河北省石家庄市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质

第1页（共1页）河北省石家庄市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质一．选择题（共24小题）1．（2024•新华区二模）某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A．3.5πcm B．7πcm C．12πcm D．24πcm2．（2024•新华区二模）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（）A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角 C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角3．（2024•裕华区二模）如图，已知∠A，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接DC，BC．可直接判定四边形ABCD为菱形的条件是（）A．有一组邻边相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相垂直 D．四条边相等的四边形4．（2024•裕华区二模）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，圆心O在格点上，则tan∠EDB等于（）A．1 B．22 C．12 5．（2024•桥西区二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（）A．20 B．15 C．18 D．126．（2024•桥西区二模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（）A． B． C． D．7．（2024•藁城区二模）在矩形ABCD中，AD＝8，点P是线段BC上一点，点M、N、E分别是AP、DP、AD的中点，下列四种情况，哪一种情况不可能使四边形MPNE成为矩形（）A．AB＝2 B．AB＝3 C．AB＝4 D．AB＝58．（2024•藁城区二模）如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（）A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错9．（2024•藁城区二模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，并以相同的速度航行，其中甲沿北偏东60°方向行走，乙沿南偏东30°方向行走，行驶中乙始终在甲的（）A．北偏东15°方向上 B．南偏西15°方向上 C．北偏东30°方向上 D．南偏西20°方向上10．（2024•裕华区二模）如图，点I为△ABC的内心，AB＝5，AC＝4，BC＝3，将△ACB平移使其顶点与Ⅰ重合，与AB边交于点D，E，延长EI交AC于点P，延长DI交BC于点Q，则图中阴影部分的周长为（）A．12 B．9 C．8 D．611．（2024•裕华区二模）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（）A．∠A＜∠B B．∠A＞∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定12．（2024•裕华区二模）某工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（）A．26，10，24 B．10，16，6 C．17，30，8 D．13，24，513．（2024•裕华区二模）如图，△A′B′C′是由△ABC沿AD方向平移得到的，其中点D为BC的中点，当△ABC的面积为18cm2，△A′EF的面积为8cm2，AA′＝1cm时，A′D的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm14．（2024•藁城区二模）如图，AB⊥BF，EF⊥BF，AE与BF交于点C，点D是AC的中点，∠AEB＝2∠A．若AC＝6，EF＝1，则BF的长是（）A．10 B．3 C．8 D．1515．（2024•藁城区二模）如图，x的值可能为（）A．10 B．9 C．7 D．616．（2024•藁城区二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，点P在直线AB上运动当点P与正五边形的至少两个顶点的距离相等时，警报器会发出警报，在直线AB上会发出警报的点有（）个．A．3 B．4 C．5 D．617．（2024•裕华区二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°18．（2024•桥西区二模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C19．（2024•桥西区二模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为（）A．