黑龙江省大庆市让胡路区大庆中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题（解析版）

第页，共页第17页，共17页大庆中学2024-2025学年度上学期期末考试高二年级数学试题学校：_________姓名：________班级：________考号：_________注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共40分）1.已知等比数列的公比，则等于（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根据等比数列通项公式计算可得；【详解】解：因为等比数列的公比，所以．故选：D2.已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（）A.-2 B.4 C.8 D.-2或4【答案】B【解析】【分析】设出公差，根据成等比数列，得到方程，求出，检验后得到答案.【详解】由题意得，，且，设公差，则，解得，若，则，，满足要求，若，则，不合要求，舍去，故.故选：B3.已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点的坐标满足，则的最小值为（）A.13 B. C. D.8【答案】C【解析】【分析】先求出对数函数的定点，再根据点在直线上得出，最后应用常值代换结合基本不等式计算即可求出最小值.【详解】当时，，即.因为点的坐标满足，所以，即，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为.故选：C.4.已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由点到线的距离公式即可求解；【详解】由题意直线的方向向量，，则，，，所以点到直线的距离为，故选：B.5.斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则数列的第项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据数列各项的规律可知是以为周期的周期数列，由此可得.【详解】由题意知：数列为：，则数列为：，即数列是以为周期的周期数列，.故选：A.6.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（）A.6 B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出【详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B7.已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案.【详解】设点关于直线的对称点为，则中点直线上，即①，直线与直线垂直，即②，解得，即点关于直线的对称点为，又，所以，所以直线方程为，即，由，解得，，所以当取得最小值时，点的坐标为．故选：B．8.如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】延长与双曲线交于点，易得，设，结合双曲线定义得，进而在中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率.【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知，

设，则，，可得，即，所以，则，，所以，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故选：B.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、多选题（共18分）9.已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（）A.直线恒过点B.C.直线被圆截得的最短弦长为D.当时，圆上存在无数对点关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】求解直线系结果的定点判断A；圆的圆心求解、判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心到直线的距离判断D．【详解】直线，恒过点，所以A正确；圆的圆心坐标为，，，所以B正确；圆的圆心坐标为，圆的半径为2．直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；

当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．故选：ABD．10.已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（）A.B.平面C.异面直线与所成的角的余弦值为D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则.A：，所以，故A正确；B：，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正确；C：，则，所以，即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；D：设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，得，所以点到平面的距离为，故D正确.故选：ABD11.已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（）A. B.C.数列的最大项为 D.【答案】ABD【解析】【分析】由判断出，，求出，即可判断A；利用等差数列的性质求出，可以判断B；由，，可判断出最大，可以判断C；由，，，可以判断D.【详解】因为，，所以，A正确；，所以，B正确；因为，，所以数列的最大项为，C不正确；因为，，，所以，即，D正确．故选：ABD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（共15分）12.过点且与圆：相切的直线方程为__________【答案】或【解析】【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为是圆的切线，满足题意；当过点的直线斜率存在时，可设直线方程为，即，利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，即此直线方程为，故答案为：或．13.已知数列的前项和满足，则_____.【答案】10【解析】【分析】由公式，将代入即可得结果.【详解】由题得.故答案为：10.14.已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．【答案】##【解析】【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求得.【详解】为等差数列，故，故.故答案为：四、解答题（共77分）15.2021年9月24日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号.遵义市某中学的同学们利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城20至50岁的市民是否会弹吉他进行调查.若会弹吉他，则称为“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”.同学们随机抽取2800人进行调查，统计后发现“吉他达人”有1000人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布直方图：（1）根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数；（2）若从年龄在的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取5人参加“吉他音乐节”表演，再从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平均数的计算公式即可求解；（2）结合组合数，由古典概型计算公式即可求解.【小问1详解】由题意可得：平均数为【小问2详解】由的频率为可得两组人数比为，故5人中，来自的人数分别为2和3，所以从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率为,故2位领队来自同一组的概率为.16.已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，且，求的值．【答案】(I)(Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用向量的坐标运算将函数转化为三角函数的形式，再利用三角恒等变形将函数转化为的形式，可求得周期；（Ⅱ）先由所给函数值，代入求得值，再由余弦定理，结合的值，解方程组可得．试题解析：(I).故最小正周期(Ⅱ），，C是三角形内角，∴即：即：．将代入可得：，解之得：或4,，点睛：三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两微量平行或垂直的计算．将向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数，解三角形等知识的运用．17.已知数列满足，，.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将已知条件两边同时取倒数整理后根据等差数列的定义即可证明；（2）由（1）求出的通项公式，再分和分别求.【详解】（1）由，可得即.因为，所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）可得，设数列的前项和为，则.当时，，；当时，，，综上所述18.如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（i）,（ii）存在，【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论；（2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解；（ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值．【小问1详解】取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面；【小问2详解】，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，由，以点坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，，（i）故，设平面的一个法向量为n=x,y,z则，令，则，，，平面的一个法向量为,则，令，则，，故，,，由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为；（ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是，设，，则,0,，0,，由（2）知平面的一个法向量为,,，，点到平面的距离是，，．19.在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上的一点，直线交于两点．（1）若直线过的焦点，求的值；（2）若直线分别与轴相交于两点，且，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求出抛物线方程，联立直线与曲线方程，根据韦达定理解出，，即可求解的值；（2）根据已知条件分析出直线的斜率一定存在，由此设出直线方程，直曲联立，利用韦达定理表示出，，利用两点式求出方程，令，求出，同理可得，结合条件即可求得由此可得直线过定点.【小问1详解】因为点在抛物线上，所以有，即，所以抛物线方程，焦点坐标为0,1，根据抛物线方程设，；若直线斜率不存在，则直线为轴，不合题意，所以直线的斜率存在设为，且直线过的焦点，所