2025人教版高二数学上学期期末模拟卷（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册第4章（空间向量与立体几何+

直线与圆+圆锥曲线+数列）。

4.难度系数:0.650

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

I.过点（I,0）和点（0,I）的倾斜角为（）

A.45°B.60°C.135°D.150°

【答案】C

【解析】过点（1,0）和点（0,1）的直线的斜率％=得=-1,设倾斜角为则tana=-l,因为0。<&<180。，

所以a=135。.

故选：C

2.数列｛4｝是等差数列，%=14,佝=26,记'是｛叫的前9项和，则（）

A.%=8,Sg=154B.%=5,519=154C.=5fS9=126D.%=8,S9=126

【答案】D

【解析】设该等差数列的公差为d,贝-%=41=26-14=12nd=3,

贝a3=a5-2d=14—6=8,S9=9a5=126.

故选：D

3.如图，在直三棱柱ABC-AAG中，E,F分别为棱AG的中点.设A4=o,BB,=b,8C=c，则所=

A.—a+bT—cB.-ciH—Z?+cC.ClH—bH—cD.b+-c

2222222

【答案】D

【解析】在直三棱柱ABC耳G中，E,尸分别为棱4B,4G的中点，

EF^EA+AA+AF^-BA+BB+-AC=-BA+BB+-(BC-BA)=b+-c.

li2l22l22

故选：D

4.在平面内，A,8是两个定点，C是动点，若AC8C=1,则点C的轨迹为()

A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线

【答案】A

【解析】设AB=2a(a>0),以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

则：A(-o,0),B(a,0),设C(x,y),可得：AC=(x+a,y),BC=(x-a,yy

从而：AC-BC=(x+a)(x-a)+y2>

222

结合题意可得：(x+a)(x—a)+V=l,整理可得：x+y=a+l,

即点C的轨迹是以AB中点为圆心，石币为半径的圆.

故选：A.

5.阅读下面材料：在空间直角坐标系。wz中，过点尸z°)且一个法向量为m=5,6,c)的平面口的方

程为a(尤—％)+b(y-%)+c(z—Zo)=O,过点2小,%*。)且方向向量为〃=(〃,v,W)(MVW^O)的直线/的方程

2

为口=匕为==.根据上述材料，解决下面问题:直线/是两个平面x-2y+2=0与2x-z+l=0的交线，

UVW

则()是/的一个方向向量.

A.(2,1,4)B.(1,3,5)C.(1-2,0)D.(2,0,-1)

【答案】A

【解析】同理可得平面尤-2y+2=0与2x—z+l=0的一个法向量为犯=(1,-2,0)和%=(2,0,-1),设直线

/的一个方向向量为%=(尤,y,z),贝叶,不妨取x=2,则%=(2,1,4),

m2-n0=2x-z=0

故选：A.

6.设厂为抛物线。:丁=4彳的焦点，点A在C上，点8(3,0),若|4q=忸与，则|钿|=()

A.2B.272C.3D.372

【答案】B

【解析】由题意得，尸(1,0),则体司=忸可=2,即点人到准线尸-1的距离为2,所以点人的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，4(1,2),所以|AB|=J(3-丁+(0-2)2=2⑪.

故选：B

7.已知各项均为正数的等比数列｛。〃｝满足：。1+生+。3+。4=4,。5+0+%+6=8,贝JS[6=()

A.60B.32C.15D.20

【答案】A

【解析】设等比数列｛叫的公比为/由q+%+4+。4=4,%+。6+%+。8=8,

可得%+4+。7+。8=+〃2+。3+%)=4/=8,因。〃>0,解得/=2.

贝I§16=(%+%+%+“4)+(“5+〃6+%+〃8)+(“9+%0+%i+弓2)+(%3+%4+45+^16)

=4+4/+4/+4,2=4x(1+2+22+23)=60.

故选：A.