3 B．32 C．2 D．20．（2024•桥西区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若ABCD=1A．23 B．53 C．3421．（2024•裕华区二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于（）A．20° B．30° C．50° D．80°22．（2024•裕华区二模）在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则所列方程为（）A．x2＝102+（x﹣5﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102 C．x2＝102+（x+1﹣5）2 D．x2＝（x+1）2+10223．（2024•裕华区二模）问题：如图，矩形ABCD中，AB＝4，CB＝3，点P为对角线AC上一点．当△BCP为等腰三角形时，求AP的值．甲：当点P为AC中点时，△BCP为等腰三角形，∴AP＝2.5；乙：当CP＝3时，△BCP是等腰三角形，∴AP＝2．则（）A．甲的结论正确 B．乙的结论正确 C．甲、乙的结论合起来正确 D．甲、乙的结论合起来也不正确24．（2024•裕华区二模）如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN，ND．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．∠COD＝3∠MND二．填空题（共4小题）25．（2024•新华区二模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，连接OE，若∠ABC＝80°，则∠OEC的度数为°．26．（2024•藁城区二模）如图，数轴上A点与数轴原点重合，B点表示的数是2．过点B作BC⊥AB，且BC＝1，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D所表示的数是d．（1）d＝；（2）若（2﹣d）2＝a+bd，则a﹣b＝．27．（2024•桥西区二模）某厂家要设计一个装截面为正方形木条的圆柱形纸盒（横截面如图），已知每条木棍形状、大小相同，底面均为边长为1cm的正方形，目前厂家提供了装不同数量木条的圆柱形纸盒的收纳设计方案．（1）如果要装1支木条，如图1，圆柱形纸盒最小的底面积为cm2．（2）如果要装2支木条，如图2，圆柱形纸盒最小的底面积为cm2．（3）如果要装3支木条，圆柱形纸盒最小的底面积为cm2．28．（2024•裕华区二模）小明要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其能在正方形内自由旋转．（1）如图1，若这个正多边形为边长最大的正六边形，EF＝；（2）如图2，若这个正多边形为正△EFG，则EF的取值范围为．三．解答题（共6小题）29．（2024•新华区二模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，延长BC到点D，使BD＝BA，P是BC边上一点．点Q在射线BA上，PQ＝BP，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，交AC于点E，连接PQ，设PC＝x．（1）AB＝，CD＝，当点Q在⊙P上时，求x的值；（2）x为何值时，⊙P与AB相切？（3）当PC＝CD时，求阴影部分的面积；（4）若⊙P与△ABC的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围．30．（2024•桥西区二模）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD＝6，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），（1）求对角线AC的长度；（2）①当△ABE是等腰三角形时，求∠DAE的度数；②连接EC，当120°≤∠AEC≤180°时，求BE的取值范围．（3）如图2，EP⊥AE，与菱形的一边相交于点F（点F始终在点E的右侧），当EP经过菱形一边中点时，直接写出BE的长度．31．（2024•桥西区二模）如图①，OC垂直平分线段AB，OC≥2，以点O为圆心，2为半径作⊙O，点D是⊙O上的一点，当A，D，O三点共线时，连接OB交⊙O于点E，此时∠A＝37°，如图②将扇形DOE绕点O逆时针旋转，得到扇形D′OE′．（1）求证：AD′＝BE′；（2）①当点O到AD′的距离最大时，判断BE′与⊙O的位置关系，并说明理由；②连接D′E′，若OD∥D′E′，直接写出D′E的长．32．（2024•藁城区二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC=83，点P从点C出发沿边CB向点B运动，连接DP，过点P作QP⊥DP交边AB于点Q，以PQ为对角线作正方形MQNP（1）若PC＝4，则BQ＝；（2）点M一定在∠ABC的角平分线上吗？