2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之费马点模型解读与提分训练（解析版）

专题35最值模型之费马点模型

费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考

试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶•德•费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，

而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费

马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等.费马点：三角形内的点到三个顶点距离之

和最小的点。

模型1.费马点模型

模型解读

结论：如图1,点M为AABC内任意一点，连接AM、BM、CM,当M与三个顶点连线的夹角为120。时,

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是AABC的最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此时费马点就

是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120。）

模型证明

证明：如图2,以A8为一边向外作等边三角形AABE,将8M绕点8逆时针旋转60。得到8N,连接EN.

:△ABE为等边三角形，：.AB=BE,NABE=60°.而NAffiN=60。，:.NABM=/EBN.

AB=BE

在AAMB与4ENB中，,/JNABM=NEBN，^AMB0AENB（SAS）.

BM=BN

连接MN.由△AMB0AENB知，AM=EN.'：ZMBN^60°,BM=BN,；.ABMN为等边三角形.

：.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.二当£、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小.

此时，180°-ZWB=120°；NAMB=NENB=180°-NBNM=120°；

ZAMC=360°-ZBMC-ZAMB=120°.

费马点的作法：如图3,分别以AABC的AB、AC为一边向外作等边AME和等边△ACT,连接CE、BF,设

交点为M,则点〃即为AABC的费马点。

【最值原理】两点之间，线段最短。

模型运用

例1.（23-24九年级上广东江门•阶段练习）如图，在AABC中，NBAC=90。,AB=5,AC=2君，点尸为AABC

内部一点，则点P到"RC三个顶点之和的最小值是.

【答案】国

【分析】将AABP绕着点A顺时针旋转60。，得到△AEH,连接EP,CH,过点C作。VJ.AH,交的

延长线于N,由旋转的性质可得/BAP=44E,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,易得

△AEP是等边三角形，可得AE=AP=EP,进而得到AP+3P+PC=EP+EH+PC,当点X、E、P、C共

线时，AP+BP+PC有最小值"C,再求出CN和的长度，由勾股定理可求解.

【详解】解：将绕着点A顺时针旋转60。，得到连接EP,CH,过点C作CNLAH,交HA

的延长线于N,

ZBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,

：.ZHAB=ZEAP=60°,；.△AEP是等边三角形，AAE=AP=EP,

：.AP+BP+PC=EP+EH+PC,，当点H、E、尸、C共线时，AP+BP+PC有最小值HC.

---ZNAC=180°-ZBAH-ABAC=180°-60°-90°=30°,AC=2y/3,

:.CN=；AC=6:.ANZACI-CN。=«2国一（国=3,:.HN=AH+AN=5+3=8.

在Rt^ava中，CH=+CN?=.+（呵=屈,即点尸到"RC三个顶点之和的最小值是标

故答案为：>/67.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角

形的性质，构造旋转图形是本题的关键.

例2.（2024・江苏宿迁•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是A3的中点，尸是3C边上一

动点，将ABEF沿着斯翻折，使得点B落在点夕处，矩形内有一动点P,连接PB',PC,PE>,则PE+PC+PZ）

的最小值为.

【答案】4+273

【分析】将绕点D逆时针旋转60。得到ADPC',连接尸P、CC,从而将尸？+尸。+尸。转化到

PB'+PP+PC',当点E、B'、P、P、C在同一条直线上时，PB'+PC+PD=P3'+PP'+P'C'取得最小值.

如图，将绕点D逆时针旋转60。得到A£>PC',连接PP、CC,则有：

△DPP、ADCC'是等边三角形，：.PD=PP',PC=PCPB'+PC+PD=PB'+PP+PC'

由折叠的性质可知，3’的运动轨迹是以E为圆心，EB长为半径的圆（如图所示），故当E、BJP、P、C

在同一直线上时取最小值；

・；AB=4,8C=6,E是AB的中点，"P、△DCC是等边三角形，

DC=4,EB=EB'=-AB=2,PD=PP'=—DC=,PC=P'C'=PD=

2333

2百

KD=0-2-----=4-----9

33

尸E+PC+PD的最小值为：PB'+PC+PD=PB'+PP'+P'C'=4-^-+—+^=4+2y/3;

333

故答案为4+26.

