河北省邯郸市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质

第1页（共1页）河北省邯郸市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质一．选择题（共15小题）1．（2024•邯郸二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m2．（2024•馆陶县二模）如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（）A．70 B．74 C．144 D．1483．（2024•馆陶县二模）如图，若将钟面上的12时作为正北方向，3时作为正东方向，则8时可以描述为（）A．北偏西60°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西60°方向4．（2024•馆陶县二模）如图，在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，且AB与CD不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分5．（2024•邱县二模）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．76．（2024•馆陶县二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形PQMN；②利用尺规分别作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，则不一定在⊙O上的点是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N7．（2024•邱县二模）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP＝180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：甲：添加BM＝PC；乙：添加BM∥PC；丙：添加MP＝BC．则正确的方案（）A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对8．（2024•邯郸二模）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形ABC是三角板），其依据是（）A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等9．（2024•邯郸二模）如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（）A．8 B．6 C．5 D．410．（2024•邯郸二模）如图是正方体的表面展开图，现将部分面上分别标注数字，若正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字是（）A．2 B．3 C．4 D．511．（2024•邯郸二模）如图，在矩形ABCD铁片上，截下一个正六边形EFGHMN，其中点E、F在边AD上，点G在矩形ABCD的内部，点H、M在边BC上，点N在AB边上，若AB=63cm，则A．9cm B．10cm C．11cm D．13cm12．（2024•邯郸二模）已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形．证明：∵AB＝CD，BC＝DA，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵“_____”，∴四边形ABCD是菱形．在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（）A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AB＝BC D．AB∥DC13．（2024•邯郸二模）借助圆规，可得图中最长的线段是（）A．BA B．CA C．DA D．EA14．（2024•邯郸二模）如图，在正方形ABCD内，确定一个点M，使△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均为等腰三角形，则M点的个数为（）A．1 B．3 C．4 D．515．（2024•邱县二模）已知直线PQ，嘉嘉和淇淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下（图1和图2）：嘉嘉：①将直尺紧贴直线PQ；②含60°角的三角板的顶点C落在直尺上；③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度线重合，则AB∥PQ．淇淇：①作射线PC；②在射线PC上任取点A，用尺规作与∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；③连接AB，则AB∥PQ．下列说法正确的是（）A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C．嘉嘉和淇淇的作法都正确 D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确二．填空题（共10小题）16．（2024•馆陶县二模）如图1，在六边形ABCDEF中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究：（1）分别延长CB，FA相交于点G，得到图2，则∠G＝°；（2）若已知AB＝3，BC＝5，CD＝4，DE＝1，则六边形ABCDEF的周长为．