2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之阿氏圆模型解读与提分训练（解析版）

专题34最值模型之阿氏圆模型

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的

数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进

行梳理及对应试题分析，方便掌握。

目录导航］

例题讲模型］

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模型1.阿氏圆模型.......................................................................................................................................................1

习题练模型］

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例题讲模型］

模型1.阿氏圆模型

模型解读

动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B,动点尸满足PA/PB=k（左为常数，且厚1））,

那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯

圆，简称为阿氏圆。

模型证明

如图1所示，。。的半径为广，点A、8都在。O夕卜，P为。。上一动点，已知（即1=左），连

0B

接PA、PB,则当“PA+hP8”的值最小时，尸点的位置如何确定？最小值是多少呢？

OPOBOBOP

VZPOC=ZBOP,C.KPOC^LBOP,.•.生=左，IPk-PB=PCo

PB

故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为“PA+P。'的最小值。

其中与A与C为定点，尸为动点，故当A、P、C三点共线时，“P4+PC，值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在

于如何构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内

一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“八力+尸8”最值问题，其中P点

轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

模型运用

例1.（2024・安徽合肥•二模）在44BC中，ZACB=90°,AC=6,3c=8,点。是平面上一点，且CD=4,

连接AD、BD,则下列说法正确的是（）

A.4。长度的最大值是9B.|AD+如的最小值是

C.ZCBD=30°D.△ABD面积的最大值是40

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、勾股定理、点和圆的位置关系等知识，牢记相关性质是解题

关键，根据点和圆的位置关系直接判断A、C、D,根据相似三角形判定与性质及勾股定理、两点之间线段

最短判断B即可.

【详解】解：A、•.•AC=6,点。是平面上一点，且CD=4,

.,.点A、C、。在同一直线上且。在AC延长线上时，AD长度的最大值是6+4=10,故本选项不符合题意;

1ECD?DCA.-.△CDE^AC4D\-=—=-\DE=-AD

CDCA3ADCD33

22

\mAD+BD=DE+BD?BE：.当B、D、E共线时§AD+BD最小，

此时，|AD+BD=BE=^|^+8?=当普，故本选项符合题意；

C、•点。是平面上一点，且CD=4,.:。点在以点C为圆心，4为半径的圆上,

.•.NCBD随着点。的变化而变化，故本选项不符合题意；

D、•.•。点在以点C为圆心，4为半径的圆上，

如下图，当。C所在直线垂直于AB时，△ABD面积的最大，

在AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=^62+82=10-

\5.0=1仓68=1仓巾0CH,\CH-4.8,\D”=4.8+4=8.8，

△/iDc22

\反钻°=!创。8.8=44,面积的最大值是44,故本选项不符合题意；故选：B.

例2.（2024・广东•模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动

点，则PD--PC的最大值为.

2

AD

【答案】—

2

13

【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3,根据题意要求构造—PC,在BC上取M使得此时PM=—,

22

则在点P运动的任意时刻，均有PM=-PC,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接PD,对于APDM,

2

PD-PM<DM,故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值”.

一2

例3.（2023•北京•九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为。。，尸是。。上一动点，则夜

PA+PB的最小值为.

【答案】2指

【分析】及PA+PB=6（PA+与PB）,利用相似三角形构造乎即可解答.

【详解】解：设。O半径为r,

DC

OP=r=gBC=2,0B=&r=2金，取。8的中点/,连接P/,：.OI=IB=也,

：等釜=&，型=述=应，:.多=嗡，NO是公共角，：.△BOPS^POI,

01，2OP2OIOP

；.£L=2L=丝,：.PI=J3LPB,:.AP+显PB=AP+PI,

PBOP222

...当A、P、/在一条直线上时，AP+变PB最小，作于E,

2

万

：NA8O=45°,；.IE=BE==BI=l,:.AE=AB-BE=3,

2

：.AI=yj32+l2=710，；♦AP+4PB最小值=A/=Vio,

6

,:亚PA+PB=^(/?4+—PB),.•.0必+必的最小值是04/=0*历=2宕.故答案是2君.

2

【点睛】本题是“阿氏圆''问题，解决问题的关键是构造相似三角形.

例4.(2024•江苏・无锡市九年级期中)如图，。。与y轴、x轴的正半轴分别相交于点〃、点N,。。半径

为3,点A(0,1),点B(2,0),点P在弧MN上移动，连接％,PB,则3E4+PB的最小值为一.

