2025年中考数学一轮复习教材考点复习二次函数的角度、相似问题（二阶）（学生版+教师版）

/2025年数学一轮复习教材考点复习二次函数的角度、相似问题（二阶）学生版考法探究突破考法一相似三角形问题1.探究相似三角形存在性问题的具体步骤：（1）找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角；（2）表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段长；（3）建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解.考法二角度问题2.若所求角为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解；3.若探究角度之间的数量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过解直角三角形求解或通过平行线求解.题型分类过关类型一相似存在性问题考法一相似为条件1.（2023天桥一模节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过A（－2，0），与y轴交于点B（0，4），直线x＝3与x轴交于点C（1）求该抛物线的表达式.（2）正比例函数y＝kx的图象分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，当△BDO与△OCE相似时，求线段OD的长度.考法二相似三角形存在性2.（2023高新二模节选）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－34x＋3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E（1）求抛物线的函数表达式；（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.类型二角存在性问题考法一特殊角3.（2023天桥二模节选）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点H的坐标.考法二相等角4.（2023槐荫二模节选）如图，已知以D为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B两点，与y轴交于C点，对称轴为直线x＝－2.（1）求抛物线的表达式；（2）连接BC，∠BCO和∠ACD有怎样的数量关系，请说明理由.考法三相等角为条件5.（2024历下一模节选）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝12x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2＋bx＋c经过点A，且顶点在直线AB上（1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO.若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由.考法四二倍角6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝12x－2的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，B.点P为第四象限内抛物线上的一个动点（1）求此抛物线的函数表达式.（2）当∠PBA＝2∠BAO时，求点P的坐标.考法五A＋B＝C型角度问题7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点A（－2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC.（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＋∠CAO＝90°的点E的坐标.达标演练检测1.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过A（－1，0），B（4，0），C（0，2）三点.（1）求这个二次函数的表达式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标.2.（2023济阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x－3）2＋4过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.（1）求a的值，并直接写出A，B两点的坐标；（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且∠BOP＝45°，求点P的坐标.3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝43x2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，－4），点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）.设点P坐标为m，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D.（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求m的值.4.如图，抛物线y＝－12x2＋x＋4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，且点P的横坐标为t（0＜t＜6），连接AP，过点A作BC的平行线交抛物线于点D，连接DP（1）求点A，B，C的坐标；（2）当t＝2时，求证：△ADP是直角三角形；（3）连接PC，过点P作PE⊥PC，交直线AD于点E，连接AC，CE，是否存在点P，使得△PCE与△AOC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习二次函数的角度、相似问题（二阶）学生版考法探究突破考法一相似三角形问题1.探究相似三角形存在性问题的具体步骤：（1）找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角；（2）表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段长；（3）建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解.考法二角度问题2.若所求角为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解；3.若探究角度之间的数量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过解直角三角形求解或通过平行线求解.