请说明理由；（3）当点P从点C重合的位置运动至点M落在AD边上时，求点M运动的路径长；（4）在点P从点C到点B的运动过程中，请直接写出△BPQ的外心到BC边的距离的最大值．33．（2024•裕华区二模）如图1是嘉琪家走廊内摆放的一张桌子，其桌面为半圆形，图2是走廊和桌子的部分俯视图．其中l1，l2表示走廊的两面墙，且l1∥l2，AB是半圆的直径且长为2米，O是半圆的圆心，C，D是半圆上两动点，且CD＝1米．（1）求弧CD的长；（2）若E是弦CD的中点，求AE的最小值和最大值；（3）已知半圆O可以绕点B顺时针旋转，若点A在旋转过程中到l1的最大距离为1.2m，求l1，l2之间的距离．34．（2024•裕华区二模）如图1﹣图3，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝10，tan∠ABC=43．P为边BC上一点，BP＝x，连接AP，并作PQ⊥AP交线段AD或射线DC于点Q（Q在（1）如图1，若PQ∥CD，求证：△BAP≌△QPA，并求此时x的值；（2）如图2，若点Q恰好落在点D上，琪琪认为：“此时△BAP是等腰三角形，并且AB＝AP”，请通过计算x的值，说明琪琪的说法是否正确；（3）当点P位于如图3所示的位置时，若∠BAP＝∠CPQ，求x的值；（4）用含x的式子表示QD长，直接写出结果．

河北省石家庄市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-04图形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．（2024•新华区二模）某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A．3.5πcm B．7πcm C．12πcm D．24πcm【解答】解：根据题意得：l=105π×12180=7π则重物上升了7πcm．故选：B．2．（2024•新华区二模）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（）A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角 C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角【解答】解：反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，先假设三个内角都不是锐角，故选：C．3．（2024•裕华区二模）如图，已知∠A，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接DC，BC．可直接判定四边形ABCD为菱形的条件是（）A．有一组邻边相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相垂直 D．四条边相等的四边形【解答】解：由作法得AD＝AB＝CD＝CB，所以四边形ABCD为菱形．故选：D．4．（2024•裕华区二模）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，圆心O在格点上，则tan∠EDB等于（）A．1 B．22 C．12 【解答】解：∵OE＝1，OA＝1，∴tan∠AOE=OE由圆周角定理得，∠EDB＝∠AOE，∴tan∠EDB＝1．故选：A．5．（2024•桥西区二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（）A．20 B．15 C．18 D．12【解答】解：∵O为△ABC的内心，∴点O到AB，AC的距离相等，∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．∵△ABO的面积为20，∴△ACO的面积为15．故选：B．6．（2024•桥西区二模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知∠B＝∠C，△ABC是等腰三角形，不符合题意；B、根据垂直平分线的作法可知AB＝AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意；C、如图，根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC∥BD，∠ACB＝∠CBD，根据角平分线的作法可知，∠ABC＝∠CBD，∴∠ABC＝∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合题意；D、不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意，故选：D．7．（2024•藁城区二模）在矩形ABCD中，AD＝8，点P是线段BC上一点，点M、N、E分别是AP、DP、AD的中点，下列四种情况，哪一种情况不可能使四边形MPNE成为矩形（）A．AB＝2 B．AB＝3 C．AB＝4 D．AB＝5【解答】解：连接EP，MN，∵点M、N、E分别是AP、DP、AD的中点，∴MN=12AD＝4，EM∥DP，EN∥∴四边形ENPM是平行四边形，若四边形ENPM是矩形，则MN＝EP＝4，∴当点P在BC中点时，点P到AD的最大为4，即AB≤4，故选：D．