【答案】每

r)AApi

【分析】如图，在y轴上取一点C(0,9),连接尸C,根据器=器=；,/4OP是公共角，可得AAOPS4

POC,得尸C=3必，当民C,尸三点共线时，3B4+PB的值最小为BC,利用勾股定理求出BC的长即可得答案.

【详解】如图，在y轴上取一点C(0,9),连接PC,

：。。半径为3,点A(0,1),点3(2,0),：.OP=3,OA=1,OB=2,OC=9,

QAQp1

NA。尸是公共角，:.△NOPSXPOC,：.PC=3PA,

?）PA+PB=PC+PB,：.当B,C,P三点共线时，3PA+PB最小值为BC,

二BC=Sc?+OB。=也2”=屈,，3必+尸2的最小值为屈•故答案为：底

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C、P、B三点在同一条直线上时

3PA+PB有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

例5.（2024•山东•模拟预测）如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=2BC=6,BD=1,尸在以3为圆心

3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为.

【解答】解：在上取点E,使=-.-AB=2BC=6,

2ABBP2

PFBP11

・・・ZPBE=ZABP,「.APB石SA4s尸，—=一=_,：.PE=—PA,

PAAB22

在BD延长线上取叱=9,・・・BD=1,则生="=3,

PBBD

PFPR

5L-：ZPBD^ZFBP,:.^PBD^\FBP,—=——=3,:.PF=3PD,

PDBD

1

:.PA+6PD=2(-PA+3PD)=2(PE+PF),

.•.当「为跖和圆的交点时PE+PF最小，即P4+6PD最小，且值为2EF,

...EF=4BE2+BF。=J(|y+9?=,.•.P4+6PD的最小值为2EF=3庖，故答案为：3历.

例6.（2024・广东•模拟预测）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,D、E分别是边3C、

AC上的两个动点，且DE=4,尸是DE的中点，连接上4,PB,则PA+’PB的最小值为

4

【解答】解：如图，在8上取一点八使得bj连接尸尸，

1CF1cp1CFCP

XDCE=90°,DE=4,DP=PE,PC=—DE=2,=—,—=—,

2CP4CB4CP-CB

PFCF111

­.•ZPCF=ZBCP,:."CFs独CP,..——=—=-,:.PF=-PB,PA+-PB=PA+PF,

PBCP444

\-PA+PF..AF,AF=yJCF2+AC2=

2

・警一的最小值为半

例7.（2024・福建・校考一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且即1=2,N为边BC

上一动点.连接肱V,将ABMN沿M2V翻折得到APMN,点尸与点8对应，连接弘PC,贝UR4+2尸C的

最小值为•

【答案】6H

【分析】由折叠的性质可得，点尸在以加为圆心，以2为半径的圆上，在线段处上取一点E,使得旌=1,

利用相似三角形的性质得到PE=^PA,从而得到尸A+2PC=2^PA+PC^=2（PE+PC）>2CE，当且仅当

P、C、E三点共线时，取得最小值2CE,即可求解.

【详解】解：由题意可得：PM=BM=2.••点尸在以M为圆心，以2为半径的圆上，

MPME1

在线段网上取一点E,使得ME=1,贝！J3E=3'：AM=AB-BM=4,MP=2：.——=——=-

AMPM2

PEME]]

又ZEMP=ZPMA：.AEMP^APMA：.—=——=不'PE=彳PA

PAPA/22

PA+2PC=2^PA+尸C）=2（PE+PC）＞2CE

如下图所示，当且仅当P、C、E三点共线时，取得最小值2CE

CE=BE1+BC2=36，,PA+2PC的最小值为：6卡

例8.（2024.广东•校考二模）（1）初步研究：如图1,在△E4B中，已知B4=2,42=4,。为AB上一点且AQ=1,

证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2,已知正方形4BCD的边长为4,的半径为2,点P是。A上的

一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3,已知菱形48C。的边长为4,ZA=60°,。4的

半径为2,点P是。A上的一个动点，求2PC-P8的最大值.

图1图2图3

【答案】（1）见解析；（2）10；（3）2后

【分析】（1）证明△B4QSAA4P,根据相似三角形的性质即可证明尸氏2尸。；

（2）在AB上取一点0,使得AQ=1,由（1）得PB=2PQ,推出当点C、P、。三点共线时，PC+P。的值

最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点尸在C0

交。A的点P时，PC-P。的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC-P8的最大值.

PAAB

【详解】解：(1)证明：：B4=2,AB=4,AQ=1,：.PA2=AQ-AB=4..