17．（2024•邯郸二模）如图，有A、B、C三个城镇，A城镇位于C城镇正北方向，且到C城镇5km，B城镇位于C城镇正东方向，且到C城镇12km，点M，点C被湖水隔开，若点M是AB的中点，则MC＝km．18．（2024•邯郸二模）如图，已知△ABC，根据几何作图的痕迹，解决下列问题：（1）BE=12（2）若∠COE＝68°，则∠ACB＝°．19．（2024•邯山区二模）已知，如图等边△ABC中，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB，AC于点E，F．若BC＝10，则EF的长为．20．（2024•邯郸二模）如图，将两块不同的等腰直角三角板OEF和三角板OCG放置在正方形ABCD中，直角顶点O重合，点E，F，G分别在边AB，BC，AD上，AB＝10，GD＝BF，若较小的斜边EF长为25，则BE的长为，较长的斜边CG长为．21．（2024•邯山区二模）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝．22．（2024•峰峰矿区二模）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是度．23．（2024•峰峰矿区二模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，连接OE，若∠ABC＝80°，则∠OEC的度数为°．24．（2024•邱县二模）如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线l⊥AD于点D，分别延长AB、AF交直线l于点M，N，则∠AMN＝；若正六边形ABCDEF的面积为6，则△AMN的面积为．25．（2024•广平县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AB＝4，∠ABO＝30°，则AC＝．由尺规作图痕迹，可知∠OPD＝．三．解答题（共5小题）26．（2024•丛台区二模）在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°，以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点E是从点B向点C运动的一个动点，速度为每秒一个单位长度，在运动过程中，连接线段AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF．（1）易证：∠DCB的度数为；对角线AC的长度为；（2）当点E运动到点C时，求点F的坐标；（3）当点F落在对角线AC上时，求点E运动的时间t；（4）直接写出点E从点B运动到点C时，点F运动的路径长．27．（2024•丛台区二模）雨过天晴，人们常看到天空中出现彩虹，它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象．在说明这个现象时，需要分析光线射入水珠后的光路．已知：一细束光线MA射入水珠，水珠可视为一个半径为R＝10mm的球，球心O到入射光线MA的垂直距离为d＝8mm，折射光线AC＝16mm．（参考数据：sin37°≈0.6，sin53°≈0.8）（1）圆心O到折线AC的距离；（2）求光线MA与折线AC所夹的劣弧BC的长．（3）若这条光线在第一次射出水珠的线路CN与水珠所在的⊙O相切，请直接写出光线CN与MA所在直线所夹的锐角的度数．28．（2024•馆陶县二模）将直径为10cm的量角器与矩形直尺按如图1位置放置，其中量角器的直径AB平行于直尺的边缘MN，OA对应量角器的0°刻度线，OB对应量角器的180°刻度线，且量角器的轮廓所在的半圆O与直尺的边缘MN相切于点P，与直尺的另一边缘相交于点C，D．已知点P，C，D在直尺上的读数分别为5cm，1cm，9cm．计算在图1中，设OP与CD交于点E．（1）求直尺的宽度PE；操作将图1中的量角器沿MN向右作无滑动的滚动，直尺保持固定，当量角器的端点B恰好与直尺边缘上的交点D重合时停止滚动，如图2所示．探究经过上述操作后，在图2中，求：（2）点C在量角器上的读数；（3）点P在直尺上的读数（结果保留小数点后一位）（参考数据：tan37°取0.75，π取3.14）29．（2024•邯郸二模）如图1，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝8，点D在射线OC上（不与O点重合），以O为圆心，OD为半径向上作半圆O，半圆O交CO延长线于E点．（1）若OD＝2，M是半圆O上一点，则B、M两点之间距离的最小值为．（2）如图2，连接OB交半圆O于P点，在接AD交半圆O于F点，若P点恰好是DF的中点，求DF的长；【注：sin49°=cos41°=34，tan37°=34】（3）连接AC，若半圆O与△30．（2024•邯山区二模）如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心，OB的长为半径作优弧AB，使点A在原点的左上方，且tan∠AOB=3，点D（1）求扇形AOB的面积；（2）点E是优弧AB上任意一点，①当∠EDB最大时，直接指出ED与优弧AB的位置关系，并求∠EDB的最大值．②当点E与点A重合时，线段DE与优弧AB的交点为F，请直接写出EF的长．