8．（2024•藁城区二模）如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（）A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错【解答】解：对于图甲：由作图痕迹得∠1＝∠2，∴PD∥l，所以甲图的作法正确；对于图乙：由作图痕迹得PA＝PB，PE平分∠DPB，∴∠PAB＝∠PBA，∠DPE＝∠BPE，∵∠DPB＝∠PAB+∠PBA，∴∠DPE＝∠PAB，∴PE∥l，所以乙图的作法正确．故选：C．9．（2024•藁城区二模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，并以相同的速度航行，其中甲沿北偏东60°方向行走，乙沿南偏东30°方向行走，行驶中乙始终在甲的（）A．北偏东15°方向上 B．南偏西15°方向上 C．北偏东30°方向上 D．南偏西20°方向上【解答】解：如图，由题意得，∠AOD＝60°，∠BOE＝30°，OA＝OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠OAC＝∠AOD＝60°，∴∠BAC＝15°，∴乙始终在甲的南偏西15°方向上．故选：B．10．（2024•裕华区二模）如图，点I为△ABC的内心，AB＝5，AC＝4，BC＝3，将△ACB平移使其顶点与Ⅰ重合，与AB边交于点D，E，延长EI交AC于点P，延长DI交BC于点Q，则图中阴影部分的周长为（）A．12 B．9 C．8 D．6【解答】解：作IF⊥AB于点F，连接IA、IB、IC，∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2＝25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，由平移得PE∥BC，QD∥AC，∴∠APE＝∠ACB＝90°，∠DQB＝∠ACB＝90°，∴IP⊥AC，IQ⊥BC，∵点I为△ABC的内心，∴IP＝IQ＝IF，设IP＝IQ＝IF＝r，则12×4r+12×3r+12×解得r＝1，∵∠IPC＝∠IQC＝∠PCQ＝90°，且IP＝IQ＝1，∴四边形IPCQ是正方形，∴CP＝CQ＝IP＝IQ＝IF＝1，∴CP+CQ+IP+IQ＝4，作CH⊥AB于点H，则12×5CH=12×∴CH=12∵∠EDI＝∠BAC，∠DEI＝∠ABC，∴△DEI∽△ABC，DE+DI+EIAB+AC+BC∴DE+DI+EI=512（AB+AC+BC）∴CP+CQ+IP+IQ+DE+DI+EI＝4+5＝9，∴阴影部分的周长为9，故选：B．11．（2024•裕华区二模）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（）A．∠A＜∠B B．∠A＞∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定【解答】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形，∴∠A＜45°，∠B＞45°，∴∠A＜∠B．故选：A．12．（2024•裕华区二模）某工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（）A．26，10，24 B．10，16，6 C．17，30，8 D．13，24，5【解答】解：如图，记等腰三角形的腰长为c，底长为a，底边上的高为b，由勾股定理得，c2−(aA中26B中10C中17D中13故选：A．13．（2024•裕华区二模）如图，△A′B′C′是由△ABC沿AD方向平移得到的，其中点D为BC的中点，当△ABC的面积为18cm2，△A′EF的面积为8cm2，AA′＝1cm时，A′D的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：∵△A′B′C′是由△ABC沿AD方向平移得到的，∴AB∥A′B′，∴∠B＝∠A′EF，同理∠C＝∠A′FE，∴△ABC∽△A′EF，∴S△A'EFS△ABC∴A'DAD∵AA′＝1cm，∴A′D＝2cm，故选：A．14．（2024•藁城区二模）如图，AB⊥BF，EF⊥BF，AE与BF交于点C，点D是AC的中点，∠AEB＝2∠A．若AC＝6，EF＝1，则BF的长是（）A．10 B．3 C．8 D．15【解答】解：∵AB⊥BF，∴∠ABC＝90°，∵点D是AC的中点，AC＝6，∴BD＝AD=12∴∠A＝∠ABD，∴∠BDE＝∠A+∠ABD＝2∠A，∵∠AEB＝2∠A，∴∠BDE＝∠BED，∴BE＝BD＝3，∵EF⊥BF，∴∠BFE＝90°，∴BF=BE2故选：C．15．（2024•藁城区二模）如图，x的值可能为（）A．10 B．9 C．7 D．6【解答】解：由三角形三边关系可得：在上面三角形中7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10，在下面三角形中11﹣4＜x＜11+4，即7＜x＜15，故7＜x＜10．故选：B．16．