AQrA

PQpA1

又,.・NA=NA,LPAQ^LBAP.=——.：.PB=2PQ；

PBAB2

（2）如图，在上取一点Q,使得4。=1,连接AP,PQ,CQ.

：.AP=2,AB=4,AQ=l.由(1)得PB=2PQ,：.2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ).

•：PC+PQ>QC,当点C、P、。三点共线时，尸C+尸。的值最小.

'：QC=^QB2+BC2=5,2PC+PB=2(PC+PQ)>10.的最小值为10.

DC

（3）如图，在AB上取一点Q,使得AQ=1,连接4P,PQ,CQ,延长CQ交。A于点P,过点C作C7/垂

直A2的延长线于点和易得AP=2,AB=4,AQ=1.

由⑴得尸B=2PQ,：.2PC-PB=2PC-2PQ=2(PC-PQ),

•••PC-PQ<QC,，当点P在C。交。A的点P时，PC-PQ的值最大.

QC=4QH2+CH2=国,：.2PC-PB=2(PC-PQ)及用....2PC-P2的最大值为2折'.

【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线

段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为

两点之间线段最短解决.

例9.（2023・山东烟台・统考中考真题）如图，抛物线、=依2+法+5与x轴交于两点，与>轴交于点

C,AB=4.抛物线的对称轴尤=3与经过点A的直线y=依-1交于点。，与x轴交于点E.

（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点"，使得"DM是以AD为直角边的直角三角

形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点8为圆心，画半径为2的圆，点、P为OB

上一个动点，请求出尸C+；尸4的最小值.

【答案】（1）直线AD的解析式为y=xT;抛物线解析式为y=f-6x+5

（2）存在，点M的坐标为（4,-3）或（0,5）或（5,0）（3）历

【分析】（1）根据对称轴x=3,AB=4,得到点A及8的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；

（2）先求出点。的坐标，再分两种情况：①当NZM"=90。时，求出直线A4的解析式为解方

程组厂2，<，即可得到点M的坐标；②当NAZ）M=90。时，求出直线DM的解析式为y=-x+5,

=x-ox+5

fy=-x+5BFPB

解方程组2u〈，即可得到点M的坐标；（3）在AB上取点尸，使叱=1,连接CF,证得二=2，

=尤+5PBAB

又ZPBF=ZABP,得到APBFSAABP,推出P尸=gE4,进而得到当点C、P、/三点共线时，PC+；PA的

值最小，即为线段C尸的长，利用勾股定理求出CF即可.

【详解】（1）解：：抛物线的对称轴尤=3,AB=4,.-.A（l,0）,5（5,0）,

将A（l,0）代入直线、=辰-1,得左—1=0,解得左=1,.•.直线AD的解析式为y=x-l；

a+b+5=0a=l

将A（l,0）,5（5,0）代入y=ax2+bx+5,解得

25a+5Z?+5=0b=-6

：.抛物线的解析式为y=Y-6x+5；

（2）存在点M,,・,直线AT）的解析式为y=%-1,抛物线对称轴％=3与x轴交于点£.

・,•当％=3时，y=x-l=2,/.£)(3,2),

①当NZMM=90。时，设直线AM的解析式为y=-x+J将点A坐标代入,

得-1+。=0,解得。=1,・,•直线AM的解析式为y=-％+1,

y=—x+1/"一I或x=4

解方程组2?・••点M的坐标为（4,一3）；

y=x-6x+5信y=0y=-3'

②当NADM=90。时，设直线DM的解析式为y=r+d,将。（3,2）代入,

得-3+d=2,解得d=5,「・直线DM的解析式为y=—％+5,

Iy=—x+5[x=0\x=5/、/、

解方程组J；=d_6x+5,解得Jy=5或jy=0'•••点河的坐标为(0,5)或(5,0)

综上，点M的坐标为（4,-3）或（0,5）或（5,0）；

（3）如图，在A3上取点尸，使砥=1,连接CF,

..DD_O.竺」..型.B^_PB

PB2AB42PBAB

PFBF11

XVZPBF=ZABP：・APBFS^ABP,;.==gpPF=-PA,

9PAPB22

.•・PC+《PA=PC+P尸NCF,.•.当点C、P、/三点共线时，尸C+工厚的值最小，即为线段C厂的长,

22

2222

VOC=5,OF=OB-1=5-1=4,：.(jF=^QC+OF=75+4=A/41>；•PC+g/M的最小值为百.

