《概率论与数理统计及其MATLAB实现（微课版）》 习题及答案汇 第4-10章

PAGEPAGE5概率论与数理统计及其MATLAB实现习题及参考答案第4章考研真题1.假设一设备开机后无故障工作的时间服从参数的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数.(2002研考)【解】设表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间，的概率密度函数为.依题意.对于,.对于，.对于,所以2.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.（2003研考）【解】（1）的可能取值为的概率分布为,即，，.因此，(2)设表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有3.假设由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径有如下关系求平均直径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？（1994研考）【解】从而这里令得两边取对数有解得(毫米),由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.4.设随机变量的概率密度为对独立地重复观察4次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望.（2002研考）【解】令则.因为,所以,从而5.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度，数学期望及方差.（1997研考）【解】由题意知，因独立，所以.当时，;当时，，故得由于服从参数为5的指数分布，从而因此，有.又因独立，所以.6.设两个随机变量相互独立，且都服从均值为0，方差为的正态分布，求随机变量的方差.（1998研考）【解】设，由于且X和Y相互独立，故.因而，所以.7.某流水生产线上每个产品不合格的概率为，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产的产品个数为，求和.（2000研考）【解】记,的概率分布为故又所以8.设随机变量和的联合分布在点为顶点的三角形区域上服从均匀分布（如图），试求随机变量的方差.（2001研考）【解】由条件知和的联合概率密度函数为的边缘概率密度函数.从而或者时，时，即因此同理可得于是9.设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量试求（1）和的联合概率分布；（2）方差.（2002研考）【解】(1)的4个可能取值.,,,.故得X与Y的联合概率分布为.(2)因,而及的概率分布相应为,.从而所以10.设随机变量的概率密度为,(1)求及；（2）求,并问与是否不相关？（3）问与是否相互独立，为什么？（1993研考）【解】(1)(2)所以与不相关.(3)为判断与的独立性，需依定义构造适当事件后作出判断，为此，对定义域中的子区间上给出任意点，则有所以故由，得出与不相互独立.11.已知随机变量和分别服从正态分布和，且和的相关系数，设.（1）求的数学期望和方差；（2）求与的相关系数；（3）问与是否相互独立，为什么？（1994研考）【解】(1)由于随机变量和分别服从正态分布和，则;.而,所以(2)因所以(3)由，得与不相关.又因，所以X与Z相互独立.12.将一枚硬币重复掷次，以和表示正面向上和反面向上的次数.求和的相关系数.（2001研考）【解】由条件知，则有.再由,得到.所以故.13.设随机变量和的联合概率分布如表4-17所示，表4-17YX-101010.070.180.150.080.320.20求和的相关系数.(2002研考)【解】由已知，于是所以.从而14.对于任意两事件和，则称为事件和的相关系数.试证：（1）事件和独立的充分必要条件是；（2）.（2003研考）【证明】（1）由的定义知，当且仅当.所以是和独立的充分必要条件.(2)引入随机变量和为由条件知，和都服从分布，即从而有,,,,由于,从而有,于是.所以，事件和的相关系数就是随机变量和的相关系数.于是由二维随机变量相关系数的基本性质可得.15.设随机变量的概率密度为令，为二维随机变量的分布函数，求：(1)的概率密度；(2);(3).(2006研考)【解】(1)的分布函数为.当时，，；当时，；当时，；当时，，.故的概率密度为(2),,,故.(3).16.设随机变量相互独立，且都存在，记，，则（）(A)(B)(C)(D)(2011研考)【解】由于，，则,从而.17．设二维随机变量，则.(2011研考)【解】由于，则相互独立，且从而18.设随机变量与的概率分布分别为0101且求(1)二维随机变量的概率分布；(2)的概率分布；(3)与的相关系数.(2011研考)【解】(1)由于从而由于得到由于得到于是(2)的取值为(3)19.将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）.(2012研考)【解】用与分别表示两段木棒的长度，则,即,从而两段长度的相关系数20．已知随机变量以及的分布律如下表所示，0121/21/31/60121/31/31/301247/121/301/12求：（1）；（2）与.(2012研考)【解】(1)由于得到由于得到由于得到由于得到所以(2)从而于是21.设连续型随机变量与相互独立，且方差均存在，与的概率密度分别为与，随机变量的概率密度为，随机变量，则()(A)，(B)，(C)，(D)，(2014研考)【解】由于与是连续型随机变量，方差存在，因此由于从而而所以应该选(D).【说明】如果仅是从考试选择题结果来看，也可以假设与是独立同分布的，这样与,有着相同的概率密度函数，从而，结果就比较明显了.22.设随机变量的概率分布为在给定的条件下，随机变量服从均匀分布.（I）求的分布函数；（II）求.(2014研考)【解】（I）在及条件下的条件概率密度函分别为由全概率公式，的分布函数；当时，；当时，；当时，；当时，；所以，；（II）的概率密度函数为23.设二维随机变量的概率分布如表4-18所示，其中为常数，且的数学期望，，记.表4-18-101-101a00.20.1b0.200.1c求：（1）的值；（2）的概率分布；（3）.(2014研考)【解】（1）的分布为的分布为于是得到（2）的取值为，（3）.24.