题型分类过关类型一相似存在性问题考法一相似为条件1.（2023天桥一模节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过A（－2，0），与y轴交于点B（0，4），直线x＝3与x轴交于点C（1）求该抛物线的表达式.（2）正比例函数y＝kx的图象分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，当△BDO与△OCE相似时，求线段OD的长度.解：（1）∵抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过A（－2，0），B（0，4）两点∴－解得b=1，c=4，∴该抛物线的表达式为y＝－12x（2）∵A（－2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4.在Rt△AOB中，AB＝OA2＋OB2＝22＋42＝25.∵△BDO与△OCE相似，∴∠BDO＝∠OCE＝90°.∵S△AOB＝12OA·OB＝12OD·AB，∴12×2考法二相似三角形存在性2.（2023高新二模节选）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－34x＋3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E（1）求抛物线的函数表达式；（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.解：（1）在y＝－34x＋3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝4，∴A（4，0），B（0，3），将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中，得－42+4b＋c=0，c=3，解得b（2）存在.如图，过点B作BH⊥CD于点H，设C（t，0），则Dt,−Et,−34t+3，H（∴EC＝－34t＋3，AC＝4－t，BH＝t，DH＝－t2＋134t，DE＝－t2＋4∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE.①当△BDE∽△ACE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，此时BD∥AC，可得D134，3.②当△DBE∽△ACE时，∠BDE＝∠CAE.∵BH⊥CD，∴∠BHD＝90°，∴BHDH＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝CEAC，即BH·AC∴t（4－t）＝－3解得t1＝0（舍），t2＝4（舍），t3＝2312，∴D（2312，50综上所述，点D的坐标为134，3类型二角存在性问题考法一特殊角3.（2023天桥二模节选）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点H的坐标.解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（－1，0），B（3，0）两点，∴a－b+6=0，9a+3b+6=0，解得a＝－2，b=4（2）由（1）得，点C（0，6）.设直线BC的表达式为y＝kx＋c，∵直线BC经过点B（3，0），C（0，6），∴3k＋c=0，c=6，解得k＝－2，c=6，∴直线BC的表达式为y＝－2x＋6.设点H的坐标为（m，－2m＋6），如图，过点H作HK⊥y轴于点K，过点M作MS⊥y轴于点S.则∠MSO＝∠OKH＝90°，∵OH⊥OM，∴∠MOH＝90°，∵∠BMO＝45°，∴△MOH是等腰直角三角形，∴OM＝OH.∵∠MOS＋∠KOH＝90°，∠OHK＋∠KOH＝90°，∴∠MOS＝∠OHK，∴△OMS≌△HOK（AAS），∴MS＝OK，OS＝HK.∴M（2m－6，m）.∵点M（2m－6，m）在直线y＝－2x＋6上，∴－2（2m－6）＋6＝m，解得m＝185，则－2m＋6考法二相等角4.（2023槐荫二模节选）如图，已知以D为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B两点，与y轴交于C点，对称轴为直线x＝－2.（1）求抛物线的表达式；（2）连接BC，∠BCO和∠ACD有怎样的数量关系，请说明理由.解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A（－3，0），对称轴为直线x＝－2.∴－解得a=1，b=4，∴抛物线的表达式为y＝x2＋（2）令y＝x2＋4x＋3＝0，则（x＋1）（x＋3）＝0，解得x1＝－1，x2＝－3，∴A（－3，0），B（－1，0）.令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OB＝1，OC＝3，∴tan∠BCO＝OBOC＝13.∵当x＝－2时，y＝－1，∴D（－2，－1），而A（－3，0），C（0，3），∴AD＝(−2+3）2＋(−1－0）2＝2，CD＝(−2－0）2＋(−1－3）2＝25，AC＝32＋32＝32，∴AC2＋AD2＝CD考法三相等角为条件5.（2024历下一模节选）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝12x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2＋bx＋c经过点A，且顶点在直线AB上（1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO.若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将x＝0代入y＝12x＋1，得y＝1，∴A（0，1），将y＝0代入y＝12x＋1，得x＝－2，∴B（－2，0∵抛物线M的顶点在点B（－2，0）且过点A（0，1），设y＝a（x＋2）2，将A（0，1）代入y＝a（x＋2）2，得a＝14，∴抛物线的表达式为y＝14（x＋2）（2）作O关于AB的对称点O'，则OO'⊥AB，设垂足为D，则点D为O与O'的中点，如图所示.∵直线AB的表达式为y＝12x＋1，∴OO'的表达式为y＝－2x联立y＝12x+1，y＝－2x，解得x＝－25，y＝45，即D－25，45，O'－45，85.设直线BO'的表达式为y＝kx＋b，将点B（－2，0）和点O'－45，85代入，可得0=－2k＋b，85＝－45k＋b，，解得k＝43，b＝83，考法四二倍角6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝12x－2的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，B.点P为第四象限内抛物线上的一个动点（1）求此抛物线的函数表达式.