2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（教师用书）教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（教师用书）教学实录新人教A版必修4科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第1章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象（教师用书）教学实录新人教A版必修4设计意图本节课旨在通过引导学生观察正弦函数、余弦函数的图象，让学生掌握函数图象的基本特征，理解函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，为后续学习三角函数的应用奠定基础。教学过程中，注重培养学生的观察、分析、归纳能力，提高学生的数学素养。核心素养目标1.培养学生的数学抽象能力，通过分析正弦函数、余弦函数的图象，抽象出函数的一般性质。

2.增强学生的逻辑推理能力，通过观察和比较，推导出函数的周期性、奇偶性等性质。

3.提升学生的直观想象能力，通过图象直观理解函数的变化规律。

4.强化学生的数学建模能力，将实际问题转化为数学模型，并用函数图象进行分析。重点难点及解决办法重点：

1.正弦函数、余弦函数图象的绘制方法及特征。

2.函数周期性、奇偶性、单调性的识别与理解。

难点：

1.正弦函数、余弦函数图象的对称性、周期性在图象上的体现。

2.从图象直观理解函数性质与函数解析式之间的关系。

解决办法：

1.通过实际操作，引导学生绘制正弦函数、余弦函数图象，并总结出绘制方法。

2.利用实例分析，帮助学生理解周期性、奇偶性、单调性在图象上的表现。

3.通过对比解析式与图象，引导学生发现函数性质与图象特征之间的联系。

4.设计分层练习，逐步突破难点，提高学生解决问题的能力。教学资源1.软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、白板、粉笔、三角尺。

2.课程平台：学校内部教学平台，用于发布教学资料和作业。

3.信息化资源：正弦函数、余弦函数图象的动态演示软件，如几何画板、Mathematica等。

4.教学手段：实物教具（如圆形旋转模型），用于直观展示函数图象的形成过程。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对三角函数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们在日常生活中有没有遇到过需要测量角度或距离的情况？”

展示一些关于测量角度和距离的图片或视频片段，如建筑工人使用测量工具、运动员比赛中的计时等。

简短介绍三角函数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.三角函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解三角函数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解三角函数的定义，包括正弦、余弦、正切等基本三角函数。

详细介绍三角函数的组成部分或结构，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.三角函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解三角函数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的三角函数应用案例进行分析，如建筑设计中的三角函数计算、物理中的振动问题等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解三角函数的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用三角函数解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与三角函数相关的主题进行深入讨论，如“三角函数在物理学中的应用”或“三角函数在工程设计中的角色”。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对三角函数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调三角函数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括三角函数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调三角函数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用三角函数。

7.课后作业布置（5分钟）

目标：巩固学习效果，培养学生独立思考和解决问题的能力。

过程：

布置课后作业：让学生完成以下任务：

（1）绘制正弦函数和余弦函数的图象，并标注出关键点。

（2）选择一个实际生活中的问题，运用三角函数进行建模和分析。

（3）撰写一篇简短的报告，总结本节课的学习收获和心得体会。知识点梳理1.三角函数的定义：

-正弦函数：一个角度的余弦值。

-余弦函数：一个角度的正弦值。

-正切函数：一个角度的正弦值除以余弦值。

2.三角函数的周期性：

-正弦函数和余弦函数的周期为2π。

-正切函数的周期为π。

3.三角函数的奇偶性：

-正弦函数和余弦函数是偶函数。

-正切函数是奇函数。

4.三角函数的图象：

-正弦函数和余弦函数的图象是连续的波形。

-正切函数的图象有垂直渐近线。

5.三角函数的性质：

-正弦函数和余弦函数在[0,π]区间内单调递增，在[π,2π]区间内单调递减。

-正切函数在(0,π/2)区间内单调递增，在(π/2,π)区间内单调递减。

-正弦函数和余弦函数在π的整数倍处取得零值。

-正切函数在π的整数倍处取得无穷大值。

6.三角函数的诱导公式：

-正弦函数的诱导公式：sin(π-α)=sinα，sin(π+α)=-sinα。

-余弦函数的诱导公式：cos(π-α)=-cosα，cos(π+α)=-cosα。

-正切函数的诱导公式：tan(π-α)=-tanα，tan(π+α)=tanα。

7.三角函数的倍角公式：

-正弦函数的倍角公式：sin2α=2sinαcosα。

-余弦函数的倍角公式：cos2α=cos²α-sin²α。

-正切函数的倍角公式：tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)。

8.三角函数的和差公式：

-正弦函数的和差公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

-余弦函数的和差公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。

-正切函数的和差公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。

9.三角函数的应用：

-在几何学中，用于计算角度、边长和面积。

-在物理学中，用于描述振动、波动和旋转运动。

-在工程学中，用于设计和分析结构、电路和系统。

10.三角函数的极限：

-当α趋向于0时，sinα/α趋向于1。

-当α趋向于π/2时，cosα趋向于0。

-当α趋向于π时，tanα趋向于无穷大。典型例题讲解例题1：求函数f(x)=sin(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值。

