2025年中考数学压轴题拔高训练专题四二次函数的图象与直线的交点含答案VIP

/专题四二次函数的图象与直线的交点1.抛物线与直线的交点坐标(1)抛物线y=ax²+bx+ca≠0与直线y=m交点的横坐标即为方程ax²+bx+c=m的解x₁,x₂说明：由于直线y=m平行于x轴或与x轴重合，故(2)抛物线y=ax²+bx+ca≠0若方程组y=ax2+bx+c,y=kx+d2.抛物线y=ax²+bx+ca≠0(1)方程ax²+bx+c=kx+m(即ax²+b−k①b−k²−4a②b−k²−4a③b−k(2)含参二次函数y=ax²+bx+ca≠0的图象与已知直线y=kx+m(k≠0)在一个范围内有交点一般转化为方程ax²+bx+c=kx+m①仅常数项未知时，转化为动直线y=c与定抛物线在某范围内的交点问题(例2变式1)；②仅二次项系数未知时，转化为动抛物线y=ax²与定线段的交点问题(例2变式2)；③仅一次项系数未知时，转化为动直线y=bx与定抛物线在某范围内的交点问题(例2变式3).应用举例1.二次函数图象与直线的交点个数例1在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则()变式设函数y₁=x+ax+b的图象与x轴有m个交点，函数y₂=(ax+1)(bx+1)白的图象与x轴有n个交点，则所有可能的数对(m,n)是2.二次函数图象与直线或线段的交点例2已知抛物线y=ax²−2x+1a≠0(1)求a的值;(2)设直线y=m(m>0)与抛物线y=ax²−2x+1交于点A,B,与抛物线y=3x−1变式1抛物线y=−x²+3x+c0≤x≤3A.2<c≤5B.2<c≤5或c=1C.2≤c≤5D.2≤c≤5或c=1变式2在平面直角坐标系中,已知M(--1,--2),N(2,1),若抛物线y=ax²−2x+1a≠0A.1≤a<9B.1≤a<C.a≤1或a>D.a≤-5或a≥1变式3已知点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),若抛物线y=x²+bx+1与线段AB只有一个交点，则b的取值范围为 进阶训练1.在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为(0,2)和(4,2),若抛物线y=ax²−2ax+3(a<0)与线段AB有且只有一个交点，则a的取值范围是.2.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过(--3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax²+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.若关于x的方程ax²+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根，则这两个整数根是()A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或43.已知A,B两点的坐标分别为(3,-4),(0,-2),线段AB上有一动点M(m,n),过点M作x轴的平行线交抛物线y=ax−1²+2于P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)两点.若A.−4≤a<−32C.−32≤a<04.将二次函数y=−x²+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图1-4-1所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为()A.−214或-3C.214或-3D.135.如图1-4-2,已知抛物线y₁=−x²+4x和直线y₂=2x+b.我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y₁和y₂.若y₁≠y₂,取y₁和y₂中较大者为M;若.y₁=y₂,记M=y₁=y₂..①当x=2时,M的最大值为4;②当b=-3时,使M>y₂的x的取值范围是-1<x<3;③当b=-5时,使M=3的x的值是x₁=1,x₂=3;④当b≥1时,M随x的增大而增大.上述结论正确的是(填写所有正确结论的序号).6.如图1-4-3,抛物线y=x²+mx与直线y=-x+b交于点A(2,0)和点B.(1)求m和b的值;(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x²+mx>−x+b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围.7.