弹性力学-第五章-第五章-弹性力学的求解方法和一般性原理

第五章弹性力学的求解方法和一般性原理

知识点

弹性力学根本方程位移解法

边界条件位移边界条件

位移表示的平衡微分方程变形协调方程

应力解法混合解法

体力为常量时的变形协调方程应变能定理

物理量的性质解的唯一性原理

逆解法和半逆解法圣维南原理

解的迭加原理，弹性力学根本求解方法

一、内容介绍

通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的根本方程和常用公式。本

章的任务是对弹性力学所涉及的根本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的

方法。

弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，根本方程有平衡微分方

程、几何方程和本构方程，也是15个。面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难

的，必须讨论问题的求解方法。根据这一要求，本章的主要任务有三个：

一是综合弹性力学的根本方程，并按边界条件的性质将问题分类；

二是根据问题性质，确定根本未知量，建立通过根本未知量描述的根本方程，得到根

本解法。弹性力学问题的根本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。应该注意的

是对于应力解法，根本方程包括变形协调方程。

三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些根本原理。主要包括解的唯一性原理、叠加原

理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立根底。

如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课

程的学习。

二、重点

1、弹性力学的根本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分

方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半

逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理

§5.1弹性力学的根本方程及其边值问题

学习思路：

通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学根本方程

和边界条件。本节的主要任务是将根本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初

步介绍。

弹性力学问题具有15个根本未知量，根本方程也是15个，因此问题求解归结为在给

定的边界条件下求解偏微分方程。

由于根本方程与15个未知量的内在联系，例如位移分量，通过几何方程可以得到应变

分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果应力分量，也可通过物理方程得

到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充

方程，即变形协调方程。基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选取局部未知量作为

根本未知量求解。

根据根本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。

上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。

学习要点：

1、弹性力学根本方程；2、本构方程；3、边界条件；4、弹性力学边值问题

1、弹性力学根本方程

首先将弹性力学根本方程综合如下

1、平衡微分方程

dedrdr

—++汽=o

drdadr

—-+—-+—+K=0

dxdydz

生+巴L+也+又二0

dx,dydz

用张量形式描述%二。

2、几何方程

dudvdw

葭=菽‘J二犷£"法‘

3vdudwdvdudw

%：二三再二右工川二军菰

ux+oy/oy+oz,dz+ox

1,、

用张量形式描述为二/+%•,，

3、变形协调方程

上+也二也

&2dy2dxdy

工工达

d2ydz2dydz

2

87♦+_8_，£_—3y/"