【点睛】本题考查了图形中求最短距离的问题，解题的关键是把所求线段转化到同一直线中求解.

例3.（23-24九年级下•河南周口•阶段练习）【问题背景】在已知41BC所在平面内求一点尸，使它到三角形

的三个顶点的距离之和最小（如图1）.这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前

后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.解决方法如下：如图2,把△APC绕

A点逆时针旋转60°得到AAP'C'（点P,C的对应点分别为点P',C），连接PP，,则/F4P=60°,PC=PC.

,/,•••△APP'为等边三角形，；.AP=PP,：.PA+PB+PC=PP'+PB+P'C,

，当8,P,P',C'四点在同一直线上时，R4+PB+PC的值最小，即点P是AABC的“费马点”.

任务：（1）横线处填写的条件是；（2）当点尸是“LBC的“费马点”时，ZAPB=ZBPC=ZAPC=；

（3）如图3,中，ZCAB=90°,AB^AC,E,F为BC上的点，且ZE4F=45。，判断BE,EF,FC

之间的数量关系并说明理由；

【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A,B,C为公园的出入口，ZA=75°,AB=2&km，

AC=4km,工人师傅准备在公园内修建一凉亭P,使该凉亭到三个出入口的距离最小，则PA+P3+PC的

最小值是.

【答案】问题背景：（1）见解析；（2）120°；（3）EF2=BE2+CF2,理由见解析；实际应用；2Mkm

【分析】问题背景：（1）先证明AAPP'为等边三角形，得至l]AP=PP,则B4+PB+PC=PP+PB+P'C',

由此可得当2,P,P',C'四点在同一直线上时，%+尸3+尸。的值最小，即点P是AABC的“费马点”.

（2）由旋转的性质可得NC1C'=6O。，ZC'=ZACP,进而利用三角形内角和定理得到

ZCPO=ZCAC'=60°,再由等边三角形的性质得到ZAPP=60。，则NAPC=120。，ZAPC=120°,即可

利用周角的定义得到NBPC=360°-ZABP-ZAPC=120°；

（3）将ABAE绕点A逆时针旋转90°,得到AC4D,连接DF,利用旋转的性质和等边对等角，得到CD=BE,

△FCD为直角三角形，进而得至尸2=C£）2+C尸,，证明△AFE丝△AFD,得到跖=。/，即可得出结论;

实际应用：如图所示，将AC4P绕点4逆时针旋转60。得到△&4「，连接尸P,由问题背景（1）可得当8,

P,P',C'四点在同一直线上时，B4+PS+尸C的值最小，最小值为3C,过点C'作CD，班交54延长

线于。，证明△C'ZM是等腰直角三角形，得到4。=。。=走4?=2打1011,则BD=AB+AD=4后km，

2

利用勾股定理得到BC'=[CD。+BD?=2而km，则尸A+P3+PC得最小值为2回km.

【详解】解：问题背景：（1）如图2,把△APC绕A点逆时针旋转60。得到AAP'C'（点P,C的对应点分别

为点P',C'）,连接PP',则/上仍=60。，P'C=PC.

为等边三角形，=•,.E4+P3+PC=PP+P3+P'C',

...当8,P,P',C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小，即点P是AABC的“费马点

（2）如图2所示，设尸P,AC交于。，由（1）可得当8,P,P',C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC

的值最小，由旋转的性质可得ZCAC'=60°,/C'=ZACP,又ZAOC=ZPOC,：.NCPO=ZCAC=60°

：AAPP'为等边三角形，ZAPP=60。，ZAP'C=180°-AAPP=120°,ZAPC=120°,

Z.ZBPC=360°-ZABP-ZAPC=120°,/.ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°,故答案为：120°；

