9数学基础知识与典型例题复习-立体几何

PAGE第=PAGE10*2-119页第=PAGE10*220页数学基础知识与典型例题（第九章直线、平面、简单的几何体）引言立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形.平面及空间直线1.平面的基本性质:(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3；经过两条平行直线有且只有一个平面．注：⑴水平放置的平面图形的直观图的画法——用斜二测画法．其规则是：①在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴，再取0z轴，使，且；②画直观图时，把它们画成对应的轴，使(或)，,所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；④已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半．⑵运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题。2.空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.⑴相交直线───共面有且只有一个公共点；⑵平行直线───共面没有公共点；①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．⑶异面直线───不同在任一平面内.平面及空间直线(Ⅰ)两条异面直线所成的角(或夹角)：对于两条异面直线，经过空间任一点O作直线∥,∥，则与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围是．(Ⅱ)两条异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离．注：①如图:设异面直线a，b所成角为则EF2=m2+n2+d2±2mncos或②证明两条直线是异面直线一般用反证法。例1.“直线a经过平面外一点P”用符号表示为()(A)(B)(C)(D)例2.对于空间中的三条直线，有以下四个条件：①三条直线两两相交；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交.其中使这三条直线共面的充分条件有（）个

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4例3.如图ABCD—A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D(A)A、M、O三点共线(B)M、O、A1、A四点共面(C)A、O、C、M四点共面(D)B、B1、O、M四点共面例4.直线互相平行的一个充要条件是()(A)都垂直于同一平面(B)l1平行l2所在的平面(C)与同一平面所成的角相等(D)l1，l2都平行于同一平面例5.a,b为两异面直线，下列结论正确的是()(A)过不在a,b上的任何一点，可作一个平面与a,b都平行(B)过不在a,b上的任一点，可作一直线与a,b都相交(C)过不在a,b上任一点，可作一直线与a,b都平行(D)过a可以并且只可以作一个平面与b平行例6.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为(A) (B)(C) (D)例7.已知如右图，在中选择适当的符号填入各个空格：ABβ，AAB，Aβ，CD，A，BDβ，D。例8.已知正的边长为,则到三个顶点的距离都为1的平面有______个.例9.平面及空间直线例一副三角板ABC和ABD如图摆成直二面角，若BC＝a，求AB和CD的夹角的余弦值。直线和平面平行与平面和平面平行1.直线和平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.注:直线与平面相交和直线与平面平行统称为直线在平面外．(1)直线在平面内——有无数个公共点;(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行——没有公共点．①直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.即②直线和平面平行的性质定理:如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.即2.两个平面的位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况）(1)两个平面相交———有一条公共直线．(2)两平面平行———没有公共点(Ⅰ)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.即推论：①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.即②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.即;(Ⅱ)两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.即注:平行问题常用平行转化的思想:直线和平面平行与平面和平面平行例11.若直线a⊥b，且a∥平面，则直线b与平面的位置关系是()(A)b (B)b∥(C)b或b∥ (D)以上都不对例12.若直线l与平面的一条平行线平行，则l和的位置关系是()(A)(B)(C)(D)例13.直线与平面平行的充要条件是()(A)直线与平面内的一条直线平行(B)直线与平面内的两条直线不相交(C)直线与平面内的任一直线都不相交(D)直线与平行内的无数条直线平行例14.“平面内不共线的三点到平面的距离相等”是“∥”的（）(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件例15.夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是()。(A)两条线段同时与平面垂直(B)两条线段互相平行(C)两条线段相交(D)两条线段与平面所成的角相等例16.经过平面外一点可以作个平面平行于这个平面；可以作条直线平行于这个平面.例17.如图，直线AC、DF被三个平行平面、、γ所截，已知AB=2，BC=3，EF=4，则DF=。例18.给出下列四组命题：pq①直线l∥平面l上两点到的距离相等②直线l⊥平面l垂直于内无数条直线③平面∥平面直线，且④平面内任一直线平行于平面满足p是q的充分且必要条件的序号是________．例19.如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：(1)DF//平面ABC；(2)AF⊥BD例20.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD⑴EG∥平面BB1D1D；⑵平面BDF∥平面B1D1H；⑶A1O⊥平面BDF；⑷平面BDF⊥平面AA1直线和平面垂直1.直线和平面垂直:(1)定义:如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么就说直线和平面互相垂直.记作:(2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即(3)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即2.三垂线定理:(1)斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．