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质,

勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键.

习题练模型]

1.（2024・安徽六安•模拟预测）如图，在矩形A8CD中，已知AB=3,BC=6,E为AD边上一动点，将△ME

沿BE翻折到AEBE的位置，点A与点尸重合，连接DECF,则。的最小值为（）

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关

31

键.在3c上取点G,使3G=—,连接PG,DG,证明一》0£8尸，可得出FG=—CF,贝lj

22

DF+^FC=DF+GF>DG,当。、F、G三点共线时，DF+gFC最小，在RtaCDG中，利用勾股定理

求出DG即可.

3

【详解】解：如图，在BC上取点G,使BG=],连接bG,DG.

•.・△ME沿BE边翻折到△出E,:.BF=AB=3,XvBC=6,=空=!，；.器，,

nr2nC2ornC

GFBF11

又ZFBG=NCBF,.△FBG^CBF,「.——=——=-,/.FG=-CF,

CFBC22

:.DF+-FC^DF+GF>DG,当。、F、G三点共线时，。尸+工尸C最小，

22

在RtACDG中，CD=AB=3,CG=BC-BG=4.5,/BCD=90。,

DG=Vcn2+CG2=,即。P+工PC的最小值为3叵.

222

2.（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形ABCD中AB=8,4）=6,点E是矩形ABCD内部一个动

点，且£B=4,连接CE,则DE+三分之二CE的最小值为（）

A.8B.—C.—D.9

33

【答案】B

【分析】根据题意可得：点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，在上取一点F,使8尸=|,连接

102

EF,由矩形的性质可得BC=AZ>=6,6=帖=8,推出。尸=—,证明45砂6/^8。£,得到£尸二—。石，

33

22

推出。£+］。£=。£+瓦"即当。、E、尸共线时，+取最小值，最小值为。尸，最后根据勾股

定理求出。尸，即可求解.

【详解】解：根据题意可得：点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，在BC上取一点歹，使8尸=|,

Q1Q

连接跖，•.,矩形A3CD中，AB=8,AD=6,ABC=AD=6,CD=AB=8,ACF=BC-BF=6--=—,

BEBF2FF22

EB=4,「•,又丁NB=/R,/\BEFsLBCE,--fEF=—CE,

22

DE+-CE^DE+EF,.•.当£）、E、尸共线时，DE+§CE取最小值，最小值为。尸，

DF=A/CF2+C£>2+82=y,故选:B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质,勾股定理，线段和最短问题，解

题的关键是正确作出辅助线.

3.（2024・安徽六安.模拟预测）如图，在矩形ABCD中，己知AB=3,BC=6,E为AD边上一动点，将AME

沿班翻折到△降的位置，点A与点"重合，连接小,CF,则江+”的最小值为()

A.2B.姮C.4D.迪

222

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关

31

键.在BC上取点G,使3G=5，连接尸G,DG,证明AFBGSACB?,可得出FG=/CF,贝lj

DF+}-FC=DF+GF>DG,当。、F、G三点共线时，+最小，在Rt^CDG中，利用勾股定理

22

求出。G即可.

3

【详解】解：如图，在BC上取点G,使BG=5，连接FG,DG.

•・•△A&E沿3右边翻折到△冲石，:.BF=AB=3,又・.・3C=6,..■!?=!，器;=3，：.第=三,

Dr2nC2orDC

DE11|j

又ZFBG=NCBF,.^FBG^^CBF,/.-=—=:.FG=—CF,DF+-FC=DF+GF>DG,

CFBC222

当。、F、G三点共线时，。尸最小，在RtzXCDG中，CD=AB=3,

CG=BC-BG=4.5,ZBCD=90。,DG=ylCD2+CG2=,即。F的最〃、值为^.故选：D.

222

4.（2024.山东泰安•二模）如图，在RAABC中，ZACB=90°,CB=2及,AC=9,以C为圆心，3为半

径作。C,尸为。C上一动点，连接转、BP,则《AP+3尸的最小值为（）

A

C.3D.4

【答案】c

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题

的关键.在C4上截取CAf,使得CN=1,连接PM,PC,BM.利用相似三角形的性质证明加尸=：上4,

可得;AP+BP=PM+PBNBM,利用勾股定理求出8M即可解决问题.

【详解】解：如图，在C4上截取CM,使得CM=1,连接尸M,PC,BM.