8.如图，正方体ABCD-A4aA的棱长为1，中心为0,BF=；BC,=则四面体OEM的

体积为()

A.—B.—C.—D.—

12244896

【答案】D

【解析】以。为坐标原点，分别以D4、DC、所在直线为x、八z轴建立空间直角坐标系，则

0(3,2,[),5(1,1,0),E(l,0,1),C(1,1,0),

22242

OE=贝I]|OEI=：，|OB|=W,厚卜],

乙乙।乙乙乙一乙~r

11,11、11

OB-OE

cos/BOE=224;;

\OB\\OE\亘39,

24

NBOEe(彳,7),sinZBOE=等.:.S^OEB=^OBOE-sinNBOE=噜.

设平面OEB的一个法向量为"=(x,y,z),

n-OE=—x——y+—z=0

224

ri-OB——x+—y--z=0

222

又研=(-8，0,()],.・下到平面的距离力=也出=叵，

I2)\n\52

...四面体。£2尸的体积V='x返乂叵=」-.

3165296

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知双曲线C:三-y2=i的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线C的说法正确的是()

m

A.实轴长为6B.虚轴长为2C.焦距为20D.离心率为半

【答案】AB

4

【解析】由双曲线方程——y2=i可知相＞0,且〃=1//=1,由题意，a=3b,代入解得：m=9f故实轴

m

长为2〃=2®=6,虚轴长为2/?=2,故A项，B项都正确；

焦星巨2c=2J9+1=2A/TU，故C项错误；真心率为e=2=，故D项错误.

a3

故选：AB.

10.已矢口数歹()｛%｝满足％=3,3〃〃+i=2。〃+2,则()

OOf

A.〃3=6B.数列logs。-2)是等差数列

9L2

C.数列＞的最小项为4D.｛%"｝的前〃项和为《1—+2”

【答案】ABD

a-22

【解析】由34+i=2%+2n34+1-6=24+2-6=＞'=3，

4-23

因此｛%-2｝是以3-2=1为首项，公比为|■的等比数列，因此有

A：因为%=[£[+2=彳，所以A正确;

nn-1

2|-1O§32

B：因为log3(a„+1-2)-log3(a„-2)=log^

222

n-\

22,2

=吗=log-=-l

233

23

所以数列jlogg-2)1是等差数列，因此B正确;

当且仅当时取等号，即当“=0时取等号，因为〃是正整数,

所以上述不等式等号不成立，即所以C错误，

21⑷

/、2〃-1-XI——厂

D：因为%,=《]+2,所以｛%“｝的前〃项和为31]：：+2〃，所以D正确;

1-9

故选：ABD

11.在正三棱柱ABC-A4cl中，AB=A4,=1,点P满足3P=ZBC+〃明，其中九40,1],〃目0,1],则

()

A.当4=1时，△AB/的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥ABC的体积为定值

C.当2=g时，有且仅有一个点P,使得4尸，8尸

D.当〃=:时，有且仅有一个点P,使得A3,平面AB/

【答案】BD

【解析】易知，点尸在矩形8CC由内部(含边界).

对于A,当2=1时，BP=BC+JUBBJBC+KG,即此时尸e线段CQ,△人与户周长不是定值，故A错误;

对于B,当〃=1时，BP=4BC+BB[=BBi+AB1C1,故此时尸点轨迹为线段与G,而B^CJ/BC,B^//平面ArBC,

则有尸到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当/l=J时，BP=/c+〃BB「取BC,4G中点分别为Q,H,则8尸=3。+〃。打，所以尸点

轨迹为线段Q",不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，4|母,0』，尸(o,o,〃)，fikpol则

\p=,8尸=。一；,〃1,APBP=〃(〃-I)=O,所以〃=0或〃=1.故“，。均满足，故C

错误;

对于D,当〃=：时，BP=4BC+；BB-取阳，CG中点为M,N.BP=BM+九MN，所以P点轨迹为线

设尸(0,加£|(^[3\(731(731)

段,MN.,因为A^-,0,0,所以AP=-y,^-\B=-^-,-,-1,所以

3111

此时。与N重合，故D正确.

故选：BD.

6

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S"为等差数列｛。,｝的前〃项和.若2s3=3邑+6,则公差"=.