设随机变量不相关，且，则()(A)(B)(C)(D)(2015研考)【解】由于随机变量不相关，则因此应选(C).25.随机试验有三种两两不相容的结果,,，且三种结果发生的概率均为.将试验独立重复做2次,表示2次试验中结果发生的次数,表示2次试验中结果发生的次数,求与的相关系数.(2016研考)【解】由于则由于,则于是也可以采用计算的联合分布的办法.由于则于是26.设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布函数,则.(2017研考)【解】的概率密度函数为27.设随机变量相互独立,且的概率分布为的概率密度为(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的概率密度.(2017研考)【解】(Ⅰ)(Ⅱ)分布函数时，时，时，时，所以28.设随机变量相互独立,且的概率分布为服从参数为的泊松分布.令，(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的概率分布.(2018研考)【解】(Ⅰ)由于则由于服从参数为的泊松分布，则因为随机变量相互独立,从而相互独立，所以(Ⅱ)的取值为，29.设随机变量相互独立,且服从参数为1的指数分布,的概率分布为,.令.(Ⅰ)求的概率密度；(Ⅱ)为何值时，与不相关；(Ⅲ）与是否相互独立？(2019研考)【解】(Ⅰ)由于服从参数为1的指数分布,则从而的分布函数.时，，时，，时，，所以的概率密度(Ⅱ)由于随机变量相互独立,从而相互独立,于是所以时，与不相关.(Ⅲ）当时，，与不相关，从而不独立.时，从而，即与不独立.30.设随机变量服从区间上的均匀分布,,求.(2020研考)【解】的概率密度函数为31.在区间上随机取一点,将该区间分为两段,较短一段的长度为,较长一段的长度为,令.(Ⅰ)求的概率密度；(Ⅱ)求的概率密度；(Ⅲ）求.(2021研考)【解】(Ⅰ)由题意，,所以的概率密度函数为(Ⅱ)由，得到.的分布函数,时，，时，所以的概率密度为(Ⅲ）.32.设,,,求.(2022研考)【解】由于,,，则33.设,在的条件下,,求与的相关系数.(2022研考)【解】由已知条件，有从而即，由服从二维正态分布的随机变量的性质，与的相关系数.34.设服从参数为1的泊松分布,则(2023研考)【解】由于,则从而的取值为于是35.设随机变量的概率密度为，在的条件下，随机变量服从区间上的均匀分布，则.(A)(B)(C)(D)(2024研考)【解】当时，从而故选（D）.习题5.11.设在每次实验中，事件发生的概率为0.75，利用切比雪夫不等式估计在1000次独立试验中，发生的次数在700-800之间的概率.【解】设发生的次数为，则，所求概率为：.2.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】令而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.现要求n,使得即由中心极限定理得整理得查表n≥268.96,故取n=269.习题5.21.某车间有同型号机床200台，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）,查表知,m=151.所以供电能151×15=2265（单位）.2.一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=，求P{V＞105}的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,…,20由中心极限定理知，随机变量于是即有P{V>105}≈0.3483.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）从而4.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】令(1)X~B(100,0.8)，(2)X~B(100,0.7)，5.用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X，则p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故6.设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=0.1[单位：]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.【解】故7.上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.从而即故所以需272a元.8.对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1）求参加会议的家长数X超过450的概率？（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1）以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.而,由中心极限定理得于是(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得9.设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P{X≤5000}.由中心极限定理有10.设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,…,1000）.令Sn=X1+X2+…+X1000.(1)设至少有m人能够进入掩蔽体，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件由中心极限定理知：从而故所以m=900-15.65=884.35≈884人(2)设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人.11.在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.(1)公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率为(2)因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为习题5.3一复杂系统由100个相互独立起作用的部件构成.