&?""dxdz

2(2+%+%)=2乜

dxdxdydzdydz

8役声力+力)_2%

dy3xdydzdxdz

色也+也一对二2也

dzdxdydzdxdy

4、本构方程-广义胡克定律

用应力表示的本构方程

J二4®一八吗+优)］二±［。+1/),-国］

L1L

今二口令-1/(%+可)］二±［(l+i/)%-v0］

L也

三二二应-1/(%+%)］二±［(1+切%-W9］

L1L

用应变表示的本构方程

b.=几夕+2〃之，▼/

4=40+2/，％=

,=几6+2〃与，7.=4%

2、边界条件

如果物体外表的面力Eu,Fsy,尺z为，那么边界条件应为

用X=b/+%,加+T—1

%=汇J+%加+%力

国二7笈/+7*加冏

称为面力边界条件，用张量符号表示为%.二京医。

如果物体外表的位移工5,5，那么边界条件应为

u=u,V=v?w=w

称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。

综上所述，弹性力学的根本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，

失计十五个未知量。根本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是

十五个根本方程。

这里没有考虑变形协调方程，原因是位移已经作为根本未知量。对于任意的单值连续

的位移函数，如果设其有三阶的连续导数，那么变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果,

自然地满足，所以位移作为根本未知量时，不需要考虑变形协调方程。

要使根本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。

弹性力学的任务

就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个根本方程。

3、弹性力学边值问题

当然，具体求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个根本未知量，可以而且必

须做出必要的简化。根据几何方程和本构方程可见，位移、应力和应变分量之间不是相互

独立的。

假设位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分

量。反之，如果应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位

移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。

基于上述的理由，为简化求解的难度，选取局部未知量作为根本未知量。

假设以位移函数作为根本未知量求解，称为位移解法；

假设以应力函数作为根本未知量，称为应力解法；

假设以局部位移分量和局部应力分量作为根本未知量，称为混合解法。

在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。

按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。

第一类边值问题：弹性体内的体力RK,Fby,凡z和其外表的面力人,Fsy,八,求平衡

状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为面力边界条件。

第一类边值问题：弹性体内的体力分量Fb.r,Fbv,fbz以及外表的位移分量，求

平25,京的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为位移边界条件。

第三类边值问题：弹性体内的体力分量尺工，Fbv,八二，以及物体外表的局部位移分量和

局部面力分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面

力的局部，用面力边界条件，位移的局部用位移边界条件，称为混合边值问题。

以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。假设不考虑物体的刚体位移，

那么三类边值问题的解是唯一的。

§5.2位移解法一位移表示的平衡微分方程

学习思路：

以位移函数作为根本未知量求解弹性力学问题的方法称为位移法。

位移解法的根本方程是位移表示的平衡微分方程。位移分量求解后，那么可以通过几

何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。

如果问题的边界条件为位移边界条件，边界条件描述比拟简单。如果问题为面力边界

条件，由于边界条件是通过位移函数的导数描述的，因此应用困难。

总之假设以位移为根本未知函数求解时，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的

平衡微分方程，即拉梅方程。

学习要点：

1、位移表示的应力分量；2、位移表示的平衡微分方程；3、位移边界条件

1、位移表示的应力分量

位移解法是以位移函数作为根本未知函数求解的，所以需要通过几何方程将位移函数

表达为应变分量，再通过物理方程将其表达为应力分量，代入平衡微分方程即可得到位移

解法的根本方程。

首先，根据物理方程和几何方程，可以得到由位移分量表达的应力分量，即

*<

X+

巴二48+2〃三rV=§

dx¥

Z+加

生二48+2嬉，丁-M

尸&

泳

加

,二48+2〃黑,r-=Z+

«M(¥

oz37

其中

八dudvdw

g———+t——+t—

dx,dydz

2、位移表示的平衡微分方程

将上述位移表示的应力分量代入平衡微分方程，整理后可得

(4+为答+^~+耳,二。

OX

3g

(4+〃)=+4~+%二。

3g

(，+/)=+闷9+%=。

oz

这里是拉普拉斯运算符号，即y2=e；+卫+卫。

加1旷加2

上述方程是以位移表示的平衡微分方程，称为拉梅(Lam6)方程，它可以表示为张量

形式

(〃+4)如,—=0

或表达为矢量形式

(〃+4)号8+〃72必+月=0

上式中▽=(；＜_+］色+石色)为拉普拉斯算符矢量。

dxdydz

3、位移边界条件

对于边界条件，如果物体外表的位移，那么直接由位移形式给定，即使用位移边界条

作

忧=H,V=V,w=w

如果给定的边界条件是物体外表的面力，那么面力边界条件式需用位移分量表示，将

应力分量代入物理方程，整理可得位移分量表示的面力边界条件

第

冬

/加^

F28+++0-U+

=&/+_

3X

973X

加

加

闻

F+3_V

¥+-+加+

ef⑪9XsFw

该

加

而

去

加

F6一++++

—

力+¥/_

队/+

9yaw

azfe

或表达为张量形式

显然，如果给定的边界条件是面力边界条件，那么位移解法的边界条件表达式十分复

杂，因此求解的难度将是比拟大的。

总之，如果以位移函数作为根本未知函数求解弹性力学问题，归结为在给定的边界条

件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。

位移分量求解后，那么可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。

§5.3应力解法一应力表示的应变协调方程

学习思路：

如果选用应力分量或者应力函数作为根本未知量求解弹性力学问题称为应力解法。

应力解法的根本方程不/又有平衡微分方程，而且有变形协调方程。因为仅仅满足平衡

微分方程的应力分量并不一定是真实应力，这组应力分量求出的应变分量代入几何方程，

将可能得到一组矛盾方程，这就不可能求出单值连续的位移分量。

由于变形协调方程是应变表示的，在应力解法中，需要转化为根本未知量应力分量表

不0

利用平衡微分方程的求导形式简化变形协调方程，可以得到应力分量表示的变形协调

方程。

总之，在以应力函数作为根本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡

微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程。

学习要点：

1、应力解法的根本方程；2、变形协调方程的简化；3、应力分量表达的变

形协调方程；4、体力为常量时的变形协调方程。

1、应力解法的根本方程

以应力作为根本未知函数求解弹性力学问题时，应力分量必须满足平衡微分方程和面

力边界条件。

但是仅此还不够，仅仅满足上述条件的应力分量并不是真正的应力。因为这组应力分

量求出的应变分量代入几何方程，将可能得到一组矛盾方程，不可能求出单值连续的位移

分量。要使这组方程不矛盾，那么要求应力分量不仅满足平衡微分方程和面力边界条件，

而且应力分量对应的应变分量必须满足变形协调方程。

这个问题也可以从物理上解释，应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，只能保

证物体的平衡，但是不能保证物体的连续。只有这组应力分量求出的应变分量满足变形协

调方程时，才能保证变形后的物体是连续的。

当位移分量作为根本未知函数求解时，变形协调方程是自然满足的。如果位移表示根

本未知量，只有应力作为根本未知函数求解时，变形协调方程作为一组补充方程是必须的。

因此，对于应力解法，应力分量必须满足平衡微分方程和变形协调方程。

由于变形协调方程是由应变分量表达的，在应力解法中，需要将其转换为由应力分量

表达。

将物理方程改写为

1+u1/c2(1+v)