【答案】2

【解析】由2s3=3S2+6可得2（%+%+/）=3（%+%）+6,化简得2a3=弓+%+6,

即2（卬+24/）=20+d+6,解得d=2.

故答案为：2.

13.在正三棱柱ABC-A4G中，AB=2,A4,=及，则异面直线入与与所成角的大小为.

【答案】|

【解析】分别取BC,与G的中点O,a，连接AO,OOt,由正三柱性质可知A。±BC,OO\±BC,AO±OOt,

以。为坐标原点，OAOSOQ所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

由9=2,例=及可得4（道,0,0）,2（0,1,0）,用仅,1,忘）,0|（0,-1,夜）,

所以破=卜退」,四）,=（0,-2,A/2）,

又网/AT）叫口「:\国人4际,BC=]必0—需2+2肛且/网咐\”r[皿1

所以（A厚

TT

故答案为：—

22

14.已知椭圆C:J+3=l（a>b>0）的左焦点为人过原点的直线与椭圆C交于A,3两点，|AF|=2忸同,

ab

2%

NAFB=y,则椭圆C的离心率为.

【答案】3

3

【解析】设尸2是椭圆C的右焦点，连接AK，BF2,

由对称性可知：|。4|=|。同，I。典=|。闾，则四边形FA85为平行四边形，

则g阊=忸耳，即1A刊=2|4闻，且/冗4工=三，

因为|Ab|+|9|=斗转|=2a,则341=",W耳=。。,

2

在△出丛中，由余弦定理可得闾2=\AF2f+|AF|-2|A7^|-|AF|-COSZT^/；,

BP4c2=­a~+—a—2x—ax—ax-,解得二=■1,所以椭圆c的禺心率为e=£.

99332a23a3

故答案为：立.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）/4BC三个顶点的坐标分别是A（5,l）,8（7,-3）,C（2,-8）.

⑴求ZL48。外接圆的方程；

（2）若圆C与直线x+y-2=0交于4,8两点，求的弦长.

【解析】（1）设（尤-°）2+（，-。）2=/，a分）

8

（5-a）2+（l-Z＞）2=r2

则有,（7-ay+（-3-。）2=/,……（3分）

（2-a）2+（-8-/?）2=r2

a=2

解得＜b=-3.......（5分）

户=25

所以AABC外接圆的方程为（x-2）2+（y+3），25……（6分）

（2）圆心（2,-3）到直线x+y-2=0的距离』=里,半径r=5……（10分）

2

匚匚isAB~~2,41482_八、

所以方=｛户一力-,……z（12分）

MAB=A/82........(13分)

16.（15分）如图，在正方体ABCD-ABIGQ中，48=为平面ABB】A的中心.

（1）求证：〃平面BCQ；

⑵求点2到平面3CQ的距离.

【解析】（1）解法一：以A为坐标原点，AO所在直线为了轴，AB所在直线为V轴，A4所在直线为z轴

建立如图所示的坐标系.

B(0,£>(1,0,0),0,(1,0,1),

[a+c=0/、

设面BCD的法向量为n="c),n1BC、,n1BD,,<ic,令4=1,则6=1,，=-1,.，.〃=(1/,-1),

X\a-b=0

D[M-n=(-l)=O,w_LRM且"MU平面8G。,

.•.£)也//平面860：

解法二：如图，连接。声,A%AR,

D,D"B&且DQ=BiB,平行四边形。。中，//DB,DtBt0平面BCQ，，R4〃平面BG°，

同理，D.AHC.B,则AA//平面BCQ,且£>4cqA=R,平面RgA//平面2CQ,

又M为A4的中点，，DMu平面RBA；.11平面BCXD.

解法三：连接C0交G。交于点N,连接$B,

加为平面A网4的中心是的中点，44//g,，四边形4。。2是平行四边形，

:.AB//DC，A]B=D[C,M是AB的中点，N是C2的中点，

...BM//ND1,3M=ND],.•.四边形BMDJN是平行四边形，.•.£>[M//N3,

DXMU平面BQD,NBu平面BCXD,D｝M//平面BQD.

(2)解法一：设2到面BCQ的距离为d,〃D=(O,O,-l),，1力.