如图所示，将绕点A逆时针旋转90。，得到AC4O,连接。尸，

则：ZBAE=ZDAC,ZACD=NB=45°,AD=AE,BE=CD,

：.NDCF=ZACB+/DCA=90°,DF2=CF?+CD?=CF?+BE2,

VZE4F=45°,；.ZDAC+ZCAF=ZBAE+ZCAF=ZBAC-ZEAF=45°,AZDAF=ZEAF=45°,

XVAF=FA,AD=AE,：./\AFE^Z\AFD,:.EF=DF,：.EF2=CF~+BE2■,

实际应用：如图所示，将AC4P绕点A逆时针旋转60。得到△（?"，，连接尸P,

由问题背景（1）可得当8,P,P',C四点在同一直线上时，R4+P3+PC的值最小，最小值为3C',

过点C作C'DX8A交54延长线于。，由旋转的性质可得NG4c'=60。，AC'=AC=4km,

"?ABAC=75°,：.ZC/AD=180。一ZCAC-NBAC=45°,；.ACDA是等腰直角三角形，

AD=CD=AC=2V2km,•*.BD=AB+AD=4A/2km，

2

BC'=yJCD2+BD2=2V10km>；•24+PB+PC得最小值为2而km,故答案为：2疝ikm.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，

等腰直角三角形的性质与判定等等，通过旋转构造全等三角形是解题的关键.

例4.（2023春•重庆・九年级专题练习）背景资料：在已知AABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个

顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点

被人们称为“费马点”.如图1,当AABC三个内角均小于120。时，费马点尸在"1BC内部，当

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120°时，贝！|上4+尸8+PC取得最小值.

AAA

(1)如图2,等边AABC内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求/APB的度数，为

了解决本题，我们可以将AABP绕顶点A旋转到△ACP处，此时AACPZAABP这样就可以利用旋转变换，

将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出/4PB=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与AABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.⑵如图3,三个内角均小于120。，在AABC外侧作等边三角形连接CB',求证：CB'过

△ABC的费马点.(3)如图4,在中，NC=90。，AC=1,NABC=3O。，点尸为融。的费马点，

连接AP、BP、CP,求上4+尸3+尸。的值.(4)如图5,在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、

BE、CE,且边长AB=2；求AE+3E+CE的最小值.

【答案】⑴150。；⑵见详解；⑶"；(4)m+&.

【分析】(1)根据旋转性质得出AABP0AACr,得出NBAP=NC4P，,ZAPB=ZAP/C,AP=AP'=3,BP=CP，=4,

根据"BC为等边三角形，得出/A4c=60。，可证A4PP为等边三角形，PP'=AP=3,ZAP'P=60°,根据勾股

定理逆定理PP'2+P'C2=32+42=25=PC2,得出XPP'C是直角三角形，ZPP'C=90°,可求ZAP'C=ZAPP+

/PPC=600+90°=150°即可；

(2)将AAPB逆时针旋转60°,得至Uzk/5'P,连结尸尸'，根据△APBgA/B'P,AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根据ZR4P'=ZBAB，=60。,A/PP和^ABB，均为等边三角形，得出WAP,根据PA+PB+PC=PP1+P'B'+PC,

根据两点之间线段最短得出点C,点尸，点P,点皮四点共线时，PA+PB+PC^=CB',点尸在C夕上即

可;

(3)将AAPB逆时针旋转60。，得到A/P/，连结58。PP',得出AAPB等ZX/P夕，可证A4PP和均

为等边三角形，得出尸P=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,PA+PB+PC=PP1+P'S+PC,可得点C,点P,

点P,点夕四点共线时，PA+PB+PC^=CB',利用30。直角三角形性质得出AB=24C=2,根据勾股定理

BC7AB°-AC，£寸=5可求8皮=AB=2,ZCBB'=ZABC+ZABB,=30°+60°=90°,在RtACB皮

中，BCZBC+BB松=小(国+2?=有即可;

(4)将△BCE逆时针旋转60。得到△CE时,连结EE',BB',过点皮作2户_1&3,交延长线于尸，得出

2CEB,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可证△£(?£，与Z^C9均为等边三角形，得出EE'=EC,BB'=BC,Z

B'BC=6Q°,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',得出点C,点E,点？，点"四点共线时，

AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^=AB',根据四边形ABC。为正方形，得出AB=BC=2,ZABC=90°,可求N

FBB(=180°-ZABC-ZCBB'=180o-90°-60o=30°,根据30。直角三角形性质得出BF=-BB'=-x2=l,勾股定理

22

BF=W2_B，F2=1寸=#),可求4歹=42+2/=2+6，再根据勾股定理/8'=

ylAF2+B'F2=#+厨+12="+0即可.