已知抛物线y=x²−(1)当m=0时，请判断点(2，4)是否在该抛物线上；(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；(3)已知点E(-1,-1),F(3,7),若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.8.在平面直角坐标系中，抛物线y₁=−(x+4)x−n与x轴交于点A和点B(n,0)(n≥−4),顶点坐标记为ℎ₁k₁.抛物线y₂=−(1)写出A点坐标;(2)求k₁,k₂的值(用含n的代数式表示)；(3)经过点M2n+9−5n²和点N(2n,9-5n²)的直线与抛物线y₁=−x+4 专题四二次函数的图象与直线的交点答案|应用举例|例1C[解析]·:y=x+a∴∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点.∴M=2.∵函数yax+1bx+1∴当ab≠0时,a+b函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点,即N=2,此时M=N;当ab=0时,不妨令a=0,∵a≠b,∴b≠0,函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数.图象与x轴有一个交点,即N=1,此时M=N+1.综上可知,M=N或M=N+1.故选C.变式(1,0),(1,1),(2,1),(2,2)[解析]当a≠b时,m=2;当a=b时,m=1.当a=b=0时,n=0;当a=b≠0时,n=1;当a≠b=0或0=a≠b时,n=1;当非零数a≠非零数b时，n=2.∴(m,n)可能是(1,0),(1,1),(2,1),(2,2).例2解:(1)抛物线.y=ax²−2x+1a≠0的对称轴为直线(2)由(1)可知，抛物线的解析式为y=x²−2x+1.由y=m(m>0)与.y=x²−2x+1,得x−1∴∴线段AB长度为x由y=m(m>0)与.y=3(x-1)², 可得3x−1∴线段CD长度为23m3变式1B[解析]−x²+3x+c=x+2,即c=x²−2x+2.∴当0≤x≤3时,抛物线y=x²−2x+2与直线y=c只有一个交点.如图,点A(0,2),B(3,5),顶点C(1,1),结合图象，可知当c=1或2<c≤5时只有一个交点.变式2A[解析]解法1(转化为方程求解)：易得过M(-1,-2),N(2,1)的直线表达式为y=x-1.当ax²−2x+1=x−1时，ax²=3x−2.当x=-1时,3x-2=3×(-1)-2=-5;当x=2时,3x-2=3×2-2=4,∴线段的端点转化为A(-1,-5),B(2,4).∴抛物线.y=ax²与线段AB有两个交点.①当a>0时，若直线AB与抛物线y=ax²只有一个交点，则方程ax²=3x−2有两个相等的根，有−3²−4a⋅此时有98x2−3x+2=0,解得当抛物线y=ax²过B(2,4)时,得a=1.由图象知：抛物线.y=ax²的开口大小位于上述两种情况之间时，与线段AB必有两个交点，∴1≤a<②当a<0时，显然抛物线y=ax²与线段AB在第四象限必有一个交点.当抛物线y=ax²过点A(-1,-5)时,得a=-5.由图象知：当抛物线y=ax²的开口大小不大于抛物线y=−5x²的开口大小时与线段AB在第三象限必有一个交点,∴a≤-5.综上，1≤a<9解法2(数形结合求解):易得过M(-1,-2),N(2,1)的直线表达式为y=x-1.令ax²−2x+1=x−1,则ax²−3x+2=0.∵直线与抛物线有两个交点，.∴△=−3²−4×a×2>0.解得当x=0时,y=1,∴抛物线恒过定点(0,1).结合图象可知：①当a<0时,a+2+1≤−2,4a−4+1≤1,②当0<a<98时.解得a≥1,∴1≤a<综上，1≤a<9变式3b=±2或b>2.5或b<-2.5[解析]解法1(转化为方程求解)：当y=0时，x²+bx+1=0,∴bx=−x²−1在--2≤x≤2范围内只有一个解.当x=-2时,−x²−1=−5,当x=2时,−x²−1=−5,记M(-2,-5),N(2,-5),∴直线y=bx与定抛物线.y=−x²−1在线段MN上只有一个交点.如图，当直线y=bx与定抛物线.y=−x²−1只有一个交点时，方程x²+bx+1=0有两个相等的根，由△=b²−4=0得b=±2,此时x²±2x+1=0,,解得x=±1(在-2≤x≤2范围内),∴成立.由图象知：当b≤-2或b≥2时直线y=bx与定抛物线y=−x²−1有一个或两个交点.当直线y=bx过点M(-2,-5)时,b=2.5;当直线y=bx过点N(2,-5)时,b=-2.5.由图象知:当直线y=bx位于直线y=-2.5x与直线y=-2x之间或位于直线y=2x与直线y=2.5x之间时与抛物线y=−x²−1有两个交点,即-2.5≤b<-2或2<b≤2.5时,直线y=bx与抛物线.综上,b=±2或b>2.5或b<-2.5.解法2(数形结合求解)：依题意，应分为两种情况讨论：①当Δ=0，即二次函数图象的顶点在x轴上时，b²−4=0,解得b=±2.此时交点为(-1,0)或(1,0),符合题意.