.PCCM

CA=9,：2

.PC=CMCA,'^A~~CP

PMPC111

VZPCM=ZACP,：.^PCM^^ACP,：.——=—=-,/.MP=-PA,：.-AP+BP=PM+PB>BM,

PAAC333

VPM+PB>BM,在3△BCM中，ABCM=90°,CM=1,CB=2立,

BM=yJCM2+CB2=J12+（2V2）2=3,：.^AP+BP>3,，gaP+BP的最小值为3.故选：C.

5.（2024•陕西西安・模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=9,点P为边CO的中点，点E在边AD

上，连接3尸，点尸为3尸上的动点，则所+叵所的最小值为.

10

【答案】6

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.作FC8c于点G,证明

△BFG^ABPC,求得FG=叵BF,当E,F,G三点共线时，所+叵BF有最小值，最小值为EG的长,

1010

据此求解即可.

【详解】解：：矩形ABC。中，AB=6,AD=9,点P为边CO的中点，

2222

ACP=|CZ)=|AB=3,Bp=yjBC+CP=79+3=3710-

作FG_LBC于点G,AFG//CP,：.Z^BFG^^BPC,

/.FG=—BF,AEF+—BF=EF+FG,

1010

当E,F,G三点共线时，功+巫B尸有最小值，最小值为EG的长,

10

此时EG=Afi=6,£/+亚8尸的最小值为6,故答案为：6.

10

6.（2024•安徽合肥•模拟预测）如图所示，正方形ABCD边长为8,M为BC中点，E为AC上的动点，F为

BE上的点，且班1=3,连接DE,贝!I2MF+DE的最小值是（）

A.屈B.3币C.2714D.2V17

【答案】D

【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，取CM的中点N,连接EN,证

明ABFMS^BNE,得出NE=2FM,从而得出2MF+DE=NE+DE,连接DN交AC于E，当。、E、N

在同一直线上时，NE+DE最小,即2MR+DE最小，最小为ON,再由勾股定理求出DN的长即可.

【详解】解：取CM的中点N,连接EN,

AD

丁四边形ABC。为正方形，边长为8,M为3C中点，ABC=CD=8,BM=CM=4,4c0=90。,

为AC上的动点，:.BE=BC=8,:.BE=2BM,

BNBE

为CM中点，Z.MN=CN=2,：.BN=BM+MN=6,,:BF=3,：.BN=2BF,：.—=——=2,

BFBM

NE

■:NFBM=NNBE,：.ABFM^ABNE,：.——=2,/.NE=2FM,：.2MF+DE=NE+DE,

FM

连接。N交AC于£，当。、E、N在同一直线上时，NE+DE最小,即2Mp+/）E最小，最小为CN,

,*,DN=y/cif+CN2=2717»，2MR+DE最小值为2比7,故选：D.

7.（2024•江苏镇江•二模）如图，边长为2的正方形A3CD中，E、E分别为3C、CD上的动点，BE=CF,

连接AE、BF交于点P,则PD+%C的最小值为一.

【分析】证明AABE丝ABCF(SAS),则NA4E=NCBHZAPB=180°-(ZS4E+ZABP)=90°,如图，记

的中点为。，则尸在以。为圆心，A3为直径的圆上，如图，连接OPOC,由勾股定理得，OC=君，如

图，在。C上取点G使。G=好，则CG=S5,连接尸G,GD,证明AGOPSAP。。，则变.=」!，即

55PC5

PG=—PC,由尸。+苴PC=PG+P£>,可得当G、P、。三点共线时，P£>+且PC的值最小，为GD,如图，

555

CH1

「HCR-----=----

作于则GH〃BC,NCGH=NOCB,sinZCGH=sinZOCB,则亍==，即4石也，

CGOC-----

5

可得CH=:,即£>//=：,由勾股定理得，GH=|,根据DG7DH2+GH2，计算求解即可.

【详解】解：：正方形A3CD,AAB=BC=CD=2,ZABC=ZBCD=90°,

又,/BE=CF,：.AABE'BCF(SAS),ZBAE=ZCBF,

ZBAE+ZABP=ZCBF+ZABP=90°,：.ZAPS=18O°-（ZBAE+ZABP）=9O°,

如图，记AB的中点为。，则P在以。为圆心，为直径的圆上，

如图，连接。尸，OC,由勾股定理得，OC=^BC1+OB2=A/5>

如图，在OC上取点G使。G=且，则CG=±5,连接PG,GD,

55

V—=^=—,NGOP=NPOC,:.AGOPSROC,；.”=好，即尸G=@PC,

OP5OCPC55

PD+*PC=PG+PD,.•.当G、P、D三点共线时，PD+（PC的值最小，为GD,

如图，作G"_LCD于H,：.GH//BC,:.NCGH=NOCB,：.sinZCGH=sinZOCB,

CH_1

.•.栗=黑，即而=有，解得Of",.•.OH="

CGCJC--—55

由勾股定理得，GH=y/CG2-CH2=|,由勾股定理得，DG=-JDH-+GH2=2>故答案为：2.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，90。圆周角所对的弦为直径，相

似三角形的判定与性质，正弦等知识.熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，90°

圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键.