河北省邯郸市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2024•邯郸二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m【解答】解：由题意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m，∴BD＝1.8m．设AC的长为xm，则AB＝AC＝xm，所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2，解得：x＝3.4，即绳索AC的长是3.4米．故选：A．2．（2024•馆陶县二模）如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（）A．70 B．74 C．144 D．148【解答】解：过点A作AE⊥l1，过点C作CF⊥l2，∴∠CBF+∠BCF＝90°，四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∵l1∥l2∥l3，∴∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，∠AEB=∠BFC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（AAS）（画出L1到L2，L2到L3的距离，分别交L2，L3于E，F）∴BF＝AE，∴BF2+CF2＝BC2，∴BC2＝52+72＝74．故面积为74．故选：B．3．（2024•馆陶县二模）如图，若将钟面上的12时作为正北方向，3时作为正东方向，则8时可以描述为（）A．北偏西60°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西60°方向【解答】解：根据上北下南的方位，如果将钟面上的12时作为正北方向，3时作为正东方向，那么8时可描述为南偏西60°．故选：D．4．（2024•馆陶县二模）如图，在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，且AB与CD不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分【解答】解：在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，且AB与CD不在同一条直线上，∴OA＝OB，OC＝OD，∴四边形ADBC是平行四边形故选：D．5．（2024•邱县二模）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵正五边形的每个内角为180°×（5﹣2）÷5＝108°，∴组成的正多边形的每个内角为360°﹣2×108°﹣24°＝120°，∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，∴形成的正多边形为正n边形，则(n−2)×180°n解得：n＝6．故选：C．6．（2024•馆陶县二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形PQMN；②利用尺规分别作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，则不一定在⊙O上的点是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【解答】解：连接OP，OQ，OM，ON，∵作PQ，PN的垂直平分线，两直线交于点O，∴OP＝OQ＝ON，∴点P，Q，N在点O为圆心，OP长为半径的圆上，OM与ON的大小关系不能确定，∴点M不一定在圆上，故选：C．7．（2024•邱县二模）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP＝180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：甲：添加BM＝PC；乙：添加BM∥PC；丙：添加MP＝BC．则正确的方案（）A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对【解答】解：∵∠P+∠BCP＝180°，∴MP∥BC，甲：添加BM＝PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形；乙：添加BM∥PC后，满足两组对边平行，能证明四边形MBCP为平行四边形；丙：添加MP＝BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形；综上可知，只有乙、丙才对，故选：B．8．（2024•邯郸二模）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形ABC是三角板），其依据是（）A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等【解答】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行），∴C正确．故选：C．9．（2024•邯郸二模）如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（）A．8 B．6 C．5 D．4【解答】解：根据平行线之间的距离的定义可得a、b两直线的距离应该小于5，故选：D．10．（2024•邯郸二模）如图是正方体的表面展开图，现将部分面上分别标注数字，若正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：其中面“2”与面“1”相对，所以正方体朝上的面标注的数字是1，则正方体朝下的面标注的数字为2，故选：A．11．（2024•邯郸二模）如图，在矩形ABCD铁片上，截下一个正六边形EFGHMN，其中点E、F在边AD上，点G在矩形ABCD的内部，点H、M在边BC上，点N在AB边上，若AB=63cm，则A．9cm B．