在整个系统运行期间每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，（1）利用MATLAB软件精确计算整个系统起作用的概率；（2）利用中心极限定理估计整个系统起作用的概率.【解】程序代码：p=0.9;P1=1-binocdf(84,100,p)P2=1-normcdf(85,90,3)输出结果：P1=0.9601,P2=0.9522.某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的10000个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1）利用MATLAB软件，精确求被盗索赔户不少于1900户且不多于2100户的概率.；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于1900户且不多于2100户的概率近似值.【解】输入程序：p=0.2;P1=binocdf(2100,100,p)-binocdf(1899,10000,p)P2=normcdf(2100,2000,40)-normcdf(1900,2000,40)输出结果：P1=0.9942,P2=0.9876.第5章考研真题1.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据切比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计.（2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以2.设独立同分布，，用切比雪夫不等式估计（2022研考）【解】由得，，故从而，由切比雪夫不等式，.3.某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（1）X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，X~B(100,0.2)，故X的概率分布是(2)被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得4.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.(2001研考)【解】设Xi（i=1,2,…,n）是装运i箱的重量（单位：千克），n为所求的箱数，由条件知，可把X1，X2，…，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：依中心极限定理，当n较大时，,故箱数n取决于条件因此可从解出n<98.0199,即最多可装98箱.习题6.11.为来自于总体的一个样本，则（）.A.是统计量；B.是统计量；C.是统计量；D.是统计量.【解】统计量是不含未知量的样本函数，所以选择A.2．某地电视台想了解某电视栏目(如:每日晚九点至九点半的体育节目)在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查，问（1）该项研究的总体是什么?（2）该项研究的样本是什么?【解】总体是该地区全体用户；样本是被访查的电话用户.3．某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请50名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查100名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜?【解】总体是任意100名成年男子中的吸烟人数；样本是这50名学生中每一个人调查所得到的吸烟人数；总体用二项分布描述比较合适.4.某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了解其平均寿命，从中抽出n件产品测其实际使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布.【解】总体是该厂生产的的全体电容器的寿命；样本是被抽取的n件电容器的寿命；总体的分布为，概率密度为样本的概率密度为5.假若某地区30名2018年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下：9090108601120099901320010910107101081011300133609670157208250914099201232095007750120301025010960808012240104408710116409710950086607380（1）构造该批数据的频率分布表(分6组);（2）画出直方图.【解】（1）最大观测值为15720，最小观测值为7380，则组距为，区间端点可取为7300，8770，10160，11550，12940，14330，15800频率分布表为组限频数累积频数7300-8770668770-1016081410160-1155092311550-1294042712940-1433022914330-15800130（2）直方图习题6.21.设是来自总体的一个简单随机样本，，试确定常数使服从分布.【解】由及相互独立，则，得到同理，再由与相互独立，得到，即.2.设是来自总体的一个简单随机样本，，试确定常数使服从分布.【解】由及相互独立，则，得到；由及相互独立，则，而与相互独立，由分布的定义得到，得.3.设总体X服从标准正态分布，是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量Y=，n＞5，服从何种分布？【解】且与相互独立.所以4.已知，证明.【证】设，，并且U，V相互独立，则随机变量而，且，V相互独立，则.习题6.31.设总体，从总体中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.【解】μ=60,σ2=152,n=100即2.从正态总体中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2)内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大？【解】则Φ(0.4)=0.975，故0.4>1.96,即n>24.01，所以n至少应取25.3.设某厂生产的灯泡的使用寿命（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为，试求.