2023九年级数学下册 第三章 圆3 垂径定理教学实录 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第三章圆3垂径定理教学实录（新版）北师大版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023九年级数学下册第三章圆3垂径定理教学实录（新版）北师大版教学内容分析1.本节课的主要教学内容是北师大版九年级数学下册第三章圆3中的垂径定理。

2.教学内容与学生已有知识的联系：通过本节课的学习，学生将巩固并运用同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角的知识，同时，通过垂径定理的应用，加深对圆中角度关系和直角三角形的理解。核心素养目标培养学生逻辑推理能力，通过垂径定理的探究和证明过程，提升学生从实际问题中抽象数学模型的能力。增强几何直观，使学生能够通过图形直观理解定理的意义。同时，培养数学应用意识，让学生学会运用垂径定理解决实际问题，提高解决几何问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握的相关知识：在进入本节课之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆周角、圆心角、弧和切线等相关知识。他们已经能够绘制圆的基本图形，计算圆的周长和面积，并理解圆周角和圆心角的关系。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：九年级学生对几何学通常表现出较高的兴趣，他们喜欢通过直观的图形来理解抽象的数学概念。学生的学习能力因人而异，部分学生可能在几何推理和证明方面表现较好，而另一些学生可能更擅长直观理解和计算。学习风格方面，有的学生偏好通过小组讨论来学习，有的则更喜欢独立思考。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习垂径定理时，学生可能会遇到以下困难和挑战：理解垂径定理的条件和结论，特别是如何从直观图形中抽象出数学表达式；在证明垂径定理时，如何正确应用圆周角定理和圆心角定理，以及如何构建合理的证明过程。此外，对于一些逻辑推理能力较弱的学生来说，理解证明过程中的逻辑关系和证明步骤可能会比较困难。教学方法与手段1.采用讲授法结合实例讲解垂径定理，通过具体的几何图形和步骤，帮助学生理解定理的应用。

2.运用讨论法，引导学生分组讨论垂径定理的证明过程，鼓励学生提出问题并尝试解答，培养合作学习能力和批判性思维。

3.实施实验法，让学生通过动手操作，如使用圆规和直尺绘制圆和直径，验证垂径定理的正确性。

教学手段：

1.利用多媒体展示几何图形，增强学生的空间想象力和直观感受。

2.播放几何证明的动画演示，帮助学生理解证明过程。

3.鼓励学生使用教学软件进行几何作图和证明，提高学生的实践操作能力。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对垂径定理的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们在日常生活中有没有遇到过需要用到直角的情况？比如，我们如何判断一条线段是否垂直于圆的直径？”

展示一些关于圆和直线的图片，让学生观察并思考圆与直线的相交关系。

简短介绍垂径定理的基本概念，即圆的直径垂直于其上的弦时，该弦被平分，为接下来的学习打下基础。

2.垂径定理基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解垂径定理的基本概念、条件和结论。

过程：

讲解垂径定理的定义，包括其适用的条件和结论。

使用图表或示意图展示垂径定理的图形特征，帮助学生直观理解。

3.垂径定理案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解垂径定理的特性和重要性。

过程：

选择几个与垂径定理相关的几何问题作为案例进行分析。

详细介绍每个案例的解题思路和步骤，让学生看到如何运用垂径定理解决问题。

引导学生思考这些案例中垂径定理的应用，以及如何利用定理简化计算过程。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的几何问题。

每组内讨论解题思路，尝试运用垂径定理解决问题。

每组选出一名代表，准备向全班展示解题过程和小组讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对垂径定理的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括解题过程、小组讨论内容和遇到的困难。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调垂径定理的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括垂径定理的定义、条件和结论。

强调垂径定理在几何证明和计算中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中灵活运用。

布置课后作业：让学生完成一些包含垂径定理的几何题目，巩固所学知识。

7.课后作业布置（5分钟）

目标：巩固学生对垂径定理的理解和应用。

过程：

布置一些与垂径定理相关的练习题，包括证明题、计算题和应用题。

要求学生在课后独立完成作业，并在下一节课上展示解题过程。

8.课堂反思（5分钟）

目标：引导学生反思学习过程，提高自主学习能力。

过程：

让学生回顾本节课的学习内容，总结自己在学习过程中的收获和不足。

鼓励学生提出改进学习方法的想法，教师给予指导和反馈。

9.教师总结（5分钟）

目标：对本节课的教学效果进行总结，提出改进建议。

过程：

教师对本节课的教学内容、方法和学生的表现进行总结。

根据学生的反馈和教学效果，提出改进教学策略的建议。

10.课后跟进（5分钟）

目标：关注学生的学习进度，提供必要的帮助。

过程：

教师通过课后辅导、个别辅导或线上交流等方式，关注学生的学习进度和需求。

根据学生的反馈，及时调整教学计划，确保每个学生都能跟上教学进度。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-《圆的方程及其应用》

这篇阅读材料介绍了圆的方程及其在几何证明中的应用，通过圆的方程，学生可以更深入地理解圆的性质，如圆心和半径，以及圆上任意点到圆心的距离。

-《圆的性质与定理》

该材料详细探讨了圆的各种性质和定理，包括圆的切线定理、弦定理等，有助于学生构建完整的圆的几何知识体系。

-《几何证明的艺术》

通过阅读这本书，学生可以了解到几何证明的基本方法和技巧，特别是如何运用圆的性质和定理进行证明。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-设计一些开放性问题，如“如何利用垂径定理解决实际问题？”或“垂径定理在其他几何图形中是否有类似的应用？”

