海南某校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

第页，共页第18页，共18页2024-2025学年度第一学期期末考试高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设数列的前项和，则的值为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】利用求解即可.【详解】，，故.故选：D2已知函数及其导函数满足，则（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，对原式进行求导，然后令，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，则令，则，解得故选:A3.已知为等差数列，前项和为，且，，则（）A.54 B.45 C.23 D.18【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，依题意由等差数列求和公式及通项公式求出，从而得解.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以.故选：C4.已知是正项等比数列的前项和，且，，则（

）A.212 B.121 C.168 D.186【答案】B【解析】【分析】由条件结合等比数列性质求出，再列方程求出数列的公比，利用等比数列求和公式可求.【详解】设等比数列的公比为，因为数列为正项等比数列，所以，因为，又，所以，因为，所以或，若，则，解得，，所以，若，则，解得，，所以，综上.故选：B.5.若是函数的极值点，则的极大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据极值点，求出参数，再据此求导，讨论单调性，求得最大值.【详解】因为，故可得，因为是函数的极值点，故可得，即，解得.此时令，解得，由可得或；由可得，所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.则的极大值为.故选：C.6.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据单调性将问题转化为在上恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求解单调性得最值求解.【详解】由于在区间上单调递增，故在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即的最小值为．故选：C．7.已知直线恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（）A.10 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】首先求出直线过定点的坐标，再求出圆心坐标与半径，求出及直线的方程，再求出圆心到直线的距离，从而求出点到直线距离的最大值，从而得解.【详解】由，整理为，令，解得，所以直线恒过定点，圆的圆心，半径，如图，，直线的方程为，则圆心到直线的距离，则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离，所以面积的最大值为.故选：D8.已知实数满足，则下列选项中一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】AB选项，令，在0,+∞内单调递增，由得到；CD选项，举出反例得到CD错误【详解】对于AB，令，则在0,+∞上单调递增，由可得，即，，故A错误，B正确；对于C，取，则，且，又在0,+∞上单调递增，故，此时，故C错误；对于D，取，则，且，又在0,+∞上单调递增，故，此时，故D错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造，得到，结合函数单调性得到，通过对赋值举反例即可推得CD错误.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导数的运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据基本初等函数的导数和求导法则，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】选项A，因为是常数，所以，选项A错误；选项B，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项B正确；选项C，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项C正确；选项D，根据复合函数的求导法则知，，选项D错误.故选：BC.10.已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（）A.的周长为B.的最大值为C.当时，的面积为D.椭圆上存在个不同的点，使得为直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根据已知求出的值，结合椭圆的定义，即可判断A选项；由基本不等式结合椭圆的定义，即可判断B选项；根据焦点三角形面积公式得出面积，即可判断C选项；设，求出满足的点的个数，即可判断D项.【详解】对于A，由得，∴的周长为，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，的面积为，故C正确；对于D，设存在点，使得，设，根据椭圆的定义有，因为，所以，即，整理可得，解得.如上图，当点位于短轴顶点时有，所以，当时，点P为椭圆的上下两顶点，则点有2个；分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有4个交点，即满足以及的点有4个.综上所述，椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形，故D正确.故选：ACD．11.若首项为的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）A.数列为等比数列 B.