2025年中考数学一轮复习学案：2.2 分式方程（教师版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第二章方程与不等式

2.2分式方程

考点分布考查频率命题趋势

考点1分式方程的解法☆☆数学中考中，有关分式方程的部分，每年考查1道题,

分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答题的形

式考查。但三种形式只会出现一种。解答题基本以三

种形式考查：一是给出分式方程，让学生解这个方程；

考点2分式方程的应用☆☆

二是列方程求解；三是结合不等式、函数知识综合考

查。这类问题要注意解分式方程需要验根，同时注意

得出结果和实际问题相符合。

☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1.分式方程的解法

1.分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．

分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．

2．解分式方程的一般方法：

（1）解分式方程的基本思想：

把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．

（2）解分式方程的一般方法和步骤：

①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；

②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；

③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方

程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．

3．分式方程的特殊解法——换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般

的去分母不易解决时，可考虑用换元法．

4．增根：使分式方程的最简公分母为0的根．

（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件

限制了．

（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方

程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．

考点2.分式方程的应用

1.工程问题等量关系：工作量=工作时间×工作效率。灵活掌握它的两个变式。

2.解决工程问题的基本思路

（1）题中有“单独”字眼通常可知工作效率；

（2）通常间接设元，如××单独完成需x（单位时间），则可表示出其工作效率；

（3）弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.

（4）解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，

工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中

的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.

（5）各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．

3.行程问题等量关系：路程=速度×时间.灵活掌握它的两个变式。

4.解决问题注意事项：

（1）注意关键词“提速”与“提速到”的区别；

（2）明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；

（3）行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.

5.利润问题等量关系：批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=

定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打

折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。

6.数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；

溶质

7.浓度问题的基本关系是：=浓度．

溶液

.

8.顺水逆水问题：v顺＝v静＋v水流，v逆＝v静－v水流

注意：列分式方程解应用题的一般步骤

(1)审清题意，并设未知数；

(2)找相等关系；

(3)列出方程；

(4)解这个分式方程；

(5)验根（包括两方面:是否是分式方程的根；是否符合题意）；

（6）写答案.

【易错点提示】

解分式方程过程中，易错点主要体现在：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不

要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解

才是原方程的解．具体情况表现在一下几点：

1.忘记验根。

2.检验方法不正确。

3.忽视分子为零。

4.考虑问题不全面。

5.没有真正理解分式方程有“增根”的含义。

6.去分母时漏乘不含分母的项。

7.解分式方程错符号。

考点1.分式方程的解法

3x

【例题1】（2024福建省）解方程：1．

x2x2

【答案】x10．

【解析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可

解题．

3x

1，

x2x2

方程两边都乘x2x2，得3x2x2x2xx2．

去括号得：3x6x24x22x，

解得x10．

经检验，x10是原方程的根．

xx1

【对点变式练1】（2024哈尔滨一模）分式方程的解是（）

x3x1

A.x3B.x3C.x2D.x0

【答案】B

【解析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方

程的解．

xx1

由得：

x3x1

xx1x1x3，

x2xx22x3，

x3，

经检验：x3是原分式方程的解，故选：B．

【点睛】考查解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．

x3

【对点变式练2】（2024苏州一模）方程的解是_______．

x12x2

3

【答案】

2

【解析】根据分式方程的解法步骤解出即可．

x3333

左右同乘2(x+1)得:2x=3解得x=．经检验x=是方程的跟．故答案为:．

x12x2222

【点睛】本题考查解分式方程,关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤．

x4

【对点变式练3】（2024山东威海一模）解方程：1

x1x21

【答案】x=3．

【解析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．

x4

1去分母得，x(x1)4x21解得，x=3，

x1x21

经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．

【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分

式方程一定注意要检验．

2x1x22x1

【对点变式练4】（2024上海一模）在分式方程5中，设y，可得到关于

x22x1x2

y的整式方程为（）

A.y25y50B.y25y50

C.y25y10D.y25y10

【答案】D

2x11

【解析】设y，则原方程可变形为y5，再化为整式方程即可得出答案.

x2y

2x11

设y，则原方程可变形为y5，

x2y

即y25y10；故选：D.