【解】μ=1000,n=9，S2=1002.4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.【解】，由P(|-μ|>4)=0.02得P|Z|>4(σ/n)=0.02,故,即查表得所以5.设总体，是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，为其样本方差，且，求a之值.【解】查表得所以6.求总体的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.【解】令的容量为10的样本均值，为容量为15的样本均值,则~N(20,310),~N(20,)，且与相互独立.则那么所以习题6.4在总体中随机抽取容量为36的样本，利用MATLAB软件求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.【解】输入程序：P=normcdf(53.8,52,6.3/6)-normcdf(50.8,52,6.3/6)输出结果：P=0.8302.30个电子元件参加寿命试验，其失效时间如下：X=[1.94.66.620.71.91.33.05.10.511.94.02.96.31.92.10.43.81.28.34.11.22.30.92.51.610.90.85.39.04.4];请利用MATLAB软件画出该数据的直方图，并研究哪一个分布更适合这个数据.【解】X=[1.94.66.620.71.91.33.05.10.511.94.02.96.31.92.10.43.81.28.34.11.22.30.92.51.610.90.85.39.04.4];histogram(X,5,'Normalization','pdf');%画直方图holdonpdf_exp=exppdf(X,mean(X));%画指数分布的密度函数图plot(X,pdf_exp,'*r')运行结果：由上图可见，指数分布适合这组数据.第6章考研真题1.设总体,为总体的一个样本.则服从分布,参数为.（2001研考）【解】i=1,2,…,15.那么且与相互独立,所以所以Y~F分布，参数为（10,5）.2.设总体,总体,和分别来自总体X和Y的简单随机样本，则=.(2004研考)【解】令则又那么3.设总体，（n≥2）是总体X的一个样本，，令，求.（2001研考）【解】令Zi=Xi+Xn+i,i=1,2,…,n.则Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互独立.令则故那么所以4.设总体X的概率密度为(),为总体X的简单随机样本，其样本方差为，求.(2006研考)【解】由题意，得于是所以.5.设随机变量,，给定，常数满足，则________.(2013研考)【解】由，得，从而，于是.6.设随机变量的概率密度为，对进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数.(I)求的概率分布;(II)求.(2015研考)【解】(I)令，的可能取值为2，3，…，概率分布为：(II).7.设为来自总体的简单随机样本，记则下列结论中不正确的是（）(A)服从分布(B)服从分布(C)服从分布(D)服从分布(2017研考)【解】选BA选项：由，得；B选项：，，得；；C选项：；D选项：，得.习题7.11.为估计某湖泊中鱼的数量，从湖中随机捞出1000条鱼，标上记号后再放入湖中.一天后，从湖中再次随机捞出150条鱼，发现其中有10条带有记号.问该湖泊中有多少条鱼？【解】设湖泊中有n条鱼.总体中带记号的鱼的比例为，样本中的比例为.由于，故n=15000.2.设总体X的分布律为X123其中θ(0<θ<1)是未知参数.X1，X2，X3是总体X的一个样本，对应的样本值是1,2,1.试求参数θ的矩估计值和最大似然估计值.【解】（1）总体的一阶矩为：样本一阶矩为：令μ1=A1，解得将样本值代入，得θ的矩估计值：（2）似然函数为.取对数lnL(λ)=.令，得：将样本值代入，得θ的最大似然估计值为：3.设总体X的密度函数为f(x；θ)=X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，试求参数θ的矩估计量.【解】令解得θ的矩估计量为：4.设总体，从中抽取容量为n的样本X1，X2，…，Xn，试求参数p的矩估计值.【解】E(X)=p,令解得p的矩估计量为.5.设总体X的密度函数为f(x；θ)，X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的最大似然估计.（1）f(x；θ)=（2）f(x；θ)=【解】（1）似然函数为取对数令，即解得得θ的最大似然估计量为：（2）似然函数为取对数令，即解得得θ的最大似然估计量为：6.设总体的概率密度为：，其中>是未知参数，是来自总体的样本，其观测值分别为.试求参数的矩估计量和最大似然估计量.【解】（1）令解得θ的矩估计量为：（2）似然函数为取对数令，即解得得θ的最大似然估计量为：习题7.21.若样本取自总体，，，则_______可以作为的无偏估计量.（A）当已知时，统计量；（B）当已知时，统计量；（C）当未知时，统计量；（D）当未知时，统计量.【解】C、D非统计量，由数学期望的性质知正确答案是A.2.若样本取自总体，则__________.（A）不是的无偏估计量；（B）是的无偏估计量；（C）是的无偏估计量；（D）是的无偏估计量.【解】由数学期望的性质及样本均值的定义知正确答案是B.3.设总体X的分布中含有未知参数θ，又X1，X2是来自X的样本.已知E(X)=2-2θ，且是θ的无偏估计.求k.【解】由题意，，解得4.设X1，X2是从正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本.记试证：都是μ的无偏估计量，并判断哪一个估计量更有效.【证】因为所以都是μ的无偏估计量.所以.即在中是最有效的.5.设总体X的概率密度为其中θ>0是未知参数，X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本.求参数θ的最大似然估计量，并判断该估计量是否是θ的无偏估计量.【解】似然函数为取对数令，即解得得θ的最大似然估计量为：因为所以是θ的无偏估计量.习题7.31.某工厂生产的节能灯使用寿命X~N(μ，1002).现从生产的一批节能灯中随机抽取5只，测得使用寿命如下（单位：小时）14551430150213701610试求这批节能灯平均使用寿命μ的置信水平为0.9的置信区间.