-引导学生探索垂径定理在不同几何情境下的应用，例如在圆环、圆扇形等几何结构中的应用。

-鼓励学生尝试证明垂径定理的逆定理，即如果一条弦平分了圆的直径，那么这条弦垂直于该直径。

-提供一些在线几何软件或应用程序，如GeoGebra，让学生通过图形的动态变化来直观理解垂径定理。

-学生可以尝试将垂径定理与勾股定理结合，探讨在直角三角形中垂径定理的应用。

-设计一个几何竞赛或挑战，让学生在限定时间内解决一系列与垂径定理相关的几何问题，以激发学生的学习兴趣和竞争意识。教学反思与总结今天这节课，我们学习了垂径定理，这是一个非常重要的几何定理，对于学生理解和掌握圆的性质有着重要的意义。下面，我想结合这节课的教学实际，和大家分享一下我的反思和总结。

首先，我觉得在教学过程中，我采用了讲授法、讨论法和实验法相结合的教学方法，这样的组合效果还是不错的。通过讲授法，我能够系统地讲解垂径定理的定义、条件和结论，让学生对定理有一个清晰的认识。讨论法让我有机会看到学生们在理解定理时的不同角度和思考方式，而实验法则让他们通过实际操作来验证定理的正确性，这种动手实践的学习方式，对学生来说是非常有吸引力的。

在教学方法上，我也有一些收获。比如，我在讲解垂径定理时，结合了一些实际生活中的例子，比如自行车轮子的直径和轮胎的关系，这样既让学生感受到了数学的应用价值，也提高了他们的学习兴趣。另外，我在课堂上鼓励学生提问，这有助于激发他们的思考，也能够让我及时了解他们的学习状况。

当然，在教学过程中，我也发现了一些不足。比如，有些学生在理解垂径定理的证明过程中遇到了困难，这可能是因为他们对几何证明的基本方法还不够熟悉。针对这个问题，我计划在接下来的教学中，加强对几何证明方法的讲解和练习，帮助学生建立起严谨的几何思维。

在教学管理上，我发现课堂上的讨论环节有时会显得比较混乱，学生们在讨论时容易偏离主题。为了解决这个问题，我会在今后的教学中更加注重引导，确保讨论环节能够有序进行，同时也要注意培养学生的倾听和表达技巧。

当然，也存在一些问题。比如，部分学生在课堂上的参与度不够，这可能是因为他们对几何学本身就不太感兴趣，或者是因为他们觉得几何学很难。为了解决这个问题，我会在今后的教学中尝试更多的互动环节，让每个学生都有机会参与到课堂活动中来。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

-加强对几何证明方法的讲解和练习，帮助学生建立起严谨的几何思维。

-设计更多有趣的几何问题，激发学生的学习兴趣。

-在课堂上增加小组合作学习的机会，让学生在互动中学习。

-关注每个学生的学习状况，及时给予帮助和指导。板书设计①垂径定理的定义

-定理：圆的直径垂直于弦时，该弦被平分。

-关键词：垂径、垂直、平分

②垂径定理的条件

-条件：圆的直径与弦相交。

-关键词：圆、直径、弦、相交

③垂径定理的结论

-结论：直径所对的圆周角是直角。

-关键词：直径、圆周角、直角

④垂径定理的证明步骤

-步骤1：作直径AB，连接AC、BC。

-步骤2：证明∠ACB是直角。

-步骤3：得出结论，弦CD被直径AB平分。

-关键词：作图、证明、结论、平分

⑤垂径定理的应用实例

-应用1：证明圆上任意两点到圆心的距离相等。

-应用2：求解圆的半径或直径。

-关键词：证明、求解、半径、直径

⑥垂径定理的拓展

-拓展1：垂径定理的逆定理。

-拓展2：垂径定理在其他几何图形中的应用。

-关键词：逆定理、应用、拓展典型例题讲解例题1：在圆O中，直径AB的长度为10cm，点C在直径AB上，且AC=4cm，求弦CD的长度。

解答：由于AC是直径AB的一部分，根据垂径定理，直径AB垂直于弦CD，因此∠ACD是直角。在直角三角形ACD中，AC=4cm，AB=10cm，所以AD=AB-AC=10-4=6cm。根据勾股定理，CD²=AD²-AC²=6²-4²=36-16=20，因此CD=√20=2√5cm。

例题2：在圆O中，直径AB的长度为8cm，点C在圆上，且∠OCD=90°，求弦CD的长度。

解答：由于∠OCD=90°，根据垂径定理，直径AB垂直于弦CD，因此CD是直径AB的垂直平分线。所以CD的长度等于半径的长度，即CD=AB/2=8cm/2=4cm。

例题3：在圆O中，直径AB的长度为12cm，点C在圆上，且∠ACB=30°，求弦CD的长度。

解答：连接OC，由于∠ACB=30°，且OC是半径，所以∠OAC=15°（因为∠OAC是∠ACB的一半）。在直角三角形OAC中，OA=OC（半径相等），所以AC=OA*cos(15°)。OA=AB/2=12cm/2=6cm，所以AC=6cm*cos(15°)。利用三角函数表或计算器，cos(15°)≈0.9659，因此AC≈6cm*0.9659≈5.794cm。在直角三角形OCD中，CD=2*AC≈2*5.794cm≈11.588cm。

例题4：在圆O中，直径AB的长度为14cm，点C在圆上，且∠ACB=45°，求弦CD的长度。

解答：由于∠ACB=45°，且OC是半径，所以∠OAC=22.5°（因为∠OAC是∠ACB的一半）。在直角三角形OAC中，OA=OC（半径相等），所以AC=OA*cos(22.5°)。OA=AB/2=14cm/2=7cm，所以AC=7cm*cos(22.5°)。利用三角函数表或计算器，cos(22.5°)≈0.9239，因此AC≈7cm*0.9239≈6.5653cm。在直角三角形OCD中，CD=2*AC≈2*6.5653cm≈13.1306cm。

例题5