【详解】(1)解：连结PP,,.,△AB尸也△ACP,.•./8AP=NC/P',ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

△ABC为等边三角形，；.ZBAC=60°：.ZPAP'=ZPAC+ZCAP'=ZPAC+ZBAP=60°,

.•.△4?2为等边三角形，，；.尸尸匕4尸=3,ZAP'P=60°,在APPC中，PC=5,PP'2+P'C2=32+42=25=PC2,

是直角三角形，NPP，C=90。,：.ZAP'C=ZAPP+ZPPC=6Q°+9Q°^15O°,

：.ZAPB=ZAP'C=15Q°,故答案为150。；

(2)证明：将AAPB逆时针旋转60。，得到连结PP,〈△APB会A4BP,：.AP=AP',PB=PB',

AB=AB',

VZPAP'=ZBAB'=60°,.*.△/%'和A/88'均为等边三角形，：.PP'=AP,

•：PA+PB+PC=PP+P'B'+PC,.•.点C,点尸，点P,点皮四点共线时，PA+PB+PC^-CB',

，点尸在C夕上，C?过&4BC的费马点.

(3)解：将AAPB逆时针旋转60。，得到△/24，连结8力，PP',

:.AAPB卷AAPB,：.AP'=AP,AB'=AB,

VZPAP'=ZBAB'=6Q°,；.△NPP和均为等边三角形，：.PP'=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,

^.^尸A+PB+PC=尸P'+尸®+PC.^.点C,点尸，点P,点夕四点共线时，PA+PB+PC^CB',

VZC=90°,AC=1,ZABC=30°,.•.AB=2AC=2,根据勾股定理BC7AB「AC?=｛爰=G六

BB'=AB=2,

,,22

•：ZCSJ8=ZABC+ZABB=30°+60°=90°,/.在RsCB*中,B'C=^BC+BB'=J(可+2?=不

：.PA+PB+PC最小=CB'=^7；

(4)解：将ABCE逆时针旋转60。得到ACEb，连结EE】BB',过点皮作5斤，A3,交A3延长线于R

:.ABCE空ACEE,：.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

VZECE'=ZBCB'=60°,:.AECE与ABCB，均为等边三角形,：.EE'=EC,BB'=BC,ZB'BC=60°,

AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

.•.点C,点E,点？，点皮四点共线时，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'AB',

:四边形ABC。为正方形，••.A8=BC=2,ZABC=9Q°,：.ZFBB'=180°-AABC-ZCBB'=180o-90°-60o=30°,

•：B'F±AF,；.BF=：BB，=gX2=1,BF=^BB'--B'F2=722-12=A/3>

AF=AB+BF=2+4，：.AB'=>JAF2+B'F2=J(2+厨+仔="+0,:.AE+BE+CE最+=AB'=^+6.

AD

【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间

线段最短，四点共线，正方形性质，30。直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾

股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30。直角三角形性质是解题

关键.

例5.（2024.江苏•校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形A8C。的四个顶点上，AB=10公里，BC=15公里，

现在要设立两个车站E,F,则E4+EB+E尸+FC+田的最小值为公里.

【答案】15+10班

（分析】将“班绕A顺时针旋转60。得"GW,连接BH、EG,将绕点D逆时针旋转60。得到

连接CM、FM、FF,如图2,此时EH、EF、共线，EA+EB+EF+BC+ED是最小值，利用旋转的性质和

等边三角形的性质，相加即可得出结论.

【详解】解:如图1,将ZkAEB绕A顺时针旋转60。得“G"，连接8”、EG,将绕点。逆时针旋转

60。得到△。/M,连接CM、FF,

由旋转得：AB=AH,AE=AG,ZEAG=ZBAH=6Q°,BE=GH,

：."EG和AABH是等边三角形，：.AE=EG,

同理得：△£）用■和△DCM是等边三角形，DF=FF,FC=FM,

...当H、G、E、F、尸、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD如图2,

图2

'：AH=BH,DM=CM,是AB和CQ的垂直平分线，：.HM±AB,HMLCD,

VAB=10,.,.△ABH的高为56，

EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF+FM=HM=15+56+56=15+10g,

贝U胡+防+所+FC+fD的最小值是（15+106）公里.故答案为：（15+lOg）.