（2024•藁城区二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，点P在直线AB上运动当点P与正五边形的至少两个顶点的距离相等时，警报器会发出警报，在直线AB上会发出警报的点有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图，根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知，直线AB上会发出警报的点P有：CD、ED、EA、BC、AB的垂直平分线与直线AB的交点，分别为：P，A，B，P′，P″共五个．故选：C．17．（2024•裕华区二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【解答】解：∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠2＝30°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．故选：C．18．（2024•桥西区二模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C【解答】解：A、因为AD∥BC，AD＝BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；B、因为AD∥BC，AB∥DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；C、AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；D、因为AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；故选：C．19．（2024•桥西区二模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为（）A．3 B．32 C．2 D．【解答】解：∵四边形CDEF是菱形，DE＝2，∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF，∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°，∴OD＝2DE＝4，OE=3DE＝23∴CO＝CD+DO＝6，∴BC＝AB=12CD＝3，OB=3BC∵∠A＝90°，∴AO=OB2∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BOC＝30°，∴BE=3∵EH⊥AB，∴EH∥OA，∴△BHE∽△BAO，∴EHOA∴EH3∴EH=2故选：C．20．（2024•桥西区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若ABCD=1A．23 B．53 C．34【解答】解：连接DB、DE，设AB＝m，∵ABCD∴CD＝3AB＝3m，∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵⊙D与BC相切于点E，∴BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD＝3m，∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，∵∠CED＝90°，∴DE=CD∴sinC=DE故选：B．21．（2024•裕华区二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于（）A．20° B．30° C．50° D．80°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠4＝∠2＝50°，∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°，故选：A．22．（2024•裕华区二模）在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则所列方程为（）A．x2＝102+（x﹣5﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102 C．x2＝102+（x+1﹣5）2 D．x2＝（x+1）2+102【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（x+1﹣5）2，故选：C．23．（2024•裕华区二模）问题：如图，矩形ABCD中，AB＝4，CB＝3，点P为对角线AC上一点．当△BCP为等腰三角形时，求AP的值．甲：当点P为AC中点时，△BCP为等腰三角形，∴AP＝2.5；乙：当CP＝3时，△BCP是等腰三角形，∴AP＝2．则（）A．甲的结论正确 B．乙的结论正确 C．甲、乙的结论合起来正确 D．