海南省临高县新盈中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

第页，共页第11页，共11页临高县新盈中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A.（2，﹣3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（3，2）【答案】D【解析】【详解】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D．2.已知空间中三个不同的点、、，则下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加减运算逐项判断即可.【详解】由平面向量的加法可知AC选项错误，由平面向量的减法可得，B对D错.故选：B.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可.【详解】双曲线的渐近线方程为.故选：A.4.已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（）.A.相切 B.相离 C.相交 D.无法确定【答案】A【解析】【分析】根据圆心到直线的距离与半径进行比较来确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线和圆相切.故选：A5.已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标.【详解】设平面法向量为，由题意可得，，则，取，可得，故选：B.6.已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（）.A. B. C.或 D.4或【答案】C【解析】【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线开口向左，依题意，抛物线上的点与点间的距离为3，所以，抛物线方程为，令，得，解得，故选：C7.已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且ΔABC为直角三角形，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】依题意，圆经过点，可设且，半径为，则，解得，所以圆的方程为.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8.过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值.【详解】在双曲线中，，，则，所以，双曲线的右焦点坐标为，由题意可知，直线的方程为，联立，解得，可取、，故.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分．9.设a实数，直线，，则（）A.恒过点 B.若，则或C.若，则或0 D.当时，不经过第二象限【答案】BD【解析】【分析】对于直线方程，如果要找过定点的情况，可以对含参数的式子进行整理.两直线平行则，两直线垂直则.通过这些定理来判断每个选项的正确性.【详解】将，代入方程左边得.当时才等于，并不是对任意实数都成立，所以不恒过点.故A错误.对于直线和.因为，根据两直线平行的判定条件，则，整理得，解得或.当时，，，两直线平行；当时，，，化简为，两直线平行，所以或.故B正确.因为，根据两直线垂直的判定条件，则，整理得.利用求根公式，所以C错误.直线，当时，，即.，直线不经过第二象限.当时，，，直线方程变形为，则，，所以直线不经过第二象限，故D正确.故选：BD10.已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（）A.实轴长为6 B.焦距为5C.离心率为 D.焦点到渐近线的距离为4【答案】AD【解析】【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由双曲线，可得，则，可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，所以A正确，B、C不正确；又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点，不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.故选：AD.11.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若对空间中任意一点，有，则四点共面C.已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D.若，则是钝角【答案】ABC【解析】【分析】根据空间向量共面定义判断A，由共面向量定理判断B，由空间向量基本定理判断C，由向量夹角的范围判断D．【详解】A选项，由于有两个向量共线，则三个向量一定共面，A正确；B选项，中，所以四点共面，B正确；选项C，向量组是空间的一个基底，即不共面，若共面，则存在实数，使得，所以，从而，与向量组是空间的一个基底矛盾，所以不共面，C正确；选项D，时，是钝角或，D错．故选：ABC．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为__________.【答案】【解析】【分析】根据直线点斜式方程，直线斜率为且过点时，直线方程为，代入题中已知即可得出答案.【详解】已知直线斜率为2且经过点，由直线点斜式方程得直线的方程为：，即.故答案为：.13.已知向量两两夹角为60°，且，则__________．【答案】．【解析】【分析】由向量模长公式列出算式并计算出结果.【详解】.故答案为：.14.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________.【答案】【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.【详解】抛物线的焦点为，设A，B两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，将直线和抛物线联立，可得，其中，则，，.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）（2）解方程组求出点的坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解即提.【小问1详解】由，解得，即点，设所求直线方程为，则，解得，所以所求直线方程.【小问2详解】由（1）知，点，设所求直线方程为，则，解得，所以所求方程为.16.已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点.（1）用，，表示；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案.（2）利用空间向量的数量积运算律计算即得.【小问1详解】在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点，，所以.【小问2详解】正四面体的棱长为1，则，所以.17.已知直线与椭圆相交于不同两点.（1）若，，求椭圆的焦距；（2）求的取值范围.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）把，代入椭圆方程，由得到的椭圆标准方程求焦距.(2)直线与椭圆联立方程组，消去，得到关于x的一元二次方程，由，化简得，即可得到的取值范围.【小问1详解】由已知得椭圆方程为，所以，，故，所以焦距为2.【小问2详解】联立方程组，消去，得，直线与椭圆相交于不同两点，所以，化简得，因为，，所以，所以的取值范围是.18.已知圆的方程为.（1）求过点，且与圆相切的直线的方程；（2）是圆上一动点，点的坐标为.若点为的中点，求动点的轨迹方程.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）考虑切线斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.（2）设，根据中点坐标公式得到，代入圆方程化简得到答案.【小问1详解】当切线斜率不存在时，是圆的切线；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得，故切线方程为，综上所述：切线方程为：或.小问2详解】设，则，即，点在圆上，则，即.19.如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，.（1）求的长度；（2）求点D到平面的距离.【答案】（1）6（2）【解析】