【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和F

的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论.

模型2.加权费马点模型

模型解读

结论：点P为锐角内任意一点，连接AP、BP、CP,求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）

模型证明

证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

,Y7

如：保持不变，xAP+yBP+zCP=y（-AP+BP+-CP）,如图，B、P、巳、4四点共线时，取得最小值。

yy

例1.（2024•广东广州•一模）如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4,AE=2,ABfAD,

AG=y/3AE.矩形AGFE绕着点A旋转，连接8G,CF,AC,AF.

备用图

⑴求证：AABGSAACF；⑵当CE的长度最大时，①求3G的长度；②在△Ab内是否存在一点尸，使得

CP+AP+石尸尸的值最小?若存在，求CP+AP+石尸产的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）①BG=2，万；②存在，最小值是4而'

【分析】⑴根据矩形的性质，先证AABCSAAGF,利用相似三角形的性质准备条件，再证"BGSAACF

即可；（2）①先确定当E在矩形ABC。外，且C,A,E三点共线时，CE的长度最大，并画出图形，在Rt^CEF

中求出CF的长,最利用AABGSAACF的性质求解即可;②将AP绕着点A顺时针旋转30。,且使AK=6Ap,

连接PK,同理将AF绕着点A顺时针旋转30。,得到AL,且使AL=43AF,连接LK,过尸作尸S，然于S,

过点L作上。垂直CE的延长线于点。，确定CP+AP+6P尸2CL,当C、尸、K、L四点共线时，CL的长

最小，再根据30。直角三角形的性质和勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明：•；AB=^3AD,AGfAE,：.且=^^~=也,

AGy/3AEAE

•.•矩形ABCD和矩形AG产E,/.AD=BC,AE=GF,ZABC=NAGb=90。，—=—=

AGAEGF

ACAB

:"ABCs公AGF,ZBAC=ZGAF,：.—=——,ZBAC-ZGAC=ZGAF-ZGAC,

AFAG

ACAF

即---=---,/BAG=Z.CAF，：・AABGS^ACF

ABAG

(2)・・・AC+AEZCE,・••当E在矩形ABCD外，且CAE三点共线时，C£的长度最大，如图所示:

止匕时AC+AE=CE,ZCEF=90°,

®vAD=4,AB=6AD=AB...AC=dAB°+BC2=8,ZBAC=30°,

在RtZkCEF中，EF=AG=6AE=20CE=AC+AE=W,

CF=sjCE^+EF-=7102+(2A/3)2=4s，由(1)得：AABG^AACF,

BGABBG4^方,I—

即Bn币=--~,••

cF"AC)4BG=2v21;

②如图，将AP绕着点A顺时针旋转30。,且使AK=6AP,连接PK,同理将AF绕着点A顺时针旋转30。,

得到AL,且使AL=扇b，连接LK,

KLAK

由旋转可得：Z.PAF—Z.KAL=30°—AFAK,^AKL^^APF>**•=—■—=KL=^/3PF,

PFAP

过尸作PSLATT于S,则PS=-AP,AS=—AP,

22

AKS=AK-AS=—AP,贝UtanZP^S=—=—,ZPKS=30°,:.PK=AP,

2KS3

VCP+PK+KL>CL,^CP+AP+y/3PF>CL,当C、P、K、工四点共线时，CL的长最小，

由题意，ZMC=90°+30°+30°=150°,AF=4,AC=8,AL=473,

过点L作LQ垂直CE的延长线于点Q,ZLAQ=180°-150°=30。,

/.QL=2^/3,AQ=6,则CQ=AC+AQ=14,

在Rt^CQL中，根据勾股定理得CL=y]CQ2+QI}=4^/13，,CP+AP+^3PF的最小值为4713.