8.（2024•浙江温州.模拟预测）如图，在正方形A3。中，点N分别在边A3,2C上（不与顶点重合），

且满足AM=3N,连接AN,DM交于点、P.E,F分别是边AB,BC的中点，连结接尸E,PF.若正方

形的边长为8,则尸E+厂的最小值为.

2

DC

【分析】由四边形ABCD是正方形，得=ZABC=ZBAD=90°,证明AAD扬名ABANeAS),根据

性质得出/APD=90。，点M、N无论在何处，均有/APD=90。，即点尸在以A£＞中点为圆心，AD为直径

的圆上，用点G表示AD的中点，连接GB,用点H表示G尸的中点，用点。表示GH的中点，连接

EH、QE、PG、PQ,以G为圆心，AG为半径画”圆，然后证明AGQP~AGPP,则更=些=d=!，

4PFGPGF2

故尸E+〈P尸的最小值也就是尸E+Q尸的最小值，当点尸、E、Q三点共线时，PE+QP最小，最小值为线段

E。的长度，最后由勾股定理即可求解.

【详解】•.,四边形ABCD是正方形，=ZABC=ZBAD=90°,

X'.'AD=BA,：.^ADM^^BAN（SAS）,：.ZADM=ZBAN,

VZBAN+ZDAN=90°,：.ADAN+ZADM=90°,：.ZAPD=90°,

...点M、N无论在何处，均有/APD=90。，即点P在以AD中点为圆心，AD为直径的圆上，用点G表示AD

的中点，连接GF,用点”表示G尸的中点，用点。表示GH的中点，连接班、QE、PG、PQ,以G为圆

心，AG为半径画(圆，如图中的A//,

：M在A3上运动且不与43重合，.•.点尸的轨迹就是不与A、〃重合,

VGP=GH=AG=-AD=4,GQ=-GH=2,GF=2GH=8,

22

.GQ_2_\GP_4_j_.GQGP

**GP-4-2?GF-8-2?••不一而‘

•:NPGQ=NFGP,:.AGQP~AGPF,==—=-,

~PFGPGF2

PE+^PF的最小值也就是PE+QP的最小值，

•..点P在AH上，，当点P、E、Q三点共线时，PE+QP最小，最小值为线段石。的长度,

:点G、尸分别是正方形ABC。边AD、3c的中点，，四边形G4B厂是矩形,

；点E、”分别是矩形G4放边AB、GP的中点，，四边形AEHG是矩形，E”=AG=4,ZEHQ=90°,

■：QH=GQ=^GH=2,：.在RuEHQ中，由勾股定理得EQ=^EH2+QH2=^42+22=2—，

即：PE+；尸厂的最小值为2石，故答案为：26.

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定

理，两点之间线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

9.（2024・广西•一模）图所示，在半径为6的扇形ABC中，NB4c=60。，点、D,E分别在半径AB,

3

AC±,且5D=CE=2,点尸是弧5C上的动点，连接OF,EF,则OF+—E/的最小值为

2

【答案】国

3

【分析】连结AF,延长AC到G使CG=3,连结GF,过G作AH±AB于H,先证△胡EsAGAF,得出尸G二^跖,

3

根据两点间距离最短得出尸G+尸DNGD,即ED+gEFNOG,当点G,尸,£）三点在同一直线上时G尸+尸。最

31Q

短即即+］跖最短=Z）G,然后利用30。直角三角形先证求出AH=5AG=5,利用锐角三角函数求出

G居AGcos30o=9xXI=2叵，利用勾股定理求解即可.

22

【详解】解：连结AR延长AC到G使CG=3,连结G凡过G作于从

..AE_4_2AF_6_2.AE_AF_2

：.AG=AC+CG=6+3=9,CE=2,AE=AC-CE=4,

*AF-6-3AG-9-3*AF-AG-3