解答：由于正弦函数的周期为2π，且在[0,π]区间内单调递增，在[π,2π]区间内单调递减，因此最大值出现在x=π/2处，最小值出现在x=3π/2处。计算得：

f(π/2)=sin(π/2)=1

f(3π/2)=sin(3π/2)=-1

所以，函数f(x)=sin(x)在区间[0,2π]上的最大值为1，最小值为-1。

例题2：已知点P(3,4)在单位圆上，求∠POA的正切值，其中O为原点，A为点P在x轴上的投影。

解答：由于点P(3,4)在单位圆上，所以OP的长度为1。在直角三角形OAP中，OA的长度为1，AP的长度为3。因此，∠POA的正切值为：

tan(∠POA)=OP/AP=1/3

例题3：求函数g(x)=cos(2x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。

解答：由于余弦函数的周期为2π，且在[0,π]区间内单调递减，因此最大值出现在x=0处，最小值出现在x=π/2处。计算得：

g(0)=cos(2*0)=cos(0)=1

g(π/2)=cos(2*(π/2))=cos(π)=-1

所以，函数g(x)=cos(2x)在区间[0,π]上的最大值为1，最小值为-1。

例题4：已知tan(α)=2，求sin(α)和cos(α)的值。

解答：由于tan(α)=sin(α)/cos(α)，可以设sin(α)=2k，cos(α)=k，其中k是一个常数。由于sin²(α)+cos²(α)=1，可以得到：

(2k)²+k²=1

4k²+k²=1

5k²=1

k²=1/5

k=±√(1/5)

因此，sin(α)=2k=±2√(1/5)，cos(α)=k=±√(1/5)。

例题5：求方程sin(x)-cos(x)=1在区间[0,2π]上的解。

解答：将方程sin(x)-cos(x)=1转换为sin(x)=1+cos(x)。利用恒等式sin²(x)+cos²(x)=1，可以得到：

sin²(x)=(1+cos(x))²

sin²(x)=1+2cos(x)+cos²(x)

sin²(x)-cos²(x)=2cos(x)

(sin(x)+cos(x))(sin(x)-cos(x))=2cos(x)

由于sin(x)+cos(x)≠0（否则sin(x)=-cos(x)，与原方程矛盾），可以除以sin(x)+cos(x)得到：

sin(x)-cos(x)=2/(sin(x)+cos(x))

设t=sin(x)+cos(x)，则sin(x)-cos(x)=2/t。由于sin²(x)+cos²(x)=1，可以得到：

t²=sin²(x)+2sin(x)cos(x)+cos²(x)

t²=1+2sin(x)cos(x)

t²=1+2(t/2)

t²=1+t

t²-t-1=0

解这个二次方程得到t的值，然后回代求解sin(x)和cos(x)的值。板书设计①三角函数定义

-正弦函数：y=sin(x)

-余弦函数：y=cos(x)

-正切函数：y=tan(x)

②三角函数性质

-周期性：周期为2π

-奇偶性：正弦函数和余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数

-单调性：正弦函数在[0,π]递增，在[π,2π]递减；余弦函数在[0,π]递减，在[π,2π]递增；正切函数在(0,π/2)递增，在(π/2,π)递减

③三角函数图象

-正弦函数图象：波形，在x=π/2时达到最大值，在x=3π/2时达到最小值

-余弦函数图象：波形，在x=0时达到最大值，在x=π时达到最小值

-正切函数图象：在x=π/2和x=3π/2处有垂直渐近线

④三角函数诱导公式

-sin(π-α)=sinα

-cos(π-α)=-cosα

-tan(π-α)=-tanα

⑤三角函数倍角公式

-sin(2α)=2sinαcosα

-cos(2α)=cos²α-sin²α

-tan(2α)=(2tanα)/(1-tan²α)

⑥三角函数和差公式

-sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

-cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

-tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.互动式教学：在课堂上，我尝试通过提问、小组讨论等方式，让学生参与到课堂中来，提高他们的参与度和积极性。

2.案例教学：结合实际生活，引入具体的案例，让学生在实际问题中应用三角函数知识，增强他们的实践能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.教学组织：有时候课堂纪律管理不够严格，导致部分学生注意力不集中，影响了整体教学效果。

2.教学方法：在讲解三角函数的性质时，可能过于依赖理论讲解，忽视了学生的直观感受，导致学生理解不够深入。

3.教学评价：评价方式较为单一，主要依靠期末考试，未能全面评估学生的学习成果。

反思改进措施（三）改进措施

1.课堂纪律管理：加强课堂纪律管理，通过制定明确的课堂规则，让学生养成良