【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.

1m

【例题2】（2024黑龙江齐齐哈尔）如果关于x的分式方程0的解是负数，那么实数m的

xx1

取值范围是（）

A.m1且m0B.m1C.m1D.m1且m1

【答案】A

【解析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方

程的解是负数得到m10，并结合分式方程的解满足最简公分母不为0，求出m的取值范围即可，

熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．

【详解】方程两边同时乘以xx1得，x1mx0，

1

解得x，

m1

∵分式方程的解是负数，

∴m10，

∴m1，

又∵xx10，

∴x10，

1

∴1，

m1

∴m0，

∴m1且m0，故选：A．

m3

【对点变式练1】（2024湖北武汉一模）已知关于x的分式方程2的解为非负数，

x11x

则正整数m的所有个数

为（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【解析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，

即可解题．

5-m

去分母，得：m+2(x-1)=3，移项、合并，解得：x=，

2

5-m5-m

∵分式方程的解为非负数，∴≥0且≠1，解得：m≤5且m≠3，

22

∵m为正整数∴m=1，2，4，5，共4个，故选：B．

【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．

xmx1

【对点变式练2】（2024黑龙江龙东一模）关于x的方程1的解为非负数，则m的取

x22x

值范围是____________．

【答案】m1且m3

【解析】解分式方程，可用m表示x，再根据题意得到关于m的一元一次不等式即可解答．

xmx1

解1，可得xm1，

x22x

xmx1

x的方程1的解为非负数，

x22x

m10，

解得m1，

x20，

m120，

即m3，

m的取值范围是m1且m3．

【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．

考点2.分式方程的应用

【例题3】（2024甘肃临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销

售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？

设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）

240240240240

A.10B.10

xx2xx2

240240240240

C.10D.10

x2xx2x

【答案】C

【解析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根

据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．

【详解】由题意可得，

240240

10，故选：C．

x2x

【对点变式练1】（2024新疆一模）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼

品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订

单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价

比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设

购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（）

12000110001200011000

A.40B.40

xx5xx5

12000110001100012000

C.40D.40

x5xxx5

【答案】A

【解析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为x5元/

件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可．

【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为x5

元/件，根据题意得：

1200011000

40，故A正确．故选：A．

xx5

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．

【对点变式练2】（2024云南一模）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72

千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到

达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．

【答案】大型客车的速度为60km/h

【解析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为12分钟列方程

解答.

【详解】设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为1.2xkm/h，

根据题意得

727212

，

x1.2x60

解得：x60，

经检验，x60是原方程的根.

故大型客车的速度为60km/h.

【点睛】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题

的关键，此题的等量关系是快车与慢车所用时间差为12分钟.

