浙江省慈溪市2024-2025学年高三上学期期末测试数学试卷（解析版）

第页，共页第18页，共18页2024学年第一学期期末测试卷高三数学学科试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，且，则（）A.6 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】明确集合，表示出集合，根据两集合的交集确定的值.【详解】由，所以，又，，所以.故选：A2.已知，则（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模公式求解.【详解】解：因为，所以，所以，故选：C3.已知，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（）A.6 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用共线向量定理列式计算得解.【详解】由向量，共线，得，而向量，不共线，因此，解得.故选：D4.我国19岁射击运动员盛李豪在2024年巴黎奥运会上夺得了男子10米气步枪金牌，他在决赛的最后10枪成绩为10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，9.9，10.5，10.6，则这10枪成绩的第40百分位数是（）A.10.5 B.10.45 C.10.4 D.10.25【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的定义求这10枪成绩的第40百分位数.【详解】将数据从小到大排列有，所以，则这10枪成绩的第40百分位数是.故选：B5.在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】依题意可得，再由余弦定理得到，由得到，再结合辅助角公式得到，从而求出、，结合前述推导式子求出，最后由面积公式计算可得.【详解】因为，，所以，又，即，所以，所以，所以，因为，即，又（其中），所以，则，即，又，即，即，又，所以，解得，所以，解得，所以.故选：B6.已知函数是奇函数，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇函数定义，结合赋值法计算得解.【详解】由函数是奇函数，得，整理得，取，得.故选：A7.已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正四面体的几何特征及线面垂直判定定理得出平面，进而得出P的轨迹计算即可求解.【详解】因为，所以，平面，所以平面，由于点P始终保持PE垂直于BC，且P在正四面体表面运动，因此P的轨迹为平面与正四面体表面的交线，即的边界.为等腰三角形，其中AD为底边长为2,AE和DE为腰，长均为.因此，三角形的周长为.故答案为：D.8.已知，则（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和与差的公式进行化简处理即可.【详解】由得，所以，即，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：和圆：，则（）A.当与圆相切时，B.当为圆的一条对称轴时，C.当时，与圆没有公共点D.当时，被圆截得的弦长为【答案】BCD【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】圆：的圆心为，半径.A选项，若与圆相切，则，解得，所以A选项错误.B选项，当为圆的一条对称轴时，在直线上，所以，所以B选项正确.C选项，当时，到直线的距离为，所以与圆没有公共点，所以C选项正确.D选项，当时，到直线的距离为，所以弦长为，所以D选项正确.故选：BCD10.已知函数，则（）A.当时，B.当时，C.当且时，D.当且时，【答案】AC【解析】【分析】求与比较，判断A的真假；求导，分析函数的单调性，可判断B的真假；利用函数单调性，结合A的结论，数形结合，可判断CD的真假.【详解】对A：因为（），所以当时，，故A正确；对B：因为当时，，当时，，即在上单调递增，所以有，故B错误；对C：当时，由；由.所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，由，所以，当时，成立，故C正确；对D：因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以当且时，，故D错误.故选：AC11.胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵.如图是18世纪的窑变红釉胆瓶，其优美的造型可看作图中曲线的一部分.已知曲线上的点到0,4的距离与到轴的距离之积为6，若曲线上的点在第一象限，则（）A.的最大值为B.C.曲线的内接矩形的面积最大值为24D.一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线（），若一正四面体可在胆式瓶内任意转动（忽略胆式瓶的厚度），则该正四面体棱长的最大值为4【答案】ABD【解析】【分析】列出曲线的方程，根据定义，可判断AB的真假；将曲线向下平移4个单位，化简曲线方程，表示曲线内接矩形的面积，根据的取值范围判断C的真假；把问题转化成正四面体的外接球与曲线相切，可求的最大值.【详解】设为曲线上任意一点，则.对A：当时，，所以是的最大值，故A正确；对B：由，又点在第一象限，所以，故B成立；对C：将曲线向下平移4个单位，所得曲线方程为，与原曲线形状一致.设为新曲线上位于第一象限的一点，则曲线内接矩形的面积为，因为，因为，所以.