数列不是等比数列C. D.中存在三项构成等差数列【答案】AB【解析】【分析】由已知得出是以2为公比的等比数列，得出和，再分别判断各选项即可．【详解】对于A，由得，，所以是以2为公比的等比数列，首项为，故A正确；对于B，由A知，即，当时，，所以，故B正确；对于C，当时，，，显然，故C错误；对于D，取，且，假设存在能构成等差数列，则，则有，即，所以，因为，所以，与矛盾；假设存在能构成等差数列，则，即，则，即，显然当时无解，所以中任意三项都不能构成等差数列，故D错误；故选：AB．第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知等差数列前项和为，若，，则取得最小值时的值为____________．【答案】8【解析】【分析】由等差数列的性质得到，公差，为递增数列，从而得到当时，取得最小值【详解】由已知数列为等差数列，则，又，所以，所以，数列为递增数列，则当时，，当时，，所以当时，取得最小值.故答案：.13.若双曲线(，)与直线无交点，则离心率e的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据直线与双曲线的位置关系求得的关系，结合离心率公式，即可容易求得离心率范围.【详解】若双曲线与直线无公共点，等价为双曲线的渐近线的斜率，即，即，即，即，则，则，，离心率满足，即双曲线离心率的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的范围，涉及直线与双曲线的位置关系求参数范围，属综合基础题.14.若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】求出，由已知可得在有解，即在有解，即可求得实数的取值范围.【详解】因为，而时，函数存在单调减区间，所以在有解，即有解，因为，所以，即在有解，又因为，所以，所以．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数有两个零点，求实数的值．【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）令并求出x的范围，即可求函数的单调递增区间；（2）根据函数有两个零点，利用函数极大值等于零或极小值等于零列方程即可求实数的值．【小问1详解】因为，所以，令，则或，所以的单调递增区间为和.【小问2详解】由（1）得的单调递增区间为和.令可得，的单调递减区间为−1,1，当时，取得极大值；当时，取得极小值.所以若有两个零点，则或，解得.所以.16.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知等差数列为其前n项和，若______________．（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：数列的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）选①由与的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由（1）可得，利用裂项相消法证明即可.【小问1详解】若选①：在等差数列中，，当时，，也符合，∴；若选②：在等差数列中，，，解得；若选③：等差数列中，，解得；【小问2详解】证明：由（1）得，所以17.已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点，交抛物线于A、B两点.（1）若P为中点，求l的方程；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：利用点差法求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意验证所求直线与抛物线有两个交点；方法二：设中点弦所在直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意考虑中点弦直线斜率不存在的情况是否满足题意；（2）由抛物线的定义转化，方法一：设直线l：，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，注意比较直线斜率不存在的情况的值；方法二：设直线l：，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，此种设法已包含直线斜率不存在的情况.【详解】解：（1）方法一：设，，，则，，，化简得，因为的中点为，，，∴l的方程为，即.经检验，符合题意.方法二：设，，当斜率不存在时，显然不成立.当斜率存在时，设直线l：，显然，由得易知，，因为的中点为，，即，解得，∴l的方程为（2）方法一：由抛物线的定义可知当斜率不存在时，直线l：，当斜率存在时，设直线l：，显然，由得，易知，，时，的最小值为综上，的最小值为方法二：由抛物线的定义可知显然直线l不平行于x轴，设直线l：，由得，易知，，，时，的最小值为【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系；考查数形结合、分类讨论以及函数方程等数学思想；考查逻辑推理、直观想象以及数学运算等核心素养.18.已知数列满足,.（1）记,写出,,,,并猜想数列的通项公式;（2）证明（1）中你的猜想;（3）若数列的前n项和为,求.【答案】（1）,,,,猜想（2）证明见解析（3）【解析】【分析】(1)根据的递推关系式及首项,写出,进而求得,,,,根据推导过程及各项即可猜想其通项公式;(2)因为,所以找到和的关系,即与的关系,对式子进行配凑,可发现是以3为首项,2为公比的等比数列,即可得的通项公式;(3)根据,可得,将写为,再将,代入,可得,将代入,再利用等比数列的求和公式即可得.【小问1详解】由题知,因为,所以,,,,,,,综上:,,,,猜想【小问2详解】由题意,知,,代入得,于是,即,因为,所以是以3为首项,2为公比的等比数列,故.【小问3详解】因为,.19.设函数，曲线在原点处的切线为x轴，（1）求a的值；（2）求方程的解；（3）证明：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可知在处的导数值为0，解方程即可；（2）构造函数，利用导数