【解】该题属于σ2已知时对μ的区间估计.这里1-α=0.9，α/2=0.05，n=5，查表得zα/2=z0.05=1.64，计算得代入（7.10）得均值μ的置信水平为0.9的置信区间是（1473.4-，1473.4+）即（1400.1,1546.7）.2.设是来自总体X的一个样本，X~N(μ，52).求μ的置信水平为0.9的置信区间的长度.【解】因为σ2已知，所以μ的置信水平为1-α的置信区间为.置信区间的长度为由题意n=25,σ=5,α=0.1,查表得，代入上式得置信区间的长度为3.29.习题7.41.设某工厂生产的零件长度X~N(μ,σ2)（单位：cm），现从生产线上随机抽取16件产品，测得样本均值为10，样本方差为0.16.试求：μ的置信水平为0.95的置信区间；（2）σ2的置信水平为0.95的置信区间.【解】（1）该题属于σ2未知时对μ的区间估计.这里1-α=0.95，α/2=0.025，n=16，查表得tα/2(n-1)=t0.025(15)=2.132.代入（7.14）得均值μ的置信水平为0.95的置信区间是（9.7868,10.2132）.(2)该题属于μ未知时对σ2的区间估计.这里1-α=0.95，α/2=0.025，n=16，查表得=24.996，=6.262，代入（7.15）得均值σ2的置信水平为0.95的置信区间是（0.096,0.383）.2.设某种袋装食盐的质量服从正态分布，现从中随机抽取16袋，称得质量的平均值=503.75(g)，样本方差s=6.2022(g).求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间.【解】该题属于σ2未知时对μ的区间估计.这里1-α=0.95，α/2=0.025，n=16，=503.75，s=6.2022，查表得tα/2(n-1)=t0.025(15)=2.132.代入（7.14）得均值μ的置信水平为0.95的置信区间是（500.4,507.1）.3.某工厂生成一批钢珠，其直径服从正态分布N(μ,σ2)（单位：mm）.现从某天生产的产品中随机抽取6个，测得直径为15.114.815.214.914.615.1（1）若σ2=0.06，求μ的置信水平为0.95的置信区间；（2）若σ2未知，求μ的置信水平为0.95的置信区间.【解】（1）该题属于σ2已知时对μ的区间估计.这里1-α=0.95，α/2=0.025，n=6，，计算得=14.95，查表得zα/2=z0.025=1.96.代入公式得均值μ的置信水平为0.95的置信区间是（14.75,15.15）.该题属于σ2未知时对μ的区间估计.这里1-α=0.95，α/2=0.025，n=6，计算得=14.95，s=0.226，查表得tα/2(n-1)=t0.025(5)=2.5706.代入公式得均值μ的置信水平为0.95的置信区间是（14.71,15.187）.4.设一批零件的长度服从正态分布N(μ,σ2)（单位：mm），从中随机抽取10件，测得长度如下：49.750.950.651.852.448.851.151.051.551.2试求方差σ2的置信水平为0.90的置信区间.【解】该题属于μ未知时对σ2的区间估计.这里1-α=0.90，α/2=0.05，n=10.计算得，查表得=16.919，=3.325，代入公式得方差σ2的置信水平为0.90的置信区间是(0.5615,2.8571).5.已知固体燃料火箭推进器的燃烧率近似服从正态分布，标准差近似为0.05cm/s.为研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，随机抽取容量为的两组样本，测得样本均值分别为=18cm/s，=24cm/s.试求两个正态总体均值差的置信水平为0.99的置信区间.【解】该题属于方差已知时对两个正态总体均值差的区间估计.这里，=18，=24，1-α=0.99，α/2=0.005，.查表得zα/2=z0.005=2.58.代入（7.16）得均值差的置信水平为0.99的置信区间是（-6.044,-5.956）.6.某工厂采用两种不同的工艺生产同一种产品，产品质量都服从正态分布.为比较两种工艺的优劣，某日从各自生产的产品中随机抽取10件产品，测得质量如下（单位：g）：工艺Ⅰ81847976828384807982工艺Ⅱ76747879807982768179试求的置信水平为0.99的置信区间.【解】该题属于均值未知，对两个正态总体方差比的区间估计.设X和Y分别表示工艺Ⅰ和工艺Ⅱ生产的产品质量，由题意X~N(μ1,σ12），Y~N(μ2，σ22），且X、Y相互独立.已知，1-α=0.99，α/2=0.005.计算得.代入公式得方差比的置信水平为0.99的置信区间是（0.1416,6.054）.习题7.51.为估计某品牌轮胎的使用寿命，随机抽取12只轮胎试用，测得它们的使用寿命如下（单位：万千米）:5.204.604.584.724.384.704.684.854.324.854.615.02假设轮胎的使用寿命服从正态分布，试求轮胎平均使用寿命的置信水平为0.95的单侧置信下限.【解】该题属于方差未知，对正态总体均值的单侧区间估计.这里1-α=0.95，α=0.05，n=12.计算得.查表得tα(n-1)=t0.05(11)=1.7959.代入公式得均值μ的置信水平为0.95的单侧置信下限为4.5806（万千米）.2.科学上的重大发现往往都是由年轻人做出的.下表列出了自16世纪初期到20世纪早期的十二项重大发现的发现者和他们发现时的年龄.设样本来自正态分布，试求发现者的平均年龄μ的置信水平为0.95的单侧置信上限.序号发现者发现时间年龄发现内容1哥白尼(Copernicus)151340地球绕太阳运转2伽利略(Galileo)160036望远镜、天文学的基本定律3牛顿(Newton)166523运动原理、重力、微积分4富兰克林(Franklin)174640电的本质5拉瓦锡(Lavoisier)177431燃烧是与氧气联系着的6莱尔(Lyell)183033地球是渐进过程演化成的7达尔文(Darwin)185849自然选择控制演化的证据8麦克斯韦(Maxwell)186433光的场方程9居里夫人(MarieCurie)190234放射性10普朗克(Planck)190043量子论11爱因斯坦(Einstein)190526狭义相对论，E=mc212薛定谔(Schrӧdinger)192639量子论的数学基础【解】该题属于方差未知，对正态总体均值的单侧区间估计.