制+1+13

解法二：设2到面BCQ的距离为乩。8=应，^DC[=|x1x1=1,SBCiD=^BD-BQsineO=与，

由％.广匕一的，得;SBcbd=gsiC,解得d哼

17.(15分)己知数列｛4｝的前鼠项和为S“，且S"=2%-1.

10

(1)证明：数列｛%｝为等比数列；

1352n-l

(2)求和：一+—+—++----.

a„%4-24

【解析】(1)“22时，an=S„-=2a„-1-1)=2a„-2an_,,有%=2%一，……(3分)

又〃=1时，4=S[=2%—1,有4]=1。0,(5分)

所以数列｛风｝是以1为首项，公比为2的等比数列.....（6分）

（2）由（1）得数列｛%｝的通项公式a,=2i（"cN*）,……（7分）

EIT1352〃-32n-l

贝1)£=布+齐r+尹++—^—+十一①

乙乙乙乙乙

2<+++2^o3+2(2M-1)(2)……(10分)

①一②得：

3

（=4〃+声一6….…（15分）

18.（17分）如图，四棱锥尸43c。中，上41.平面48。。,/18_14（7,P。=43=47=0上4.

（1）若AD=£»C,求证：平面2平面PCD；

（2）若AD=Z）C,PB中点为E,试问在棱CD上是否存在点。，使PQLAE,若存在，指出点。位置，若不

存在说明理由；

（3）若PA=2,PD与平面PBC成角大小30°,求。C边长.

【解析】（1）因为上4_L平面ABCAARCOu平面ABCD,所以PA，AD,PA_L8,……（1分）

又PD=®PA,所以尸Q==

AD=CD,PD=ACAC=屈CD=贬AD,

?.AC2=CD2+AD2,/.AD±CD...(3分)

4)_1。,上4_18,又上4门4。=4,24,4。<=平面PAD

所以CD,平面尸4Z）,（4分）

又CDu平面尸C。，所以平面平面PC。....（5分）

（2）因为PA,平面ABCD,AB，AC,所以AP,AB,AC两两垂直，如图建立空间直角坐标系

设丛=1,贝UAO=CD=1,4C=AB=忘,

厂厂(啦6'

则5(0,0,0)((0,拒,0),尸(0,0,1),。-半,3,0,E（7分）

I22J

设£>Q=XZ>C,Xe[(M],

、3拒0_、

PQ=PD+ADC=,—1+4(2-1),(X+1),-1

2'2'-'2

7\7\7

AE=（8分）

假设存在「满足PQ^AE,因为尸Q，AE等价于尸。.AE=o,（9分）

解得九=2是[0,1],（1分）所以不存在……（10分）

(3)因为B4=2,所以AD=2,AC=A3=20,

尸(0,0,2),3(2后,0,0)C(0,2忘,0),PB=(2&,0,-2),定=(0,2立,-2)

设。(a,40),其中a<0,6>。，又•.A。=2/+廿=4,PD=(a,b,-2),

m•PB=02>/2x—2z=0

设平面PBC法向量m=（%y,z）,依题意＜，即

m-PC=02A/2_Y-2Z=0

令2=&则x=y=l,所以机=(1,1,0),（12分）

12

因为P£）与平面尸BC成角大小30°，所以$指30°=卜0$〈肛附卜PD-m

PD\\m\

a+b-2^2

Q+Z?=0或々+人=4>/2,（13分）

220x2

+Z?—0ci=—v2//—/—\II

即272」.・L・・・OC=•.・OC=2（15分）

/+6-=4〔6=拒,'11

又卜匕40.此方程组无解……（16分）

综上可得DC=2........（17分）

19.（17分）已知中心在原点，焦点在无轴上的椭圆G与双曲线G有共同的焦点片、歹2,闺区|=66,C,

的长半轴与G的实半轴之差为4,离心率之比为3:7.

（1）求这两条曲线的方程；

（2）求曲线G以点M（4,2）为中点的弦所在直线的方程；

（3）若P为两条曲线的交点，求/耳「鸟的余弦值.

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