【对点变式练3】（2024山西一模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两

种食品．

（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为

15元、20元，求购买两种食品各多少份？

（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱

面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的

价格少6元，求购买牛肉面多少份？

【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份（2）购买牛肉面60份

【解析】【分析】（1）设购买杂酱面x份，则购买牛肉面170x份，由题意知，

15x20170x3000，解方程可得x的值，然后代入170x，计算求解，进而可得结果；

12601200

（2）设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份，由题意知，6，计算求出满足要求

1.5aa

的解即可．

【小问1详解】

解：设购买杂酱面x份，则购买牛肉面170x份，

由题意知，15x20170x3000，

解得，x80，

∴170x90，

∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；

【小问2详解】

解：设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份，

12601200

由题意知，6，

1.5aa

解得a60，

经检验，a60是分式方程的解，

∴购买牛肉面60份．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．

考点1.分式方程的解法

12

1.（2024四川泸州）分式方程3的解是（）

x22x

75

A.xB.x=1C.xD.x3

33

【答案】D

【解析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，

系数化为1，检验）求解，即可解题．

12

【详解】解：3，

x22x

12

3，

x2x2

13x22，

13x62，

3x9，

x3，

经检验x3是该方程的解，故选：D．

2m

2.（2024四川遂宁）分式方程1的解为正数，则m的取值范围（）

x1x1

A.m3B.m3且m2

C.m3D.m3且m2

【答案】B

【解析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方

程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．

方程两边同时乘以x1得，2x1m，

解得xm3，

2m

∵分式方程1的解为正数，

x1x1

∴m30，

∴m3，

又∵x1，

即m31，

∴m2，

∴m的取值范围为m3且m2，故选：B．

xx1

3.（2024武汉市）分式方程的解是______．

x3x1

【答案】x3

【解析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边

同时乘以x3x1完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得

答案．

xx1

【详解】，

x3x1

等号两边同时乘以x3x1，得x1xx3x1，

去括号，得x2xx22x3，

移项、合并同类项，得x3，

经检验，x3是该分式方程的解，

所以，该分式方程的解为x3．

2

4.（2024湖南省）分式方程=1的解是_______．

x1

【答案】x=1

【解析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．

方程的两边同乘x+1，得2=x+1，

解得x=1．

检验：当x=1时，x+1=2≠0．

所以原方程的解为x=1．

【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．

13

5.（2024四川成都市）分式方程的解是____．

x2x

【答案】x=3

【解析】分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是

分式方程的解，即可得到分式方程的解．

3kx1

6.（2024四川达州）若关于x的方程1无解，则k的值为______．

x2x2

【答案】1或2

6

【解析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到x，再根据分式方程无解得

k1

6

到k10或2，解关于k的方程即可得到答案．

k1

3kx1

1

x2x2

去分母得：3kx1x2，

6

解得：x，

k1

3kx1

∵关于x的方程1无解，

x2x2

6

∴当k10或2时，分式方程无解，

k1

解得：k1或k2（经检验是原方程的解），

3kx1

即k1或k2，1无解．

x2x2

4x1

x1

7.（2024重庆市A）若关于x的不等式组3至少有2个整数解，且关于y的分式方

2x1xa

a13

程2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______．

y11y

【答案】16

【解析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于x的一元一

次不等式组至少有两个整数解，确定a的取值范围a8，再把分式方程去分母转化为整式方程，解

a2

得y，由分式方程的解为非负整数，确定a的取值范围a2且a4，进而得到2a8且

2

a4，根据范围确定出a的取值，相加即可得到答案．

4x1

x1①

【详解】解：3，

2x1xa②

解①得：x4，

a2

解②得：x，

3

关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，

a2

2，

3

解得a8，

a13a2

解方程2，得y，

y11y2

关于y的分式方程的解为非负整数，

a2a2

0且1，a2是偶数，

22

解得a2且a4，a是偶数，

2a8且a4，a是偶数，

则所有满足条件的整数a的值之和是26816

2x1

3

8.（2024重庆市B）若关于x的一元一次不等式组3的解集为x4，且关于y的分

4x23xa

a8y

式方程1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是________．

y2y2

【答案】12

【解析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组

a10

中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出a2；解分式方程得到y，再由关于y的分

2

a8y

式方程1的解均为负整数，推出a10且a6且a是偶数，则2a10且a6且

y2y2

a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．

2x1

3①

【详解】3

4x23xa②