②当△>0，即二次函数图象顶点在x轴下方时，根据二次函数的图象恒过定点(0，1)，结合图象可知有以下四种可能：或4+2b+1=0,−b2>2或4+2b+1>0,4−2b+1<0|进阶训练|1.a≤−18[解析]抛物线y=ax²−2ax+3的对称轴为直线：x=−∵a<0，∴抛物线的开口向下.其大致图象如图.当抛物线.y=ax²−2ax+3经过点B(4,2)时,2=a×4²−2a×4+3,解得a=−18,对于抛物线∵抛物线y=ax²−2ax+3与线段AB只有一个交点，∴|a|≥−又∵a<0,∴a≤-18.∴a的取值范围是2.B[解析]方程ax²+bx+c+m=0的根,即抛物线y=ax²+bx+c与直线y=-m交点的横坐标.∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过(--3,0)与(1,0)两点,∴抛物线的对称轴为直线x=-1.又∵关于x的方程ax²+bx+c+m=0m0)有两个根，其中一个根是3，设方程ax²+bx+c+n=0的两根为x₁,x₂,∵0<n<m,∴抛物线.y=ax²+bx+c和直线y=-m,y=-n的大致图象如图.∴−5<x₁<−3,1<x₂<3.∵方程ax²+bx+c+n=0有两个整数根，∴方程的两个整数根为-4或2.3.C[解析]如图,抛物线.y=ax−1²+2的顶点坐标为(1,2),当抛物线.y=ax−1²+2经过点A(3,-4)时,观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时满足条件，∴−34.A[解析]抛物线y=−x²+2x+3的顶点坐标为(1,4),与x轴的交点为A(-1,0),B(3,0).把抛物线y=−x²+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分所在抛物线的解析式为y=x−1∴3+b=0.解得b=-3.当直线y=x+b与抛物线y=x−1²−4(−1≤x≤3)只有一个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，即方程(x−1²−4=x+b有两个相等的实数解，整理得x²−3x−b−3=0,△=3²−4−b−3=0,解得b=5.②④[解析]对于①:当x=2时,.y₁=−2²+4×2=4,y₂=2×2+b=4+b,显然只要b>0,M的值就为4+b,故①错误;对于②：当b=-3时，在同一直角坐标系内画出y₁，y₂的图象，如图①，解y=−x2+4x,y=2x−3,得∴两个函数图象的交点坐标为(-1，-5)和(3，3)，观察图象可知使M>y₂的x的取值范围是-1<x<3,故②正确；对于③：当b=-5时，在同一直角坐标系内画出.y₁,y₂的图象，如图②，故M=3时分类讨论：当y₁=−x²+4x=3时,解得x₁=3,x₂=1;当y₂=2x−5=3时，解得.x₃=4,，故③错误；对于④：令−x²+4x=2x+b,由△=0,解得b=1.结合图③可知当b≥1时,y₂≥y₁.故此时M=y₂，故M随x的增大而增大，故④正确.故答案为②④.6.解:(1)∵抛物线y=x²+mx经过点A(2,0),∴4+2m=0.∴m=-2.∵直线y=-x+b经过点A(2,0),∴-2+b=0.∴b=2.(2)当x²−2x=−x+2时，解得x₁=−1,x₂=2.∴点B的坐标为(-1,3).结合图象可知，不等式x²+mx>−x+b的解集为x<-1或x>2.(3)-1≤xM<2或xM=3.[解析]当点M在线段AB上(不含点A)时，∵MN=3，而A，B两点间的水平距离为3，故此时只有一个交点,即-1≤xM<2;当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点A的右侧时，当xM=3时，抛物线和线段MN交于抛物线的顶点(1,--1),即xM=3时,线段MN与抛物线只有一个公共点.综上，-1≤xM<2或x7.解:(1)当m=0时,抛物线为y=x²−x+3.将x=2代入得y=4-2+3=5,∴点(2，4)不在抛物线上.(2)抛物线.y=x²−m+1x+2m+3的顶点坐标为化简得m+12而−∴当m=3时，顶点纵坐标最大，即顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为(2，5).(3)由点E(-1,-1),F(3,7)得直线EF的解析式为y=2x+1.由y=2x+1,得x=2,y=5或∴直线y=2x+1与抛物线y=x²−m+1而(2,5)在线段EF上,∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则(m+1，2m+3)不在线段EF上或(2,5)与(m+1,2m+3)重合,∴m+1<-1或m+1>3或m+1=2(此时2m+3=5).∴抛物线顶点的横坐标x顶点=m+12<−18.解:(1)∵y₁=-(x+4)(x-n),令y₁=0,则-(x+4)(x-n)=0,