（2）当∠PBA＝2∠BAO时，求点P的坐标.解：（1）令x＝0，得y＝12x－2＝－2，则B（0，－2）令y＝12x－2＝0，解得x＝4，则A（4，0）.把A（4，0），B（0，－2）代入y＝x2＋bx＋c中，得16+4b＋c=0，c＝－2，解得b＝（2）设点A关于y轴的对称点为A'，则A'B＝AB.∴∠BAO＝∠BA'O.直线A'B交抛物线于点P.∴∠PBA＝∠BAO＋∠BA'O＝2∠BAO.∵A（4，0），∴A'（－4，0），设直线A'B的表达式为y＝kx＋b（k≠0）.∵B（0，－2），∴－4k＋b=0，b＝－2，解得k＝－12b＝－2，∴直线A'B的表达式为y＝－12x－2.再令y＝－12x－2＝x2－72x－2，得x2－考法五A＋B＝C型角度问题7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点A（－2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC.（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＋∠CAO＝90°的点E的坐标.解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋4的图象经过点A（－2，0），点B（4，0），∴4a－∴抛物线的表达式为y＝－12x2＋x＋4（2）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4）.如图，①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥CD，垂足为F，设满足条件的点Et,−12t2＋t+4在抛物线上，则F（t，4），CF＝t，EF＝4－∵∠ECD＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠ECD＝∠ACO，∴tan∠ACO＝tan∠ECD，即OAOC＝EFCF，∴24＝12t2－tt，解得t1＝0（舍去），t2＝3，∴E3，52.②当点E'位于直线CD上方时，过点E'作E'F'⊥直线CD，垂足为F'，设E's,−12s2＋s+4，则F'（s，4），CF'＝s，E'F'＝－12s2＋s＋4－4＝－12s2＋s.根据题意，当∠E'CD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠E'CD，即OAOC＝E'F'CF'，∴2达标演练检测1.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过A（－1，0），B（4，0），C（0，2）三点.（1）求这个二次函数的表达式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标.解：（1）由题意，得a－b＋c=0，16a+4b＋c=0，（2）当点D在x轴上方时，过点C作CD∥AB交抛物线于点D，如图.A，B关于抛物线的对称轴对称，C，D关于抛物线的对称轴对称，四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO＝∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）.当点D在x轴下方时，∠DBA＝∠CAO，BD∥AC，C（0，2），故可设直线AC的表达式为y＝kx＋2，把A（－1，0）代入可求得k＝2，故直线AC的表达式为y＝2x＋2.可设直线BD的表达式为y＝2x＋m，把B（4，0）代入可求得m＝－8，故直线BD的表达式为y＝2x－8.联立直线BD和抛物线的表达式可得y=2x－8，y＝－12x2＋32x+2，解得x=4，y=0或x＝－5，y＝2.（2023济阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x－3）2＋4过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.（1）求a的值，并直接写出A，B两点的坐标；（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且∠BOP＝45°，求点P的坐标.解：（1）将点O的坐标代入抛物线表达式，得0＝a（0－3）2＋4，解得a＝－49，则抛物线的表达式为：y＝－49（x－3）2＋4，则点B（3，4），由抛物线的对称性知，点A（6，0（2）过点P作PH⊥OB于点H.在Rt△OBD中，OD＝3，BD＝4，则OB＝5，则tan∠OBD＝ODBD＝34＝tanα，则sinα＝35，设PH＝3x，则BH＝4x，PB＝5x，∵∠BOP＝45°，则PH＝OH＝3x，则OB＝5＝BH＋OH＝3x＋4x，则x＝57，则PD＝BD－BP＝4－5x＝37，3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝43x2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，－4），点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）.设点P坐标为m，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D.（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求m的值.解：（1）把点C（0，－4）代入y＝43x2＋bx＋c，得c＝－4把点A（1，0）代入y＝43x2＋bx－4，得b＝8∴抛物线的函数表达式为y＝43x2＋83x－（2）设Pm，43m2＋83m－4，则∠PGC＝∠CGD＝90°.∵C（0，－4），∴OC＝4.∵PD⊥x轴，∴∠PDO＝90°.又∵∠DOC＝90°，∴四边形DOCG是矩形，∴DG＝OC＝4，DO＝CG＝－m，∴PG＝yG－yP＝－4－43m2＋83m－4＝－43m2－83m.∵tan∠CPD＝2＝CGPG＝2，∴－m－43m2－83m4.如图，抛物线y＝－12x2＋x＋4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，且点P的横坐标为t（0＜t＜6），连接AP，过点A作BC的平行线交抛物线于点D，连接DP（1）求点A，B，C的坐标；（2）当t＝2时，求证：△ADP是直角三角形；（3）连接PC，过点P作PE⊥PC，交直线AD于点E，连接AC，CE，是否存在点P，使得△PCE与△AOC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.（1）解：在y＝－12x2＋x＋4中，令y＝0，得－12x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4.∵点A在点B的左侧，∴A（－2，0），B（4，0）.令x＝0，得y＝4，∴C（0，4（2）证明：由（1）知B（4，0），C