注：垂线段比任何一条斜线段短．⑵三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.即三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.即3.直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．注:①最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．即（为最小角，如图）其中1为斜线OA与平面所成角，即为∠OAB，2为OA射影AB与内直线AC所成的角，为∠OAC.显然，>1，>2②一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，就说它们所成的角是的角，可见，直线和平面所成的角的范围是．③直线与平面所成的角：关键是找直线在平面内的射影.④三垂线定理及其逆定理在证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线等非常有用.⑤垂直转化:直线和平面垂直例21.等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则BD与平面ABC所成角的正切值为()(A)(B)(C)1(D)例22.命题:（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影;（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线;（3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线;（4）一个锐角在一个平面内的射影一定是锐角.以上命题正确的有（）(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个例23.平面内有一四边形ABCD，P为外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（）(A)必有外接圆(B)必有内切圆(C)既有内切圆又有外接圆(D)必是正方形例24.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB为底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，∠CAB=，∠PBA=θ，∠CPB=，则（）(A)cosθ·sin=sin (B)sinθ·sin=sin(C)cosθ·cos=cos (D)cosθ·sin=cos例25.如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，∠ACB=90o.则图中Rt△的个数为（）（A）4（B）3（C）2（D）1例26.下列四个命题:①l∥m,m∥n,n⊥l⊥；②l∥m,m⊥,n⊥l∥n③l∥m,l⊥,m⊥；④l∥,m⊥l⊥m其中错误命题的个数是（）(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个例27.下列命题中正确的是 （）(A)过平面外一点作此平面的垂面是唯一的(B)过直线外一点作此直线的垂线是唯一的(C)过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的(D)过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的例28.将正方形ABCD沿着对角线BD折成一个四面体ABCD,在下列给出的四个角度中，①30°②60°③90°④120°，不可能是AC与平面BCD所成的角是．（把你认为正确的序号都填上）例29.如图，的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为______.例30.空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直,∠PBA＝45°,∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.二面角及平面与平面垂直1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角.如图二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点O为端点，在两个半平面内分别作棱的垂线OA、OB，这两条射线OA、OB所成的角∠AOB叫做二面角的平面角．直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．2.两个平面互相垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．即⑴两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．即⑵两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．即注:找二面角的平面角的方法主要有：①定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性．②三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．④射影法：利用面积射影公式:，其中为平面角的大小，是射影的面积.此方法不必在图中画出平面角来．.例31.若平面、互相垂直，则()(A)中的任意一条直线垂直于(B)中有且只有一条直线垂直于(C)平行于的直线垂直于(D)内垂直于交线的直线必垂直于例32.如图，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，且AB与l所成的角为，A、B到l的距离分别为1、，则线段AB的长是()(A)4(B)(C)(D)例33.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，连结D1E，则二面角的正切值等于()(A)(B)(C)(D)二面角及平面与平面垂直例34.如图所示，四边形BCDE是正方形，AB⊥平面BCDE,则图中互相垂直的平面有()(A)4对(B)5对(C)7对(D)8对例35.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则()(A)P3＞P2＞P1 (B)P3＞P2=P1(C)P3=P2＞P1 (D)P3=P2=P1例36.已知平面、、γ，直线l、m，且，给出下列四个结论：①；②；③；④.则其中正确的个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例37.将边长为a的正六边形ABCDEF沿AD折成二面角E—AD—C，使CE=a,则二面角E—AD—C的大小为_________.例38.将椭圆所在平面沿折成60的二面角，则椭圆两个焦点F1，F2的距离=______.例39.如图，矩形ABEF和正方形ABCD有公共边AB，它们所在平面成600的二面角，AB=CB=2a,BE=a,则FC=例40.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；（2）求PC与平面PBD所成的角；（3）在线段PB上是否存在一点E，使得PC⊥平面ADE？若存在，请加以证明，并求此时二面角A—ED—B的大小；若不存在，请说明理由.简单几何体1.