【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解

直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与

联系，适当添加辅助线是解答的关键.

例2.（2024・重庆•二模）已知AABC中AB=3C,点。和点E是平面内两点，连接BD,DE和BE,ABED=90°.

（1汝口图1,若BD=BA,ZABC=2ZD,BE=2,求AC的长度；（2）如图2,连接AO和C。，点厂为AD中

点，点G为8中点，连接收和3G,若EF=BG,求证：ZBAC=NDBE；（3）若NABC=60。，AB=2,

当工4。+立BO+C。取得最小值，且AE取得最大值时，直接写出的面积.

22

【答案】（1）4（2）见解析（3）上叵

133

【分析】（1）过点B作交AC于点证明即可求解；

（2）取3。的中点T,连接TE,TF,TG,根据中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，

得出ATFE且ATBG（SSS）,再证明ATBESA/FG,得出NEBT=NGFT,进而即可得证；

⑶将ABDC绕点8顺时针转60。得到ABD'A,将△ABD绕点8顺时针旋转60。得到△54'。'，连接A4"根

^-AD+—BD+CD=GF+FD+CD>GC,当G,££>,C四点共线时，GC最小，进而确定E的位置，根

22

据点E在。为圆心，；切为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当AE取得最大值时，E在AO

的延长线上，连接OF,过点E作ES人班»于点S,进而解直角三角形，求得SE的长，根据三角形面积公式，

即可求解.

【详解】（1）解：如图所示，过点8作3"_LAC交AC于点H,

B

B

•:ABED=90°,ZABC=2ND,：.ZAHB=ZBED,ZABH=ND.

又；BD=BA,:.AAHBGABED(AAS)：,AH=BE=2：.AC=2AH=4；

(2)解：如图所示，取BD的中点T,连接TE,TF,TG,

又•.•尸,G是A。，DC,：.FT=-AB,TG=-BC,FG//AC,FT//AB

22

VAB=BC：.FT=TG,•:/BED=90。,T为8。的中点，:.TE=BT,

TF=TG

在中，\TE^TB:.ATFE冬ATBG(SSS)：.NFTE=NGTB

EF=BG

：.ZFTE-/GTE=Z.GTB一Z.GTE即ZFTG=NETB

又•/FT=TG,TE=EB即里=更,：.^TBE^^JFG：.ZEBT=ZGFT

TFTG

'：FG//AC,FT//AB：.ZTFB=ABAC：.ZBAC=ZDBE

(3)解：：AABC中AB=3C,ZABC=60°,「ABC是等边三角形，

如图所示，将ABDC绕点2顺时针转60。得到△瓦7A,将△ABD绕点B顺时针旋转60。得到ABA'。'，连接A4',

ABD=BD',/DBD'=60。,AB=A'B,A3〃AC则是等边三角形，是等边三角形，

,/8=4。',^4'=4(7取8。,84的中点户,6,则FG=，AZ)'=LAD,

22

•.•/是的中点，DF±BD,DF=BDsin600=—BD,：.-AD+—BD+CD=GF+FD+CD>GC

222

.•.当G,RD,C四点共线时，GC最小此时如图所示，GC_L8D'

VAD'//GF,：.AIy±BD',，AADB是直角三角形，，△AB。是直角三角形，AADJ.BD

=NZXDA=30°.♦.&£>'=DC设CD=。，则AD'=a,AD=2a,

在RtAADD,中，=cos30。xAO=氐；Z\BDD是等边三角形，BD=DD'=岛,

在RtZkABD中，AB=2：.AB2=AD2+BD222=（V3a）2+（2a）2"手

:.BD=6=^^~,AO=2a="直取3D的中点0,连接AO,OE,

77

ZBED=90。.•.点E在。为圆心，；切为半径的圆上运动，

AOE=-BD=—,...当AE取得最大值时，E在A。的延长线上，连接。尸，过点E作旦人BZ）于点S,

27

在RMAOD中，OD=OE='/.AO=^AD2+OD2=

7

4币___

,,八八AD74^/194719J2T4J339

cosZAOD=——-=,=———,；.SE=cosZSOExOE=cosZAODxOE=-------x-------=----------

AO/p>

7

；.△加E的面积为:如环=gx孚、臂=答

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三

角形中位线的性质，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定,

加权费马点问题，点与圆的位置关系，直径所对的圆周角是直角；熟练掌握以上知识是解题的关键.