10cm C．11cm D．13cm【解答】解：∵六边形EFGHMN是正六边形，∴∠FEN＝∠ENM＝∠NMH＝120°，EF＝EN＝NM，∴∠AEN＝∠BMN＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴△ANE≌△BNM，∴AN=BN=1∴NE=AN如图，连接EM，FH，NG，分别相交于点K，L，则四边形ANKE与四边形EFLK是矩形，∴KL＝EF＝6cm，∵∠MNE＝120°，MN＝NE，∴∠ENK＝60°，∠NEK＝30°，∴NK=1同理可得，GL＝3cm，∴NG＝NK+KL+LG＝3+6+3＝12cm∵点G在矩形ABCD的内部，∴AD＞NG，故选：D．12．（2024•邯郸二模）已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形．证明：∵AB＝CD，BC＝DA，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵“_____”，∴四边形ABCD是菱形．在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（）A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AB＝BC D．AB∥DC【解答】解：根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是AB＝BC．故选：C．13．（2024•邯郸二模）借助圆规，可得图中最长的线段是（）A．BA B．CA C．DA D．EA【解答】解：通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的DA，故选：C．14．（2024•邯郸二模）如图，在正方形ABCD内，确定一个点M，使△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均为等腰三角形，则M点的个数为（）A．1 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，作AD、BC、AB、CD的中垂线，①分别以A、C为圆心，正方形的边长为半径画圆，每个圆与两条中垂线各有2个交点，共8个交点，根据中垂线的性质以及圆内半径相等，8个交点的位置都满足△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均是等腰三角形；②两条中垂线的交点，也满足△MAB、△MBC、△MCD、△MDA均是等腰三角形；∴满足构成等腰三角形的所有点M的个数为：4+4+1＝9；其中在正方形内部的点有5个，故选：D．15．（2024•邱县二模）已知直线PQ，嘉嘉和淇淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下（图1和图2）：嘉嘉：①将直尺紧贴直线PQ；②含60°角的三角板的顶点C落在直尺上；③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度线重合，则AB∥PQ．淇淇：①作射线PC；②在射线PC上任取点A，用尺规作与∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；③连接AB，则AB∥PQ．下列说法正确的是（）A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C．嘉嘉和淇淇的作法都正确 D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确【解答】解：嘉嘉：斜边BC与量角器的60°刻度线重合，∴∠BCQ＝60°又∵直角板∠ACB＝30°，∴∠ACQ＝90°，∴∠A+∠ACQ＝180°，∴AB∥PQ，则嘉嘉的作法正确，淇淇：∵∠CAB＝∠APQ，∴AB∥PQ，则淇淇的作法正确，故选：C．二．填空题（共10小题）16．（2024•馆陶县二模）如图1，在六边形ABCDEF中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究：（1）分别延长CB，FA相交于点G，得到图2，则∠G＝60°；（2）若已知AB＝3，BC＝5，CD＝4，DE＝1，则六边形ABCDEF的周长为22．【解答】解：（1）（6﹣2）×180°＝720°，所以六边形ABCDEF的每个内角度数为：720°÷6＝120°，所以∠CBA＝∠BAF＝120°，所以∠GBA＝∠GAB＝60°，所以∠G＝180°﹣60°﹣60°＝60°．故答案为：60．（2）延长CB，FA相交于点G，延长CD，FE相交于点M，因为∠G＝60°，∠C＝120°，所以∠G+∠C＝180°，所以CM∥GF，同理可得，CG∥FM，所以四边形CGFM为平行四边形，所以CG＝MF，CM＝GF．因为∠GBA＝∠GAB＝60°，所以△BGA为等边三角形，所以BG＝AG＝AB＝3，同理可得，DM＝EM＝DE＝1，所以MF＝CG＝5+3＝8，GF＝CM＝4+1＝5，所以EF＝8﹣1＝7，AF＝5﹣3＝2，所以六边形ABCDEF的周长为：3+5+4+1+7+2＝22．故答案为：22．17．（2024•邯郸二模）如图，有A、B、C三个城镇，A城镇位于C城镇正北方向，且到C城镇5km，B城镇位于C城镇正东方向，且到C城镇12km，点M，点C被湖水隔开，若点M是AB的中点，则MC＝6.5km．【解答】解：由题意得∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB=A∵点M是AB的中点，∴CM=1故答案为：6.5．18．