甲、乙的结论合起来也不正确【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝4，CB＝3，∠ABC＝90°，根据勾股定理，可得AC＝5，△BCP是等腰三角形，分三种情况：①PB＝PC，当点P为AC的中点时，AP＝PB＝PC，此时AP＝2.5；②CP＝CB，∵CB＝3，AC＝5，∴AP＝5﹣3＝2；③BP＝BC，过点B作BH⊥AC于点H，如图所示：则此时CH＝PH，∵S△ABC∴BH=12∵BC＝3，根据勾股定理，得CH=9∴CP＝2CH=18∴AP＝AC﹣CP=7综上，AP的值有：2.5或2或75故选：D．24．（2024•裕华区二模）如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN，ND．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．∠COD＝3∠MND【解答】解：A、CD＝MC，CD=MC，因此∠COD＝∠MOC，故B、连接ON，由OM＝ON＝MN，得到∠MON＝60°，而MC=CD=DN，因此∠COD=1C、由OM＝ON，∠OMK＝∠ONL，∠MOK＝∠NOL，得到△OMK≌△ONL（ASA），因此OK＝OL，得到∠OKL＝∠OCD，得到MN∥CD，故C不符合题意；D、由圆周角定理得到∠MON＝3∠MND，故D符合题意．故选：D．二．填空题（共4小题）25．（2024•新华区二模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，连接OE，若∠ABC＝80°，则∠OEC的度数为40°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，AB＝BC，∴∠CAB＝∠ACB=12（180°﹣80°）＝50°，AO＝∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∠AEC＝90°，∴∠OEA＝∠OAE＝50°，∴∠OEC＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40．26．（2024•藁城区二模）如图，数轴上A点与数轴原点重合，B点表示的数是2．过点B作BC⊥AB，且BC＝1，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D所表示的数是d．（1）d＝5；（2）若（2﹣d）2＝a+bd，则a﹣b＝13．【解答】解：（1）由题意知，AB＝2，BC＝1，∵BC⊥AB，∴由勾股定理得，d=A故答案为：5；（2）∵（2﹣d）2＝a+bd，∴(2−∴9−∴a＝9，b＝﹣4，∴a﹣b＝9﹣（﹣4）＝9+4＝13，故答案为：13．27．（2024•桥西区二模）某厂家要设计一个装截面为正方形木条的圆柱形纸盒（横截面如图），已知每条木棍形状、大小相同，底面均为边长为1cm的正方形，目前厂家提供了装不同数量木条的圆柱形纸盒的收纳设计方案．（1）如果要装1支木条，如图1，圆柱形纸盒最小的底面积为12πcm2（2）如果要装2支木条，如图2，圆柱形纸盒最小的底面积为54πcm2（3）如果要装3支木条，圆柱形纸盒最小的底面积为425256πcm2【解答】解：（1）正方形的对角线为2cm，则底面半径为22cm所以圆柱形纸盒最小的底面积为π（22）2=π2（故答案为：π2（2）底面圆的直径为12+2则底面半径为52cm所以圆柱形纸盒最小的底面积为π（52）2=5π4（故答案为：5π4（3）如图：C在下方正方形边的中点，设CO＝x，OD＝1﹣x，在Rt△AOD中，AO=A在Rt△EOG中，EO=O∵AO＝EO，∴1+(1−解得：x=3∴AO=1+(1−316∴底面圆的半径为51716（∴圆柱形纸盒最小的底面积为π（51716）2=425π256故答案为：425π25628．（2024•裕华区二模）小明要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其能在正方形内自由旋转．（1）如图1，若这个正多边形为边长最大的正六边形，EF＝5；（2）如图2，若这个正多边形为正△EFG，则EF的取值范围为0＜EF≤53．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AD于点M，交BC于点N，∵四边形ABCD是边长为10的正方形，∴∠NMA＝∠A＝∠B＝90°，AB＝10，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝10，∠MNB＝90°，∴ON⊥BC，∴OM、ON都是正方形ABCD的边心距，∴OM＝ON=12∵正六边形EFGHIK与正方形ABCD有共同中心O，且能在正方形ABCD内自由旋转，∴正六边形EFGHIK的最大半径OE与正方形ABCD的边心距OM相等，∴OE＝OM＝5，连接OE、OF，则OE＝OF，∵∠EOF=1∴△EOF是等边三角形，∴EF＝OE＝5，故答案为：5．（2）如图2，连接OE、OF，作OR⊥EF于点R，则∠ORE＝90°，∴点O是正三角形EFG的中心，∴OE＝OF，∴ER＝FR，∵∠EOF=1∴∠EOR＝∠FOR=12∠EOF∴∠OER＝30°，∵正三角形EFG与正方形ABCD有共同中心O，且能在正方形ABCD内自由旋转，∴正三角形EFG的最大半径OE与正方形ABCD的边心距相等，∴OE＝5，∴OR=12OE=1∴ER=O∴EF＝2ER＝2×532∵正多边形的边长为正数，∴EF的取值范围为0＜EF≤53，故答案为：0＜EF≤53．