即曲线内接矩形的面积小于24，故C错误；对D：设正四面体的棱长为，则其外接球的半径为.若要正四面体在胆式瓶内任意转动，需要圆与曲线相切，当时，两曲线在轴右侧且于点6,0，故的最大值为4.故D正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：如图正四面体，棱长为.为正四面体的高，连接，延长交于，则为中点.四面体外接球球心在高上，设为，则为四面体外接球半径.因棱长为，所以，，在直角中，设正四面体内切球半径为，则：，解得第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则的最小正周期为______.【答案】2【解析】【分析】利用正切型函数最小正周期的公式直接计算即可.【详解】代入正切型函数的最小正周期的公式：，得到最小正周期.故答案为：13.已知，则______.（用数字作答）【答案】85【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式来求得正确答案.【详解】因为,要求，即求展开式中的系数,根据二项式展开式的通项公式，对于，其通项为,令，则展开式中的系数为,对于，相当于展开式中的系数乘以,令，则展开式中的系数为，所以展开式中的系数为,对于，相当于展开式中的系数,令，则展开式中的系数为,那么就是展开式中的系数,所以,把，，代入得：.故答案为：8514.已知，是双曲线：（，）的左、右焦点，过作斜率为的直线交于点，且在第一象限，若（为坐标原点），则的离心率为______.【答案】【解析】【分析】根据几何关系可判断，可得，，再根据勾股定理可得.【详解】如图：因，可得，因直线的斜率为，故，由，故，，故，得，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.（1）求赛完4局且乙获胜的概率；（2）若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据已知分析赛完4局且乙获胜的对应事件，再应用独立事件乘法公式求概率；（2）由题设确定的可能取值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望.【小问1详解】设“赛完4局且乙获胜”为事件，即乙前3局中获胜2局输1局，且第4局获胜.【小问2详解】的可能取值为，，1，4，5，6，则，，，，，，的分布列如表所示1456所以.16.如图，在四棱锥中，，，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，，可得四边形为平行四边形，则，再利用线面平行的判定定理可得结论；（2）建立以为原点，，所在直线为轴、轴的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可利用空间向量夹角的余弦公式求解.【小问1详解】取中点，连接，，因为为中点，所以，且，又因为，，所以，，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面.建立以为原点，，所在直线为轴、轴的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量m=则，即，取，设平面的一个法向量n=则，即，取，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为.17.已知函数（）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）令（），按的取值分类讨论，利用导数求的单调性，进而可得最值，只需即可.【小问1详解】当时，，，所以，又，所以，即，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】令（），则，（ⅰ）当时，，所以在上单调递增，但当时，，所以此时不满足题意；（ⅱ）当时，令解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以只需，若，则显然成立；若，令，则，所以在上单调递减，又，所以；综上所述，.18.已知点是椭圆：（）上一点，焦距为2.（1）求的方程；（2）过的右焦点作斜率不为0的直线，交于，两点，，是的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，.（ⅰ）求的值；（ⅱ）设为直线与直线交点，记的面积为，的面积为，求的最小值.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）依题意列式即可求解；（2）（ⅰ）设直线的方程为，Px1,y1（ⅱ）设直线的直线方程为，则由（ⅰ）中结论可得直线的方程为，联立解得的横坐标为4，利用三角形的面积公式及（ⅰ）中韦达定理化简可得，当时，可得的最小值.【小问1详解】由题意知，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】（ⅰ）设直线的方程为，Px1,y1由得，，所以，，所以，由（1）得，，则.（ⅱ）设直线的直线方程为，由（ⅰ）可知，则直线的方程为，联立解得的横坐标为4.所以由（ⅰ）知，，，所以，所以当时，的最小值为.【点睛】关键点点睛：（2）（ⅱ）设直线为，利用（ⅰ）中结论得直线为，联立解得的横坐标，利用三角形的面积公式及（ⅰ）中韦达定理化简可得，可得的最小值.19.设，，定义：为，的最大公约数，为，的最小公倍数，且具有以下性质：①；②当时，.（1）已知数列，的通项公式分别为，，其中，令，求数列的通项公式；（2）已知有限数列满足，且（为给定常数）.若对，且（，）时，都有.（