第7节 向量法求空间角

第7节向量法求空间角考试要求1.掌握空间向量的应用.2.会用空间向量求空间角．【知识梳理】1．两条异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝____________＝____________．2．直线和平面所成的角直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝____________＝____________．3．平面与平面的夹角(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝________＝____________．[常用结论与微点提醒]1．确定平面的法向量的方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定．(2)待定系数法：取平面的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0))求得．2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．3．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．()(4)两异面直线夹角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()2．(选修一P38T1改编)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()A.eq\f(\r(30),10) B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(30),15) D．eq\f(\r(15),10)3．(选修一P43T10改编)设M，N分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________．4．在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________．考点一异面直线所成的角例1(1)(2024·江西五市九校联考)如图，矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，AB＝AD＝2，点E在上底面圆周上，且eq\o(EC,\s\up8(︵))＝2eq\o(DE,\s\up8(︵))，F为线段BC的中点，则异面直线AE与DF所成角的余弦值为________．(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，点F在线段AD上，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为eq\f(3\r(2),10)，则λ的值为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．训练1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝8，E，F，G分别为B1C1，A1B1，BB1的中点，则异面直线A1E与FG所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),2)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二直线与平面所成的角例2(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明：A1C＝AC；(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升向量法求直线与平面所成角的方法是：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角．训练2(2024·马鞍山质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝4，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN＝eq\f(1,4)BC.(1)求证：平面DMN⊥平面PBC；(2)求直线AB与平面DMN所成角的正弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三平面与平面的夹角例3(12分)(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，求二面角D－AB－F的正弦值．[思路分析](1)通过证明BC⊥平面ADE，从而证明BC⊥DA.(2)确定线线位置关系→建系→设点写坐标→求平面的法向量→利用公式求二面角的正弦值．[规范解答](1)证明如图，连接DE，AE，因为DC＝DB，E为BC的中点，所以eq\x(DE⊥BC.①)→eq\a\vs4\al(线线垂直)(1分)因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，所以△ADB≌△ADC(SAS)，所以AC＝AB，故eq\x(AE⊥BC.①)→eq\a\vs4\al(线线垂直)(2分)因为DE∩AE＝E，DE，AE⊂平面ADE，所以eq\x(BC⊥平面ADE.①)→eq\a\vs4\al(线面垂直)(3分)又DA⊂平面ADE，所以eq\x(BC⊥DA.①)→eq\a\vs4\al(线线垂直)(4分)(2)解由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC.不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝eq\r(2).因为AE⊥BC，所以AE＝eq\r(AB2－EB2)＝eq\r(2).在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴eq\x(建立空间直角坐标系)，如图，→eq\a\vs4\al(建系)(5分)则D(eq\r(2)，0，0)，B(0，eq\r(2)，0)，A(0，0，eq\r(2))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，0，eq\r(2))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(2)，eq\r(2))．设F(xF，yF，zF)，因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，所以(xF，yF，zF)＝(－eq\r(2)，0，eq\r(2))，可得F(－eq\r(2)，0，eq\r(2))．②所以eq\o(FA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0，0)．→eq\a\vs4\al(设点写坐标)(6分)设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DA,\s\up6(→))·m＝0，,\o(BA,\s\up6(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(2)x1＋\r(2)z1＝0，,－\r(2)y1＋\r(2)z1＝0，))取x1＝1，则y1＝z1＝1，eq\x(m＝（1，1，1）.③)→eq\a\vs4\al(求出平面的法向量)(8分)设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(FA,\s\up6(→))·n＝0，,\o(BA,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)x2＝0，,－\r(2)y2＋\r(2)z2＝0，))得x2＝0，取y2＝1，则z2＝1，eq\x(n＝（0，1，1）.③)→eq\a\vs4\al(求出平面的法向量)(10分)所以cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(2,\r(3)×\r(2))＝eq\f(\r(6),3).③→eq\a\vs4\al(应用公式求值)记二面角D－AB－F的大小为θ，则sinθ＝eq\r(1－cos2〈m，n〉)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),3)，③→eq\a\vs4\al(转化为二面角的正弦值)故二面角D－AB－F的正弦值为eq\f(\r(3),3).(12分)[满分规则]❶得步骤分①处通过证明线⊥线⇒线⊥面⇒线⊥线，注意应用相关定理的条件要完整，否则易失步骤分．❷得关键分②处求出各点与向量的坐标，特别是求出点F的坐标是解题的关键，此处出错会导致(2)题至多得1分．❸得计算分③处求平面的法