这里1-α=0.95，α=0.05，n=12.计算得.查表得代入公式得发现者的平均年龄μ的置信水平为0.95的单侧置信上限为39.3245（岁），即39岁零4个月.习题7.6随机地取出某工厂生产的零件，测得它们的直径（单位：mm）分别为85.001,85.005,85.003,85.001,85.000,84.998,85.006,85.002利用MATLAB软件计算总体均值和总体方差的矩估计.【解】输入：x=[85.00185.00585.00385.00185.00084.99885.00685.002];mu_ju=mean(x)%均值的矩估计siga2_ju=moment(x,2)%方差的矩估计输出：mu_ju=85.0020,siga2_ju=6.0000e-06.设某种油漆的9个样品，其干燥时间分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0设干燥时间总体服从于正态分布，利用MATLAB求均值和标准差矩估计及置信度为0.95的置信区间.【解】输入程序：X=[6.05.75.86.57.06.35.66.15.0];[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.05)输出结果：mu=6，均值的矩估计sigma=0.5745，标注差的矩估计muci=[5.55846.4416]均值的置信区间sigmaci=[0.38801.1005]，标准差的置信区间已知一批零件的使用寿命X服从于正态分布，从这批零件中随机地抽取15个，测得它们的寿命（单位：h）为1050930960980950112099010009701300105098011509401100利用MATLAB软件计算均值和方差的最大似然估计；假设零件的寿命大于960h的为一级品，利用MATLAB软件求这批零件一级品率的最大似然估计.【解】输入程序X=[1050930960980950112099010009701300105098011509401100];phat=mle('norm',X)%计算均值和方差的最大似然估计P=1-normcdf(960,phat(1),phat(2))%计算一级品率的最大似然估计输出结果phat=[1031.397.2],P=0.7686.第7章考研真题1.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为f(x;θ)=其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观测值，求θ的最大似然估计值.（2000研考）【解】似然函数为取对数，即lnL(θ)是θ的增函数.所以θ的最大似然估计量为：2.设总体X的概率分布如下表所示：X0123Pθ22θ(1-θ)θ21-2θ其中θ(0<θ<1/2)是未知参数，利用总体的样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值.（2002研考）【解】（1）令μ1=A1，解得θ的矩估计值：（2）似然函数为.取对数.令，得：将样本值代入，解得因为所以θ的最大似然估计值为3.设总体X的分布函数为F(x；θ)=其中未知参数θ>1,设X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，求：（1）θ的矩估计量；（2）θ的最大似然估计量；(2004研考)【解】（1）总体X的概率密度为.令，即解得θ的矩估计量为（2）似然函数为取对数令解得θ的最大似然估计量为4.设总体X的概率密度为f(x;θ)=其中θ是未知参数（0<θ<1）,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N的样本值x1,x2,…,xn中小于1的个数.求θ的最大似然估计.(2006研考)【解】似然函数为取对数令解得θ的最大似然估计量为5.设总体X的概率密度为其中θ>0是未知参数,X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，是样本均值.（1）求参数θ的矩估计量；（2）判断4是否是的无偏估计量.【解】（1）令解得参数θ的矩估计量为（2）故4不是的无偏估计量.6.设总体X的概率密度为其中参数λ(λ>0)未知，为来自总体X的简单随机样本.（1）求λ的矩估计量；（2）求λ的最大似然估计量.(2009研考)【解】（1）令，即解得λ的矩估计量为（2）设是样本观测值，则似然函数为取对数令解得λ的最大似然估计量为7.设总体X的概率分布为X123P1-θθ-θ2θ2其中θ(0<θ<1)是未知参数，以表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（i=1,2,3）.试求，使得为θ的无偏估计量，并求T的方差.（2010研考）【解】显然，从而由，得解得因为所以.从而8.设是来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知.为样本均值和样本方差.求（1）求参数的最大似然估计；(2)计算E和D.(2011研考)【解】（1）似然函数为L（σ2）=取对数lnL（σ2）=.令，解得参数的最大似然估计为（2）因为，所以从而9.设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且,设,求的概率密度；设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量；证明为的无偏估计量.(2012研考)【解】（1）因为X和Y相互独立，所以Z=X-Y也服从正态分布.又EZ=EX-EY=0,DZ=DX-DY=3,所以于是Z的概率密度为（2）似然函数为L(σ2)=取对数lnL(σ2)=.令，解得参数的最大似然估计为所以为的无偏估计量.10.设总体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.(2013研考)【解】（1）令，解得的矩估计量为（2）设是样本观测值，则似然函数为取对数令解得的最大似然估计量为11.设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单样本，若，则_________.(2014研考)【解】由，得12.设总体的分布函数为其中是未知参数且大于零.为来自总体的简单随机样本.（1）求，；（2）求的最大似然估计量；（3）是否存在实数，使得对任何，都有？