河南省商丘市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

第页，共页第13页，共13页2024~2025学年度高二上学期期末联考试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.2.已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（）A.10B.9C.8D.73.若点在圆外，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.4.在等比数列中，若，则（）A.1B.C.D.5.已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（）A.15B.20C.D.6.如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（）A.9B.6C.4D.37.已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最大值为（）A.23B.22C.21D.208.椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）.在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，点在上，点在上，则（）A.的最小值为B.原点到的距离的最大值为C.的充要条件为D.的充要条件为或10.已知数列的前项和为，下列各条件能推出数列一定为等比数列的是（）A.B.C.D.且11.在正方体中，，则（）A.若，则点的轨迹为线段B.若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段C.若，则三棱锥的体积为定值D.若，则与平面所成角的余弦值的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.已知，若，则的值为__________.14.已知为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于一条渐近线的直线交的右支于点，若，则的离心率__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数，且.（1）求的值；（2）求函数的图像在点处的切线方程.16.（本小题满分15分）（1）求两焦点分别为，且过点的椭圆的标准方程；（2）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程.17.（本小题满分15分）已知抛物线的焦点为，点（其中）在抛物线上，.（1）求和的值；（2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点.求直线的方程.18.（本小题满分17分）如图1，在平行四边形中，，将沿折起到位置，使得平面平面，如图2.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列.（1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；（2）已知二阶等差数列满足.①求数列的通项公式；②若，记的前项和为，证明：.2024~2025学年度高二上学期期末联考试卷·数学参考答案､提示及评分细则1.B由题意，抛物线的标准方程为，所以抛物线的准线方程为.故选B.2.A，则.故选A.3.C由题意得解得.故选C.4.B由，得，所以.故选B.5.A设圆心到直线的距离为到直线的距离为，又圆心坐标为，所以，又半径为，则当最大时，，此时的面积也最大，最大值为.故选A.6.D因为平面，平面，平面均与直线垂直，所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同，且互不相等，故共有3个不同的值.故选D.7.C设公差为，由，知，即，所以公差.又，所以使得成立的正整数的最大值为21.故选C.8.D由题知“斜椭圆”的中心为坐标原点，由椭圆的对称性得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，由基本不等式，得，故，当且仅当时，成立，当且仅当时，成立，所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为，所以椭圆的离心率为.故选D.9.BCD当与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误；易知过定点，当垂直于定点与原点的连线时，原点到的距离最大，最大距离为，故B正确；的充要条件为，即，故C正确；的充要条件为且，即或，故D正确.故选BCD.10.ACD对于A，由等比数列的定义，知是等比数列；对于满足，但不是等比数列；对于C，可得，是公比为1的等比数列；对于D，由且，可得是等比数列.故选ACD.11.BCD若，因为，则点与三点共线，故点的轨迹为线段，故A错误；若，则，故点的轨迹为连接的中点和的中点的线段，故B正确；若，则点在线段上，易知平面，且，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；若，点的轨迹为连接和的中点的线段，过作，垂足为，易证平面，连接，则与平面所成的角为，所以，所以当时，取得最大值为，故D正确.故选BCD.12.6，由导数的概念可知.13.5由，可得存在实数，使得，则解得所以.14.由题意知，点到渐近线的距离为，所以，因为，且，所以，所以，又，所以.在中，由，即，得，因为，所以，在中，，即，所以，所以，即.15.解：（1）由，得，又，所以，解得.（2）由，得，所以，即切点为，又切线的斜率为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即.16.解：（1）设椭圆的方程为，则，所以，由题意知椭圆的半焦距，所以，故所求椭圆的标准方程为.（2）设所求双曲线的方程为，又点在双曲线上，所以，所以，故所求双曲线的标准方程为.17.解：（1）由抛物线的定义及，知，解得.将点的坐标代入抛物线的方程，得，又，所以，故的值为的值为4.（2）法一：设点的坐标为，因为点的坐标为，所以，解得或（舍去）.所以点的坐标为，所以直线的方程为.法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得.设点的坐标分别为，联立方程得，所以.因为，所以，解得或.当时，直线的方程为，经过原点不合题意；当时，直线的方程为，满足题意，故直线的方程为.18.（1）证明：在中，因为，由余弦定理，得，所以，所以，所以.如图1所示：在中，作于点，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以，又平面，所以平面.（2）解：方法一：如图2所示：存在点，当是的中点时，二面角的大小为.证明如下：由（1）知平面，所以且，所以，又因为是的中点，所以，同理可得：，取的中点为的中点为，连接，因为，所以是二面角的平面角，又因为，所以.此时.方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，则.假设点存在，设，则，设平面的一个法向量为，则取，可得，又平面的一个法向量为，假设在线段上存在点，使得二面角的大小为，则，解