例3.（23-24九年级上•重庆•阶段练习）在等边VA3c中，点。是边BC上一点，连接AD,将线段AD绕点

A顺时针旋转120。得到线段AE,贝IJ/ZME=12O°,AE=AD,连接BE交AO于点尸，交AC于点H.

（1）如图1,当点。为BC中点时，且AD=3,求AABE的面积；（2）如图2,猜想线段AB、BD、之间的

数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3,若AB=8,在VABC内部有一个动点P,连接PA、PB、PC,直

接写出3PA+4PB+5PC的最小值.

【答案】（1）孚（2）AB—BD=2AH,见解析⑶8,25+124

13

【分析】（1）过点石作石交BA的延长线于点Af,求得A3=2百，ZEAM=30°,EM=-AE=-,

22

利用S小=’4,期/=工乂26乂2=±8计算即可.（2）在4^上取点加使。0=应＞,连接BM.则由SAS

"2222

可证明△ABDZABCM,从而有,ZBAD=ZCBM；再由AAS证明AY1£77且AMBH,得=,

则由线段的和差关系可得结论；（3）过点C作。CLBC于点C,使得D芸C=?4,过点C作EC，尸C于点C,

BC3

PC4

使得加=§，证明△OCESA3CP,得到4P3=3DE,根据勾股定理，得5PC=3PE,从而得到

3%+4尸3+5PC=3B4+3DE+3PE=3（Pl+PE+ED）,根据两点之间线段最短，得至IJB4+PE+EDNAD,

得到当PA,PE,ED共线时，3R4+4PB+5PC取得最小值，过点A作AQLDC,交DC的延长线于点。，过

点A作4?，3c于点R,则四边形AQCR是矩形，利用等边三角形的性质，勾股定理解答即可.

【详解】（1）解：过点£作£^，45,交54的延长线于点M,

:等边VABC,AB^BC^CA,ZABC=ZBCA=ZCAB=60°,

:点。为BC中点，CD=BD=」BC,ACAD=ABAD=-ZCAB=30°,

22

VAD=3,ZDAE=U0°,AE^AD,：.BD=^AB,由勾股定理得_台4=AO?,解得A8=2百；

；NEW=180°—150°=30°,AE^AD=3,：.EM=-AE^-,：.SARP=-AB.EM=-x243^-=—■

22-ABE2222

(2)解：AB—BD=2AH.理由如下：在AC上取点M使CM=BD,连接

；VABC是等边三角形，/.AB=BC=AC,/C4B=ZAB。=NC=60。，

AB=BC

在△ABD和2X5。/中，<ZABD=ZC,：.^ABD^ABCM(SAS),

BD=CM

：.AD=BM,ZBAD=ZCBM,：.EA=BM,

,：ZEAH=ZEAD-ZCAD=ZEAD-(Z.CAB-ABAD)=60°+ABAD,ZBMH=ZC+ZCBM=60°+ZCBM,

ZAHE=ZMHB

:•ZEAH=ZBMH,在△AEH和AMBH中，■ZEAH=ZBMH,：.^AEH^MBH(AAS),

EA=BM

：.AH=MH,AM=AH+MH^2AH,VAM^AC-CM=AB-BD,：.AB-BD^2AH.

DC4FC4

(3)解：过点。作于点C,使得正=p过点。作EC,尸。于点C,使得五二=可，根据题意,

/口DCECDCBC

WZDCE=90°-ZECB=ZBCP,——=——，工——=——,：.^DCE^^BCP,

BCPCECPC

•••瑛=奖=3，,4依=3DE，根据勾股定理，nPE=4PC-+EC-=|PC,

BCPB33

5PC=3PE,：.3PA+4PB+5PC=3PA+3DE+3PE=3(PA+PE+ED),

•..如+d石+团2">,...当尸4,2己即共线时，3B4+4P3+5PC取得最小值，

32

VAB=8,：.AB=BC=CA=S,：.DC=——,

3

过点A作A。，。。，交。。的延长线于点。，过点A作于点七则四边形AQCR是矩形，

：.AQ=CR,CQ=AR,'J^NABC,：.AQ=CR=-BC=A,CQ=AR=4AC?-CM=46，

：.AD=QDQ^+AQ2=++4?=J^x1|+可+1=,42x1。。+；画

=^^x（25+12道）=,25+12石,，3PA+4PB+5PC=8/71^,

故3%+4PB+5PC的最小值为8,25+12君.