解不等式①得：x4，

解不等式②得：xa2，

∵不等式组的解集为x4，

∴a24，

∴a2；

a8ya10

解分式方程1得y，

y2y22

a8y

∵关于y的分式方程1的解均为负整数，

y2y2

a10a10a10

∴0且是整数且y220，

222

∴a10且a6且a是偶数，

∴2a10且a6且a是偶数，

∴满足题意的a的值可以为4或8，

∴所有满足条件的整数a的值之和是4812．

13

9.（2024广州）解方程：．

2x5x

【答案】x3

【解析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括

号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．

13

，

2x5x

去分母得：x32x5，

去括号得：x6x15，

移项得：x6x15，

合并同类项得：5x15，

解得：x3，

经检验，x3是原方程的解，

该分式方程的解为x3．

2x

10.（2024陕西省）解方程：1．

x21x1

【答案】x3

【解析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对

方程的解进行检验即可．

2x

【详解】解：1，

x21x1

去分母得：2xx1x21，

去括号得：2x2xx21，

移项，合并同类项得：x3，

检验：把x3代入x1x1得：313180，

∴x3是原方程的解．

考点2.分式方程的应用

1.（2024黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所

用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

【答案】D

【解析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速静水速水速，逆水速静水速-水速，设

未知数列出方程，解方程即可求出答案．

设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：

12080

，

40x40x

解得：x8，

经检验：x8是原方程的根，

答：江水的流速为8km/h．故选：D．

2.（2024四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工

30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求

乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（）

120120120120

A.30B.30

1.2xxx1.2x

1201203012012030

C.D.

1.2xx60x1.2x60

【答案】D

【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个

零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．

【详解】设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，

12012030

由题意得，故选：D．

x1.2x60

3.（2024山东枣庄）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生

产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件

数为（）

A.200B.300C.400D.500

【答案】B

【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为x100，根据“改造后生产

600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．

【详解】设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为x100，

600400

根据题意，得：，

xx100

解得：x300，

经检验x300是分式方程的解，且符合题意，

答：改造后每天生产的产品件数300．故选：B．

4.（2024云南省）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300

千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型

车的平均速度．

【答案】D型车的平均速度为100km/h

【解析】本题考查分式方程的应用，设D型车的平均速度为xkm/h，则C型车的平均速度是

3xkm/h，根据“乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．

【详解】设D型车的平均速度为xkm/h，则C型车的平均速度是3xkm/h，

300300

根据题意可得，2，

x3x

整理得，6x600，

解得x100，

经检验x100是该方程的解，

答：D型车的平均速度为100km/h．

5.（2024江苏扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型

机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数

相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？

【答案】B型机器每天处理60吨垃圾

【解析】考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设B型

机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x40)吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．

【详解】设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x40)吨垃圾，

500300

根据题意，得，

x40x

解得x60．

经检验，x60是所列方程的解．

答：B型机器每天处理60吨垃圾．

6.（2024山东威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦·时．后购进

一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能

灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．

【答案】160千瓦·时

【解析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等

列式分式方程求解即可．

【详解】设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，

则一盏A型节能灯每年的用电量为2x32千瓦·时

160009600

2x32x

整理得5x3(2x32)

解得x96

经检验：x96是原分式方程的解．

2x32160

答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时.

