江苏省南京市南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

第页，共页第15页，共15页江苏省南京市南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题1.已知集合，则（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式和对数不等式，再利用交集的定义计算即可.【详解】由，解得，则，由，解得，则，所以.故选：C.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可.【详解】命题“”为存在量词命题，而存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“”的否定为：“”.故选：D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式、充分和必要条件等知识来确定正确答案.【详解】若，则，若，则可能等于，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意列方程求解即可.【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，所以，化简得，因为，所以.故选：B5.已知点在幂函数的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性、幂函数、对数函数、三角函数等知识来确定正确答案.【详解】由于点在幂函数的图象上，所以，在上单调递减，由于，所以，，所以，即.故选：D6.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可.【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得，再将得到的图象向右平移个单位长度，得.故选：B7.设为实数，函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将问题转化为与有四个不同的交点；在同一坐标系中画出与的图象，根据图象有四个交点可确定的取值范围.【详解】若函数有四个零点，即函数和的图象有四个不同的交点，作出函数图象（如图所示），与轴交点为，由图象，得当时，两者有4个不同交点.故选：D.8.设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，，两式相减得，即可求得.【详解】因为是偶函数，是奇函数，则，，两式相减得，则，则.故选：A.二、多选题9.设a，b为实数，若，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知可得，然后根据对数的运算性质逐个分析判断即可.【详解】因为，所以，对于A，，所以A正确；对于B，，所以B错误；对于C，，所以C正确；对于D，，所以D正确.故选：ACD10.已知函数，则（）A.的定义域为 B.的图象关于点中心对称C.的值域为 D.在区间上单调递增【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用，即可求解；对于B，通过计算的函数值，即可求解；对于C，利用复合函数值域的求法，即可求解；对于D，利用复合函数单调性的判断方法，即可求解.【详解】对于选项A，易知，所以对，，即的定义域为，故选项A正确，对于选项B，因为，，可知的图象不关于点中心对称，所以选项B错误，对于选项C，因为，又，所以，则，得到，所以选项C正确，对于选项D，令，则，易知在区间上单调递增，且，又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故选项D错误，故选：AC.11.已知定义在上的函数满足：，则（）A. B.为偶函数C.的图象关于直线对称 D.【答案】ABD【解析】分析】利用赋值法和换元思想逐项判断即可.【详解】令，得A正确；令，得B正确令，得.再令得，所以C错误；令得，即D正确.故选：ABD三、填空题12.如图，弦将圆分割成两个弓形区域．已知圆的半径为，则图中面积较小的弓形区域的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据条件，利用扇形和三角形的面积的公式，即可求解.【详解】如图，取中点，易知，因为，，所以，，故，又劣弧所在扇形的面积为，所以图中面积较小的弓形区域的面积为，故答案为：.13.设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，依题意可得，解得即可.【详解】由，所以，依题意可得，解得，所以的最小值为.故答案为：14.设为实数，已知函数，若存在实数a，b同时满足和，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解.【详解】，所以，所以，所以为奇函数，所以.，即，令，，在上为减函数，所以.故答案为：.四、解答题15.已知.（1）若，求的值；（2）若，且，求值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，然后结合同角三角函数关系式即可得到结果.（2）由，且，得出，代入即可得到结果.【小问1详解】，，，.【小问2详解】，

，，，，.16.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求在上的单调增区间；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值.（2）利用整体代入法和赋值法来求得正确答案.（3）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式等知识来求得正确答案.【小问1详解】由图可知，，则，由，得，则，由于，所以，所以.【小问2详解】由于，要使，则令得，所以在上的单调增区间是.【小问3详解】，.17.设定义在上的奇函数和偶函数，满足.（1）的值；（2）用函数单调性的定义证明：在上单调递减；（3）解关于的不等式.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得，从而求得的值.（2）利用函数单调性的定义，由来证得结论成立.（3）根据函数的单调性和奇偶性来求得不等式的解集.【小问1详解】依题意，定义在上的奇函数和偶函数，有，解得，所以.【小问2详解】由（1）得，任取，所以，由于在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递减.【小问3详解】由，得，由（2）得在上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为.18.设为实数，已知函数.（1）若是上的单调函数，求的取值范围；（2）已知.①求的最小值；②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）①；②14【解析】【分析】（1）由题意结合二次函数的性质可得在上只能单调递减，从而可求出的取值范围；（2）①先分别求出函数在每一段上的最小值，从而可求出函数的最小值；②先由题意可得，从而由与的范围结合题意得，进而得，再结合基本不等式可求解.【小问1详解】因为是上的单调函数，所以在上是单调函数，所以在上是单调递减函数，所以在上单调递减，所以，解得.所以满足题意的的取值范围为.【小问2详解】当时，，①时，；时，，因为，所以的最小值为；②由题，且，所以，又时，，，所以对任意，不存在，使得，不符合题意，所以，所以，因为对任意，都存在，使得成立，所以，故，所以，当且仅当即时取等号，所以的最小值为14.【点睛】关键点点睛：第（2）问解题的关键是将问题转化为两集合的包含关系，从而得.19.若函数和的零点相同，则称和是“函数对”.（1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由；（2）设，若与为“函数对”，求的取值范围；（3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值.【答案】（1）不是，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可；（2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可；（3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可.【小问1详解】由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数，因为，所以函数在上有唯一零点，当时，函数是单调递减函数，，即，所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对