(2014研考)【解】（1）X的密度函数为（2）设是样本观测值，则似然函数为取对数令解得的最大似然估计量为（3）因为是独立同分布的随机变量系列，且.由辛钦大数定律，依概率收敛于.故存在a=θ,使得对任意的正数ε有13.设总体X的概率密度为：其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.(1)求的矩估计量.(2)求的最大似然估计量.(2015研考)【解】（1）令，解得的矩估计量为（2）似然函数为，即L(θ)是θ的增函数.所以θ的最大似然估计量为：14.设为来自总体的简单随机样本，样本均值，参数置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.(2016研考)【解】由，得.由，得从而于是的置信度为0.95的双侧置信区间为(8.2,10.8).15.某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果相互独立且均服从正态分布.该工程师记录的是n次测量的绝对误差，利用估计.(1)求的概率密度；(2)利用一阶矩求的矩估计量；(3)求的最大似然估计量.(2017研)【解】（1）由于,故.的分布函数.当z<0时，F(z)=0.当z≥0时，.从而的概率密度为.令，解得σ的矩估计量为(3)似然函数为取对数令解得σ的最大似然估计量为16.设总体X的概率密度为其中是未知参数，为来自总体X的简单随机样本.记的最大似然估计量为.(1)求；(2)求E,D.(2018研考)【解】（1）似然函数为取对数令解得σ的最大似然估计量为（2）17.设总体X的概率密度为其中μ是已知参数，是未知参数，A是常数.为来自总体X的简单随机样本.(1)求A；(2)求的最大似然估计.(2019研考)【解】（1）由归一性： 所以（2）似然函数为L（σ2）=取对数lnL（σ2）=.令，解得参数的最大似然估计为18.设某元件的使用寿命T的分布函数为其中θ，m为参数且大于零.（1）求与,其中s>0,t>0;（2）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为.若m已知，求θ的最大似然估计值.(2020研考)【解】（1）（2）T的密度函数为.似然函数为取对数令解得.从而的最大似然估计量为19.设是来自期望为θ的指数分布的简单随机样本，是来自期望为2θ的指数分布的简单随机样本，且与相互独立.求θ的最大似然估计量及D.(2022研考)【解】由所以总体从而.设是，的观测值，则似然函数为取对数令解得的最大似然估计量为由知所以20.设总体X服从[0,θ]上的均匀分布，其中为未知参数，是来自总体X的简单随机样本，记（1）求c，使得是θ的无偏估计；（2）记，求c使得h(c)最小.(2023研考)【解】（1）X的概率密度为X的分布函数为的分布函数为的概率密度为令，得（2）所以当时h(c)最小.习题8.11.假设检验中，拒绝域和显著性水平分别表示什么含义？【解】按照实际推断原理解释：在原假设为真时，构造小概率事件，即拒绝原假设的区域，就是拒绝域.小概率事件的概率就是显著性水平.显著性水平也可以理解为范第一类错误的概率.2.某品牌节能灯以往的不合格率不高于4%.现从一批产品中随机抽取25只节能灯，以检验这批产品的不合格率是否高于4%，在显著性水平α下，需要提出的假设是（）.(A)H0：μ≥μ0=0.04，H1：μ<μ0=0.04;(B)H0：μ≤μ0=0.04，H1：μ>μ0=0.04;(C)H0：μ>μ0=0.04，H1：μ≤μ0=0.04;(D)H0：μ<μ0=0.04，H1：μ≥μ0=0.04.【解】B3.某品牌手机广告中声称：该品牌手机平均待机时间为30小时.现在随机抽查了35部该品牌手机，以检验广告是否可以被认可.假设该手机待机时间X~N(μ,12)，试建立该检验的原假设H0与备择假设H1，并写出检验统计量.【解】检验假设为H0：μ=μ0=30，H1：μ≠μ0=30.检验统计量为4.设α和β分别是犯第一类、第二类错误的概率，且H0与H1分别是原假设与备择假设.试求下列概率.（1）P{接受H0|H0不真}；（2）P{拒绝H0|H0为真}；（3）P{拒绝H0|H0不真}；（4）P{接受H0|H0为真}.【解】（1）P{接受H0|H0不真}=β；（2）P{拒绝H0|H0为真}=α；（3）P{拒绝H0|H0不真}=0；（4）P{接受H0|H0为真}=0.5.设总体X~N(μ，22)，是该总体的一个样本值.在显著性水平α下，检验假设H0：μ=μ0=0，H1：μ≠μ0=0.若拒绝域为.试求该检验的显著性水平α是多少？犯第一类错误的概率是多少？【解】有题意，此检验的拒绝域为，即已知拒绝域为，故即又故α=0.01.习题8.21.已知某批矿砂中镍含量(%)X~N(μ，σ2)，μ，σ2均未知.现从一批产品中随机抽取5件，测得其镍含量为3.253.273.243.263.24问是否有理由认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25(α=0.01)？【解】按题意，需要检验H0：μ=μ0=3.25，H1：μ≠μ0=3.25.由于σ2未知，选取T=为检验统计量.由表8-3知，原假设H0的拒绝域是.由题意，n=5，经计算，s=0.01304.T的观测值为t0=故应接受H0，即认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25.2.为调查黑龙江某地区水稻应用测深施肥技术的效果，随机抽查100块田地，测得氮肥利用率的样本均值=36%.假设我国常年氮肥利用率服从正态分布N(0.33,0.122).试比较黑龙江水稻测深施肥技术氮肥利用率与我国常年氮肥利用率有无显著差异(α=0.05)？【解】该题属于方差已知，对均值的假设检验.提出假设H0：μ=33%；H1：μ≠33%.已知n=100,=36%,α=0.05,查表得计算得故拒绝H0，即认为测深施肥氮肥利用率较以往有显著差异.3.某工厂生产一种零件，标准长度为32.5（单位:mm）.为检验产品质量，现随机从该工厂生产的零件中抽取6件，测得产品长度为：32.5629.6631.0331.8730.0031.64假定产品长度X服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ2未知.问在α=0.01下这批产品是否合格.【解】该题属于方差未知，对均值的假设检验.提出假设H0：μ=32.5；H1：μ≠32.5.已知n=6,α=0.01,查表得计算得=31.13,s2=1.26，故接受H0，即认为这批产品合格.4.