=—7型=汇型，

1+1/v2(1+v)

yE丫EE*

l+izv_2(1+v)

比二-------6——---------

其中@=b,+%+%

将上式代入变形协调方程的第一，四两式，可得

p尸曰一场a/

.......-+.......---------(——+——)=2-

旷刎1+vMdy2dxdy

_a丁丁+3汇中)

dxdy1+1/Sydzdxdxdydz

轮换乂y,z可得其余四个方程，由此可得应力表达的变形协调方程。

2、变形协调方程的简化

为了使问题进一步简化，就是使上式有更简单的形式，利用平衡微分方程再次对变形

协调方程作进一步的简化。

将平衡微分方程的第一和第二两式分别对-y求偏导数后再相加，那么

8产*与32%见巩

dxdydzdxdydx2dy2dx3y

_Mbja%/2bx__a/

dz2dzdx2dy2dxdy

%一%阳'8%8见

dz2dx2dy2dxdydzdz

将上式代入应力分童表示的变形协调方程第一式

外巴+^32082092^

3y2fee21+u刎dy2dxdy

并且注意到b%十%=⑷-3，可得

J-%-五-J-咙二-（乱+叫+叫）+2冬

1+v1+1/3z2dxdydzdz

轮换X,y,z以后，可得另外两个类似的公式。

将轮换后得到的三个公式相加，可得

二一正（町+叫+叫）

l-i/dx3ydz

将上式回代到简化方程

J-Va/b--L咙二-（a+唯+%）+2%

1+v1+u3z2dxdydzdz

可得

轮换x,），，z以后，可得另外两个类似的公式。

3、应力分量表达的变形协调方程

下面我们对应力分量表示的变形协调方程的第二式作简化

出+乜一上（些+些）二2工

2

旷刎1+vMdydxdy

2

32bx以d0_d»声8j+"八

----―-------------I-----T---+---J

dxdy1+1/Sydzdxdxdydz

首先对平衡微分方程的第二和第三两式分别对z,y求偏导数，然后相加可以得到

------+-------T------+------+------+------...-(------十---------

dxdzdydzdz29x3ydy2dydzdydz

将上式与变形协调方程的第二式相加后并整理，可得

1d20

寸0+

1+udydz

上式为简化后的方程，轮换心y,z以后，可得另外两个类似的公式。

综上所述，我们一共得到以下六个关系式

+通+%).2遍

1+/刎3ydzdx

1+rdy21-ydxdydzdy

J_"_J%%+吗—2里

1+'/dz21-vdxSydzdz

V、+1♦[冬4％

取l+i/3x3y'改办'

*+□_££=_(%+%)

*l+i/Vdzdy7

।iaa

l+i/3xfe'

上述方程即为应力分量表达的变形协调方程，通常称为贝尔特拉米-米切尔方程。

4、体力为常量时的变形协调方程

如果弹性体体力为常量，那么应力分量表达的变形协调方程可以简化为

上述方程为应力分量表达的变形协调方程，通常简称为应力协调方程。但是应该注意:

应力是不需要协调的，其实质仍为应变分量所满足的变形协调关系。

如果用张量形式表达，那么上述公式可写作

*+击*=0

总而言之，在以应力函数作为根本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解

平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。

§5.4混合解法

学习思路：

如果选取应力分量和位移分量作为根本未知量求解弹性力学问题，称为混合解法。

根本方程为平衡微分方程和应力分量表达的几何方程。

混合解法三个平衡微分方程和六个几何方程，共沪九个方程对应九个未知函数，加上

给定的边界条件，那么可得到唯一的解。

学习要点：1、弹性力学的混合解法

1、弹性力学的混合解法

混合解法以六个应力分量和三个位移分量作为根本未知量求解弹性力学问题。通过物

理方程中消去应变分量，其根本方程为平衡微分方程和由应力分量表达的几何方程，即

该1加

+

+切一

=

-

¥

-

[a

E

加3X加

¥

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-

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