三．解答题（共6小题）29．（2024•新华区二模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，延长BC到点D，使BD＝BA，P是BC边上一点．点Q在射线BA上，PQ＝BP，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，交AC于点E，连接PQ，设PC＝x．（1）AB＝5，CD＝1，当点Q在⊙P上时，求x的值；（2）x为何值时，⊙P与AB相切？（3）当PC＝CD时，求阴影部分的面积；（4）若⊙P与△ABC的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵BD＝BA，∴BD＝5，∴CD＝1．故答案为：5，1；当点Q在⊙P上时，如图1，PQ＝PD．∴BP＝PD，即4﹣x＝x+1．解得x=3（2）作PF⊥AB于点F，当PF＝PD时，⊙P与AB相切，如图2，则PF＝PD＝x+1，sinB=PF∴x+14−x解得x=7经检验，x=7∴x=78时，⊙P与（3）如图3，连接PE，∵Rt△PEC中，PC＝CD＝1，PE＝PD＝1+1＝2，∴∠EPC＝60°，EC=3∴S阴影＝S扇形PDE﹣S△PCE=60π×22=2（4）由图2可知，当0≤x＜78时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点；由图1可知，当32＜x＜4时，⊙∴x的取值范围为：0≤x＜78或330．（2024•桥西区二模）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD＝6，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），（1）求对角线AC的长度；（2）①当△ABE是等腰三角形时，求∠DAE的度数；②连接EC，当120°≤∠AEC≤180°时，求BE的取值范围．（3）如图2，EP⊥AE，与菱形的一边相交于点F（点F始终在点E的右侧），当EP经过菱形一边中点时，直接写出BE的长度．【解答】解：（1）如图，连接AC，交BD于点O，四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴BO=12∵∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AO=12在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2，解得AO=3AC＝2AO＝23，∴对角线AC的长度为23；（2）①在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ABD=12∠ABC＝30°，AD∥∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∵△ABE是等腰三角形，∴AE＝BE或AB＝BE，当AE＝BE时，∠ABE＝∠BAE＝30°，∴∠DAE＝120°﹣30°＝90°，当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB=1∴∠DAE＝120°﹣75°＝45°，综上所述，当△ABE是等腰三角形，∠DAE＝90°或45°；②如图所示，当∠AEC≤120°时，即∠AEO≥60°，若∠AEO＝60，则∠BAE＝∠ABE＝30°，∠EAO＝30°，∴BE＝AE，在Rt△AEO中，AE2+EO2＝AO2，∴（3﹣EO）2＝EO2+（3）2，解得EO＝1，∴BE＝2，当点E运动到点O的位置时，∠AEC＝180°，继续往点D方向运动，则∠AEC逐渐变小，由对称性可知，当OE＝1时，∠AE1C＝120°，此时BE1＝3+1＝4，综上，当120°≤∠AEC≤180°时，2≤BE≤4；（3）如图1，连接AC，过点E作GH∥AC，A作AG⊥GH于点G，PH⊥GH于点H，∴∠AGE＝∠EHP＝90°，设BE的长为x，又∵∠AEP＝90°，∴∠GAE+∠AEG＝∠AEG+∠HEP＝90°，∴∠AGE＝∠EHP＝90°，∴∠GAE＝∠AEG＝90°，∴△AGE∽△EHP，∴33∴2x2﹣9x+6＝0，∴x1=9+334（舍去），x如图2，同上△AGE∽△EHP，∴39∴2x2﹣15x+24＝0，解得x1=15+332（舍去），x如图3：理由同上△AGE∽△EHP，39∴2x2﹣15x﹣24＝0，解得x=15±综上，BE的长为9−334或31．（2024•桥西区二模）如图①，OC垂直平分线段AB，OC≥2，以点O为圆心，2为半径作⊙O，点D是⊙O上的一点，当A，D，O三点共线时，连接OB交⊙O于点E，此时∠A＝37°，如图②将扇形DOE绕点O逆时针旋转，得到扇形D′OE′．（1）求证：AD′＝BE′；（2）①当点O到AD′的距离最大时，判断BE′与⊙O的位置关系，并说明理由；②连接D′E′，若OD∥D′E′，直接写出D′E的长．