：左边:―-*1——

/+2)

(〃+2『+/〃(〃+2)

右边二---7-----r------7-----r

几(几十2)〃(〃+2)

(〃+2)+/—/—2〃

〃(〃+2)

(〃+2)2-2n

〃(几+2)

・,・左边=右边.

151v51

8.解：(1)6767-1

1n-11..n-1_

—4-----d-X--=1

(2)nn+1nn+1

1n-1l、，n-ln+l+n(n-1)+(n-l)n2-*4hi

证明：nn+1nn+1=n(n+1)n(n+1)

J等式成立.

g2_$2

9.解：⑴-----=1+6.

4

(n+2)2-n2

(2)-——-------=1+九，

4

证明：左边=/+2，一九2

n2+4n+4—n2

:4

4n+4

=

="+1=右边，

，左边=右边，

等式成立.

第14页共20页

10.解：(1)10X5+30=62+5X9-1.

2

(2)2几X几十几(n+1)=(n+1)+nX(2n-1)-1,

证明：等式左边=2层+〃2+〃=3川+小

等式右边=〃2+2〃+1+2〃2-〃-1=3层+〃，

・••等式左边=等式右边，即2〃X〃+几(n+1)=(n+1)?+九x(2〃-1)-1.

11.解：:(x-xi)(x-X2)(x-X3)

=[x2-(X1+X2)X+XIX2](X-X3)

=/+(-XI-X2-X3)x2+(X1X2+X2X3+X3X1)X+(-X1X2X3),

X3+/7X2+^X+r=X3+(-XI-X2-X3)f]+(XLX2+X2X3+X3X1)X+(~XIX2X3),

比较系数得：Xl+X2+X3=-〃，X1X2+X2X3+X3X1—q,X1X2X3=~r,

故答案为：-XI-X2-X3；X1X2+X2X3+X3X1;X1X2JC3；-p；X1X2+X2X3+X3X1;-r.

12.解:(1):第1个等式：23-3X1X2=13+1,

第2个等式：33-3X2X3=23+1,

第3个等式:43-3X3X4=33+1,

第4个等式：53-3X4X5=43+1,

.•.第5个等式：63-3X5X6=53+1,

故答案为：63-3X5X6=53+1；

(2)猜想的第力个等式为：(M+1)3-3X(n+1)X〃-l="3；证明如下：

(〃+1)3-3X(n+1)Xn-1

—n3+3n2+3n+l-3H2-3n-I

117

13.解：(1)由题意得：第6个等式。6=乂a+亍=心右，

□X-/7XO/0X0

117

故答案为：菽南+5=菽？

______1_______]_n+1

(2)由题意得：第"个等式07=n(n+l)(n+2)+n+1-n(n+2),

第15页共20页

11n+1

故答案为:----------+----=------

n(n+l)(n+2)n+1n(n+2)

(3)(2)中的等式左边=.二+1)5+2)+n(nIi1n12)

1+几2+2几

n(n+l)(n+2)

。+1)2

n(n+l)(n+2)

n+1

n(n+2)

=右边.

故猜想成立.

14.解：【规律探究】62.

1

【解决问题】-n2(n+1)2.

4

【拓展应用】23+43+63+-+(2n)3

=23X(13+23+33+-+M3)

=8X："2("+1)2

=2ir(〃+l)2.

15.解:Cl)8,11.

(2)(3n+2).

(3)能恰好用完2024块白色正方形，理由如下：

假设第n个图形恰好能用完2021块白色正方形，则3/2=2024,

解得：”=674,

即第674个图形中恰好用完2024块白色正方形.

16.解：(1)4,3.

(2)4〃，1+3”.

第16页共20页

(3)第2025个图案中，“★”的数量为：4X2025=8100(个)，

“▲”的数量为：1+3X2025=6076(个)，

8100-6076=2024(个)，

答：在第2025个图案中，”★”的数量比的数量多2024个.

17.解：(1)26.

(2)rr+2,4/1+6.

(3)由题意知，

n~+2-(4/1+6)—28,

解得，“1=8,“2=-4.

•：n为正整数，

."=8.

故正整数〃的值为8.

18.解：(1)由所给分子结构图及结构简式可知，

图(1)的分子中含C原子的个数为：10=1X6+4；

图(2)的分子中含C原子的个数为：16=2X6+4；

图(3)的分子中含C原子的个数为：22=3X6+4；

•••，

所以图(〃)的分子中含C原子的个数为(6/7+4)个.

当n=4时，

6/7+4=28(个)，

即图(4)的分子中含C原子的个数为28个.

故答案为：28.

(2)由(1)知，

图(n)的分子中含C原子的个数为(6/7+4)个.

故答案为：(6“+4).

(3)由题知，

6/71+4+6(m+1)+4=242,

解得m—19,