线性代数试题库及答案

线性代数试题库及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.若矩阵A是一个对称矩阵，则A的转置矩阵______。

A.一定是A本身

B.一定是A的逆矩阵

C.一定是A的伴随矩阵

D.一定是A的共轭矩阵

2.设向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，则向量a和向量b的夹角余弦值是______。

3.若行列式|A|=0，则A______。

A.一定是满秩矩阵

B.一定是非满秩矩阵

C.一定是可逆矩阵

D.一定是不可逆矩阵

4.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的逆矩阵是______。

5.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&0&1\\

0&1&0\\

1&0&1

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的秩是______。

6.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

2&1&0\\

3&2&1\\

1&1&2

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的行列式是______。

7.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的秩是______。

8.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的特征值是______。

9.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&1\\

1&1

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的伴随矩阵是______。

10.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的逆矩阵是______。

二、填空题（每题3分，共15分）

1.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

则A的行列式是______。

2.设向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，则向量a和向量b的夹角余弦值是______。

3.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的逆矩阵是______。

4.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&0&1\\

0&1&0\\

1&0&1

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的秩是______。

5.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

2&1&0\\

3&2&1\\

1&1&2

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的行列式是______。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

求矩阵A的逆矩阵。

2.设向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，求向量a和向量b的夹角余弦值。

3.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

求矩阵A的特征值和特征向量。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若矩阵A可逆，则其行列式不为零。

2.证明：若矩阵A和B都是n阶方阵，且AB=BA，则A和B的秩相等。

五、计算题（每题10分，共20分）

1.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

求矩阵A的行列式。

2.设矩阵A为：

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

求矩阵A的特征值和特征向量。

六、应用题（每题10分，共20分）

1.设线性方程组为：

\[

\begin{cases}

x+2y-z=1\\

2x+y+2z=2\\

-x+y-z=0

\end{cases}

\]

求该方程组的通解。

2.设线性方程组为：

\[

\begin{cases}

x+y+z=1\\

2x-y+3z=2\\

3x+2y-z=3

\end{cases}

\]

判断该方程组是否有解，若有解，求出方程组的通解。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.A

解析：对称矩阵的转置矩阵等于其本身。

2.0

解析：向量a和向量b的点积为0，说明它们垂直，夹角余弦值为0。

3.B

解析：行列式为0意味着矩阵的秩小于其阶数，因此是非满秩矩阵。

4.\(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}

4&-2\\

-3&1

\end{pmatrix}\)

解析：通过行变换将A转换为单位矩阵，然后取逆得到A的逆矩阵。

5.2

解析：矩阵A的秩等于其非零行数，这里有两个非零行。

6.0

解析：矩阵A的行列式为0，因为第一列的元素都是第二列的两倍。

7.3

解析：矩阵A的秩等于其非零行数，这里有三个非零行。

8.3,1

解析：通过求解特征方程得到特征值3和1。

9.\(\begin{pmatrix}

1&-2&1\\

-3&1&-3\\

1&-2&1

\end{pmatrix}\)

解析：通过行变换将A转换为单位矩阵，然后取伴随矩阵得到A的伴随矩阵。

10.\(\begin{pmatrix}

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\

-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}

\end{pmatrix}\)

解析：通过行变换将A转换为单位矩阵，然后取逆得到A的逆矩阵。

二、填空题答案及解析：

1.2

解析：行列式计算为1*4-2*3=2。

2.0

解析：向量a和向量b的点积为1*2+2*1=4，模长分别为\(\sqrt{5}\)和\(\sqrt{5}\)，夹角余弦值为0。

3.\(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}

4&-2\\

-3&1

\end{pmatrix}\)

解析：通过行变换将A转换为单位矩阵，然后取逆得到A的逆矩阵。

4.2

解析：矩阵A的秩等于其非零行数，这里有两个非零行。

5.0

解析：矩阵A的行列式为0，因为第一列的元素都是第二列的两倍。

三、解答题答案及解析：

1.\(\begin{pmatrix}

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\

-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}

\end{pmatrix}\)

解析：通过行变换将A转换为单位矩阵，然后取逆得到A的逆矩阵。

2.0

解析：向量a和向量b的点积为1*2+2*1=4，模长分别为\(\sqrt{5}\)和\(\sqrt{5}\)，夹角余弦值为0。

3.特征值：3,1；特征向量：对应特征值3，特征向量为(1,1,1)，对应特征值1，特征向量为(1,-1,0)。

四、证明题答案及解析：

1.证明：若矩阵A可逆，则其行列式不为零。

解析：可逆矩阵的定义是存在一个矩阵B使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。根据行列式的性质，有|AB|=|A||B|=|I|=1，因此|A|≠0。

2.证明：若矩阵A和B都是n阶方阵，且AB=BA，则A和B的秩相等。

解析：由于AB=BA，可以通过行变换将A和B同时转换为相同的行最简形式。因此，A和B的秩相同。

五、计算题答案及解析：

1.0

解析：矩阵A的行列式为0，因为第一列的元素都是第二列的两倍。

2.特征值：3,1；特征向量：对应特征值3，特征向量为(1,1,1)，对应特征值1，特征向量为(1,-