某车间采用甲、乙两条不同的生产线生产同一种产品，设两条生产线生产的产品次品率都服从正态分布，方差分别为σ12=0.46，σ22=0.37.现从甲生产线生产的产品中随机抽取25件，测得产品的次品率均值为3.81%，从乙生产线生产的产品中随机抽取30件，测得产品的次品率均值为3.56%.试问在显著性水平α=0.01下，甲、乙两条生产线生产产品的次品率有无显著差异？【解】该题属于方差已知，对两个正态总体均值差的假设检验.设X和Y分别表示甲、乙两条生产线生产的产品的次品率，由题意X~N(μ1,σ12），Y~N(μ2，σ22），且X、Y相互独立.提出假设H0：μ1－μ2=0；H1：μ1－μ2≠0.已知n1=25，n2=30，=3.81，=3.56，σ12=0.46，σ22=0.37，α=0.01.查表知计算得z0=由于|z0|=1.426<2.58.于是接受原假设H0.即认为甲、乙两条生产线生产产品的次品率没有显著差异.5.某地区高考结束后随机抽取15名女生、12名男生的物理试卷，记录其成绩如下：女生494847404455444246565739435153男生464051474336433848544834假定女生、男生物理成绩都服从正态分布，且方差相同.问根据上述成绩能否判定该地区女生和男生物理成绩没有显著差异(α=0.05)？【解】该题属于方差未知，对两个正态总体均值差的假设检验.设X和Y分别表示该地区男生和女生的物理成绩，由题意X~N(μ1,σ02），Y~N(μ2，σ02），且X、Y相互独立.提出假设H0：μ1－μ2=0；H1：μ1－μ2≠0.已知n1=15，n2=12，α=0.05.查表知计算得=47.6，=44，s12=33.543，s22=37.455，sw2=.t的观测值t0=因为|t0|=1.566<2.06.于是接受原假设H0.即认为该地区男生与女生的物理成绩没有显著差异.习题8.31.某食品加工厂用自动包装机包装食盐，假定包装机包装的食盐质量X服从正态分布N(μ，σ2).为检验生产情况，现随机从某天生产的食盐中抽取10袋，测得质量（单位：g）如下：495492510506505489502503512497（1）若已知μ=500，试检验食盐质量的方差是否是25(α=0.05)？（2）若μ未知，试检验食盐质量的方差是否是25(α=0.05)？【解】(1)该题属于均值已知，对方差的假设检验.提出假设H0：σ2=25；H1：σ2≠25.已知n=10，μ=500，α=0.05,查表得计算得故拒绝H0，即不能认为这批食盐质量的方差为25.（2）该题属于均值未知，对方差的假设检验.提出假设H0：σ2=25；H1：σ2≠25.已知n=10，α=0.0,5,计算得=501，s2=7.6372.查表得计算得故拒绝H0，即不能认为这批食盐质量的方差为25.2.已知某种导线的电阻X~N(μ，σ2），其中μ未知，电阻的一个质量指标是标准差不能大于0.005欧.现从一批导线中随机抽取9根，测得样本标准差s=0.006.试问在显著性水平α=0.05下，这批导线的波动是否合格？【解】该题属于均值未知，对方差的假设检验.提出假设H0：σ2≤0.0052；H1：σ2>0.0052.已知n=9，α=0.05，s=0.006.查表得计算得故接受H0，即认为这批导线的波动合格.3.从甲地到乙地有两条不同的行车路线，行车时间都服从正态分布.由于工作需要，某司机在两条路线上各行驶了10次，线路Ⅰ的标准差为20（分钟），线路Ⅱ的标准差为15（分钟）.试问在显著性水平α=0.01下，两条路线上行车时间的方差是否一样？【解】该题属于均值未知，对两个正态总体方差比的假设检验.设X和Y分别表示该司机在线路Ⅰ和线路Ⅱ上的行车时间，由题意X~N(μ1,σ12），Y~N(μ2，σ22），且X、Y相互独立.μ1，μ2，σ12，σ22均未知.由题意，需检验H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22.已知n1=10，n2=10，α=0.01，s1=20，s2=15.由表8-4知拒绝域为F≤F1-α/2（n1-1，n2-1）=F0.995(9,9)=,或F≥Fα/2（n1-1，n2-1）=F0.005(9,9)=6.54.检验统计量F的观测值为=∈(1.1529，6.54).故接受原假设H0，即认为两条路线上行车时间的方差一样.4.已知甲、乙两台机床加工同一型号的轴承，轴承的内径分别服从正态分布N(μ1，σ12）和N(μ2，σ22）.现在从各自加工的轴承中随机抽取7个和9个，测得其内径（单位：mm）为：甲：20.519.819.720.119.019.920.0乙：20.719.519.620.820.319.820.220.519.9试问在显著性水平α=0.01下，两台机床生产的轴承的内径方差是否相同？【解】该题属于均值未知，对两个正态总体方差比的假设检验.由题意，需检验H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22.已知n1=7，n2=9，α=0.01.计算得.由表8-4知拒绝域为F≤F1-α/2（n1-1，n2-1）=F0.995(6,8)=,或F≥Fα/2（n1-1，n2-1）=F0.005(6,8)=7.95.检验统计量F的观测值为=∈(0.09，7.95).故接受原假设H0，即认为两台机床生产的轴承的内径方差相同.习题8.41.某超市为了给下次进货提供决策，调查顾客对三种品牌纯牛奶的喜爱程度.一个月内随机观察了150位购买者，并记录了他们的购买品牌，数据见下表：品牌ⅠⅡⅢ购买人数615336问根据上述数据能否判定顾客对三种品牌纯牛奶的喜爱程度没有显著差异(α=0.05)？【解】由题意，提出假设H0：；H1：至少有一个.需要进行的计算如下：品牌ⅠⅡⅢ实际频数fi615336理论频数5050501219196检验统计量的观测值.查表.由于6.52>5.991，所以在显著性水平为0.05下拒绝H0，即认为顾客对三种品牌矿泉水的喜爱程度存在显著差异.2.某实验室每隔一定时间观察一次由某种铀放射的到达计数器上的α粒子数X，试验记录见下表：i01234567891011≥12fi15161726119921210AiA0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12其中fi是观察到有i个α粒子的次数.问在显著性水平α=0.05下，能否认为粒子数X服从泊松分布？【解】按题意需要检验假设H0：；粒子数X服从泊松分布，即P{X=i}=，i=0，1，2，….由于总体分布中的参数λ未知，所以需要先估计λ.由最