棱柱(1)棱柱的定义：如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线互相平行,这样的多面体叫做棱柱．(2)棱柱的分类：简单几何体(3)棱柱的主要性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形;③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(4)平行六面体与长方体:①概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体;侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体;底面是矩形的直平行六面体叫长方体．棱长都相等的长方体叫正方体．②性质定理：(Ⅰ)平行六面体的对角线交于一点，并且交点处互相平分.(Ⅱ)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.即设长方体的长、宽、高分别为、、，对角线长为，则．推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,则.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,则.(5)棱柱的侧面积和体积公式:①直棱柱的侧面积和体积公式:如果直棱柱的底面周长是C，高是，那么它的侧面积是S直棱柱=Ch;如果直棱柱的底面面积是S，高是，那么它的体积是v直棱柱=Sh．②斜棱柱的侧面积和体积公式:如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长为C，侧棱长为，那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧=Cl;如果斜棱柱的直截面的面积为S，侧棱长为z，那么它的体积是V斜棱柱=Sz．注:2.棱锥(1)棱锥的概念和性质:①棱锥:如果一个多面体的一个面是多边形,其余是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥.②棱锥的分类：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，因此我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…….③性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．(2)正棱锥的概念和性质:①正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥．②正棱锥的性质:(ⅰ)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各侧面底边上的高叫棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等．(ⅱ)正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形;正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．3)棱锥的面积和体积:①棱锥的全面积(S全)等于底面积(S底)和侧面积(S侧)之和，即S全=S底+S侧．若C为正棱锥的底面周长，为斜高，则S侧=;②棱锥的体积等于它的底面积(S底)与高()的乘积的，即V棱锥=.简单几何体3.正多面体:每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.正多面体只有五种,如图:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.4.球:(1)球面和球的概念:与定点的距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球.定点叫做球心,定长叫做球的半径.与定点距离等于定长的点集合叫做球面.如图的球中，O是球心，线段OC是半径，线段AB是直径，球一般用表示它的球心的字母来表示，上图记为球O.⑵球的截面的性质:①用一个平面去截球，截面是圆；②球心到截面圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：;注:球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆.⑶球面面积S球面=4πR2；球体积V球=πR3.⑷经度、纬度和球面距北极、南极的连线称为地轴.英国的格林威治天文台与地轴形成一个大圆，以地轴为直径，天文台所在半圆弧称为O°经线，也称为本初子午线.经线指的是某点与地轴形成半圆圆弧，赤道面指的是垂直于地轴.某地点的经度指的是经过这点的经线与地轴确定的半平面与O°经线与地轴确定的半平面所成二面角的度数，实质是二面角.某地点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，本质是线面角.注意：东西经180°经线重合，如图1.球面距离指的是经过两点的大圆的劣孤长，也是球面上经过这两点的最短距离.如图2所示：NS为地轴，P所在经线为，设P点所在经线为0°经线，B所在经线为东径n度(n＝∠AOB)，P在北纬m度(m＝)要确定Q在地球上的位置，必须知道Q的经度与纬度.注:⑴棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题.在正棱锥中，要熟记由高PO，斜高PM，侧棱PA，底面外接圆半径OA，底面内切圆半径OM，底面正多边形半边长OM，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。⑵多面体中表面上两点的最短距离。多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。⑶关于组合体体积的计算问题。有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。简单几何体因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。⑷关于等积变换问题(等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等.)等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体——四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。用等积变换求点到平面的距离,是用两种不同的体积计算方法,来建立所求距离的方程,使问题得解.异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。⑸球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。例41.M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体},下列关系中正确的是（）(A)QMNP(B)QMNP(C)QNMP(D)QNMP例42.四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是()(A)各侧面是正三角形(B)底面是正方形(C)各侧面三角形的顶角为45度(D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上例43.A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作的大圆个数是()(A)只能作一个(B)无数个(C)可能作一个或零个(D)以上都不对例44.