（2024•邯郸二模）如图，已知△ABC，根据几何作图的痕迹，解决下列问题：（1）BE=12BC（2）若∠COE＝68°，则∠ACB＝44°．【解答】解：（1）由作图痕迹可知OE是线段BC的垂直平分线，∴BE=1故答案为：BC．（2）由作图痕迹可知CO是∠ACB的角平分线，∴∠ACB＝2∠OCE，∵△OCE中，∠COE＝68°，∠OEC＝90°，∴∠OCE＝180°﹣68°﹣90°＝22°，∴∠ACB＝2×22°＝44°，故答案为：44．19．（2024•邯山区二模）已知，如图等边△ABC中，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB，AC于点E，F．若BC＝10，则EF的长为53π【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，BC＝10，∴BD＝5，AB＝10，∴AD=102∴EF的长为60π×53故答案为：5320．（2024•邯郸二模）如图，将两块不同的等腰直角三角板OEF和三角板OCG放置在正方形ABCD中，直角顶点O重合，点E，F，G分别在边AB，BC，AD上，AB＝10，GD＝BF，若较小的斜边EF长为25，则BE的长为2，较长的斜边CG长为229．【解答】解：如图，分别过O、G作AB的平行线RQ、GP，作OM∥BC交AB于点M，连接EC、GF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD∥RQ∥GP，AD∥BC∥OM，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴四边形MBQO、PCDG、QPGR都是矩形，∴AB＝BC＝CD＝GP＝10，GD＝PC，由题意可知：OE＝OF，OC＝OG，∠EOF＝∠COG＝90°，∴∠EOC＝∠FOG，在△EOC和△FOG中，OE=OF∠EOC=∠FOG∴△EOC≌△FOG（SAS），∴EC＝FG，在Rt△EBC和Rt△FPG中，EC=FGBC=PG∴Rt△EBC≌Rt△FPG（HL），∴BE＝FP，设BE＝x，BF＝y，∴FP＝BE＝x，GD＝BF＝PC＝y，∵EF＝25，CB＝10，在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴x2+y2＝（25）2，∵BF+FP+PC＝BC，∴y+x+y＝10，解得x＝2，y＝4，∴BE＝2，BF＝GD＝4，∴GC=GD2故答案为：2，229．21．（2024•邯山区二模）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝78°．【解答】解：解法一：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；解法二：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；故答案为：78°．22．（2024•峰峰矿区二模）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是140度．【解答】解：连接OE，∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上，∴∠EOA＝2∠ECA，∵∠ECA＝2°×35＝70°，∴∠AOE＝2∠ECA＝2×70°＝140°．∵量角器0刻度线的端点N与点A重合，∴点E在量角器上对应的读数是140，故答案为：140．23．（2024•峰峰矿区二模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，连接OE，若∠ABC＝80°，则∠OEC的度数为40°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，AB＝BC，∴∠CAB＝∠ACB=12（180°﹣80°）＝50°，AO＝∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∠AEC＝90°，∴∠OEA＝∠OAE＝50°，∴∠OEC＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40．24．（2024•邱县二模）如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线l⊥AD于点D，分别延长AB、AF交直线l于点M，N，则∠AMN＝30°；若正六边形ABCDEF的面积为6，则△AMN的面积为16．【解答】解：连接BE，CF交于点O，∵ABCDEF是正六边形，∴∠MAD＝∠NAD＝60°，∵AD⊥MN，∴∠ADM＝∠ADN＝90°，∴∠AMN＝∠ANM＝30°∵ABCDEF是正六边形，面积为6，∴点O在AD上，OA＝OB，△AOB的面积＝1，∴34•OA2∴OA2=4∵AD⊥MN，DM＝DN=3AD＝23OA∴S△ANM=12•MN•AD=12×2×23OA×2OA故答案为30°，16．25．（2024•广平县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AB＝4，∠ABO＝30°，则AC＝4．由尺规作图痕迹，可知∠OPD＝75°．【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC＝2AO，∵AB＝4，∠ABO＝30°，∴AO=12∴AC＝4；在菱形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO＝30°，∵PD平分∠CDO，∴∠PDO=12∠∵∠DOP＝90°，∴∠OPD＝90°﹣15°＝75°，故答案为：4，75°．三．解答题（共5小题）26．