【解答】（1）证明：∵OC垂直平分线段AB，∴OA＝OB，由旋转的性质得：OD′＝OE′，∠AOD′＝∠BOE′，在△AOD′和△BOE′中，OA=OB∠AOD'=∠BOE'∴△AOD′≌△BOE′（SAS），∴AD′＝BE′；（2）解：①当点O到AD′的距离最大时，AD′与⊙O相切．理由如下：∵当点O到AD′的距离最大时，AD′与⊙O相切，∴OD′⊥AD′，∴∠AD′O＝90°．由（1）知：△AOD′≌△BOE′，∴∠AD′O＝∠BE′O＝90°，∴OE′⊥BE′，∵OE′是⊙O的半径，∴BE′与⊙O相切：②∵OC垂直平分线段AB，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠A+∠B＝74°，∴∠OAB＝∠OBA＝37°，∴∠DOE＝∠D′OE′＝180°﹣74°＝106°如图，∵OD∥D′E′，∴∠AOD′＝∠OD′E′＝37°，∴∠D′OE＝106°﹣37°＝69°，∴D'E的长为69×π×2180如图，∵OD∥D′E′，∴∠DOE′＝∠OED′＝37°，∴∠D′OE＝360°﹣106°﹣106°﹣37°＝111°，∴D'E的长为111×π×2180综上所述，D'E的长为2330π或32．（2024•藁城区二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC=83，点P从点C出发沿边CB向点B运动，连接DP，过点P作QP⊥DP交边AB于点Q，以PQ为对角线作正方形MQNP（1）若PC＝4，则BQ＝43−2（2）点M一定在∠ABC的角平分线上吗？请说明理由；（3）当点P从点C重合的位置运动至点M落在AD边上时，求点M运动的路径长；（4）在点P从点C到点B的运动过程中，请直接写出△BPQ的外心到BC边的距离的最大值．【解答】解：（1）∵矩形ABCD，QP⊥DP，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝83，∠B＝∠C＝90°，∠DPQ＝90°，∴∠PQB＝∠DPC＝90°﹣∠BPQ，∴△QBP∽△PCD，∴BQCP∵PC＝4，∴BP＝BC﹣CP＝83−∴BQ4BQ＝43−故答案为：43−（2）点M一定在∠ABC的角平分线上，理由如下：过点M作ME⊥AB，MF⊥BC，则四边形MEBF为矩形，∴∠EMF＝90°，∵正方形MQNP，∴MQ＝MP，∠QMP＝90°＝∠EMF，∴∠EMQ＝∠FMP＝90°﹣∠QMF，又∵∠MEQ＝∠MFP＝90°，∴△MEQ≌△MFP（AAS），∴ME＝MF，∴点M一定在△ABC的角平分线上；（3）连接BM，由（2）知：点M一定在∠ABC的角平分线上，∴∠ABM＝∠ABC＝45°，当点P与点C重合时，点Q与点B重合，此时：PQ＝BC＝83，∵正方形MQNP，∴QM＝PM=22PQ＝4当点M落在AD边上时，此时AM＝AB＝8，∴BM=2AB＝82∴点M运动的路径长为：82−46（4）设PQ，MN的交点为O，∵∠PBQ＝90°，∴点O为Rt△PBQ的外心，过点O作OH⊥BP，则PH＝BH，∴OH为Rt△PBQ的中位线，∴OH=12设CP＝x，则BP＝83−x由（1）知：△QBP∽△PCD，∴BQCP∴BQx∴BQ=−18（x2﹣83x）=−18（0≤x≤83，∴BQ的最大值为6，∴OH的最大值为3，即：△BPQ的外心到BC边的距离的最大值为3．33．（2024•裕华区二模）如图1是嘉琪家走廊内摆放的一张桌子，其桌面为半圆形，图2是走廊和桌子的部分俯视图．其中l1，l2表示走廊的两面墙，且l1∥l2，AB是半圆的直径且长为2米，O是半圆的圆心，C，D是半圆上两动点，且CD＝1米．（1）求弧CD的长；（2）若E是弦CD的中点，求AE的最小值和最大值；（3）已知半圆O可以绕点B顺时针旋转，若点A在旋转过程中到l1的最大距离为1.2m，求l1，l2之间的距离．【解答】解：（1）连OC，OD，∵AB＝2，∴OC＝OD＝1，∵CD＝1，∴△COD为等边三角形，∴∠COD＝60°，∴lCD（2）如图，连接OE，AE，∵E为CD的中点，△OCD为等边三角形，∴OE⊥CD，CE=DE=1∴OE=3∵E在以O为圆心．OE为半径的弧上，∴当C，B重合时AE最大．如图，连接AD，∵AB为直径，∴∠D＝90°，∵AB＝2，CD＝1，∴AD=3∵E为CD中点，∴ED=1在Rt△AED中，AE2＝ED2+AD2，∴AE=13当D，A重合时，AE的最小值为12（3）∵A与l1最大距离为1.2，∴此时⊙O与l2相切，过O′作O′N⊥l2于N，作A′M⊥ON于M，过A′作A′H⊥l2于H，交l1于G，则A′H⊥l1，A′M∥l1∥l2，A′H＝MN，∴∠ABA′＝∠O′A′M，而∠A′GB＝90°＝∠A′MO′，∴△A′BG∽△O′A′M，∴O'MA'G=O'A'A'B=∴O′M＝0.6，∵O′N＝1，∴A′H＝O′N﹣O′M＝0.4，∴GH＝1.2+0.4＝1.6．∴l1，l2之间的距离为1.6．34．（2024•裕华区二模）如图1﹣图3，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝10，tan∠ABC=43．P为边BC上一点，BP＝x，连接AP，并作PQ⊥AP交线段AD或射线DC于点Q（Q在（1）如图1，若PQ∥CD，求证：△BAP≌△QPA，并求此时x的值；（2）如图2，若点Q恰好落在