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（）(A) (B)56π (C)14π (D)64π例45.将两邻边长之比为3:4的长方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，若四点A、B、C、D的外接球的球面面积为100π，则B、D两点间的球面距离为（）(A)(B)(C)(D)3例46.设地球半径为R，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那么这两地间的纬线之长为（）(A)πR (B)πR (C)πR (D)2πR例47.如图，以正方体ABCD—的顶点为顶点，且四个面均为直角三角形的四面体是.(要求：只写出其中的一个，并在图中画出相应的四面体)例48.若棱锥底面面积为，平行于底面的截面面积是，底面和这个截面的距离是，则棱锥的高为；例49.已知A，B，C，D为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD的距离等于_____________。例50.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。空间角与距离1.角：异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。2.距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。线面距离，面面距离常化归为点面距离。3.计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②补形法.直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90°方法：关键是作垂线，找射影.二面角范围：0°≤θ≤180°方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算（2）空间距离①两点之间的距离.②点到直线的距离.③点到平面的距离.④两条平行线间的距离.⑤两条异面直线间的距离.⑥平面的平行直线与平面之间的距离.⑦两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.注:在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.⑤平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变例51.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()(A)30° (B)45°(C)60°(D)90°例52.如图，AB=2，AC⊥，BD⊥，C，D，CD=1，则直线AB与所成的角为（）(A)30(B)60(C)arctan(D)45例53.已知正方形ABCD，沿对角线AC将△ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为，当取最大值时，二面角B―AC―D等于()(A)1200(B)900(C)600(D)450例54.若三直线PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=3，则点P到平面ABC的距离为（）(A)(B)(C)(D)空间角与距离例55.等边△ABC的边长是1，BC边上的高是AD，沿AD折成直二面角，则点A到BC的距离是（）(A)(B)(C)(D)1例56.如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E是的中点，那么异面直线OE和之间的距离等于()(A)(B)1(C)(D)例57.正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）BC1与底面ABCD所成角为；（2）A1C与底面ABCD所成的角的正切值为；（3）BC1与对角面BB1D1D所成的角为例58.若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是.例59.二面角为，在其内一点到平面的距离分别为2，3，，则的周长的最小值为.例60.如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中.（1）求证：；（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的大小；（3）求到平面PAD的距离.空间向量及其运算1.空间向量及其加减与数乘运算：(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量．长度相等且方向相同的有向线段表示同一向量或相等的向量．(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广．(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：;加法结合律：;数乘分配律：.空间向量及其运算2.共线向量与共面向量:(1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量．任意两个向量总是共面的．(3)共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使;推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数,满足等式.其中向量叫做直线的方向向量.(4)共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对，使.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对，使或对空间任一定点O，有.3.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量．推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z,使(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是△BCD的重心，则向量用即证.4.两个向量的数量积(1)向量的数量积(2)向量的数量积的性质:①(是单位向量)；②③.(3)向量的数量积满足如下运算律:①交换律:;②与实数相乘的结合律=;③分配律:.注:向量的数量积不满足结合律即5.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用来表示．在空间选定一点O和一个单位正交基底，如图，以点O为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，点O叫原点，向量都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称xOy平面、yOz平面、z0x平面．作空间直角坐标系O—xyz时，一般使∠xOy=1350,∠yOz=900．对于空间任一向量，由空间向量的基本定理知，存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫做在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记为=．