D

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，

含30度直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相应的知识是解题的关键.本题有一定的

难度，添加适当的辅助线是解题的关键.

习题练模型

1.（2023春•湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形ABCD内一点，且"=5,AD=8,N为边

3C上一点，连接Att、MD、MN,则版1+MD+MN的最小值为.

【答案】5+4有

【分析】将"DM绕点A逆时针旋转60。得到VAUM',连接DD、MM',然后即可得AADD为等边三角

形，同理为等边三角形，接着证明当MD'、MM\MN三条线段在同一直线上，MM'+M'D'+MN

的值最小，即M4+MD+MN的值最小，过点。必乍于点E,即M4+MD+MN最小值为：D'E,

问题随之得解.

【详解】如图所示，将ZXAD似绕点A逆时针旋转60。得到Y4DW,连接DO、MM',

根据旋转的性质有：ZDAD'=a）°,AD=AD,MD=MTJ,

AADD'为等边三角形，同理VAMM'为等边三角形，

AM=AM'=MM',AD=AD'=DD'=8,MA+MD+MN=MM'+M'D'+MN,

，当线段A/D'、MM'、MN三条线段在同一直线上，且该直线与8c垂直时，W+MD'+MN的值最小,

即M4+MD+MV的值最小，如下图，过点以作D'ELBC于点E,交AD于点孔

M4+MO+MN最小值为：D'E,在矩形ABCD中，D'ELBC于点E,

即可知四边形是矩形，UELAD,即A5=EF=5,

V△ADD,为等边三角形，UFX.AD,AF=FD=^AD=4,

DF=dD/-AF2=46，,D'E=EF+D'F=5+4』，

.,.他4+用0+砂的最小值为5+4遭，故答案为：5+4g.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定定理与性质，勾股定理，垂线段最

短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键.

2.（2023・广东深圳•二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABC。对角线（不含8点）上任意

一点，BM=BN,ZABN=15°（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为括+1时，正方形的边长

【答案】72

【分析】首先通过SAS判定△AMB^AENB，得出40=EN,因为ZABD+ZABN=60。，BM=BN”得出AMNB

是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM,而且为最小值，我们可以得出EC=6+1,作辅助线，过点E

作跖13。交。8的延长线于月，由题意求出NEM=30。，设正方形的边长为x,在历△£八?中，根据勾

股定理求得正方形的边长为尤.

【详解】:△ABE为正三角形，，NABE=60。，AB=BE：.ZNBE=ZABE-ZABN=45°

,/BD是正方形ABCD的对角线，ZABD=45°/.AABD=ZNBE.

BM=BN

在AAMB和中AAMB^AfiVB(SAS)：.AM=EN

AB=EB

在△MBN中，ZABD+ZABN=60°X*.•BM=BN,，/XAffiN为等边三角形，：.MN=BM.

；AM+2M+CM最小值为g+1.：.EN+MN+CM的最小值为6+1即CE=&L

过点E作EF/BC交CB的延长线于F,可得ZEM=90O-6()o=30。.

设正方形的边长为无，则EF=；.

22

在RtAEFC,'：EF-+FC2=EC2,；•(1)2+(^x+x)2=(73+1)2

解得x=&(负值舍去)正方形的边长为④.故答案为：0.

【点睛】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角

三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键.

3.(24-25九年级上•湖南长沙•阶段练习)法国数学家费马提出：在AABC内存在一点P,使它到三角形顶点

的距离之和最小.人们称这个点为费马点，此时出+P2+PC的值为费马距离.经研究发现：在锐角AABC

中，费