7.（2024内蒙古赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每

天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单

独修复90千米公路所需要的时间相等．

（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那

么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？

【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；

（2）15天的工期，两队最多能修复公路105千米．

【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．

（1）设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路x3千米，根据“甲队单独修复

60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可；

（2）设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为15m天，15天的工期，两队能修复公路w

千米，求得w关于m的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得m的

范围，利用一次函数的性质求解即可．

【小问1详解】

解：设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路x3千米，

6090

由题意得，

xx3

解得x6，

经检验，x6是原方程的解，且符合题意，

x39，

答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；

【小问2详解】

解：设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为15m天，15天的工期，两队能修复公路w

千米，

由题意得w6m915m3m135，

m215m，

解得m10，

∵30，

∴w随m的增加而减少，

∴当m10时，w有最大值，最大值为w310135105，

答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米．

8.（2024广西）综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓

度达到洗衣目标．

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．

0.5d前

浓度关系式：d后．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单

0.5w

次漂洗所加清水量（单位：kg）

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%

【动手操作】请按要求完成下列任务：

（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．

【答案】（1）只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．

（2）进行两次漂洗，能达到洗衣目标；

（3）两次漂洗的方法值得推广学习

【解析】

【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；

0.5d前

（1）把d后0.01%，d前0.2%代入d后，再解方程即可；

0.5w

（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；

（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．

【小问1详解】

0.5d前

解：把d后0.01%，d前0.2%代入d后

0.5w

0.50.2%

得0.01%，

0.5w

解得w9.5．经检验符合题意；

∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．

【小问2详解】

解：第一次漂洗：

0.5d前

把w2kg，d前0.2%代入d后，

0.5w

0.50.2%

∴d后0.04%，

0.52

第二次漂洗：

0.5d前

把w2kg，d前0.04%代入d后，

0.5w

0.50.04%

∴d后0.008%，

0.52

而0.008%0.01%，

∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；

【小问3详解】

解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，

∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．

考点1.分式方程的解法

1．把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（）

A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1

C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2

【答案】D

【解答】方程变形得：+＝1，

去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，故选：D．

32

2.方程的解是：x__________．

x2x1

【答案】1

【解析】首先方程两边乘以最简公分母(x2)(x1)去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把x

的系数化为1，最后一定要检验．

去分母得：3(x1)2(x2)，

去括号得：3x32x4，

移项得：3x2x43，

合并同类项得：x=1，

检验：把x=1代入最简公分母中：x20,x10，

∴原分式方程的解为：x=1

【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导

致错误．

13

3.解方程：1．

x12x2

3

【答案】x

2

【解析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．

13

原方程可化为1．

x12x1

方程两边同乘2x1，得22x13．

3

解得x．

2

3

检验：当x时，2x10．

2

3

∴原方程的解是x．

2

【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．

xx3

4.小丁和小迪分别解方程1过程如下：

x22x

小丁：小迪：

解：去分母，得x(x3)x2解：去分母，得x(x3)1

去括号，得xx3x2去括号得xx31

合并同类项，得3x2合并同类项得2x31

解得x5解得x2

∴原方程的解是x5经检验，x2是方程的增根，原方程无解

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出

你的解答过程．

【答案】都错误，见解析

【解析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．

小丁和小迪的解法都错误；

解：去分母，得x(x3)x2，

去括号，得2x3x2，

解得，x1，

经检验：x1是方程的解．

【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．

5．解分式方程：

小明同学是这样解答的：

解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．

去括号，得：x+4＝3x﹣6．

移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．

两边同时除以﹣2，得：x＝5．

经检验，x＝5是原方程的解．

小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

【答案】见解答．

【解答】有错误．

去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），

去括号，得：x﹣4＝3x﹣6，

移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣2，

两边同时除以﹣2，得：x＝1．

经检验，x＝1是原方程的解．

6．观察下列算式：

＝＝，＝＝，＝＝﹣，……

（1）由此可推断：＝；

（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律；

（3）仿照以上方法解方程：+＝．

【答案】见解析

【解析】（1）根据题意得：＝＝﹣；

（2）根据题意得：＝﹣；

（3）方程整理得：﹣+﹣＝，

即＝，

去分母得：x＝2x﹣4，

解得：x＝4，

经检验x＝4是分式方程的解．

故答案为：（1）﹣；（2）＝﹣

3xm3

7．若关于x的分式方程1有增根，则m______．

x2x2

【答案】3．

【解析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后

的整式方程中计算即可求出m的值．

去分母得：3xm3x2，整理得：2xm1，

3xm3

∵关于x的分式方程1有增根，即x20，∴x2，

x2x2

把x2代入到2xm1中得：22m1，解得：m3，故答案为：3．

【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类

问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式

方程中即可求得相关字母的值．

x3a

8．若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．

x33x

1

【答案】1或

2

【解析】直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．

1

去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；

2

3a

当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，

12a

x3a11

故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为1或．

x33x22

点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．

x3m

9.若关于x的方程2解为正数，则