对于空间任一点A，对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组x，y，z，使，即点A的坐标为.空间向量及其运算空间向量的直角坐标运算:设=(a1,a2,a3),，则①,②,③④∥⑤⑥(用到常用的向量模与向量之间的转化：)⑦⑧设，则=这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．则，这就是空间两点间的距离公式．6.法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果,那么向量叫做平面的法向量.法向量的用法：①利用法向量可求点到平面的距离定理：如图，设是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.(实质是在法向量方向上的投影的绝对值)②利用法向量可求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.③直线与平面所成角(为平面的法向量).④异面直线间的距离(的公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).(实质是在公垂向量方向上的投影的绝对值)例61.已知向量＝(－1，3，－2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝，则的模为()(A)(B)(C)12(D)13空间向量及其运算例62.如图，已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于()(A)(B)(C)(D)例63.若、、三个单位向量两两之间夹角为,则|++|＝()(A)6(B) (C)3 (D)例64.设＝，＝，＝，则使A、B、C三点共线的条件是 ()(A)， (B) (C)(D)例65.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是()(A)钝角三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)不确定例66.设是平面内的两个非零向量，则＝0，＝0是为平面的法向量的()(A)充分条件 (B)充要条件 (C)必要条件 (D)例若A(－1，2，3)、B(2，－4，1)、C(x，－1，－3)是直角三角形的三个顶点，则x＝．例68.已知，，，若，，共同作用在一个物体上，使物体从点M1(1,－2,1)移到点M2(3,1,2)，则合力所作的功为______.例69.这四个点是否共面__________.(注:共面填“是”,不共面填“否”)例70.如图直角梯形OABC中，∠COA＝∠OAB＝，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.⑴求的大小（用反三角函数表示）；⑵设①②OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）；③O到平面SBC的距离.⑶设①________.②异面直线SC、OB的距离为_______.（注：⑶只要求写出答案）数学基础知识与典型例题(第九章直线、平面、简单的几何体)答案例1.C例2.A例3.D例4.A例5.D例6.B例7.例8.8例9.4例10.解:∵BC＝a,∠BAC＝45°,∴AC＝a,AB＝a,△ABD中，AB＝a，∠DAB＝30°，∴BD＝a,AD=a,作CE//AB,且CE=AB,∴∠BCE=135°,则BE=a,又CD=a,∴BE=a,DE=a,∠DCE是AB与CD所成的角或其补角,∴cos∠DCE==－,∴cos=.例11.D解析：b与可能相交，可能平行，也可能b在内，故选(D)例12.C例13.C例14.C例15.D例16.1个，无数个例17.例18.④例19.(1)过F作FG⊥AB于G，FG//AE，FG＝AE，又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD//AE，CD＝AE，∴FG//CD，FG＝CD，∴四边形CDFG是平行四边形，DF//CG，CG平面ABC，∴DF//平面ABC；(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE中点，∴AF⊥BE，又DF⊥FG，DF⊥AE，∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，又BE⊥AF，∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD。例20.解析：（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是.（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。⑶为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。猜想A1O⊥OF.借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O（4）∵CC1⊥平面AC∴CC1⊥BD又BD⊥AC∴BD⊥平面AA1C又BD平面BDF∴平面BDF⊥平面AA1例21.B例22.A例23.B例24.A例25.A例26.A例27.C例28.③④例29.例30.分析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解∵PA⊥AB,∴∠APB＝90°在RtΔAPB中,∵∠ABP＝45°,设PA＝a,则PB＝a,AB＝a,∵PB⊥PC，在RtΔPBC中，∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝a.∵AP⊥PC,∴在RtΔAPC中，AC＝＝＝2a(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB，∴BC在平面PBC上的射影是BP.∠CBP是CB与平面PAB所成的角∵∠PBC＝60°,∴BC与平面PBA的角为60°.(2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝AB＝2a.∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.∴AB⊥平面说明:要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.例31.D例32.C例33.B例34.C例35.D例36.C例37.例38.例39.例40.(1)∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，又∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，∴AC⊥平面PBD，又AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由（1）知，AC⊥平面PBD，∴PC在平面PBD内的射影是PO，∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，∵PD=AD,∴在Rt△PDC中，PC=CD，而在正方形ABCD中，OC=AC=CD，∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°