（2024•丛台区二模）在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°，以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点E是从点B向点C运动的一个动点，速度为每秒一个单位长度，在运动过程中，连接线段AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF．（1）易证：∠DCB的度数为45°；对角线AC的长度为45（2）当点E运动到点C时，求点F的坐标；（3）当点F落在对角线AC上时，求点E运动的时间t；（4）直接写出点E从点B运动到点C时，点F运动的路径长．【解答】解：（1）如图所示，过点D作DG⊥BC于点G，已知AB＝AD＝4，BC＝8，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABGD是正方形，∴AB＝BG＝DG＝AD＝4，∴CG＝DG＝4，∴△CDG是等腰直角三角形，∴∠DCB＝45°，在Rt△ABC中，AC=A故答案为：45°，45（2）如图所示，点E运动到点C，过点F作FH⊥BC延长线于点H，∴∠ABC＝∠FHC＝90°，∵∠AEF＝90°，∠ACB+∠FCH＝∠FCH+∠CFH＝90°，∴∠ACB＝∠CFH，且AC＝CF，∴△ABC≌△CHF（AAS），∴AB＝CH＝4，BC＝HF＝8，∴H（12，0），F（12，8）；（3）如图所示，结合（2）的证明方法可得，△ABE≌△EHF（AAS），∴AB＝EH＝4，BE＝HF，设BE＝HF＝x，则CH＝8﹣（4+x）＝4﹣x，∵FH⊥BC，∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥FH，∴△CFH∽△CAB，∴CHCB=HF解得，x=4∵点E是从点B向点C运动的一个动点，速度为每秒一个单位长度，∴点F落在对角线AC上时，点E运动的时间t=4（4）由（1）可知，当点B与点E重合时，即AE＝AB＝4，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，∴EF＝BG＝4，即F（4，0）；由（2）可知，当点B与点C重合时，F（12，8）当点E从点B开始运动时，结合上述证明可得，△ABE≌△EHF，∴BE＝HF，AB＝EH＝4，设F（x，y），∴FH＝BE＝BH﹣EH即y＝x﹣4∴点F运动路径是y＝x﹣4（4≤x≤12）的线段，∴水平方向上：12﹣4＝8，垂直方向上：8，∴根据勾股定理得82∴点F运动的路径长为8227．（2024•丛台区二模）雨过天晴，人们常看到天空中出现彩虹，它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象．在说明这个现象时，需要分析光线射入水珠后的光路．已知：一细束光线MA射入水珠，水珠可视为一个半径为R＝10mm的球，球心O到入射光线MA的垂直距离为d＝8mm，折射光线AC＝16mm．（参考数据：sin37°≈0.6，sin53°≈0.8）（1）圆心O到折线AC的距离；（2）求光线MA与折线AC所夹的劣弧BC的长．（3）若这条光线在第一次射出水珠的线路CN与水珠所在的⊙O相切，请直接写出光线CN与MA所在直线所夹的锐角的度数．【解答】解：（1）如图所示，过点O作OD⊥AC于点D，∵AC＝16mm，∴AD=12又AO＝10mm，∴OD=AO2即圆心O到折线AC的距离为6mm；（2）如图所示，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，OC，依题意，OE＝8mm，∴在Rt△AOE中，AE=AO2∵sin∠OAE=EOAO=∴∠OAE＝53°，∠DAO＝37°，∴∠BAC＝53°﹣37°＝16°，∴∠BOC＝32°，∴BC=32π×10（3）如图所示，过点O作OF∥AM交CN于点F，由（2）可得∠OAE＝53°，则∠BOE＝∠AOE＝37°，∠BOC＝32°，∴∠EOC＝69°，∴∠COF＝90°﹣∠EOC＝21°，又∵CN是⊙O的切线，∴CN⊥OC，∴∠OFC＝90°﹣∠COF＝90°﹣21°＝69°，即光线CN与MA所在直线所夹的锐角的度数为69°．28．（2024•馆陶县二模）将直径为10cm的量角器与矩形直尺按如图1位置放置，其中量角器的直径AB平行于直尺的边缘MN，OA对应量角器的0°刻度线，OB对应量角器的180°刻度线，且量角器的轮廓所在的半圆O与直尺的边缘MN相切于点P，与直尺的另一边缘相交于点C，D．已知点P，C，D在直尺上的读数分别为5cm，1cm，9cm．计算在图1中，设OP与CD交于点E．（1）求直尺的宽度PE；操作将图1中的量角器沿MN向右作无滑动的滚动，直尺保持固定，当量角器的端点B恰好与直尺边缘上的交点D重合时停止滚动，如图2所示．探究经过上述操作后，在图2中，求：（2）点C在量角器上的读数；（3）点P在直尺上的读数（结果保留小数点后一位）（参考数据：tan37°取0.75，π取3.14）【解答】解：（1）∵C，D在直尺上的读数分别为1cm，9cm，∴CD＝9﹣1＝8（cm），∵半圆O与MN相切于点P，∴OP⊥MN，又∵CD∥MN，∴OP⊥CD，∴DE=1如图1，连接OD，在Rt△DOE中，OD=1∴OE=O∴PE＝OP﹣OE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（cm）；（2）连接OC，如图2，在Rt△DOE中，tan∠ODE=OE∴∠ODE＝37°，∴∠AOC＝2∠ODE＝2×37°＝74°，即点C在量角器上的读数为74°；（3）取半圆弧AB的中点为Q，连接OQ，∴∠DOQ＝90°，∴∠POQ＝90°﹣∠DOP＝∠ODE＝37°，∴PQ的长